ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. SISTEMAS PLANOS. TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON. La aplicación de Poincaré Recordemos que un subconjunto H de R n es una subvariedad de codimensión uno (o una hipersuperficie) de clase C k si puede escribirse en la forma H = {x U : S(x) = 0}, donde U es un abierto y S : U R es una función de clase C k tal que S(x) 0 para todo x H. Se dice que esta subvariedad es transversal a un campo vectorial f si f(x) no está en el plano tangente a H en x para ningún x H (es decir si S(x), f(x) 0 para todo x H). 1. Lema. Sean f C k (Ω, R n ) un campo vectorial, x Ω, T I x. Sea H una hipersuperfice de R n de clase C k, transversal a f, y tal que Φ(T, x) H. Entonces existe un entorno abierto U de x y una única aplicación τ : U R de clase C k tal que τ(x) = T y Φ(τ(y), y) H para todo y U. Indicación: aplicar el teorema de la función implícita a la ecuación S(Φ(t, y)) = Definición. Sea f C 1 (Ω, R n ) un campo vectorial, y x 0 un punto regular de f (es decir f(x 0 ) 0). Sea H un hiperplano vectorial tal que f(x 0 ) es transversal a H. Diremos que un entorno V de x 0 en el hiperplano afín x 0 + H es una sección transversal de f en x 0 si se tiene f(x) / H para todo x V (es decir si la hipersuperficie V es transversal al campo f). Obsérvese que si h es una aplicación lineal tal que H = Kerh, la condición de transversalidad equivale a h(f(x)) 0 para todo x V. Además, si V es conexo, entonces o bien h(f(x)) > 0 para todo x V, o bien h(f(x)) < 0 para todo x V. 3. Probar que para cualquier punto regular x 0 de f siempre existe una sección transversal de f en x Definición (aplicación de Poincaré). Sea f C k (Ω, R n ) un campo vectorial, O x0 una órbita periódica de período T (es decir Φ(T, x 0 ) = x 0 ), y H una hipersuperficie transversal a f y de clase C k que contiene a x 0. Sabemos que existen U un entorno de x 0 y τ C 1 (U) tales que Φ(τ(x), x) H para todo x. Sea W = U H. A la aplicación P H : W H definida por P H (x) = Φ(τ(x), x) se le llama aplicación de Poincaré. Esta aplicación es de clase C k, y a cada punto fijo de esta aplicación le corresponde una órbita periódica de f.

2 Sistemas planos En lo sucesivo consideraremos f un campo vectorial en un abierto Ω de R 2. En este caso las secciones transversales de f se llamarán segmentos transversales de f, y la aplicación de Poincaré correspondiente a un segmento transversal S la denotaremos π(x) = Φ(τ(x), x). En todo segmento transversal S podemos considerar una relación de orden entre los puntos del segmento, y definir el concepto de sucesión monótona en este segmento. Por otro lado diremos que una sucesión y n = Φ(t n, x) es monótona sobre la trayectoria O x si la sucesión (t n ) es monótona en R. 5. Lema. Sea S un segmento transversal de f, y sea (x n = Φ(t n, x 0 )) la sucesión (quizás finita, monótona sobre la trayectoria) de las intersecciones de la órbita O x + 0 con el segmento S. Entonces (x n ) también es monótona sobre el segmento S. Indicación: podemos suponer por ejemplo que x 0 < x 1 respecto del orden de S. Considerar la región interior a la curva de Jordan formada por la parte de O x que va de x 0 a x 1 más el segmento que va de x 1 a x 0. Comprobar que dicha región es o bien positivamente invariante, o bien negativamente invariante, y deducir que x 2 tiene que ser mayor que x 1 respecto del orden considerado en el segmento. 6. Lema. Si S es un segmento transversal de f y z S ω ± (x), existe una sucesión (z n ) contenida en S O x ± que es monótona sobre la trayectoria O x y que satisface z = lím n z n. Indicación: Si t n + y Φ(t n, x) z, puede aplicarse el lema 1 para encontrar un entorno U de z y una función τ : U R de clase C 1 tal que τ(z) = 0 y Φ(τ(y), y) S para todo y U. Entonces t n := t n +τ(φ(t n, x)) + (la monotonía de t n se obtiene tomando una subsucesión si fuera necesario) y z n := Φ( t n, x) tiene la propiedad deseada. 7. Corolario. Sea S un segmento transversal, x Ω. Entonces ω ± (x) corta a S a lo sumo en un punto. Demostración: supongamos que hubiera dos puntos distintos y, z ω + (x) S. Por el lema anterior existirían (y n ), (z n ) contenidas en S O + (x) que convergen a y, z respectivamente. Pero esto es imposible porque (y n ), (z n ) son subsucesiones de la sucesión (x n ) del lema 5 que es monótona sobre S. 8. Corolario. Si S es un segmento transversal de f y {z} = S ω + (x) entonces la sucesión (x n = Φ(t n, x)) de las intersecciones de la órbita O x + con el segmento S satisface: 1. x n es monótona sobre el segmento S; 2. lím n x n = z; 3. Φ(t, x) / S para todo t (t n, t n+1 ). Demostración: Sólo hay que probar (2). La sucesión (z n ) del lema 6 converge a z y es subsucesión de (x n ), luego, al ser ésta monótona sobre S, también converge a z. 9. Corolario. Supongamos que ω ± (x) O ± (x). Entonces Φ x (t) es periódica, y en particular ω + (x) = ω (x) = O x. Demostración: sea y ω + (x) O + (x). Si y es un punto de equilibrio el resultado es obvio. Si no, por el lema 6 podemos escoger un segmento transversal S que contenga a y y una sucesión y n S O y + S ω + (x)

