Fisica III APENDICES. - APENDICE 1 -Conductores -El generador de Van de Graaff

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1 Fisica III APENDICES - APENDICE 1 -Conductores -El generador de Van de Graaff - APENDICE 2 - Conductores, dirección y modulo del campo en las proximidades a la superficie. - Conductor esférico. - APENDICE 3 - Electrómetro de placas (a carga y potencial constante). -Cálculo de fuerzas

2 Apéndice 1 Fisica III -10

3 Fisica III -10 Conductor con un hueco dentro Supongamos un conductor con un hueco dentro. Rodeamos el hueco con una superficie cerrada S. El campo E = 0 en el interior del conductor es cero. El flujo a través de la superficie cerrada S será cero. La carga q en el interior de dicha superficie será también cero. Fig. 16 Conductor hueco Por tanto, el exceso de carga se sitúa en la superficie exterior del conductor. Conductor hueco con una carga dentro Supongamos que se coloca una carga q en el interior de una cavidad. Rodeamos la cavidad con una superficie cerrada S El campo en el interior del conductor es cero. El flujo a través de la superficie cerrada S será cero. La carga en el interior de dicha superficie será también cero. Fig. 17 Conductor hueco con carga

4 Fisica III -10 Transferencia de carga Supongamos un cascarón metálico A de forma de capa esférica de radio interior r A, inicialmente cargada con q A. El campo eléctrico en la cavidad solamente depende de la carga de la esfera q B, y vale a una distan-cia r del centro Fig. 18 Transferencia de carga La diferencia de potencial entre la esfera y la cubeta suponiendo ambas concéntricas es

5 Fisica III -10 Transferencia de carga, continuación * El potencial de la esfera V B es mayor que el potencial del cascarón V A. La diferencia de potencial solamente depende de q B y es independiente de la carga inicial del cascarón q A. Si se ponen en contacto la esfera con la superficie interior del cascarón, o se unen mediante un hilo conductor fluirá la carga de la esfera hacia el cascarón hasta que la diferencia de potencial V B - V A se anule, o sea hasta que q B se haga cero. La conclusión es que Toda la carga q B de la esfera se transfiere a la cubeta independientemente del valor inicial de la carga de la cubeta q A.

6 Fisica III -10 El generador de Van de Graaff Van de Graaff inventó el generador que lleva su nombre en 1931, con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 20 millones de volts) para acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones nos informan de las características de los núcleos del material que constituye el blanco. El generador de Van de Graaff es un generador de corriente constante, mientras que la batería es un generador de voltaje constante, lo que cambia es la intensidad dependiendo que los aparatos que se conectan.

7 Fisica III -10 El generador de Van de Graaff El generador de Van de Graaff es muy simple, consta de un motor, dos poleas, una correa o cinta, dos peines o terminales hechos de finos hilos de cobre y una esfera hueca donde se acumula la carga transportada por la cinta. Un conductor metálico hueco A de forma aproximadamente es-férica, está sostenido por soportes aislantes de plástico, ator-nillados en un pié metálico C conectado a tierra. Una correa o cinta de goma (no conductora) D se mueve entre dos poleas E y F. La polea F se acciona mediante un motor eléctrico. Dos peines G y H están hechos de hilos conductores muy fi-nos, están situados a la altura del eje de las poleas. Las puntas de los peines están muy próximas pero no tocan a la cinta. Fig.19 Generador Van de Graaff La rama izquierda de la cinta transportadora se mueve hacia arriba, transporta un flujo continuo de carga positiva hacia el conductor hueco A. Al llegar a G y debido a la propiedad de las puntas se crea un campo lo suficientemente intenso para ionizar el aire situado entre la punta G y la cinta.

8 Fisica III -10 El generador de Van de Graaff El aire ionizado proporciona el medio para que la carga pase de la cinta a la punta G y a continua-ción, al conductor hueco A, debido a la propiedad de las cargas que se introducen en el interior de un conductor hueco Funcionamiento del generador de Van de Graaff Ahora explicaremos como adquiere la cinta la carga que transporta hasta el terminal esférico. En primer lugar, se electrifica la superficie de la polea inferior F debido a que la superficie del polea y la cinta están hechos de materiales diferentes. La cinta y la superficie del rodillo adquieren cargas iguales y de signo contrario. Sin embargo, la densidad de carga es mucho mayor en la superficie de la polea que en la cinta, ya que las cargas se extienden por una superficie mucho mayor Supongamos que hemos elegido los materiales de la cinta y de la superficie del rodillo de modo que la cinta adquiera un carga negativa y la superficie de la polea una carga positiva, tal como se ve en la figura.

