IDENTIFICACIÓN DE CONDICIONES ROBUSTAS EN DISEÑOS DE EXPERIMENTOS A PARTIR DE LOS EFECTOS DE LOS FACTORES RUIDO

Transcripción

1 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8- de abril de 2003 IDENTIFICACIÓN DE CONDICIONES ROBUSTAS EN DISEÑOS DE EXPERIMENTOS A PARTIR DE LOS EFECTOS DE LOS FACTORES RUIDO L. Marco, X. Tort-Martorell Departament d Estadística i Investigació Operativa Universitat Politècnica de Catalunya, ETSEIB, Av. Diagonal 647, Barcelona, España lluis.marco@upc.es ; xavier.tort@upc.es RESUMEN Se han consolidado dos formas de analizar los resultados de un experimento para lograr productos o procesos robustos: modelar por separado media y varianza y buscar las condiciones de control que hacen mínima la varianza, o bien modelar la respuesta y estudiar las interacciones entre factores de control y ruido. Aunque en principio las dos metodologías de análisis deberían llevarnos a conclusiones equivalentes, en ocasiones no es así. Analizamos un ejemplo en que se produce esta contradicción y lo estudiamos con una nueva metodología de análisis, basada en calcular los efectos de los factores ruido para cada condición de control. Palabras y frases clave: Diseño de experimentos, diseño robusto, reducción de la variabilidad. Clasificación AMS: 62K25. Metodologías de análisis en diseño de productos y procesos robustos Podemos resumir las etapas que se siguen para diseñar un experimento que nos lleve a obtener productos o procesos robustos en los siguientes puntos:. Seleccionar los factores de control y los factores ruido. 2. Decidir el conjunto de niveles de los factores de control y ruido (matriz del diseño) en que debemos experimentar. Esto supone también escoger cuántos niveles tendrá cada factor y qué valor toma cada nivel de cada factor. 3. Hacer los experimentos.

2 4. Analizar los resultados. Esto supone encontrar los niveles de los factores de control que optimizan la respuesta en cuanto a localización, pero también los niveles de los factores de control en que la variabilidad de la respuesta es mínima (los que permiten conseguir robustez frente a variaciones de los factores ruido). Existen básicamente dos maneras de analizar los resultados del experimento (métricas resumen y métricas no-resumen), que aunque conceptualmente parecen equivalentes, a veces llevan a resultados diferentes, como se expone en Pozueta (200).. Métricas resumen Para poder usar métricas resumen debemos tener el resultado de los experimentos en una matriz producto (Figura ). La matriz producto surge al cruzar la matriz interna (que contiene las condiciones de experimentación para los factores de control) con la matriz externa (que tiene las condiciones de experimentación para los factores ruido). Factores de control Factores ruido Z Z r Matriz externa 2 r-q X X 2 X k Matriz interna 2 k-p Matriz producto Figura : Esquema de la matriz producto La propuesta inicial de Taguchi para analizar el experimento era resumir la información de cada fila (cada condición de control) en un estadístico denominado ratio señal/ruido, que tiene distintas expresiones en función de si lo que se quiere es maximizar la respuesta, minimizarla o acercarse a un valor nominal. El objetivo es encontrar los niveles de los factores de control que maximizan este ratio S/R. Han aparecido alternativas al cálculo de los ratios propuestos por Taguchi, como utilizar indicadores del tipo PerMIA (Performance Measures Independent of Adjustement) (Leon et al., 987) que pueden ser más adecuados en algunas ocasiones. Sin embargo, su uso requiere de unos conocimientos de los que muchas veces no se dispone en el entorno práctico industrial en que se pretenden aplicar estas metodologías. Lucas et al. (985) y Box (988) entre otros proponen modelar por separado la media y la variabilidad. Así, podemos encontrar los efectos significativos para la media (y decidir los niveles de los factores de control que nos dan un óptimo en cuanto a la localización) y los efectos significativos para la varianza, y así determinar qué niveles de los factores de control minimizan la varianza. 2

