ACTIVIDADES INICIALES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ACTIVIDADES INICIALES"

Transcripción

1 Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f) a) Raconal b) Natural c) Entero d) Irraconal (real) e) Entero f) Irraconal (real) 7.II. Calcula el módulo y el argumento de los sguentes vectores dados en coordenadas. a) u (, ) b) v (, ) c) w (, ) a) u () 5; arg u arc tg 6 b) v () ) ( ; arg v arc tg 5 c) w () 5; arg w arc tg 6 7.III. Calcula las coordenadas de un vector de módulo 5 y de argumento radanes. v 5 cos, sen 5, 5 EJERCICIOS PROPUESTOS 7.. Halla el conjugado, el opuesto y el módulo de cada uno de los sguentes números complejos. a) b) c) 5 d) z z z a) ) ( 0 b) () ) ( 6 c) d) 7.. Representa en el plano complejo el conjunto A = {z C: z }. O X

2 7.. Dados los números complejos z (5 7) y z ( ), halla: a) z z c) z z z e) z 5 z b) z z d) z f) z z a) z z (5 7) ( ) 5 9 b) z z (5 7) ( ) 5 5 c) z z z [5 4 (0 7)] (5 7) 4 40 (70 48) d) z z 4 7 e) z 5 z (5 7) 5(5 7) 5 49 f) z z (5 7) ( ) 5 4 (0 7) 7.4. Calcula m y n para que sea certa la gualdad: (m ) (5 n) 6 (m ) (5 n) m 5 ( n) 6 m 5 m 7 n 6 n 8 m 7 n Efectúa las sguentes operacones con números complejos: a) 4 5 c) 5 e) b) 7 7 d) ( ) 5 f) ( ) a) 4 5 (4 5)( ) 5 6 ( )( ) 5 b) 7 7 c) d) ( ) () 0 () 5 () 4 () e) f) ( ) ( )

3 7.6. Escrbe de todas las formas posbles los sguentes números complejos. a) b) 4 5 c) (cos 0 sen 0) d) Soluconaro a) 90 (cos 90 sen 90) b) (cos 5 sen 5 ) c) (cos 0 sen 0) 0 d) z ; z ; arg z 5 z 5 cos 5 sen Dados los números complejos z, z y z a) Pasa a forma trgonométrca y polar cada uno de los números complejos anterores. b) Calcula z z z z. Expresa en forma trgonométrca y polar el número complejo z. Calculamos el módulo y el argumento de cada uno de los números dados. z () 6 z arg(z ) arc tg 50 arg(z ) 70 z arg(z ) arc tg 5 a) z (cos 50 sen 50) z 70 cos 70 sen 70 z 5 (cos 5 sen 5) b) z z z z ( ) () ( ) ( ) En forma polar: z z z z (cos 85 sen 85) Se comprueba que z ( ) ( ) 6 y arg (z) arc tg Realza las sguentes operacones. a) c) 6 0 : 0 e) ( ) 4 b) 4 5 d) 4 4 :5 f) a) b) c) 6 0 : d) 4 : e) ( ) 4 (6 5 ) f)

4 7.9. Halla el valor de para que el cocente 60 : 4 sea: a) Un número real postvo. b) Un número real negatvo. c) Un número real magnaro puro postvo. a) b) c) Calcula y representa las raíces sextas de k 6 060k, para k 0,,,, 4, O 0 0 X Las raíces son 0, 90, 50, 0, 70, Halla las raíces cúbcas del complejo. Sea z ; z () 4; arg z arc tg 50 Por tanto, z Calcula y representa las sguentes raíces. a) b) 5 a) (85) = 5+ 60k O 45 X b) 5 = k O 4 70 X 7.. Resuelve la ecuacón: z z 4z 8 0. S tene raíces enteras, serán dvsoras del térmno ndependente. Por tanto, probaremos para ±, ±, ±4, ±8. z es una raíz, ya que S dvdmos la ecuacón ncal por el bnomo z, obtenemos: z z 4z 8 (z )(z 4) 0. Luego las raíces son: z, z 4 y z Halla todas las raíces reales y complejas de la ecuacón z z 4 6 z k 4 0 z 90 z 80 z 70 z 4

5 Soluconaro 7.5. Dada la ecuacón z 6 0, se puede resolver en el conjunto de los números reales? Halla todas las solucones reales y complejas. No se puede resolver en el conjunto R. z 6 ; la undad negatva es un complejo que tene módulo y argumento 80. Por tanto: z k 6 0 (cos 0 sen 0) z 0 (cos 0 sen 0) z 4 90 (cos 90 sen 90) z 70 (cos 70 sen 70) z 5 50 (cos 50 sen 50) z 0 (cos 0 sen 0) z 6 EJERCICIOS Números complejos en forma bnómca 7.6. Representa los afjos de los sguentes números complejos: a) 5 7 d) b) 4 e) c) f) 7 ( _ + 4) ( ) (7 + ) O X ( ) ( _ ) (5 _ 7) 7.7. Escrbe en forma bnómca los números complejos cuyos afjos son los puntos A, B, C, D, E y F. A A B C D E F 5 C B O D F X E 7.8. Escrbe los complejos opuestos de los sguentes números complejos. a) 7 c) e) 5 b) 5 4 d) 7 f) a) 7 c) e) 5 b) 5 4 d) 7 f) 7.9. Halla los conjugados de los sguentes complejos. a) c) e) 5 b) 7 5 d) 5 f) a) c) e) 5 b) 7 5 d) 5 f)

6 7.0. Dado el número complejo z : a) Calcula el módulo de los sguentes complejos: z, z, z, z, z, z, z, z. b) Representa sobre el plano los afjos de los complejos del apartado a. a) En todos los casos, el módulo es el msmo que z. b) z = _ z _ z = _ z z = z O X _ z = z 7.. Calcula las sguentes sumas. a) ( ) ( 6) c) e) ( 5 ) b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) 7 (0 ) a) ( ) ( 6) d) ( ) ( 5) ( ) b) (6 4) ( ) e) ( 5) 6 c) f) 7 (0 ) 7.. Halla las sguentes dferencas. a) ( ) ( 6) c) 7 e) ( ) 7 5 b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) ( ) a) ( ) ( 6) 4 9 d) ( ) ( 5) ( ) 7 b) (6 4) ( ) 7 6 e) ( ) c) f) ( ) Realza los sguentes productos. a) ( ) ( 6) c) 7 e) ( ) 7 5 b) (6 4) ( ) d) ( ) ( 5) f) ( ) a) ( ) ( 6) 4 8 d) ( ) ( 5) 0 ( 5) b) (6 4) ( ) 6 e) ( ) c) f) ( ) 6 9

7 Soluconaro 7.4. Calcula el nverso de los sguentes complejos. a) 5 c) 4 e) b) 7 d) 7 f) 5 5 a) 5 ( 5)( 5) b) 7 (7 )(7 ) (4 ) c) 4 5 (4 )(4 ) 0 d) e) 8 f) ( )( ) Calcula los sguentes cocentes. a) ( ) : ( 6) c) : 7 e) ( ) : 7 5 b) (6 4) : ( ) d) ( ) : ( 5) f) : ( ) ( )( 6) a) 6 ( 6)( 6) (6 4)( ) b) 4 8 ( )( ) 5 5 c) : 7 9 d) ( ) ( 5) ( 5)( 5) ( ) e) ( ) 6 9 f) ( )( ) 7.6. Halla las sguentes potencas de. a) 7 c) 59 b) 4 d) a) c) b) d) 4 5

