BLOQUE III Geometría

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1 LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític

2 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40 m y el mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, cuánto mide de lto el árbol? Se observ que el objeto mide l mitd que l sombr; por tnto, el árbol mide 15 : = 7,5 m P I E N S Y L U L 1 Sbiendo que en el siguiente dibujo = 18 cm, = 4 cm y = 15 cm, hll l longitud del segmento. Qué teorem hs plicdo? b c r s ' ' ' r = 8 : 4 = c = 3 = 6 cm ' P L I L T E O R Í = 0 cm Hemos plicdo el teorem de Thles. Dibuj un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn 4 cm y 3 cm. Dibuj otro triángulo rectángulo en posición de Thles de form que el cteto myor mid 8 cm. uánto mide el otro cteto? 3 c = 3 cm b = 4 cm Dos ángulos de un triángulo miden 45 y 60 y otros dos ángulos de otro triángulo miden 75 y 60. Son semejntes mbos triángulos? El 3 er ángulo del 1 er triángulo mide: 180 ( ) = = 75 Es decir, los ángulos del 1 er triángulo miden: 45, 60 y 75 ' Grupo Editoril ruño, S.L. 18 SOLUIONRIO

3 El 3 er ángulo del º triángulo mide: 180 ( ) = = 45 Es decir, los ángulos del º triángulo miden: 45, 60 y 75 omo los dos triángulos tienen sus ángulos igules, son semejntes. 4 5 Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejntes. Hll cuánto miden y c =,5 cm c = 3 cm b = cm r = b : b r = 3 : = 1,5 = 1,5,5 = 3,75 cm c = 1,5 3 = 4,5 cm En un foto están n y su mdre. Se sbe que n mide en l relidd 1,65 m. En l foto n ' c' b' = 3 cm 6 7 mide 6,6 cm, y su mdre, 6,88 cm. uánto mide su mdre en l relidd? 6,6 6, = 17 cm = 1,7 m Un plo verticl de 1,75 m proyect un sombr de m. Si l sombr de un edificio el mismo dí, en el mismo sitio y l mism hor mide 4 m, cuánto mide de lto el edificio? 4 1,75 = 1 m L superficie de un esfer es de 15 m. Hll l superficie de otr esfer en l que el rdio mide el triple. S = 3 15 = 135 m Grupo Editoril ruño, S.L.. Teorem de Pitágors uáles de ls siguientes terns son pitgórics? ) 3, 4 y 5 b) 6, 7 y 8 c) 6, 8 y 10 d) 5, 1 y 13 ) = 5 b) 6 + 7? 8 c) = 10 d) = 13 Son terns pitgórics ), c) y d) P I E N S Y L U L TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 19

4 8 En un triángulo rectángulo l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos de longitudes 1,5 cm y 6 cm. Hll l longitud de dich ltur y dibuj el triángulo rectángulo. h = b c ò h = b c h = 1,5 6 = 3 cm c = 3 cm P L I L T E O R Í b = 4,5 cm b h = 3 cm c = b + c ò = b + c = 4,5 + 3 = 5,41 cm 9 b' = 1,5 cm c' = 6 cm En un triángulo rectángulo l hipotenus mide 10 m y l proyección del cteto b sobre ell mide 3,6 m. Hll: ) l longitud del cteto b b) l longitud de l proyección del cteto c sobre l hipotenus. c) l longitud del cteto c d) l longitud de l ltur reltiv l hipotenus h e) Dibuj el triángulo rectángulo. 11 En un triángulo rectángulo l hipotenus mide 5,5 cm, y un cteto, 4 cm. Hz el dibujo y hll l longitud del otro cteto. Redonde el resultdo dos decimles. = 5,5 cm c ) b = b ò b = b b = 10 3,6 = 6 m b) c = b c = 10 3,6 = 6,4 m c) c = c ò c = c c = 10 6,4 = 8 m d) h = b c ò h = b c h = 3,6 6,4 = 4,8 m e) Dibujo = b + c ò c = b c = 5,5 4 = 3,77 cm 1 Dibuj l interpretción gráfic del teorem de Pitágors en el cso en que los ldos midn 6, 8 y 10 cm b = 4 cm b = 6 cm b' = 3,6 cm h = 4,8 cm c = 8 cm c' = 6,4 cm = 10 cm En un triángulo rectángulo los ctetos miden 4,5 cm y 3 cm. Hz el dibujo y hll l longitud de l hipotenus. Redonde el resultdo dos decimles = 10 ò = Grupo Editoril ruño, S.L. 0 SOLUIONRIO