3 monótona sobre la trayectoria y tal que y n y. Por el corolario 7 se tiene y n y, y al ser (y n ) monótona sobre la trayectoria esto impone que O x = O y sea una órbita cerrada. 10. Corolario. Un compacto invariante minimal en R 2 es siempre una órbita periódica (una curva cerrada o un equilibrio). Demostración: Si x C entonces ω + (x) = C por ser C minimal, luego x O x + ω + (x), y se aplica el corolario anterior. 11. Teorema (Poincaré-Bendixson). Sean Ω R n abierto, x Ω, y f : Ω R 2 un campo de clase C 1. Supongamos que ω ± (x) es compacto y no contiene puntos de equilibrio. Entonces ω ± (x) es una órbita cerrada regular. De hecho, hay dos posibilidades excluyentes entre sí: o bien O x es periódica no constante (y O x = ω ± (x)), o bien Φ(t, x) se acerca en espiral (cuando t ± ) a la órbita periódica no constante ω ± (x). Demostración: Sea y ω + (x), y tomemos z ω + (y) ω + (x). Por hipótesis z no es un punto de equilibrio. Sea S un segmento transversal que contiene a z, y tomemos (usando el lema 6) una sucesión y n z con y n S O y +, monótona sobre la trayectoria. Puesto que S O y + S ω + (x) = {z} por el corolario 7, se tiene que y n = z, luego z O y ω + (y) y, por el corolario 9, O y = ω + (y) es una órbita periódica regular. Finalmente, veamos que de hecho O y = ω + (x). Para ello basta demostrar que lím t + dist(φ(t, x), O y ) = 0. Sea z O y S ω + (x). Por el corolario 8 la sucesión (x n ) de las intersecciones de O x + con S cumple que x n = Φ(t n, x) z monótonamente en S, y Φ(t, x) / S para t (t n, t n+1 ). Veamos que existe α > 0 tal que 0 < t n+1 t n α para todo n N. En efecto, como Φ(t, z) es periódica, existe T > 0 tal que Φ(T, z) = z. Por el lema 1 existe un entorno U de z y una función τ de clase C 1 tal que Φ(τ(u), u) S para todo u U, y τ(z) = 0, y por continuidad podemos suponer que U es suficientemente pequeño para que τ(u) < 1 si u U. Así, para n suficientemente grande se tendrá Φ(T, x n ) U, y por tanto Φ(τ(Φ(T, x n )), Φ(T, x n )) = Φ(T + τ(φ(t, x n )), x n ) S, luego t n+1 t n T + τ(φ(t, x n )) < T + 1 := α. Ahora, dado ε > 0, como Φ es uniformemente continua en el compacto [ α, α] ({x n : n N} {z}), existe δ > 0 tal que si t α y x n u δ entonces Φ(t, x n ) Φ(t, u) ε. Eligiendo n 0 suficientemente grande para que x n z δ si n n 0 tenemos Φ(s, x n ) Φ(s, z) ε si s α y n n 0. Entonces, dado cualquier t t n0 y eligiendo n n 0 tal que t n t t n+1 tenemos dist(φ(t, x), O y ) = dist(φ(t, x), O z ) Φ(t, x) Φ(t t n, z) = Φ(t t n, x n ) Φ(t t n, z) ε. 12. Corolario. Sean Ω R n abierto, x Ω, y f : Ω R 2 un campo de clase C 1. Supongamos que O x ± está contenido en un compacto de Ω y que ω ± (x) no contiene puntos de equilibrio. Entonces ω ± (x) es una órbita cerrada regular. Demostración: Como O x + está contenido en un compacto, sabemos que ω + (x) es no vacío, compacto, invariante y conexo, y por hipótesis no contiene puntos de equilibrio, luego por el teorema anterior es una órbita cerrada regular. 13. Corolario. Sea f : Ω R 2 R 2 ) un campo vectorial de clase C 1. Supongamos que K Ω es un compacto positivamente invariante que no contiene puntos de equilibrio (o que contiene sólo surtidores). Entonces K contiene una órbita periódica no constante. Con un poco más de trabajo se puede demostrar la siguiente versión más general del teorema de Poincaré-Bendixson.