3 Cuando la media y la varianza no son independientes, Box (988) propone usar transformaciones de la variable original. Si modelamos por separado media y varianza, y suponiendo una relación lineal en los factores de control X i y ruido Z l tenemos: k E(Y) =β + β X + β X X i, j =,..., k.2 Métricas no-resumen 0 i i ij i j i= i j k * * * 0 0 i ij i j i= i j V(Y) =β + β X + β X X i, j =,..., k Para poder usar métricas no-resumen debemos tener el resultado del experimento escrito en forma de matriz ampliada. En la matriz ampliada los k factores de control y los r factores ruido aparecen juntos, formando un diseño 2 (k+r)-x (Figura 2). Factores de control Factores ruido X X 2 X k Z Z r Matriz ampliada 2 (k+r)-x Figura 2: Esquema de la matriz ampliada Una matriz producto podemos colocarla como matriz ampliada, simplemente tenemos que repetir las combinaciones de niveles de la matriz interna tantas veces como condiciones de ruido tenemos en la matriz externa, y añadir las columnas de los factores ruido con los niveles correspondientes. Al revés no siempre es posible: para poder pasar una matriz ampliada a matriz producto debemos haber experimentado con todas las combinaciones de niveles de los factores ruido en cada combinación de niveles de los factores de control. Las métricas no-resumen consisten en modelar directamente la respuesta Y (como función de los factores de control X i y ruido Z l ) y a partir de allí deducir las expresiones para la media E(Y) y la varianza V(Y). El modelo que estimamos, suponiendo una relación lineal entre la respuesta Y y los factores de control X i y ruido Z k es: k r k r Y=β + β X + β X X + θ Z + θ ZZ + δ X Z +ε 0 i i ij i j l l lm l m ij i l i= i j l= l m i= l= i, j =,...,k l,m =,...,r 3

4 Lo que se pretende para conseguir robustez frente a los factores ruido es que haya interacciones entre factores de control y factores ruido. En efecto, una interacción así indica que el efecto del factor ruido es distinto según sea el nivel del factor de control. Así podremos encontrar niveles de los factores de control que harán mínimo el efecto de los factores ruido sobre la respuesta..3 Controversia entre métricas resumen y no-resumen Hemos visto dos formas de seleccionar las condiciones de control más robustas al efecto de los factores ruido: - En las métricas resumen modelamos la superficie asociada a la variabilidad transmitida por los factores ruido. Las condiciones de control que hacen el producto robusto se encuentran a partir de gráficos de efectos significativos para la variabilidad. - En las métricas no-resumen modelamos la respuesta Y incluyendo los efectos de los factores ruido. Tomando la parte del modelo asociada a los factores ruido se puede estudiar el comportamiento de V(Y). Las condiciones de control que hacen el producto robusto se encuentran a partir de gráficos de interacciones entre factores de control y ruido. Aunque parece que usar métricas resumen y no-resumen tendría que llevarnos a resultados equivalentes, Pozueta (200) muestra que esto no es siempre así. La razón fundamental de esta discrepancia se encuentra en el hecho de que al modelar directamente la respuesta Y consideramos no significativos algunos factores que ciertamente no influyen en el modelo de localización, pero que sin embargo deberían ser tenidos en cuenta al deducir a partir de la respuesta Y la expresión para V(Y)..4 Análisis a partir de los efectos de los factores ruido Teniendo los datos en forma de matriz producto, una nueva manera de analizar los datos y detectar condiciones robustas consiste en identificar que condiciones de control nos minimizan el valor de los efectos de los factores ruido calculados para cada condición de control. Esta idea está expuesta en Scibilia et al. (200). El proceso es el siguiente:. Utilizar una matriz producto y calcular para cada una de las condiciones de control la media de las respuestas y los efectos de los factores ruido. 2. Para la media y para cada uno de los efectos de los factores ruido, calcular los efectos. Pasamos a tener, por tanto, varias respuestas, la media y una para cada efecto de los factores ruido. 3. Buscamos el óptimo para la media y miramos que condiciones de control minimizan el efecto de los factores ruido. Según exponen sus autores, la metodología puede ser atractiva porque parte del uso de la matriz producto, fácil de entender e intuitiva en entornos industriales, y aporta al mismo tiempo más información que las métricas resumen tradicionales (por ejemplo, nos permite descubrir que factores de control afectan a que factores ruido). 4