8 7.7. Calcula las potencas de exponente, y 4 de los sguentes números complejos. a) b) c) d) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) (5 ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) (5 ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) () () 4 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 4 ( 4) Realza las sguentes operacones con complejos. a) ( ) : (4 ) b) c) ( 5 ) d) 5 7 a) ( 4 ) (4 ) (4 )( 4 ) b) c) ( 5 ) ( ) d) ( ) Calcula: a) () 6 b) 46 c) () 5 d) e) ( ) 4 f) ( ) a) () b) c) () d) 4 8 e) ( ) 4 f) ( ) 4

9 Soluconaro 7.0. Representa en el plano complejo los conjuntos de números que cumplen las sguentes condcones. a) z c) Parte real de z 5 e) z z b) z z 9 d) Parte magnara de z f) z z a) z Sea z x y; z x y x y 9 Es una crcunferenca de centro el orgen y rado. b) z z 9 (x y) (x y) 9x y 9 Se trata del msmo lugar geométrco que el del apartado anteror. O X c) x 5 Es una recta paralela al eje y. d) y Es una recta paralela al eje x. c) d) O X e) z x y x y x y x 0; x 0. Es el eje y. z x y f) z z x y x y x y x y. Es la bsectrz de los cuadrantes x y prmero y tercero. e) O f) X Números complejos en forma polar 7.. Calcula el módulo y el argumento de los sguentes números complejos representándolos prevamente. a) c) e) b) d) f) a) z ; z ; arg z 5 b) z ; z ; arg z 45 c) z ; z ; arg z 90 d) z ; z ; arg z 70 e) z ; z ; arg z 5 f) z ; z ; arg z 5 _ + + O X

10 7.. Halla el módulo y el argumento de los sguentes números complejos. a) b) 5 c) 7 d) e) f) a) z ; z ; arg z 80 b) z 5; z 5; arg z 90 c) z 7 ; z 7; arg z 70 d) z ; z 0 ; arg z arc tg 0 e) z ; z 7; arg z arc tg arc tg , f) z ; z ; arg z arc tg Calcula las sguentes potencas. a) ( ) 5 b) ( ) c) ( ) 0 d) ( ) 6 a) ( ) 5 (45) 5 (4) 5 45 (4) 5 4(cos 5 sen 5) b) ( ) c) ( ) 0 (45) 0 () º 04 d) ( ) 6 (4 60 ) 6 (4 6 ) Calcula las sguentes raíces. a) b) 4 c) 6 d) 7 e) 6 79 f) 4 6(co s 80en s0) 8 60 a) 80 d) e) b) / / /4 8 5/ c) 6 6 ±6 f) 4 6(cos 80 n se)

11 Soluconaro 7.5. Halla la potenca ( ) 0. ( ) 0 (5) 0 () (cos 4050 sen 4050) 5 (cos 90 sen 90) 5 (0 ) Sea z 0 0. Calcula z 5 y 4 z. z arc tg 0 arc tg (); z 5 (0 00 ) (cos 500 sen 500) z = Halla la potenca décma del número complejo z, expresando prevamente el complejo en forma polar. z ; z ; arg z arc tg 0 z ( 0 ) z 7.8. a) Escrbe en forma bnómca el número complejo cuyo afjo es el punto A. A O X b) Multplca el complejo obtendo por el complejo 90. c) Multplca el complejo obtendo en el apartado b por el número complejo 70. Qué obtenes? a) z A b) Como 90, se tene: z a 90 ( ) c) ( ) () z A Se obtene el número complejo ncal, ya que el prmer producto equvale a un gro de centro el orgen y ángulo de 90, y el segundo producto equvale a un gro de centro el orgen y ángulo de 70. Por tanto, al componer los dos movmentos se obtene un gro de centro el orgen y ampltud de 60, es decr, la dentdad.

12 7.9. Sea z 8 8. Calcula 5 z y z 4. z ; 8 arc tg arc tg z 4 (6 0 ) (cos 840 sen 840) Halla las raíces cuartas de 5. 5 () ( ) ( 45 )( ) k Halla las raíces cúbcas de los sguentes números complejos. a) 7 7 b) 4 4 c) d) 5 5 a) n n { 0, 0, 50 } b) n 6060 n { 0; 40 ; 60 } c) n { 5; 5; 5} d) n n 55} { ; ; Un octógono regular nscrto en la crcunferenca de rado y centro el orgen tene uno de sus vértces en el afjo del número complejo 45. Cuáles son los números complejos cuyos afjos ocupan los sete vértces restantes? ( 45 ) 8 = = 8 60 = 8. Los números serán las raíces octavas de 8. Dado que conocemos una de ellas, 45, para obtener las demás solo hay que r aplcando un gro centrado en el orgen de ángulo Los números restantes son 90, 5, 80, 5, 70, 5 y 60.

13 Soluconaro 7.4. Escrbe en forma polar los números complejos cuyos afjos son los vértces del trángulo equlátero nscrto en la crcunferenca de centro el orgen O y rado de la fgura. z El prmer número es 5. Los otros dos se obtenen medante gros de centro O y ampltud Por tanto, serán 5 y 55. O z 5 X z Los afjos de los números complejos z, z y z son los vértces de un trángulo equlátero cuyo ncentro es el orgen de coordenadas. Sabendo que z, calcula z y z. z O z = + X z z 0 ( ) (cos 0 sen 0) z z 0 (cos 0 sen 0) z Cada raíz se obtene a partr de la anteror sn más que multplcar por el número complejo de módulo y argumento 0, que equvale a un gro de 0. En forma polar, z 45, z 65, z Se consdera el complejo ; se gra 45º alrededor del orgen de coordenadas en sentdo contraro a las agujas del reloj. Halla el complejo obtendo después del gro ; (cos 05 sen 05) ( 6) (6 ) Resolucón de ecuacones Encuentra las ecuacones de segundo grado cuyas raíces son las sguentes. a), b), c), d) 45, 5 a) (x ) (x ) 0; x 0 c) (x ) (x ) 0; x 6x 0 b) (x ) (x ) 0; x x 0 d) 45 ; 5, como en b Para cada uno de los sguentes números complejos, encuentra una ecuacón cuadrátca con coefcentes reales de la que sea solucón: a) 5 b) c) d) En todos los casos, la otra solucón es el conjugado del número dado. a) (x 5)(x 5) 0 x 5 0 b) (x )(x ) 0 x 4x 5 0 c) (x )(x ) 0 x x 0 0 d) x x 0 6x 6x 0

14 7.48. Resuelve las sguentes ecuacones de segundo grado. a) x 6 0 c) x 6x 5 0 b) x 4x 5 0 d) 6x 6x 0 x 4 a) x 6 0 c) x 6x 5 0 x 4 x 7 b) x 4x 5 0 d) 6x 6x 0 x 7 x 4 x 4 x 4 x Resuelve las sguentes ecuacones de tercer grado. a) x 8 c) x 8x x 0 0 b) x d) x 4x x 0 0 Usando la regla de Ruffn se halla la raíz real, y se resuelve el polnomo de segundo grado restante. x a) x 8 x x b) x x 70 x c) x 8x x 0 0 x x 4 x d) x 4x x 0 0 x x 90 cos 90 sen 90 0 cos 0 sen 0 0 cos 0 sen Resuelve las sguentes ecuacones de cuarto grado. a) x 4 c) x 4 x 6x x 5 0 b) x 4 6 d) x 4 4x 4x 4x 5 0 a) x 4 x Raíces: 4, 4 b) x 4 6; x c) x 4 x 6x x k 4 60 k 4, 4, 4 x ; x ; x ; x Dado que no tene raíces reales, se puede dar la ndcacón de probar con x. x x x x d) x 4 4x 4x 4x 5 0; x ; x ; x ; x 7.5. La ecuacón x 49x 88x 7 0 tene exactamente tres solucones. Pueden ser las tres magnaras? No, ya que s z es una solucón, el conjugado de z tambén lo es. El número de raíces complejas debe ser par.