4 14. Teorema (Poincaré-Bendixson). Sean Ω un abierto de R 2, x Ω, y f C 1 (Ω, R 2 ). Supongamos que ω ± (x) es compacto, conexo, y contiene a lo sumo una cantidad finita de puntos de equilibrio. Entonces se cumple una y sólo una de las siguientes alternativas 1. ω ± (x) es un punto de equilibrio; o 2. ω ± (x) es una órbita periódica regular; o 3. ω ± (x) contiene una cantidad finita de puntos de equilibrio x 1,..., x m conectados por órbitas inyectivas O y tales que ω ± (y) {x 1,..., x m }. 15. Teorema (criterio negativo de Bendixson). Sea Ω un abierto simplemente conexo de R 2, sea f C 1 (Ω, R 2 ), y supongamos que divf = f 1 x + f 2 y tiene signo constante y no es idénticamente cero en Ω. Entonces Ω no contiene ninguna órbita periódica. Indicación: aplicar el teorema de Green al campo g = ( f 2, f 1 ). 16. Teorema. Si la región interior a una órbita periódica no constante de f C 1 (Ω, R 2 ) está contenida en Ω entonces dicha región contiene un punto de equilibrio. 17. Supongamos que ω ± (x) es conexo y contiene una órbita periódica regular O y. Probar que ω ± (x) = O y. 18. Probar que si ω + (x) ω (x) contiene un punto regular, entonces O x es periódica no constante. Ciclos límite 19. Definición. Sean f C 1 (Ω, R 2 ), y C un órbita periódica (no constante) de f. Se dice que C es un ciclo límite si C posee un entorno W que no contiene ninguna otra órbita periódica. 20. Proposición. Sea C un ciclo límite de f. Entonces se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: 1. C es estable, en el sentido de que existe un entorno U de C tal que lím t + dist(φ x (t), C) = 0 para todo x U, o 2. C es inestable, es decir, existe U entorno de C tal que lím t dist(φ x (t), C) = 0 para todo x U, o 3. C es semiestable, cuando existe un entorno U de C tal que lím t + dist(φ x (t), C) = 0 para todo x U D 1 y lím t dist(φ x (t), C) = 0 para todo x U D 2, donde D 1, D 2 son las regiones conexas del plano limitadas por la curva de Jordan C. Indicación: usar la aplicación de Poincaré y el teorema de Poincaré-Bendixson. 21. Observación. La definición 19 de ciclo límite no coincide con la dada en algunos textos como el de Hirsh-Smale, en donde se define un ciclo límite C como una órbita periódica no constante tal que C = ω ± (x) para algún x cerca de C pero no en C.

5 22. Sea f C 1 (Ω, R 2 ). Supongamos que f admite una integral primera no constante en ningún abierto de Ω. Probar que entonces f no tiene ningún ciclo límite.

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