9 Fisica III -10 El generador de Van de Graaff Si una aguja metálica se coloca cerca de la superficie de la cinta, a la altura de su eje. Se produce un intenso campo eléctrico entre la punta de la aguja y la superficie de la polea. Las moléculas de aire en el espacio entre ambos elementos se ionizan, creando un puente conductor por el que circulan las cargas desde la punta metálica hacia la cinta. Fig.20 Funcionamiento Las cargas negativas son atraídas hacia la superficie de la polea, pero en medio del camino se encuentra la cinta, y se depositan en su super-ficie, cancelando parcialmente la carga positiva de la polea. Pero la cinta se mueve hacia arriba, y el proceso comienza de nuevo. La polea superior E actúa en sentido contrario a la inferior F. No puede estar cargada positivamente. Tendrá que tener una carga negativa o ser neutra ( una polea cuya superficie es metálica).

10 Fisica III -11 El generador de Van de Graaff Existe la posibilidad de cambiar la polaridad de las cargas que transporta la cinta cambiando los materiales de la polea inferior y de la cinta. Si la cinta está hecha de goma, y la polea inferior está hecha de nylon cubierto con una capa de plástico, en la polea se crea una carga negativa y en la goma positiva. La cinta transporta hacia arriba la carga positiva. Esta carga como ya se ha explicado, pasa a la superficie del conductor hueco. Si se usa un material neutro en la polea superior E la cinta no transporta cargas hacia abajo. Si se usa nylon en la polea superior, la cinta transporta carga negativa hacia abajo, esta carga viene del conductor hueco. De este modo, la cinta carga positivamente el conductor hueco tanto en su movimiento ascendente como descendente. Las características del generador de Van de Graaff típico son los siguientes: Diámetro de la esfera conductora 21 cm Capacidad 15 pf Tensión máxima kv Máxima corriente 6 ma

11 Fisica III -10 Dar el ejemplo de funcionamiento del Van de Graaff

12 Fisica III -10 Supongamos una esfera de 40 cm de radio. Podemos comprobar que : * La capacidad de la esfera C = 4 π ε 0 R es 44.4 pf La carga máxima que puede acumular es Q = 53.3 mc hasta que se produce la ruptura dieléctrica (el campo eléctrico límite es de V/m) El máximo potencial V es de 1.2 millones de volts.

13 Apendice 2 Fisica III - 09

14 Fisica III - 10 Conductores Ya hemos visto que una propiedad importante de los conductores es que el campo en el interior de un conductor es cero, E = 0, y las consecuencias que se derivan de este hecho. Campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor Dirección del campo eléctrico La dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie como vamos a demostrar, a continuación. Como el campo eléctrico es conservativo se deberá cumplir que la circulación del campo eléctrico E es cero en un camino cerrado. Consideremos el camino cerrado ABCD y supongamos que los puntos A y D, están muy próximos entre sí en el interior y en el exterior del conductor, respectivamente. Supongamos que B y C están también muy próximos entre sí. El tramo AB es paralelo a la superficie.

15 Fisica III - 10 Supongamos que la dirección del campo eléctrico E en las proximidades de la superficie del con-ductor forma un ángulo θ con dicha superficie, tal como se muestra en la figura. La circulación del campo eléctrico es la suma de cuatro contribuciones, en el tramo CD es nula, por ser el campo en el interior de un conductor cero. Las contribuciones en los lados AD y BC son aproximadamente cero por ser sus longitudes muy pequeñas AD = BC 0. La contribución en el lado AB deberá ser por tanto cero para que la suma total sea cero. Esto solamente es posible, si el campo E es perpendicular a la superficie del conductor, es decir, forma 90º con el camino AB. Por tanto, la consecuencia de que el campo eléctrico sea conservativo, es que la dirección del campo eléctrico en las proximidades de un conductor es perpendicular a la superficie del mismo.