5 13 uáles de ls siguientes terns son pitgórics? ), 3 y 4 b) 3, 4 y 5 c) 4, 5 y 6 d) 5, 1 y 13 ) + 3? 4 ò No b) = 5 ò Sí c) 4 + 5? 6 ò No d) = 13 ò Sí 14 En un pirámide cudrngulr l rist de l bse mide 3 cm, y l ltur, 4 cm. lcul el áre lterl de dich pirámide. Redonde el resultdo dos decimles. h = 1,5 + 4 h = 4,7 cm 3 4,7 L = 4 = 5,6 cm 15 lcul l digonl de un ortoedro cuys rists miden 8 m, 4 m y 3 m D 3 m 4 m 4 cm 3 cm h 4 cm h 1,5 cm 8 m plicndo el teorem de Pitágors en el espcio: D = D = 9,43 m 3. Rzones trigonométrics o circulres ' ' P I E N S Y L U L Ddo el ángulo del dibujo: ) plic el teorem de Pitágors y clcul mentlmente los segmentos O y O b)hll ls rzones siguientes y di si hy lgun relción entre ells: O O O Grupo Editoril ruño, S.L. ) O = 5, O = 10 b) =, 4 = 8 = 4 O 5 O 10 5 Ls dos rzones son igules. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 1

6 16 Hll tods ls rzones trigonométrics del ángulo en el siguiente triángulo: P L I L T E O R Í 9 cm 1 cm 15 cm 8 cm 6,1 cm sen = 1/15 = 4/5 ò cosec = 5/4 cos = 9/15 = 3/5 ò sec = 5/3 tg = 1/9 = 4/3 ò cotg = 3/4 17 Dibuj un ángulo tl que sen = 3/4 3 cm 4 cm sen = 6,1/8 = 0,76 cos = 5,1/8 = 0,64 tg = 6,1/5,1 = 1,0 0 Dibuj un triángulo rectángulo con un ángulo gudo de 40 y proim, midiendo en el dibujo, el vlor del sen, cos y tg 5,1 cm 6,3 cm 4 cm 18 Dibuj un ángulo tl que cos = 5/6 40 4,8 cm sen 40 = 4/6,3 = 0,63 cos 40 = 4,8/6,3 = 0,76 tg 40 = 4/4,8 = 0,83 19 lcul de form proimd el vlor del sen, cos y tg en el siguiente dibujo: 6 cm 5 cm 1 lcul, usndo l clculdor, el vlor de ls siguientes rzones trigonométrics. Redonde el resultdo 4 decimles. ) sen 3 b) cos 68 c) tg d) sen ) 0,599 b) 0,3746 c) 13,037 d) 0,764 lcul, usndo l clculdor, l mplitud del ángulo gudo : ) sen = 0,5765 b) cos = 0,3907 Grupo Editoril ruño, S.L. SOLUIONRIO

7 c) tg = 1,8940 d) cos = 0,3786 ) b) 67 7 c) 6 10 d) Elis y su sombr formn un ángulo recto. L sombr mide 1, m y el ángulo con el que se ve l prte superior de su cbez desde el etremo de l sombr mide lcul l ltur de Elis ' 1, m tg = ò = 1, tg = 1,70 m 1, 4. Relciones entre ls rzones trigonométrics Dibuj un triángulo rectángulo isósceles. ) uánto miden sus ángulos gudos? b) lcul el vlor de l tngente de uno de sus ángulos gudos. P I E N S Y L U L 45 b = 4 cm ) Los ángulos miden 90 : = 45 b) tg 45 = 4/4 = 1 45 c = 4 cm 4 Sbiendo que sen = /5, clcul cos 5 P L I L T E O R Í Sbiendo que sec = 17/8, clcul tg Grupo Editoril ruño, S.L. sen + cos = 1 ( ) + cos = cos = 5 tg + 1 = sec 17 tg + 1 = ( ) 8 15 tg = 8 TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 3

8 6 Sbiendo que tg = 3, clcul sen tg + 1 = sec = sec òsec = 10 ò sec = cos = sen 10 tg = ò sen = tg cos = 3 cos 10 7 lcul cos 40 sbiendo que se verific que sen 50 = 0,7660 cos 40 = sen 50 = 0, Sbiendo que sen = 1/4, clcul ls restntes rzones trigonométrics de 1 cosec = = 4 sen sen + cos = ( ) + cos = 1 ò cos = cos = sec = cos sen tg = : cos cotg = = 15 tg Sbiendo que sen 0 = 0,340 y cos 0 = 0,9397, clcul: ) cos 70 b) sen 70 c) tg 0 d) tg 70 ) cos 70 = sen 0 = 0,340 b) sen 70 = cos 0 = 0,9397 sen 0 c) tg 0 = = 0,3639 cos 0 sen 70 d) tg 70 = =,7477 cos Simplific l siguiente epresión: cos + sen tg sen cos + sen tg = cos + sen = cos cos + sen 1 = = sec cos cos Simplific l siguiente epresión: 1+ tg sec 1 + tg sec = sec sec sec Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO

9 Ejercicios y problems 1. Teorem de Thles 3 Sbiendo que = 7,5 cm, = 10 cm y = 1 cm, hll l longitud del segmento. Qué teorem hs plicdo? r s ' b b =,5 cm b c ' ' 35 Un árbol de 1,6 m proyect un sombr de 1, m. En el mismo sitio, el mismo dí y l mism hor, l sombr de un nten de telefoní móvil mide 5 m. uánto mide de lto l nten de telefoní móvil? 1 7,5 10 = 9 cm Hemos plicdo el teorem de Thles. 33 Sbiendo que = 3 m, = 6 m y = 4,5 m, hll l longitud del ldo. ómo están los triángulos y? 1, 5 1,6 = 69,33 cm 36 El volumen de un esfer es de 7,5 cm 3. Hll el volumen de otr esfer en l que el rdio mide el doble. V = 3 7,5 = 60 cm 3 ' 3 m 4,5 m 6 m ' 4,5 3 6 = 9 cm Los triángulos y están en posición de Thles.. Teorem de Pitágors 37 En un triángulo rectángulo l hipotenus mide 7,5 cm, y uno de los segmentos en que l divide l ltur correspondiente mide 6 cm. Dibuj el triángulo rectángulo y hll l longitud de dich ltur. b h b' = 6 cm = 7,5 cm c Grupo Editoril ruño, S.L. 34 Un ángulo de un triángulo mide 53 y los ldos que lo formn miden = 6 cm y b = 9 cm. En otro triángulo semejnte se sbe que un ángulo mide 53 y que uno de los ldos que lo formn mide = 15 cm. uánto mide el otro ldo del ángulo de 53? h = b c b = 6 cm c = b = 7,5 6 = 1,5 cm h = 6 1,5 = 9 h = 3 cm TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 5

10 Ejercicios y problems 38 En un triángulo rectángulo l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos que miden b = 3 cm y c = 18 cm. Hll: ) el cteto b b) el cteto c ) b = b = b + c = = 50 cm b = 50 3 b = 40 cm b) c = c c = c = 30 cm b b' = 3 cm h c c' = 18 cm = 4 cm c b = 3,5 cm = b + c ò c = b c = 4 3,5 = 1,94 cm 41 uáles de ls siguientes terns son pitgórics? ) 5, 7 y 9 b) 6, 8 y 10 c) 7, 9 y 11 d)10, 4 y 6 ) 5 + 7? 9 ò No b) = 10 ò Sí c) 7 + 9? 11 ò No d) = 6 ò Sí 39 En un triángulo rectángulo los ctetos miden 4 cm y 3 cm. Hz el dibujo y hll l longitud de l hipotenus y el áre del triángulo rectángulo. 4 Dibuj un cudrdo de 4 cm de ldo y su digonl. Hll l longitud de l digonl. Redonde el resultdo un deciml y comprueb el resultdo midiendo con un regl. c = 3 cm d 4 cm = b + c ò = b + c = = 5 cm 4 3 Áre = = 6 cm b = 4 cm d = d = 5,7 cm 4 cm 40 En un triángulo rectángulo l hipotenus mide 4 cm, y un cteto, 3,5 cm. Hz el dibujo y hll l longitud del otro cteto. Redonde el resultdo dos decimles. 43 Del siguiente cono se sbe que el rdio de l bse mide 3 cm y l genertriz mide 5 cm. lcul el volumen de dicho cono. Redonde el resultdo dos decimles. Grupo Editoril ruño, S.L. 6 SOLUIONRIO

11 cos = 4/30 = 4/5 ò sec = 5/4 G = 5 cm G = 5 cm H H tg = 18/4 = 3/4 ò cotg = 4/3 R = 3 cm R = 3 cm 46 lcul el vlor del seno, el coseno y l tngente del siguiente ángulo: Se plic el teorem de Pitágors pr hllr l ltur H R + H = G ò H = G R H = 5 3 = 4 cm V = H 1 V = π 3 4 = 37,70 cm 3 44 lcul l digonl de un ortoedro cuys rists miden 7,5 cm, 4,5 cm y 3,6 cm 4,7 cm 4 cm sen = 4/4,7 = 0,85,4 cm cos =,4/4,7 = 0,51 tg = 4/,4 = 1,67 D 3,6 cm 47 Dibuj un ángulo gudo tl que cos = /3 7,5 cm 4,5 cm 3 cm plicndo el teorem de Pitágors en el espcio: D = 7,5 + 4,5 + 3,5 D = 9,4 cm cm 48 Dibuj un ángulo gudo tl que tg = 5/4 3. Rzones trigonométrics o circulres Grupo Editoril ruño, S.L. 45 Hll tods ls rzones trigonométrics del ángulo en el siguiente triángulo: 18 cm 30 cm 4 cm α sen = 18/30 = 3/5 ò cosec = 5/ cm 5 cm lcul l longitud de los ctetos en el siguiente triángulo rectángulo sbiendo que se verific que sen 30 = 0,5 y cos 30 = 0,8660 TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 7