15 Soluconaro 7.5. Halla todas las solucones reales e magnaras de estas ecuacones. a) z 8 0 c) z 0 e) z 6 0 b) z z 0 d) z 6 8z 7 0 f) z a) z 8 0; z z 0 ; z 45 ; z 90 ; z 4 5 ; z 5 80 ; z 6 5 ; z 7 70 ; z 8 5 b) z z 0; z ; z c) z 0; z 80 z 60 ; z 80 ; z 00 d) z 6 8z 7 0; z w; w 8w 7 0 w z 7; z 7 z 0 ; z 0 w z ; z z 4 0 ; z 5 0 ; z 6 40 ; z 40 e) z 6 0; z 6 ; z 6 z 6 ; 90 {z 6 5; z 6 75; z 6 5; z ; z ; z 6 6 f) z ; z 4 5 5; z z {z ; z ; z ; z Comprueba que y son solucones de la ecuacón x 4 4x 7x 8x 0 0 y encuentra las otras solucones. () 4 4() 7() ( ) 4 4( ) 7( ) 8( ) 0 (7 4) (8 44) ( 8) (6 8) 0 0 Las otras dos solucones son los complejos conjugados de y, es decr, y Resuelve la sguente ecuacón. x ( )x 0 ( ) 4 ( x ( )x 0 x ) 4 x ( )x 0 x

16 PROBLEMAS Halla x para que el cocente sea un número complejo cuyo afjo se encuentra en la bsectrz del prmero x y tercer cuadrante. ( ) ( x ) x x x ( x ) ( x ) x x. Los afjos que se encuentran en la bsectrz del prmero y tercer cuadrantes tenen sus coordenadas guales; por tanto, x x x x x x x x Calcula x de manera que sea: a) Igual a. b) Un número real. c) Un número magnaro puro. x a) x ( ) ( ) x x ( x ) ( ) b) x x. S tene que ser un número real, x 0 x ( ) ( ) c) S tene que ser un número magnaro puro, x 0 x a Calcula el cocente y determna el valor de a para que el módulo del msmo sea. a ( a ) ( ) a a ; ( ) ( ) 5 5 a 5 a 5 () a ± El producto de dos números complejos es 4, y el cubo de uno de ellos, dvddo por el otro,. Halla los módulos y los argumentos de los complejos dados. 4 rs 4 r s n (r ) s 4 r s m rs 4 r(4r ) 4 r s 4 4r s n k m 60k 0 90 k k

17 Soluconaro Halla dos números cuyo cocente sea magnaro puro y cuya suma sea 5, sabendo que el módulo del dvdendo es doble del módulo del dvsor. Sean los números complejos z a b y z c d; del enuncado se deduce: Re a b c d ac bd 0 c d c 0 ac bd 0 d a c 5 (a b) (c d) 5 b d 0 z z a b c d a b 4c 4d Se opera para dejar una ecuacón con una sola ncógnta. a 5 c b d ac bd 0 c(5 c) b 0 b c(5 c) a b 4c 4d (5 c) c(5 c) 4c 4c(5 c) 5 5c c a 5 4 b 4 d b Solucón: (4 y ) o (4 y ) Dados los números complejos m y n, halla los valores que deben tener m y n para que el producto de los complejos dados sea gual a mn 8 mn ( m)( m) 8 4 m n 4 n m 4 m m 4 m 4m 4 0 m, n m, n 7.6. El producto de dos números complejos es 8. Halla sus módulos y argumentos, sabendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. r r r r n (r ) r r r r ; r k; 0 40 k, k 0,, Se tenen las parejas de complejos: 60 y 4 0 ; 80 y 4 0 ; 00 y Un cuadrado tene su centro en el orgen de coordenadas y un vértce en el punto (4, 0). Determna los complejos cuyos afjos sean los otros tres vértces. Los otros afjos son (0, 4), (4, 0) y (0, 4). Por tanto, los complejos son 4, 4, 4 y 4.

18 7.6. Con la nformacón de la fgura, calcula las coordenadas de todos los vértces del hexágono regular con centro el orgen que aparecen en ella. A B S el vértce A corresponde al complejo z A 4, para obtener los demás se realzan gros de centro el orgen y ángulo F O C X r z A 5; arg z arc tg 4 65 z B 5 60, z C 5 0, z D 5 80, z E 5 40, z F 5 00 Tambén se puede operar en forma bnómca. Por ejemplo, E D z B z A 60 ( 4) Halla dos números complejos sabendo que su suma es 6 y que el cocente de los msmos es un número magnaro puro. Además, la parte real de uno de los sumandos es la undad negatva. Los complejos serán de la forma a b, c d. a c c a (a b) (c d) 6 b d 6 Re a b c d 0 ac bd 0 Re(a b) a c d 7 b 7 d 7 b 7 Entonces las solucones son: b d 6 bd 0 b 6 d d(6 d) d 6d 0 z ( 7) y z ( 7) o ben z ( 7) y z ( 7) Halla dos números complejos z y z tales que z z es magnaro puro, z z 8 y z 8. (Hay dos solucones.) z Se resuelve el sstema formado por las dos últmas ecuacones, y se comprueba qué solucones cumplen la prmera condcón. z z 8 z 8 z z 8z 8z 8 z z 8 Hay dos solucones: z 8, z y z 8, z. En los dos casos aparecen números magnaros puros, luego su suma tambén lo es, por lo que verfcan la prmera condcón.

19 Soluconaro Demuestra que. ( ) ( )( ) 4 Por tanto, Sea z. a) Comprueba que z y que z z. b) Deduce z. c) Calcula z 00. a) z z b) z z z z z z, z c) z 00 = z 000+ = (z ) 000 z 000 z z Se multplcan los números complejos de los afjos de un trángulo equlátero de centro el orgen por el número 5. Uno de los vértces del trángulo está en el afjo del número. Cuáles son los números complejos que resultan tras el producto? S uno de los vértces corresponde a 0, su transformado será Los otros vértces transformados se obtenen aplcando un gro de centro el orgen y ángulo Se obtenen los números 5 y *. Se dan los puntos A( ), B( ) y C( ) afjos de tres números complejos que determnan un paralelogramo 4 ABCD. Calcula las coordenadas de D y las del centro del paralelogramo. Pasamos a cartesanas las coordenadas polares: A(, 0); B(0, ); C(, ) AB DC: (, ) ( x, y) x ; y D(, ) AC AM: (4, ) (x, y) x ; y M, El orgen de coordenadas O y el punto A(, ) son vértces consecutvos de un cuadrado. Halla los otros dos vértces sabendo que tenen su ordenada postva. Para obtener el vértce opuesto de A se aplca un gro de centro el orgen y ángulo 90º. C ( ) (, ) El punto restante B puede obtenerse vectoralmente. OB OA OC B A C (0, ).