5 2. Un ejemplo analizado de diferentes formas Pozueta (200) muestra un caso contradictorio en que el análisis por métricas resumen y no-resumen llevan a conclusiones diferentes. Se trata de un diseño para un proceso de fabricación de neumáticos para coches. La respuesta Y es la resistencia al desgaste; se desea que sea lo mayor posible. Para el experimento se seleccionan 3 factores de control y 2 factores ruido. Se ha llevado a cabo un diseño completo, es decir, un 2 3 para la matriz interna y un 2 2 para la matriz externa. La Figura 3 muestra la matriz de diseño y los resultados. Hemos añadido ya la columna con la media y la desviación tipo muestral. Usaremos estas dos en el análisis con métricas resumen. Figura 3. La matriz del diseño del caso de los neumáticos, con la media y s para cada condición de control. 2. Análisis por métrica resumen Centrándonos en el modelo para la variabilidad (no nos ocupamos de la media) y tomando como métrica la desviación tipo tenemos:,5,0 BC C 70 B - Normal Score 0,5 0,0-0, ,0 40 -, Effect Figura 4: Efectos significativos para la desviación tipo (métricas resumen) y gráfico de interación BC The regression equation is s = 54,3 + 5,2 C + 7,60 BC Predictor Coef SE Coef T P Constant 54,267 3,434 5,80 0, C 5

6 C 5,98 3,434 4,43 0,007 BC 7,597 3,434 2,2 0,078 S = 9,72 R-Sq = 83,0% R-Sq(adj) = 76,3% La condición más robusta se consigue para B a nivel alto y C a nivel bajo. 2.2 Análisis por métrica no-resumen Trabajamos ahora con los resultados del experimento colocados en forma de matriz ampliada. Los efectos en papel probabilístico normal están en la Figura 5. 2 B Normal Score 0 - CT BC ACR BCT AR T A AB -2 R Effect Figura 5: Efectos para Y en papel probabilístico normal. El modelo reducido (sólo con los efectos que se ven claramente como significativos en el papel probabilístico normal) es: The regression equation is Y = 79-23, A + 29,4 B - 28,6 R + 28,2 T - 5,6 AB + 6,4 AR Predictor Coef SE Coef T P Constant 79,375 5,504 32,59 0,000 A -23,25 5,504-4,20 0,000 B 29,375 5,504 5,34 0,000 R -28,625 5,504-5,20 0,000 T 28,250 5,504 5,3 0,000 AB -5,625 5,504-2,84 0,009 AR 6,375 5,504 2,98 0,006 S = 3,3 R-Sq = 82,3% R-Sq(adj) = 78,% Para encontrar condiciones robustas debemos estudiar las interacciones entre factores de control y factores ruido. En este caso aparece como significativa la interacción AR, que está graficada en la Figura 6. 6