12 Ejercicios y problems y sen 30 = 0 y 0,5 = ò y = 0,5 0 = 10 cm 0 cos 30 = 0 0,8660 = ò = 0, = 17,3 cm 0 50 Dibuj los siguientes ángulos y proim midiendo en el dibujo el vlor del seno, el coseno y l tngente.proim el resultdo dos decimles: ) 0 b) 50 ) cm 4,9 cm sen 0 = 1,7/4,9 = 0,35 cos 0 = 4,6/4,9 = 0,94 tg 0 = 1,7/4,6 = 0,37 b) 4,6 cm y 1,7 cm 5 ) sen b) cos c) tg d) sen ) 0,6746 b) 0,979 c),1948 d) 0,83 Hll, usndo l clculdor, l mplitud del ángulo gudo : ) sen = 0,8530 b) cos = 0,4873 c) tg = 0,73 d) cos = 0,7970 ) = 58 3 b) = c) = d) = Relciones entre ls rzones trigonométrics Sbiendo que sen = 5/13, clcul cos sen + cos = ( ) + cos = 1 ò cos = Sbiendo que cos = 9/15, clcul tg tg + 1 = sec 15 tg + 1 = ( ) 9 4 tg = 3 7,9 cm 6 cm 55 Sbiendo que tg = 3/, clcul sen sen 50 = 6/7,9 = 0,76 cos 50 = 5/7,9 = 0,63 tg 50 = 6/5 = 1, cm Hll, usndo l clculdor, el vlor de ls siguientes rzones trigonométrics. Redonde los resultdos 4 decimles. tg + 1 = sec 3 ( ) + 1 = sec 13 sec = 13 cos = sen tg = cos Grupo Editoril ruño, S.L. 8 SOLUIONRIO

13 sen = tg cos = Sbiendo que cos 7 = 0,3090, clcul sen 18º sen 18 = cos 7 = 0,3090 Sbiendo que cos = 1/5, clcul ls restntes rzones trigonométrics. 1 sec = = 5 cos sen + cos = 1 1 sen + ( ) = sen = cosec = sen 4 4 sen 4 1 tg = : = 4 cos cotg = tg Simplific l siguiente epresión: sen cos cos sen sen cos sen 1 + sen = cos sen 1 sen sen sen 1 = = 1 1 sen Pr mplir 59 Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indic en l siguiente figur: Sbiendo que l bse del triángulo es = 6 cm, y l ltur, H = 9 cm, y que l ltur del rectángulo es h = 4 cm, hll cuánto mide l bse del rectángulo. Los triángulos y son semejntes = 1,33 cm se del rectángulo: (3 1,33) = 3,34 cm 60 Dibuj dos triángulos equiláteros distintos. Rzon si son semejntes. Grupo Editoril ruño, S.L. h = 4 cm ' ' 3 cm H = 9 cm Sí son semejntes, porque los ángulos de uno son igules los ángulos del otro. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 9

14 Ejercicios y problems 61 Los ldos de un triángulo miden = 5 cm, b = 7,5 cm y c = 9 cm. Hll l medid de los ldos, b y c de un triángulo semejnte en el que r = 1,5 = 1,5 = 1,5 5 = 7,5 cm b = 1,5 b b = 1,5 7,5 = 11,5 cm c = 1,5 c c = 1,5 9 = 13,5 cm ) 1 + 1,5 = 3,5 < = 4 ò Obtusángulo. b) 1,5 + =,5 ò Rectángulo. c) +,5 = 10,5 > 3 = 9 ò cutángulo. d),5 + 6 = 6,5 ò Rectángulo. 65 Hll el rdio de l circunferenci circunscrit l siguiente heágono: R 6 64 Un plo de un metro de longitud colocdo verticlmente proyect un sombr de un metro. Si el mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr l sombr de l pirámide Kefrén mide 136 m, clcul mentlmente lo que mide de lto l pirámide de Kefrén. L pirámide de Kefrén mide lo mismo que l sombr, es decir, 136 m 63 El rdio de un circunferenci mide metros, y el rdio de otr circunferenci es el triple. lcul cuánts veces es myor l longitud de l segund circunferenci y el áre del círculo correspondiente. Longitud: L = 3 L L = 3L L longitud es el triple. Áre: = 3 = 9 El áre es nueve veces myor. lsific los siguientes triángulos en cutángulos, rectángulos y obtusángulos: ) = 1 cm, b = 1,5 cm, c = cm b) = 1,5 cm, b = cm, c =,5 cm c) = cm, b =,5 cm, c = 3 cm d) =,5 cm, b = 6 cm, c = 6,5 cm 66 R = 7 m lcul l digonl de un ortoedro cuys dimensiones son 3,5 cm, 1,5 cm y,5 cm Se plic el teorem de Pitágors en el espcio: D = 3,5 + 1,5 +,5 D = 4,56 cm 67 Dibuj un ángulo gudo que cumpl: ) sen = 3/5 b) cos = 5/8 ) 3 cm = 7 m En el heágono coincide l longitud del ldo y del rdio de l circunferenci circunscrit; por tnto, R = 7 m D 3,5 cm 5 cm 1,5 cm,5 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 30 SOLUIONRIO