16 Fisica III - 10 Módulo del campo eléctrico en las proximidades de la superficie de un conductor El teorema de Gauss nos permite calcular el módulo del campo eléctrico en la superficie de un conductor cuando conocemos la distribución de carga en el mismo. El teorema de Gauss afirma, que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre ε Determinar la dirección del campo eléctrico. Como hemos demostrado, la dirección del campo eléctrico en las proximidades del conductor es perpendicular a su superficie.

17 Fisica III Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomemos como superficie cerrada un cilindro, cuya generatriz es perpendicular a la superficie del conductor. El flujo del campo eléctrico producido por la distribución de carga de σ C/m 2 en la superficie del conductor consta de tres términos. Flujo a través de la superficie lateral. Dado que el campo E es perpendicular al vector ds. El flujo del campo eléctrico en la base inferior. Dado que E=0 en el interior del conductor, el flujo a través de esta superficie es cero. El flujo a través de la base superior. El campo y el vector superficie son paralelos. El flujo total a través de la superficie cilíndrica es siendo S el área de la base del cilindro.

18 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La superficie cilíndrica corta la superficie del conductor delimitando un área S, que contiene una carga q = σ S 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

19 Fisica III - 10 Conductor esférico El conductor más simple de estudiar es un conductor esférico cargado. Campo producido por una esfera conductora de radio R cargada con una carga Q. Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que, El flujo total es : E 4 π r 2

20 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada Región r < R Como la carga está en la superficie del conductor, la superficie esférica de radio r < R no encierra ninguna carga. Luego, E = 0. Región r > R La superficie esférica de radio r > R encierra una carga Q

21 Fisica III - 10 Potencial de la esfera conductora En la figura se representa el campo eléctrico E en función de r. Obtenemos el potencial de la esfera conductora, calculando el área sombreada en la figura. Energía de la distribución de cargas Como la carga Q reside en la superficie esférica y el potencial de dicha carga es V, la energía de la distribución de carga es

22 Fisica III - 10 Espesor de la capa que contiene el exceso de carga en la superficie de un conductor Hemos demostrado que un conductor que adquiere una carga eléctrica, el exceso de carga residirá en la superficie como consecuencia de las repulsiones entre las cargas individuales. * La carga se distribuirá en una capa muy delgada en la superficie del conductor. * La cuestión que se plantea ahora es si la capa tiene un espesor finito o bien es infinitesimal. Campo eléctrico producido por una capa esférica uniformemente cargada Supongamos que el conductor es esférico, de radio b, y que el exceso de carga reside en una delgada capa comprendida entre a y b uniformemente distribuida en el volumen de dicha capa, tal como se muestra en la figura ( el exceso de carga positiva se representa en color rojo). El teorema de Gauss afirma

23 Fisica III - 10 Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. La distribución de carga tiene simetría esférica luego, la dirección del campo es radial 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r. El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie ds, y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que, El flujo total es: E 4π r 2

24 Fisica III Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada Región a < r < b Como la carga Q está en el volumen de la capa esférica de radios a y b, y de volumen (en color rojo) En la capa esférica comprendida entre a y r hay una carga 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico La aplicación del teorema de Gauss para las regiones r < a y r > b resulta más simple.

25 Fisica III - 10 La aplicación del teorema de Gauss para las regiones r < a y r > b resulta más simple. Región r < a La superficie esférica de radio r < a no contiene carga por lo que el campo E = 0. Región r > b La superficie esférica de radio r > b contiene una carga Q, por lo que el campo vale

26 Fisica III - 10 Potencial a una distancia a < r < b En la figura se muestra la representación gráfica del campo E en función de r. El potencial a la distancia r señalada en la figura es la medida del área sombreada. Como el campo E es una función discontinua de r tenemos que sumar dos á-reas.

27 Fisica III - 10 Energía de la distribución de carga La energía de la distribución de carga es : donde dq es la carga existente en la capa comprendida entre las superficies esféricas de radios r y r+dr, y V(r) es el potencial en la posición que ocupa dicha carga. El volumen de dicha capa es 4 π r 2 dr Después de un proceso de integración y simplificación algo laborioso, se llega al siguiente resultado Cuando a tiende a b de modo que la capa que contiene la distribución uniforme de carga se hace infinitesimal, la densidad de carga tiende infinito, pero la energía U tiende al valor Esta es precisamente la energía de un conductor esférico de radio b cargado con una carga Q.