20 7.7. La dstanca del afjo P de un número complejo al orgen es 5. S se aplca un gro de 90 con centro el orgen, se obtene un punto P de abscsa. Halla el número complejo cuyo afjo es el punto P. Sea z a b el número complejo cuyo afjo es el punto P. Del enuncado se deduce: z 5 a b 5 (a b) 90 (a b) b a b b a 4 Por tanto, el número complejo peddo es z 4 o z 4. (Convene observar que realzar un gro de 90 equvale a multplcar por el complejo 90, que es precsamente ) Halla el lugar geométrco de los afjos de los números complejos de la forma a b tales que b sea constante. a S b a k, quere decr que arc tg b arc tg k, es decr, es el lugar geométrco de los puntos del plano que tenen a tangente constante. Por tanto, se trata de una recta que pasa por el orgen Demuestra que se verfcan las sguentes gualdades de complejos: a) z z z z d)* z z z z b) (z) z e) z z z c) z z z z f) z (z ) a) z a b; z c d z z (a c) (b d) z a b; z c d z z (a c) (b d) z z b) z r ; z r (z) r () r z. c) z r ; z r ; z z (r r) ; z r ; z r ; z z (r r) z z d) z z r r = r r () = r r z z z z e) z z r r r 0 z f) z z r r z r r r (z )

21 Soluconaro Los afjos de tres números complejos forman un trángulo de vértces A(, 0), B(, 4) y C(0, 5). S se multplca cada uno de los números complejos por el número, se obtenen otros tres números complejos cuyos afjos son A, B y C, vértces del trángulo ABC. Calcula las coordenadas de estos vértces. z A ; z B 4; z A z B ( 4) 4 z C 5; z C (5) 5 El trángulo de vértces A, B y C es el que se obtene al grar el trángulo ncal ABC en un gro de centro el orgen y ampltud 90. PROFUNDIZACIÓN Demuestra que para cualquer número natural n, la sguente gualdad es certa. n n n n n n n n n n n n n ( ) n ( ) n 0 0 n n n n n n n n n n n n n 0 n n Halla un número complejo cuyo cubo es un número real y la componente real del msmo es superor en una undad a la componente magnara. z (a ) a z (a ) (a ) a (a ) a a (a a ) (a 6a a) a 0 z a z lm(z ) 0 a 6a a 0 a z Demuestra que para el complejo z cos a sen a se verfca: a) cos a sen a z b) z cos a sen a c) S a 45, halla las raíces cúbcas y de orden qunto del número complejo z. a) z cos a sen a cos (a) sen (a) a z a cos a sen a a b) z cos a sen a a z a cos (a) sen (a) cos a sen a c) z n a { 05 ; 5 ; 45 }; n { 6 ; 5 ; 07 ; 79 ; 5 }

22 7.78. Se multplcan los números complejos de los afjos de un trángulo equlátero de centro el orgen de coordenadas por un número r, y los afjos del resultado están en los puntos medos de los lados del trángulo orgnal. Calcula r. Dado que los afjos del resultado están en los puntos medos de los lados del trángulo orgnal, r. Para que los afjos del resultado estén en los lados del trángulo orgnal, hay tres posbldades: 0, 0 y Una traslacón se puede representar en el plano complejo como la suma de un número complejo fjo, cuyo afjo tene por vector de poscón el vector guía de la traslacón. Sea t (, ) el vector guía de una traslacón. a) Escrbe el número complejo equvalente a este vector guía. b) S los puntos A, B, C y D de la fgura sufren una traslacón de vector t, escrbe los complejos asocados a los puntos de partda y a los trasladados. c) S P(4, ) es un vértce de un pentágono regular centrado en el orgen de coordenadas, encuentra las coordenadas de los vértces del pentágono formado a partr del anteror medante una traslacón de vector t. C D O t B A X a) z t b) z A z A 4 4; z B z B ; z C z C ; z D z D 5 c) Los vértces del pentágono de partda se obtenen medante gros de centro el orgen de coordenadas y ángulo Sumando a cada uno z t se obtenen los vértces del pentágono trasladado. S z P 4, arg (z P ) art tg 65 4 Vértces trasladados: z P 4 z P 6 z z P ,9 z 6 5,9 z z P ,5 4,8 z 0,5 7,8 z z P , z, z 4 z P ,6 4,7 z 4 0,4, El punto P se ha obtendo grando el punto P un ángulo, con centro de gro en el punto C. S z, z y z c son los números complejos cuyos afjos son los puntos P, P y C, demuestra que se cumple: z (z z c ) z c Aplca este resultado para hallar el trángulo que se forma al grar 90º respecto del punto C(, ) el trángulo de vértces A(0, ), B(, ) y O(0, 0). Los afjos de los números complejos z z c y z z c son los puntos trasladados de P y P según un vector OC. El trasladado de C sguendo este msmo vector es el orgen de coordenadas. Como la traslacón conserva los ángulos, z z c (z z c ) z (z z c ) z c Los vértces correspondentes son: z A (z A z C ) 90 z C ( ( )) z B ( ( )) 4 z O (0 ( ))

23 Soluconaro 7.8. Sea z x y un número complejo, y z x y su transformado por un movmento en el plano. Demuestra que las sguentes gualdades representan los movmentos que se descrben a contnuacón. a) z z. Smetría respecto al orgen. b) z z. Smetría respecto el eje de abscsas. c) z z a, sendo a a a. Traslacón de vector guía v (a, a ). d) z z. Gro de centro el orgen y ampltud. e) z kz, sendo k un número real no nulo. Homoteca de centro el orgen y razón k. a) z z xy (x y) x y x x, y y Por tanto, es una smetría respecto del orgen. b) z z x y x y x x, y y Por tanto, es una smetría respecto del eje de abscsas. c) z z a, a a a xy (x y) (a a ) x x a ; y y a Por tanto, es una traslacón de vector guía v (a, a ). d) z z arg z arg arg z arg (z); z ; z z Por tanto, es un gro de centro el orgen y ampltud. Susttuyendo en la gualdad dada, obtenemos sus ecuacones: x y (cos sen ) (x y) x cos y sen (x sen y cos ) x x cos y sen y x sen y cos e) z kz k R {0} x y k(x y) kx ky x kx; y ky Por tanto, es una homoteca de centro el orgen y razón k.

24 7.8. Sea z x y un número complejo, y z x y, su complejo transformado en un movmento cuyas ecuacones venen dadas por las relacones: a) z z c) z 5z b) z z d) z 0 z Indca en cada caso de qué movmento o movmentos sucesvos se trata y halla las coordenadas del transformado del punto P(, ) en cada movmento. a) z z (x y) x y x x yy Movmentos:.º Smetría respecto del eje de abscsas..º Homoteca de centro el orgen y k El transformado de P(, ) es P(6, 0). b) z (x y) ( ) [(x 4) (y 6)] x 4 y 6 x x 4, y y 6 Movmentos:.º Traslacón vector guía v (4, 6) Movmentos:.º Homoteca k El transformado de P(, ) es P,. c) z 5z 5(x y) 5x 5y x 5x, y 5y Movmentos:.º Homoteca k 5 Movmentos:.º Smetría respecto del orgen El transformado de P(, ) es P(0, 5). d) z 0 z ( z) 0arg z Movmentos:.º Homoteca k Movmentos:.º Gro de centro el orgen y ampltud 0 x (x cos 0 y sen 0) y (x sen 0 y cos 0) x () x y () y El transformado de P(, ) es P(, ).