15 b) 8 cm c tg 35 = = 0,700 3 c = 3 0,700 =,10 cm c sen 35 = = 0,5736,10 = = 3,66 cm 0,5736 = 55 5 cm 70 Hll cos y tg sbiendo que sen = 3/5 68 Dibuj un ángulo gudo que cumpl: ) tg = 5/3 b) sec = 7/4 ) 5 cm sen + cos = 1 3 ( ) + cos = cos = 5 sen 3 tg = cos 4 71 lcul sen y tg sbiendo que se verific que cos = /5 b) 3 cm 7 cm sen + cos = 1 sen + ( ) = sen = 5 sen 1 tg = cos Grupo Editoril ruño, S.L. 69 lcul, c y en el siguiente triángulo rectángulo, sbiendo que tg 35 = 0,700 y sen 35 = 0,5736. proim el resultdo dos decimles. c 4 cm 35 b = 3 cm 7 Si tg = 4, clcul ls restntes rzones trigonométrics. 1 cotg = 4 tg + 1 = sec = sec òsec = sec = 17 ò cos = sen tg = cos TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 31

16 Ejercicios y problems sen = tg cos = cosec = 4 75 lcul redondendo cutro decimles: ) sen 1 50 b) cos 3 30 c) tg Simplific l siguiente epresión: cos 3 + cos sen cos 3 + cos (1 cos ) = = cos 3 + cos cos 3 = = cos on clculdor 74 lcul redondendo cutro decimles: ) cos b) tg c) sen ) 0,3719 b) 0,8434 c) 0, lcul redondendo cutro decimles: ) sec 50 b) cotg c) cosec 43 1 ) 1,5557 b) 3,5656 c) 1,4608 ) 0,9537 b) 0,3741 c) 0,6383 Problems 77 Ddo el siguiente dibujo, clcul l medid de l ltur H del cono grnde. h = 3,5 m R H,5 H ò r h 1,5 3,5 H = 5,4 m r = 1,5 m R =,5 m 78 Los ldos de un triángulo miden = cm, b =,5 cm y c = 3,5 cm. Sbiendo que en otro triángulo semejnte = 5 cm, hll l medid de los ldos b y c Rzón de semejnz: r = 5 r = =,5 b =,5,5 = 6,5 cm c =,5 3,5 = 8,75 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 3 SOLUIONRIO

17 79 Se tiene un rectángulo inscrito en un circunferenci, como se indic en l siguiente figur: Sbiendo que el rdio de l circunferenci es R = 1,5 cm y que l ltur del rectángulo es h =,5 cm, hll cuánto mide l bse del rectángulo. 0,5,75 El triángulo dibujdo es rectángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en un circunferenci y vle l mitd del centrl correspondiente: 180 / = 90 plicndo el teorem de l ltur: =,75 0,5 = 0,83 cm se del rectángulo: = 0,83 = 1,66 cm ) = b + c = = 50 cm b) h = b c ò h = b c h = 18 3 = 4 cm c) b = b ò b = b b = = 30 cm d) c = c ò c = c c = 50 3 = 40 cm e) Áre = b c 1 Áre = = 600 cm 81 8 Un rectángulo mide 400 m de perímetro y 500 m de áre. Hll el áre de otro rectángulo semejnte que mide m de perímetro. P r = P r = =,5 400 = r =,5 500 = m Hll l ltur de un triángulo equilátero de 7 m de ldo. Redonde el resultdo dos decimles. Grupo Editoril ruño, S.L. 80 En un triángulo rectángulo l ltur reltiv l hipotenus divide ést en dos segmentos que miden b = 18 cm y c = 3 cm. Hll: ) l longitud de l hipotenus b) l longitud de l ltur reltiv l hipotenus. c) el cteto b d) el cteto c e) el áre de dicho triángulo rectángulo. c c' = 3 cm h b b' = 18 cm 7 m h 3,5 m h + 3,5 = 7 h = 6,06 m 83 Hll el áre del siguiente romboide: 5 cm cm 6 cm TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 33