28 Apendice 3 Fisica III - 10

29 Fisica III -10 Potencia del motor que mueve la correa en generador de Van de Graaff Supóngase que la diferencia de potencial entre el conductor hueco del generador de Van de Graaff y el punto sobre el cual se esparcen las cargas sobre la correa es V. Si la correa proporciona carga positiva a la esfera a razón de i amperes. Determinar la potencia necesaria para mover la polea en contra de las fuerzas eléctrica. El trabajo que hay que realizar para que una carga dq positiva pase de un lugar en el que el potencial es cero a otro en el que el potencial V es: La potencia dw = V dq Para un generador de Van de Graaff que transporta en la correa una carga máxima 6 mc en cada segundo, desde un potencial 0 a un potencial máximo de 200 kv, la potencia será: P = = 1.2 W

30 Fisica III -10 Electrómetro de placas Carga constante Conectamos el condensador plano-paralelo a una batería que carga las placas del condensador con una carga q. A continuación, desconectamos la batería. Supongamos que la separación entre las placas del condensador es x, y mediante una fuerza mecánica externa F m igual y opuesta a la fuerza de atracción electros-tática F e aumentamos la separación en-tre las placas en dx.

31 Fisica III -10 El trabajo d W m = F m dx realizado por la fuerza mecánica se invierte en: Modificar la energía U = q 2 / ( 2 C ) de campo eléctrico almacenada por el condensador en forma Como la batería está desconectada no suministra ninguna energía al condensador durante este proceso, por lo que : dw m = du F m d W = dx Para un condensador plano-paralelo ideal C = ε 0 S / x, la fuerza vale La fuerza de atracción entre las placas F e = - F m es constante e independiente de su separación x. La fuerza F e la podemos obtener a partir de la energía almacenada en forma de cam-po eléctrico en el condensador U = q 2 / (2C), mediante la expresión.

32 Electrómetro de placas Fisica III -10 Potencial constante La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas de un condensador planoparalelo cargado. Las placas del condensador se ponen en contacto con una fuente ajustable de alto voltaje, que va variando poco a poco hasta que la balanza se pone en equilibrio. Vamos a determinar la fuerza F e de atracción entre las placas, suponiendo que el condensador tiene inicialmente una capacidad C, y las placas están cargadas con una carga q tal que q = C V Incrementamos en dx la separación entre las placas ejerciendo una fuerza mecánica exterior F m sobre la placa móvil igual y opuesta a la fuerza de atracción eléctrica F e entre las placas. El trabajo realizado por la fuerza mecánica es : dw m = F m dx

33 Fisica III -10 Fuerza Mecánica sobre las placas de un condensador a tensión constante Si las placas del condensador se mantienen a una diferencia de potencial constante V mediante una batería, al modificarse la capacidad, la batería realiza un trabajo para suministrar o retirar una carga dq = V dc. Este trabajo vale : dw V = V dq = V 2 dc El trabajo total realizado sobre el condensador modifica la energía U = C V 2 / 2 almacenada en el mismo en forma de campo eléctrico. du = d W V + d W m Como V es constante, tenemos que ½ V 2 dc = V 2 dc + F m dx Despejamos la fuerza F m

34 Fisica III -10 Para un condensador plano-paralelo ideal C = ε 0 S / x y ya que : La fuerza de atracción entre las placas F e = - F m es inversamente proporcional al cuadrado de su separación x. La fuerza F e la podemos obtener también, a partir de la energía U = C V 2 / 2 almacenada en forma de campo eléctrico en el condensador, mediante la expresión.

35 Fisica III -10 Ejemplo: Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratón los cursores hasta marcar 481 mg. Sabiendo que el área de las placas es de 400 cm 2 y que su separación es de 1 cm. Introducimos los datos en la fórmula de la fuerza en las unidades adecuadas. Comparamos nuestros cálculos con la respuesta dada por el programa interactivo V, pulsando en el botón titulado Respuesta.

36 Fin Fisica III - 10

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