Ejercicios y problemas (páginas 131/133)

Ejercicios y problemas (páginas 131/133) 7 Calcula el opuesto y el conjugado de los sguentes números complejos, expresándolos en forma polar: a) z b) z (cos 00 sen 00 ) c) z Expresamos en prmer lugar los números complejos en forma Calcula las

Más detalles

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo

Más detalles

Problemas sobre números complejos -1-

Problemas sobre números complejos -1- Problemas sobre números complejos --.- Representa gráfcamente los sguentes números complejos y d cuáles son reales, cuáles magnaros y, de estos, cuáles magnaros puros: 5-5 + 4-5 7 0 -- -7 4.- Obtén las

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor i = 1

NÚMEROS COMPLEJOS. y sabemos que no podemos calcular raíces de números negativos en R. Para resolver este problema introduciremos el valor i = 1 NÚMEROS COMPLEJOS 1. Qué es un número complejo? Defncones. La ecuacón x + 1 = 0 no tene solucón en el campo real puesto que s ntentamos resolverla tendremos que x = ± 1 y sabemos que no podemos calcular

Más detalles

Resuelve. Unidad 6. Números complejos. BACHILLERATO Matemáticas I. [x ( )][x (2 3 1)] = Cómo operar con 1? Página 147

Resuelve. Unidad 6. Números complejos. BACHILLERATO Matemáticas I. [x ( )][x (2 3 1)] = Cómo operar con 1? Página 147 Undad. Números complejos Matemátcas I Resuelve Págna 7 Cómo operar con? Vamos a proceder como los antguos algebrstas: cuando nos encontremos con seguremos adelante operando con ella con naturaldad y tenendo

Más detalles

Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Ejerccos Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos. Formas de epresarlos.- Halla las raíces de los sguentes números: 00 Solucón: ± 00 00 ± 0 ± ±.- Representa

Más detalles

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 132 GUIS DE CTIIDDES Y TJO PCTICO Nº 22 OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la nformacón de un vector.

Más detalles

Números complejos. Actividades. Problemas propuestos. Matemáticas 1 Bachillerato? Solucionario del Libro

Números complejos. Actividades. Problemas propuestos. Matemáticas 1 Bachillerato? Solucionario del Libro Matemátcas Bachllerato? Soluconaro del Lbro Actvdades Dado el número complejo se pde: qué valor ha de tener x para que x? Calcula el opuesto de su conjugado Calcula el conjugado de su opuesto x x x El

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1 CÁLCL ECTRIAL 1. Magntudes escalares y vectorales.. ectores. Componentes vectorales. ectores untaros. Componentes escalares. Módulo de un vector. Cosenos drectores. 3. peracones con vectores. 3.1. Suma.

Más detalles

1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115. 2. Representación gráfica de los números complejos página 116

1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115. 2. Representación gráfica de los números complejos página 116 Números complejos E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Números magnaros. Números complejos en forma bnómca págna. Representacón gráfca de los números complejos págna 6.. Suma de números complejos págna 8.

Más detalles

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 1

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE 1 INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN BLOQUE En el Aula Vrtual se encuentra dsponble: Materal nteractvo con teoría y ejerccos resueltos. Para acceder a ello deberá pulsar sobre los sguentes enlaces una vez dentro

Más detalles

La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de. áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad,

La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de. áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad, 17 Análss matemátco para Ingenería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 1 Los números complejos La varable compleja permte resolver problemas muy dferentes dentro de áreas tan varadas

Más detalles

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES INSTITUION EDUTIV L PRESENTION NOMRE LUMN: RE : MTEMÁTIS SIGNTUR: GEOMETRÍ DOENTE: JOSÉ IGNIO DE JESÚS FRNO RESTREPO TIPO DE GUI: ONEPTUL - EJERITION PERIODO GRDO FEH DURION 3 11 JUNIO 3 DE 2012 7 UNIDDES

Más detalles

CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 7 CAPÍTULO V ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Estructura Algebraca es todo conjunto no vacío en el cual se han defndo una o más leyes de composcón nterna, luego de cumplr certas propedades

Más detalles

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales:

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales: VECTOES 1.- Magntudes Escalares y Magntudes Vectorales. Las Magntudes Escalares: son aquellas que quedan defndas úncamente por su valor numérco (escalar) y su undad correspondente, Eemplo de magntudes

Más detalles

CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Conjunto de los números complejos CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS DEL CAPÍTULO PARTE TEÓRICA DEL TEMA: 9.1.- Defncón. 9..- Suma y producto. 9..- Partes real

Más detalles

62 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS

62 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS 6 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos: a x -x+=0 (Soluc: ± b x +=0 (Soluc: ± c x -x+=0 (Soluc: ± d x -x+=0 (Soluc: ± e x -6x +x-6=0 (Soluc:,

Más detalles

RESISTENCIAS EN SERIE Y LEY DE LAS MALLAS V 1 V 2 V 3 A B C

RESISTENCIAS EN SERIE Y LEY DE LAS MALLAS V 1 V 2 V 3 A B C RESISTENCIS EN SERIE Y LEY DE LS MLLS V V 2 V 3 C D Fgura R R 2 R 3 Nomenclatura: Suponemos que el potencal en es mayor que el potencal en, por lo tanto la ntensdad de la corrente se mueve haca la derecha.

Más detalles

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS FÍSICAS: MEDIDA DE UNA MASA Alca Maroto, Rcard Boqué, Jord Ru, F. Xaver Rus Departamento de Químca Analítca y Químca Orgánca Unverstat Rovra Vrgl. Pl. Imperal Tàrraco,

Más detalles

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA ANALÓGICA (Diodos)

PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA ANALÓGICA (Diodos) PROBLEMAS DE ELECTRÓNCA ANALÓGCA (Dodos) Escuela Poltécnca Superor Profesor. Darío García Rodríguez . En el crcuto de la fgura los dodos son deales, calcular la ntensdad que crcula por la fuente V en funcón

Más detalles

Relaciones entre variables

Relaciones entre variables Relacones entre varables Las técncas de regresón permten hacer predccones sobre los valores de certa varable Y (dependente), a partr de los de otra (ndependente), entre las que se ntuye que exste una relacón.

Más detalles

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS

OPERACIONES ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS P L V S V LT R A BANCO DE ESPAÑA OPERACIONES Gestón de la Informacón ARMONIZACION DE CRITERIOS EN CALCULO DE PRECIOS Y RENDIMIENTOS El proceso de ntegracón fnancera dervado de la Unón Monetara exge la

Más detalles

Solución: Se denomina malla en un circuito eléctrico a todas las trayectorias cerradas que se pueden seguir dentro del mismo.