18 Ejercicios y problems + = 5 = 4,58 cm Áre: 8 4,58 = 36,64 cm 5 cm D 5 cm 84 Hll el áre del siguiente trpecio rectángulo: 3 cm 6,4 cm D = D = 7,07 cm R = D/ = 3,54 cm 7 cm + 4 = 6,4 = 5,00 cm Áre = 5 = 5 cm 87 Un nten de rdio proyect un sombr de 57 m. El mismo dí, l mism hor y en el mismo lugr, Soni, que mide 1,75 m, proyect un sombr de,0 m. lcul l ltur de l nten de rdio.,0 57 ò = 45,34 m 1,75 85 Hll el áre de un heágono regulr de 15 m de ldo. Redonde el resultdo dos decimles. 88 Hll el volumen de un cono recto en el que el rdio de l bse mide 5 m y l genertriz mide 9 m. Redonde el resultdo dos decimles. 15 m + 7,5 = 15 = 1,99 = 13,00 m 6 15 Áre = 13 = 585 cm 7,5 m 15 m H G = 9 m R = 5 m 86 Hll el rdio de l circunferenci circunscrit l siguiente cudrdo: R = 5 cm H + 5 = 9 H = 7,48 m 1 V = H 3 1 V = π 5 7,48 = 195,83 m lcul l digonl de un hbitción cuys dimensiones son 6 m Ò 4 m Ò 3 m Grupo Editoril ruño, S.L. 34 SOLUIONRIO

19 3 m Se plic el teorem de Pitágors: H + 3 = 7,5 H = 6,87 cm 90 D 6 m 4 m Se plic el teorem de Pitágors en el espcio: D = ò D = 7,81 m Dibuj un pirámide regulr cudrngulr en l que l rist de l bse mide 5 cm y l potem mide 6,5 cm. lcul su volumen. 9 lcul l digonl de un prism recto cudrngulr cuy bse tiene 8 cm de rist y 0 cm de ltur. D 0 cm Se plic el teorem de Pitágors en el espcio: D = D =,98 cm 8 cm 8 cm H 6,5 cm 93 Se tiene un cilindro inscrito en un cono, como se indic en l siguiente figur: Grupo Editoril ruño, S.L. Se plic el teorem de Pitágors: H +,5 = 6,5 H = 6 cm 1 V = H 3 1 V = 5 6 = 50 cm 3 91 Dibuj un cono recto en el que el rdio de l bse mide 3 cm y l genertriz mide 7,5 cm. Hll su ltur. 5 cm H 3 cm H 3 cm,5 cm G = 7,5 cm Sbiendo que l ltur del cono es H = 4 cm, el rdio del cono es R = 10 cm, y que el rdio del cilindro mide r = 4 cm, hll cuánto mide l ltur h del cilindro. Hciendo un sección se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles. Los triángulos y son semejntes. 6 h ò ò = 14,4 cm 10 4 H h r H = 4 cm R r = 4 cm ' h 6 cm ' 10 cm TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 35

20 Ejercicios y problems 94 Se tiene un cono inscrito en un esfer, como se indic en l siguiente figur: 96 lcul el áre del siguiente tronco de pirámide: 4 m 1 m r 78 m H = 4 m h 1 m 18 m 39 m H = 4 m h 18 m Sbiendo que el rdio de l esfer es R = 9 cm y que l ltur del cono es h = 14 cm, hll cuánto mide el rdio de l bse del cono. Hciendo un sección se tiene un triángulo isósceles inscrito en un circunferenci. Se plic el teorem de Pitágors: h = h = 30 m 1 = 78 = m = 4 = m L = 4 30 = 7 00 m T = = m r 14 cm H 4 cm El triángulo dibujdo es rectángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en un circunferenci y vle l mitd del centrl correspondiente: 180 / = 90 plicndo el teorem de l ltur: r = 14 4 = 56 ò r = 7,48 cm r 97 Un árbol form con su sombr un ángulo recto. Si l sombr mide 8,5 m, y el ángulo con el que se ve l prte superior del árbol, desde el etremo de l sombr, mide 50 30, clcul l ltur del árbol. tg = 8,5 95 Hll el rdio de l bse de un cono recto en el que l ltur mide 6 m, y l genertriz, 6,5 m 50 30' 8,5 m = 8,5 tg = = 10,31 m 98 Desde un punto en el suelo situdo 0 m del pie de l fchd de un edificio se ve el tejdo del mismo con un ángulo de 50. lcul l ltur del edificio. H = 6 m G = 6,5 m R Se plic el teorem de Pitágors: R + 6 = 6,5 R =,5 m R tg 50 = 0 = 0 tg 50 = 3,84 m 50 0 m Grupo Editoril ruño, S.L. 36 SOLUIONRIO