7 250 A Figura 6: Interacción AR Las condiciones robustas se consiguen para A a nivel alto. - R 2.3 Discrepancias entre métrica resumen y métrica no-resumen Recordemos las condiciones robustas que hemos encontrado: - Con métrica resumen: B(+), C( ) - Con métrica no-resumen: A(+) La explicación de esta discrepancia radica en que el modelo para Y encontrado a partir de la métrica no-resumen no funciona para deducir la variabilidad a partir de él, le faltan términos que sí son significativos para la variabilidad. Si tomamos todos los términos donde aparecen factores ruido en el modelo para Y tenemos los coeficientes que se muestran en la Tabla : R -28,62 T 28,25 AR 6,38 AT 5,87 BR -,25 BT -4,38 CR -6,88 CT 9,38 RT -0,38 ABR -0,75 ABT -6,50 ACR 9,37 ACT 7,00 ART 7,00 BCR -0,50 BCT 8,75 BRT -3,3 CRT -0,75 ABCR 5,75 ABCT 2,63 ABRT 3,00 ACRT 4,87 BCRT 2,00 ABCRT 0,87 Tabla : Lista de coeficientes del modelo para Y que contienen algún factor ruido. A partir de estos coeficientes encontramos el modelo de varianza para Y: 2 2 σ total = A + 89B + 256C 36AB 44AC + 00BC 298ABC +σ ε (Y) Y representando estos coeficientes en papel probabilístico normal sólo los efectos C y BC son significativos, tal y como se ve en la Figura 7, coincidiendo con lo que obteníamos con la métrica resumen. 7

8 C Percent BC Figura 7: Coeficientes del modelo para σ 2 (Y) estimado por métricas no-resumen a partir del modelo completo para Y Análisis a partir de los efectos de los factores ruido Si para cada condición de control calculamos el efecto principal del factor de ruido R y del factor de ruido T, el resultado es el de la Figura 8: Figura 8: La matriz del diseño con los efectos de R y T como respuesta Sobre el valor absoluto de los efectos de R y T encontramos los efectos de los factores de control. El resultado se muestra en la Tabla 2: Respuesta Efecto A B C AB AC BC ABC Ef (R) -65,5 5,0 27,5 3,0-37,5 2,0-23,0 Ef (T) 28,0-3,0 33,0-2,5 23,5 30,5 6,0 Tabla 2. Efectos calculados para el valor absoluto de los efectos de R y T El efecto más significativo para R es A, mientras que los más significativos para T son C y BC. Para minimizar las dos respuestas parece que se necesita trabajar con A a nivel alto, y mirando el gráfico de la interacción BC para Ef(T) como respuesta vemos que interesa B a nivel alto y C a nivel bajo. 8

9 3. Consideración sobre el análisis a partir de los efectos de los factores ruido Como acabamos de ver con el ejemplo expuesto, el análisis usando los efectos de los factores ruido nos lleva a que den señal de significación los tres efectos que aparecían como más significativos en el modelo para la varianza deducido a partir del modelo completo (el que surge de usar todos los coeficientes de la Tabla ). Tenemos además la información de qué efectos afectan al factor ruido R y cuales al factor ruido T. Se necesita seguir investigando más para descubrir si esta nueva metodología de análisis puede ayudar a encontrar condiciones robustas sin cometer errores y para comprobar bajo que circunstancias funciona. Referencias Box, G.E.P. (988) Signal-to-Noise Ratios, Performance Criteria and Transformations. Technometrics, 30,. Leon, R.; Shoemaker, A.C. and Kackar, R. (987): Performance Mesures Independent of Adjustement: an Explanation and Extension of Taguchi s Signal-to-Noise Ratios. Technometrics, 29, Lucas, J.M. (985) Off Line Quality Control, Parameter Design and the Taguchi Method. Discussion Journal of Quality Technology, 7, 4. Pozueta, L. (200): Errores en la búsqueda búsqueda de condiciones robustas. Metodología para evitarlos. Tesis doctoral. Universitat Politècnica de Catalunya. Pozueta, L.; Tort-Martorell, X. (200): Frequent Mistakes Committed when Looking for Robust Conditions: When and Why do They Happen and How to Avoid Them. ENBIS First Annual Conference. Scibilia, B.; Kobi, A.; Chassagnon, R. and Barreau, A. (200) Robust Design : a Simple Alternative to Taguchi s Parameter Design Approach. Quality Engineering, 3(4),