Solución: Se denomina malla en un circuito eléctrico a todas las trayectorias cerradas que se pueden seguir dentro del mismo. 1 A qué se denomna malla en un crcuto eléctrco? Solucón: Se denomna malla en un crcuto eléctrco a todas las trayectoras cerradas que se pueden segur dentro del msmo. En un nudo de un crcuto eléctrco concurren

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

Trabajo y Energía Cinética

Trabajo y Energía Cinética Trabajo y Energía Cnétca Objetvo General Estudar el teorema de la varacón de la energía. Objetvos Partculares 1. Determnar el trabajo realzado por una fuerza constante sobre un objeto en movmento rectlíneo..

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio ectores en el espaco Los puntos y los vectores en el espaco se pueden representar como ternas de números reales (a,b,c) c b a Por el Teorema de Ptagoras, la norma del vector = (a,b,c) es = a 2 +b 2 +c

Más detalles

PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad.

PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad. Nombre: Mecansmo: PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análss cnemátco y dnámco de un mecansmo plano artculado con un grado de lbertad. 10. Análss dnámco del mecansmo medante el método de las tensones en

Más detalles

Pruebas Estadísticas de Números Pseudoaleatorios

Pruebas Estadísticas de Números Pseudoaleatorios Pruebas Estadístcas de Números Pseudoaleatoros Prueba de meda Consste en verfcar que los números generados tengan una meda estadístcamente gual a, de esta manera, se analza la sguente hpótess: H 0 : =

Más detalles

Procesamiento Digital de Imágenes. Pablo Roncagliolo B. Nº 17

Procesamiento Digital de Imágenes. Pablo Roncagliolo B. Nº 17 Procesamento Dgtal de mágenes Pablo Roncaglolo B. Nº 7 Orden de las clases... CAPTURA, DGTALZACON Y ADQUSCON DE MAGENES TRATAMENTO ESPACAL DE MAGENES TRATAMENTO EN FRECUENCA DE MAGENES RESTAURACON DE MAGENES

Más detalles

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD 10. VIBRACIONES EN SISEMAS CON N GRADOS DE LIBERAD 10.1. Matrces de rgdez, nerca y amortguamento Se puede demostrar que las ecuacones lneales del movmento de un sstema dscreto de N grados de lbertad sometdo

Más detalles

ALN - SVD. Definición SVD. Definición SVD (Cont.) 29/05/2013. CeCal In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República.

ALN - SVD. Definición SVD. Definición SVD (Cont.) 29/05/2013. CeCal In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República. 9/05/03 ALN - VD CeCal In. Co. Facultad de Ingenería Unversdad de la Repúblca Índce Defncón Propedades de VD Ejemplo de VD Métodos para calcular VD Aplcacones de VD Repaso de matrces: Una matrz es Untara

Más detalles

Tema 4. Números Complejos

Tema 4. Números Complejos Tema. Números Complejos. Números complejos...... Defncón de números complejo..... Conjugado y opuesto de números complejos..... Representacón gráfca de los complejos.... Operacones con complejos..... Suma

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE AÑOS EXÁMENES PROPUESTOS Y RESUELTOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES CONVOCATORIAS DE --- F Jménez Gómez Este cuaderno

Más detalles

DEFINICIÓN DE INDICADORES

DEFINICIÓN DE INDICADORES DEFINICIÓN DE INDICADORES ÍNDICE 1. Notacón básca... 3 2. Indcadores de ntegracón: comerco total de benes... 4 2.1. Grado de apertura... 4 2.2. Grado de conexón... 4 2.3. Grado de conexón total... 5 2.4.

Más detalles

FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Ximénez & San Martín, 2004)

FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Ximénez & San Martín, 2004) FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Xménez & San Martín, 004) Capítulo. Nocones báscas de álgebra de matrces Fe de erratas.. Cálculo de la transpuesta de una matrz

Más detalles

TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE

TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE TEM 8: PRÉSTMOS ÍNDICE 1. CONCEPTO DE PRÉSTMO: SISTEMS DE MORTIZCIÓN DE PRÉSTMOS... 1 2. NOMENCLTUR PR PRÉSTMOS DE MORTIZCIÓN FRCCIOND... 3 3. CUDRO DE MORTIZCIÓN GENERL... 3 4. MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE

Más detalles

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS I CURSO 0/04 PRIMERA SEMANA Día 7/0/04 a las 6 horas MATERIAL AUXILIAR: Calculadora fnancera DURACIÓN: horas. a) Captal fnancero aleatoro: Concepto. Equvalente

Más detalles

Simulación y Optimización de Procesos Químicos. Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Optimización.

Simulación y Optimización de Procesos Químicos. Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Optimización. Smulacón y Optmzacón de Procesos Químcos Ttulacón: Ingenería Químca. 5º Curso Optmzacón. Programacón Cuadrátca Métodos de Penalzacón Programacón Cuadrátca Sucesva Gradente Reducdo Octubre de 009. Programacón

Más detalles

Rentas financieras. Unidad 5

Rentas financieras. Unidad 5 Undad 5 Rentas fnanceras 5.. Concepto de renta 5.2. Clasfcacón de las rentas 5.3. Valor captal o fnancero de una renta 5.4. Renta constante, nmedata, pospagable y temporal 5.4.. Valor actual 5.4.2. Valor

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSITARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID DELTA MATE OMAÓN UNETAA / Gral. Ampuda, 6 8003 MADD EXÁMEN NTODUÓN A LA ELETÓNA UM JUNO 008 El examen consta de ses preguntas. Lea detendamente los enuncados. tene cualquer duda consulte al profesor. Todas

Más detalles

Geometría convexa y politopos, día 1

Geometría convexa y politopos, día 1 Geometría convexa y poltopos, día 1 Alexey Beshenov (cadadr@gmal.com) 8 de agosto de 2016 Los objetos geométrcos que nos nteresan en esta hstora son subconjuntos de R n. Voy a denotar los puntos de R n

Más detalles

De factores fijos. Mixto. Con interacción Sin interacción. No equilibrado. Jerarquizado

De factores fijos. Mixto. Con interacción Sin interacción. No equilibrado. Jerarquizado Análss de la varanza con dos factores. Introduccón Hasta ahora se ha vsto el modelo de análss de la varanza con un factor que es una varable cualtatva cuyas categorías srven para clasfcar las meddas de

Más detalles

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II PRACTICA 11: Crcutos no lneales elementales con el amplfcador operaconal OBJETIVO: El alumno se famlarzará con

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano Movimientos en el plano TEORIA Vectores Concepto de vector. Coordenadas Un vector AB está determinado por dos puntos del plano, A(x1, y1) que es su origen y B(x 2,y 2 ) que es su extremo. Las coordenadas

Más detalles

Números Reales y Complejos

Números Reales y Complejos Apéndce C Números Reles y Complejos C.. Los números reles Suponemos conocdo el conjunto de los números reles. Vmos defnr y estudr en lgunos conceptos como relcones de orden, ntervlos, cots y vlor bsoluto.