21 99 lcul en un triángulo rectángulo el ldo b, siendo = 5,93 cm y = 39 b 5,93 cm b sen 39 = 5,93 b = 5,93 sen 39 = 3,73 cm ,44 cos 56 = 3,44 = = 6,15 cm cos 56 3,44 cm 100 lcul en un triángulo rectángulo el ldo, siendo b =, cm y = 1 101, cm, sen 1 =, = = 6,14 cm sen 1 lcul en un triángulo rectángulo el ldo c, siendo = 6,56 cm y = lcul en un triángulo rectángulo el ldo c, siendo b =,38 cm y = 5 5,38 tg 5 = c,38 c = = 5,10 cm tg 5 c b =,38 cm lcul en un triángulo rectángulo el ángulo, siendo = 3,65 cm y b =, cm Grupo Editoril ruño, S.L. c cos 33 = 6,56 c = 6,56 cos 33 = 5,50 cm ,56 cm c lcul en un triángulo rectángulo el ldo, siendo c = 3,44 cm y = 56, sen = 3,65 = b =, cm = 3,65 cm 105 lcul en un triángulo rectángulo el ángulo, siendo = 6,59 cm y b = 5,4 cm TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 37

22 Ejercicios y problems 1 cos (1 + cos )(1 cos ) = 1 + cos 1 cos 1 cos = 6,59 cm 5,4 cos = 6,59 b = 5,4 cm Pr profundizr 109 Se tiene un triángulo isósceles inscrito en un circunferenci, como se indic en l siguiente figur: = lcul en un triángulo rectángulo el ángulo, siendo b = 3,68 cm y c = 3,31 cm b = 3,68 cm Sbiendo que el diámetro de l circunferenci es D = 7 cm y que l ltur del triángulo es h = 6 cm, hll cuánto mide l bse del triángulo isósceles. c = 3,31 cm 6 cm 3,68 tg = 3,31 = cm 107 Desde un brco se mide con un rdr l distnci l cim de un montñ, que es de 500 m. El ángulo de elevción con el que se ve l cim desde el brco es de 8. lcul l ltur de l montñ. 500 m El triángulo dibujdo es rectángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en un circunferenci y vle l mitd del centrl correspondiente: 180 / = 90 plicndo el teorem de l ltur: = 6 1 =,45 cm se del triángulo: =,45 = 4,90 cm 8 sen 8 = 500 = 500 sen 8 = 1173,68 m 108 Simplific l siguiente epresión: sen 1 cos 110 Hll el rdio de l circunferenci circunscrit l siguiente triángulo equilátero. R = 8 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 38 SOLUIONRIO

23 R h 4 cm = 8 cm Hciendo un sección se tiene un rectángulo inscrito en un circunferenci. r 1,5 H r h + 4 = 8 h = 6,93 cm El rdio es los /3 de l ltur por un propiedd de ls medins de un triángulo. R = 6,93 = 4,6 cm Se tiene un triángulo rectángulo cuyos ldos miden = 10 cm, b = 8 cm y c = 6 cm. En l interpretción geométric del teorem de Pitágors, cmbi el cudrdo por un semicírculo. lcul el áre de los tres semicírculos y comprueb si se sigue verificndo l interpretción geométric del teorem de Pitágors. El triángulo dibujdo es rectángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en un circunferenci y vle l mitd del centrl correspondiente: 180 / = 90 plicndo el teorem de l ltur: r = 6,5 1,5 = 9,75 r = 3,1 cm 113 lcul l ltur de un tetredro de rist 6 cm 6,5 = 10 cm c = 6 cm 6 cm b = 8 cm H Grupo Editoril ruño, S.L. Áre del semicírculo de rdio = 10 cm 1 = π 10 / = 157,08 cm Áre del semicírculo de rdio b = 8 cm = π 8 / = 100,53 cm Áre del semicírculo de rdio c = 6 cm 3 = π 6 / = 56,55 cm + 3 = 100, ,55 = 157,08 cm Vemos que se sigue verificndo l interpretción geométric del teorem de Pitágors. 11 Se tiene un cilindro inscrito en un esfer. Sbiendo que el rdio de l esfer es R = 4 cm y l ltur del cilindro es h = 5 cm, hll cuánto mide el rdio de l bse del cilindro. En primer lugr tenemos que hllr l ltur del triángulo equilátero de l bse, pr poder hllr posteriormente 6 cm 6 cm h 3 cm 3 cm Se plic el teorem de Pitágors: h + 3 = 6 h = 5,0 cm Por l propiedd de ls medins de un triángulo, ésts se cortn en un punto que está /3 del vértice. Se tiene: TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 39

24 Ejercicios y problems = h 3 = 5,0 = 3,47 cm 3 Se obtiene otro triángulo rectángulo formdo por, H y un rist: H 6 cm Los triángulos y son semejntes porque tienen los ángulos igules; por tnto, los ldos son proporcionles: 6 r 8 3 r =,5 m 114 = 3,47 cm Se plic el teorem de Pitágors: H + 3,47 = 6 H = 4,89 cm El rdio de l bse de un cono mide 3 cm y l ltur mide 8 m. Se cort por un plno prlelo l bse m de l mism. Qué rdio tendrá l circunferenci que hemos obtenido en el corte? 115 Eiste lgún ángulo tl que sen = 4/5 y cos = 3/4? Pr que se posible se debe cumplir l propiedd fundmentl sen + cos = ( ) + ( ) =? No se cumple. H h H = 8 m h = 6 m r ' r ' R = 3 m Grupo Editoril ruño, S.L. R 40 SOLUIONRIO