Más detalles

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Defncón del álgebra geométrca del espaco-tempo Defno el álgebra geométrca del espaco y tempo como el álgebra de las matrces

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I)

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) En un expermento comercal el nvestgador modfca algún factor (denomnado varable explcatva o ndependente) para observar el efecto de esta modfcacón sobre otro factor (denomnado

Más detalles

= x 1º B. 2º- Calcular y simplificar: 3º- Calcular el valor de k para que el cociente

= x 1º B. 2º- Calcular y simplificar: 3º- Calcular el valor de k para que el cociente Departamento de Matemátcas 1º B 7 / OCT / 05 1º- Defnr conjugado, opuesto e nverso de un nº complejo. Escrbr y representar el conjugado, el opuesto, el conjugado del opuesto, el opuesto del conjugado,

Más detalles

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIA Y NEGOCIO UNIVERSIDAD DE ATACAMA COPIAPO - CHILE

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIA Y NEGOCIO UNIVERSIDAD DE ATACAMA COPIAPO - CHILE DEPATAMENTO DE NDUSTA Y NEGOCO UNESDAD DE ATACAMA COPAPO - CHLE ESSTENCA EN SEE, PAALELO, MXTO Y SUPEPOSCÓN En los sguentes 8 crcutos calcule todas las correntes y ajes presentes, para ello consdere los

Más detalles

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son:

1.- Una empresa se plantea una inversión cuyas características financieras son: ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES. Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas). Matemátcas Fnanceras. Relacón de Problemas. Rentas. 1.- Una empresa se plantea una nversón cuyas característcas

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

Para dos variables x1 y x2, se tiene el espacio B 2 el que puede considerarse definido por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)}

Para dos variables x1 y x2, se tiene el espacio B 2 el que puede considerarse definido por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)} Capítulo 4 1 N-cubos 4.1. Representacón de una funcón booleana en el espaco B n. Los n-cubos representan a las funcones booleanas, en espacos n-dmensonales dscretos, como un subconjunto de los vértces

Más detalles

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra.

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra. Estadístcos Los estadístcos son valores calculados con los datos de una varable cuanttatva y que mden alguna de las característcas de la dstrbucón muestral. Las prncpales característcas son: tendenca central,

Más detalles

EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS POR GUILLERMO HERNÁNDEZ GARCÍA

EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS POR GUILLERMO HERNÁNDEZ GARCÍA EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS POR GUILLERMO HERNÁNDEZ GARCÍA . El Método de Dferencas Fntas El Método consste en una aproxmacón de las dervadas parcales por expresones algebracas con los valores de

Más detalles

C I R C U L A R N 2.133

C I R C U L A R N 2.133 Montevdeo, 17 de Enero de 2013 C I R C U L A R N 2.133 Ref: Insttucones de Intermedacón Fnancera - Responsabldad patrmonal neta mínma - Susttucón de la Dsposcón Transtora del art. 154 y de los arts. 158,

Más detalles

SISTEMA DIÉDRICO I Intersección de planos y de recta con plano TEMA 8 INTERSECCIONES. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

SISTEMA DIÉDRICO I Intersección de planos y de recta con plano TEMA 8 INTERSECCIONES. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1. Objetvos y orentacones metodológcas SISTEMA DIÉDRICO I Interseccón de planos y de recta con plano TEMA 8 Como prmer problema del espaco que presenta la geometría descrptva, el alumno obtendrá la nterseccón

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE. Extraer fuera de la raíz. Potencias de. Cómo se maneja k 1? Saca fuera de la raíz:

NÚMEROS COMPLEJOS. Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE. Extraer fuera de la raíz. Potencias de. Cómo se maneja k 1? Saca fuera de la raíz: NÚMEROS COMPLEJOS Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Extraer fuera de la raíz Saca fuera de la raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula las sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a)

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Vectores

Ejercicios Resueltos de Vectores Departamento de Matemátca y C C Coordnacón: Calculo II para Ingenería Semestre Eerccos Resueltos de Vectores Sean los vectores en IR : v,,, u,, 4, a,, y b,, 4 : a) Determne los vectores: UV y AB UV AB

Más detalles

Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange

Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 Resumen TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange. Prncpos de dnámca clásca.. Leyes de ewton a) Ley

Más detalles

Para abrirla tirando de un punto intermedio entre el eje y la manecilla habrá que realizar el mismo momentode fuerzas: Mg 50 F ʹ = 2F =

Para abrirla tirando de un punto intermedio entre el eje y la manecilla habrá que realizar el mismo momentode fuerzas: Mg 50 F ʹ = 2F = ESTTIC La fuerza necesara para abrr una puerta trando de su maneclla es la centésma parte de su peso. S la puerta pesa 10 kg y la dstanca de la maneclla al eje de gro es 1 m, calcular la fuerza F ʹ necesara

Más detalles

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES INSTITUION EDUTIV L PRESENTION NOMRE LUMN: RE : MTEMÁTIS SIGNTUR: GEOMETRÍ DOENTE: JOSÉ IGNIO DE JESÚS FRNO RESTREPO TIPO DE GUI: ONEPTUL - EJERITION PERIODO GRDO N FEH DURION 3 11 3 JULIO 26 DE 2013 9

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Cifrado de imágenes usando autómatas celulares con memoria

Cifrado de imágenes usando autómatas celulares con memoria Cfrado de mágenes usando autómatas celulares con memora L. Hernández Encnas 1, A. Hernández Encnas 2, S. Hoya Whte 2, A. Martín del Rey 3, G. Rodríguez Sánchez 4 1 Insttuto de Físca Aplcada, CSIC, C/Serrano

Más detalles

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública

Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública Undad Central del Valle del Cauca Facultad de Cencas Admnstratvas, Económcas y Contables Programa de Contaduría Públca Curso de Matemátcas Fnanceras Profesor: Javer Hernando Ossa Ossa Ejerccos resueltos

Más detalles

PROBLEMARIO DE CÁLCULO 10 Y CÁLCULO 20

PROBLEMARIO DE CÁLCULO 10 Y CÁLCULO 20 Calculo Pro. Eduardo Rondón Pro. EDUARDO RONDÓN PROBLEMARIO DE CÁLCULO Y CÁLCULO Calculo Pro. Eduardo Rondón CÁLCULO Calculo Pro. Eduardo Rondón CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS Sea A: {, -,, }, B:{,, }

Más detalles

Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO CUESTIONARIO Capítulos 1-3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO 1. Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por cento de nomnal, s calculamos su valor al 3% de nterés y faltan 5 días para su vencmento? A) 97,2

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. x x0 y y0. Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.

EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. x x0 y y0. Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla. EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. Consdere la sguente tabla, donde 0 : 0 y y0 y Deducr la fórmula para el polnomo de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.. Consdere la sguente

Más detalles

Mecánica Clásica ( Partículas y Bipartículas )

Mecánica Clásica ( Partículas y Bipartículas ) Mecánca lásca ( Partículas y Bpartículas ) Alejandro A. Torassa Lcenca reatve ommons Atrbucón 3.0 (0) Buenos Ares, Argentna atorassa@gmal.com Resumen Este trabajo consdera la exstenca de bpartículas y

Más detalles

Cinemática del Brazo articulado PUMA

Cinemática del Brazo articulado PUMA Cnemátca del Brazo artculado PUMA José Cortés Parejo. Enero 8. Estructura del brazo robótco El robot PUMA de la sere es un brazo artculado con artculacones rotatoras que le proporconan grados de lbertad

Más detalles

Equilibrio termodinámico entre fases fluidas

Equilibrio termodinámico entre fases fluidas CAPÍTULO I Equlbro termodnámco entre fases fludas El conocmento frme de los conceptos de la termodnámca se consdera esencal para el dseño, operacón y optmzacón de proyectos en la ngenería químca, debdo

Más detalles

TEMA 6 AMPLIFICADORES OPERACIONALES

TEMA 6 AMPLIFICADORES OPERACIONALES Tema 6 Amplfcadores peraconales ev 4 TEMA 6 AMPLIFICADES PEACINALES Profesores: Germán llalba Madrd Mguel A. Zamora Izquerdo Tema 6 Amplfcadores peraconales ev 4 CNTENID Introduccón El amplfcador dferencal

Más detalles

Guía de Electrodinámica

Guía de Electrodinámica INSTITITO NACIONAL Dpto. de Físca 4 plan electvo Marcel López U. 05 Guía de Electrodnámca Objetvo: - econocer la fuerza eléctrca, campo eléctrco y potencal eléctrco generado por cargas puntuales. - Calculan

Más detalles

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0.

Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. NÚMEROS COMPLEJOS. INTRO. ( I ) Como ya se sabe, existen algunas ecuaciones de segundo grado que no tienen ninguna solución real. Tal es el caso de la ecuación x2 + 1 = 0. Si bien esto no era un problema

Más detalles

Medidas de centralización

Medidas de centralización 1 Meddas de centralzacón Meda Datos no agrupados = x X = n = 0 Datos agrupados = x X = n = 0 Medana Ordenamos la varable de menor a mayor. Calculamos la columna de la frecuenca relatva acumulada F. Buscamos

Más detalles

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos.

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos. ESTADÍSTICA I. Recuerda: Poblacón: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determnada propedad, que llamamos carácter estadístco. Los elementos de la poblacón se llaman ndvduos. Muestra:

Más detalles

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO XVI. NÚMEROS COMPLEJOS SECCIONES A. Definición. Primeras propiedades. B. Potencia y raíz de números complejos. C. Ejercicios propuestos. 73 A. DEFINICIÓN. PRIMERAS PROPIEDADES. Un número complejo

Más detalles

Análisis de Regresión y Correlación

Análisis de Regresión y Correlación 1 Análss de Regresón y Correlacón El análss de regresón consste en emplear métodos que permtan determnar la mejor relacón funconal entre dos o más varables concomtantes (o relaconadas). El análss de correlacón

Más detalles

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo

2.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR). Flujo de Caja Netos en el Tiempo Evaluacón Económca de Proyectos de Inversón 1 ANTECEDENTES GENERALES. La evaluacón se podría defnr, smplemente, como el proceso en el cual se determna el mérto, valor o sgnfcanca de un proyecto. Este proceso

Más detalles

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio Análss de error tratamento de datos obtendos en el laboratoro ITRODUCCIÓ Todas las meddas epermentales venen afectadas de una certa mprecsón nevtable debda a las mperfeccones del aparato de medda, o a

Más detalles

Tema 3. Trabajo, energía y conservación de la energía

Tema 3. Trabajo, energía y conservación de la energía Físca I. Curso 2010/11 Departamento de Físca Aplcada. ETSII de Béjar. Unversdad de Salamanca Profs. Alejandro Medna Domínguez y Jesús Ovejero Sánchez Tema 3. Trabajo, energía y conservacón de la energía

Más detalles

9 VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO

9 VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO 9 VECTRES RECTAS EN EL PLAN EJERCICIS PRPUESTS 9. Dibuja cuatro vectores equipolentes al vector AB de la figura que tengan sus orígenes en los puntos, C, D y E. D E AB C D C E 9. En la figura siguiente,

Más detalles

i=1 Demuestre que cumple los axiomas de norma. Calcule el límite Verifiquemos cada uno de los axiomas de la definición de norma: i=1

i=1 Demuestre que cumple los axiomas de norma. Calcule el límite Verifiquemos cada uno de los axiomas de la definición de norma: i=1 CAPÍTULO 3 EJERCICIOS RESUELTOS: CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA LINEAL Ejerccos resueltos 1 1. La norma p (tambén llamada l p ) en R n se defne como ( ) 1/p x p = x p. Demuestre que cumple los axomas de

Más detalles

PRÁCTICA Nº 5. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

PRÁCTICA Nº 5. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA PÁCTICA Nº 5. CICUITOS DE COIENTE CONTINUA OBJETIVO Analzar el funconamento de dferentes crcutos resstvos empleando la Ley de Ohm y las Leyes de Krchhoff. FUNDAMENTO TEÓICO Corrente Eléctrca Una corrente

Más detalles

ANEXO B SISTEMAS NUMÉRICOS

ANEXO B SISTEMAS NUMÉRICOS ANEXO B SISTEMAS NUMÉRICOS Sstema Decmal El sstema ecmal emplea ez ferentes ígtos (,,,, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Por esto se ce que la base el sstema ecmal es ez. Para representar números mayores a 9, se combnan

Más detalles

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción Índice general 1. Vectores en el plano 2 1.1. Introducción.................................... 2 1.2. Qué es un vector?................................ 3 1.2.1. Dirección y sentido............................

Más detalles

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE FISICA FISICA I FIS101M. Sección 03. José Mejía López. jmejia@puc.cl

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE FISICA FISICA I FIS101M. Sección 03. José Mejía López. jmejia@puc.cl PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE FISICA FISICA I FIS11M Seccón 3 José Mejía López jmeja@puc.cl http://www.s.puc.cl/~jmeja/docenca/s11m.html JML s11m-1 Capítulo Dnámca Trabajo y energía

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - TEORÍA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS TEÓRICOS

Más detalles

TEMA 4 Amplificadores realimentados

TEMA 4 Amplificadores realimentados TEM 4 mplfcadores realmentados 4.1.- Introduccón La realmentacón (feedback en nglés) negata es amplamente utlzada en el dseño de amplfcadores ya que presenta múltples e mportantes benefcos. Uno de estos

Más detalles

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1).

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1). TRABAJO 1: Varables Estadístcas Undmensonales (Tema 1). Técncas Cuanttatvas I. Curso 2016/2017. APELLIDOS: NOMBRE: GRADO: GRUPO: DNI (o NIE): A: B: C: D: En los enuncados de los ejerccos que sguen aparecen

Más detalles

Tema 2 : DEFORMACIONES

Tema 2 : DEFORMACIONES Tema : eformacones Tema : EFRMACINES F F 3 F / u u u 3 3 3 / 3 / F n Prof.: Jame Santo omngo Santllana E.P.S.-Zamora (U.SAL.) - 008 Tema : eformacones..- INTRUCCIÓN Los cuerpos se deforman debdo a la accón

Más detalles

COMPARADOR CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL

COMPARADOR CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL COMAADO CON AMLIFICADO OEACIONAL COMAADO INESO, COMAADO NO INESO Tenen como msón comparar una tensón arable con otra, normalmente constante, denomnada tensón de referenca, dándonos a la salda una tensón

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

Robótica Tema 4. Modelo Cinemático Directo

Robótica Tema 4. Modelo Cinemático Directo UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.U.I.T. Industral ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Ttulacón: Grado en Ingenería Electrónca y Automátca Área: Ingenería de Sstemas y Automátca Departamento de

Más detalles

TEMA 4. TRABAJO Y ENERGIA.

TEMA 4. TRABAJO Y ENERGIA. TMA 4. TRABAJO Y NRGIA. l problema undamental de la Mecánca es descrbr como se moverán los cuerpos s se conocen las uerzas aplcadas sobre él. La orma de hacerlo es aplcando la segunda Ley de Newton, pero

Más detalles