25 plic tus competencis álculo de lturs 116 Desde un punto en el suelo situdo 30 metros del pie de un torre se trz l visul l cúspide de l torre con un ángulo de 5. uál es l ltur de l torre? tg = = 1,33 1,5 = ,5 m m tg 5 = 30 = 30 tg 5 = 38,40 m 30 m Un trmo de crreter slv en 100 m, medidos sobre l crreter, un desnivel de 8 m. uál es el ángulo de inclinción de l crreter? sen = 8/100 = 0,08 = m 8 m álculo de inclinciones 117 uál es l inclinción de los ryos del sol si un mástil de m proyect un sombr sobre el suelo de 1,5 m? 1,5 m m 119 Un crreter sube 10 m en 10 m medidos en horizontl. uál es el ángulo de inclinción? tg = 10/10 = 0,08 = m 10 m Grupo Editoril ruño, S.L. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 41

26 omprueb lo que sbes 1 Define ls rzones sen, cos y tg en un triángulo rectángulo y pon un ejemplo. 5 cm Hipotenus h y α teto contiguo 13 cm 1 cm teto opuesto ) El seno del ángulo es l rzón entre el cteto opuesto l ángulo y l hipotenus. cteto opuesto y sen =, sen = hipotenus h b) El coseno del ángulo es l rzón entre el cteto contiguo l ángulo y l hipotenus. cteto contiguo cos =, cos = hipotenus h c) L tngente del ángulo es l rzón entre el cteto opuesto y el cteto contiguo. cteto opuesto y tg =, tg = cteto contiguo Ejemplo lcul tods ls rzones trigonométrics del ángulo en el triángulo rectángulo de l figur del mrgen. sen = 1/13 cos = 5/13 tg = 1/5 Dibuj un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn 4,5 cm y 6 cm. Dibuj otro triángulo rectángulo menor en posición de Thles tl que su cteto menor mid 3 cm. lcul l longitud del otro cteto. 6 4,5 ò = 4 cm 3 3 cm 4,5 cm 6 cm 0 1,75 ò =,86 cm m 0 m 1,75 m 3 Un edificio proyect un sombr de 0 m. El mismo dí, y l mism hor, un plo de m proyect un sombr de 1,75 m en el mismo lugr. lcul l ltur del edificio. 4 lcul b, c, c y h en el triángulo de l figur: b h 3,6 cm 10 cm c c' Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO

27 b = b ò b = b b = 10 3,6 = 6 cm c = b c = 10 3,6 = 6,4 cm c = c ò c = c c = 10 6,4 = 8 cm h = b c ò h = b c h = 3,6 6,4 = 4,8 cm 7 lcul el volumen de un cono en el que el rdio de l bse mide 5 cm y l genertriz mide 13 cm H G = 13 cm 5 Dibuj un ángulo gudo en un triángulo rectángulo tl que cumpl que sen = 3/4. uántos triángulos puedes dibujr con es condición? 3 cm 4 cm R = 5 cm Se plic el teorem de Pitágors: 5 + H = 13 H = 13 5 = 1 cm 1 V = π 5 1 = 314,16 cm 3 3 Se pueden dibujr infinitos triángulos, y que el seno depende del ángulo y no depende del tmño del triángulo. α 8 on qué ángulo de inclinción se verá el tejdo de un edificio, que tiene 30 m de ltur, desde un distnci de 36 m de l fchd? 6 Sbiendo que cos = 0,4, clcul sen y tg 30 m sen + cos = 1 sen + 0,4 = 1 sen = 0,9 sen 0,9 tg = =,3 cos 0,4 30 tg = = 0, = m Grupo Editoril ruño, S.L. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 43

28 Linu/Windows GeoGebr Pso pso 10 omprueb el teorem de Thles. Resuelto en el libro del lumndo. 11 Dibuj un ángulo, mide su mplitud y clcul e interpret el vlor del seno. Resuelto en el libro del lumndo. 1 Internet. bre: y elige Mtemátics, curso y tem. Grupo Editoril ruño, S.L. 44 SOLUIONRIO

29 Windows bri Prctic 13 omprueb el teorem de Pitágors. 15 Dibuj un ángulo, mide su mplitud y clcul e interpret el vlor de l tngente. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. 14 Dibuj un ángulo, mide su mplitud y clcul e interpret el vlor del coseno. Resuelto en el libro del lumndo. Grupo Editoril ruño, S.L. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 45

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