Metaheuristic optimization algorithm applied to computing of optimal power flow in electrical power networks with mixed integer control variables.

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1 , Vol. 20, No. 3, Dcembre Optmzacón metaheurístca aplcada al cálculo del flujo de carga óptmo en redes eléctrcas de potenca con varables de control asocadas de tpo mxto. Alejandro Centeno,a, Demetro Rey Lago a, Juan Martínez b a Insttuto de Matemátca y Cálculo Aplcado, Facultad de Ingenería, Unversdad de Carabobo, Valenca, Venezuela. b Departamento de Físca, Facultad de Ingenería, Unversdad de Carabobo, Valenca, Venezuela En este artículo se expone la mplementacón del Algortmo de Enjambre de Partículas (AEP) para el cálculo del Flujo de Carga Óptmo (FCO) en redes eléctrcas de potenca con varables de control asocadas de tpo mxto. Las varables de control contnuas, venen dadas por el nvel de tensón en las barras generadoras y la potenca actva sumnstrada por las undades generadoras. Las varables dscretas, venen dadas por la potenca reactva sumnstrada por los compensadores en dervacón y la poscón de los cambadores de toma bajo carga en los transformadores de potenca. La funcón a optmzar es el costo total de generacón por undad de tempo. Para el tratamento de las restrccones del problema de optmzacón que plantea el cálculo del FCO, se ha mplementado el crtero desarrollado por Kalyanmoy Deb. El algortmo desarrollado es sometdo a prueba para el cálculo del FCO en la red IEEE 30. Los resultados obtendos son smlares a los calculados medante mplementacones prevas basadas en dversas técncas metaheurístcas publcados hasta el presente. Palabras clave: Flujo de carga óptmo, Algortmo de enjambre de partículas, Optmzacón. Metaheurstc optmzaton algorthm appled to computng of optmal power flow n electrcal power networks wth mxed nteger control varables. Resumen.- Abstract.- Ths artcle presents the mplementaton of the Partcle Swarm Optmzaton algorthm (PSO) for computng the optmal power flow (OPF) n electrcal network wth mxed ntegers control varables. The set of contnuous control varables s gven by the level of voltage n the bars and the actve power generaton suppled by the power supply unts. On the other hand, the set of nteger varables s gven by the compensatng reactve power suppled by shunt reactor and the poston of load tap changers n power transformers. The functon to optmze s the cost of fuel for power generaton per unt of tme. For the supervson and control of the restrctons assocated to the computng of OPF has been mplemented the rules proposed by Kalyanmoy Deb. The mplemented algorthm s tested for the computng OPF n IEEE - 30 network. The obtaned results are smlar to those derved by prevous mplementatons based on metaheurstc technques found n the lterature. Keywords: Optmal power flow, Partcle swarm optmzaton algorthm, Optmzaton. Recbdo: Julo 2013 Aceptado: Dcembre 2013 ) Autor para correspondenca Correo-e: (Alejandro Centeno

2 72 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, Introduccón. El cálculo del Flujo de Carga Óptmo (FCO) consttuye un problema de optmzacón cuya solucón determna los valores óptmos para un conjunto de varables de control y estado, tenendo en cuenta restrccones operaconales y de segurdad [1, con aplcacón en las áreas de operacón y planfcacón de sstemas eléctrcos de potenca. Desde su formulacón ncal [2, 3, han sdo desarrollados e mplementados dversos métodos numércos para su solucón [4. Más aun, con el advenmento de los métodos metaheurístcos [5 se orgnó un nuevo paradgma en el tratamento del cálculo del FCO. Dversas técncas de optmzacón metaheurístcas han sdo aplcadas extosamente para la resolucón del cálculo del FCO [6. En el presente artículo se expone la mplementacón del Algortmo de Enjambre de Partículas (AEP) para el cálculo del FCO con varables de control mxtas (contnuas dscretas). El nvel de tensón en barras, y la potenca actva sumnstrada por las undades generadoras, han sdo consderadas como varables contnuas. La potenca reactva sumnstrada por los compensadores en dervacón, y el valor de los cambadores de toma bajo carga en los transformadores de potenca, han sdo consderados como varables dscretas. El objetvo ha sdo mnmzar el costo total de generacón por undad de tempo modelando las curvas entrada salda, asocadas a las undades generadoras, medante un polnomo de orden dos [7. Para el manejo de las restrccones asocadas al cálculo del FCO se ha mplementado el crtero de Deb K. [8. El algortmo desarrollado ha sdo sometdo a prueba para el cálculo del FCO en la red IEEE 30. El Algortmo de Enjambre de Partículas (AEP) es una metaheurístca basada en poblacón y fundamentada en la premsa conocda como la metáfora socal [9. 2. Formulacón del problema del flujo de carga óptmo. El problema del cálculo del FCO fue orgnalmente planteado como una extensón del cálculo del Despacho Económco [1, 2. Puede plantearse como problema de optmzacón no lneal sujeto a restrccones medante la sguente formulacón general: Mn f (x, u) (1) Sujeto a: h (x, u) = 0 (2) g (x, u) 0 (3) x R m R N u R l R N f (x, u) : R m+l R N R. Representa la funcón objetvo. h (x, u) : R m+l R N R. Representa las restrccones de gualdad. g (x, u) : R m+l R N R. Representa las restrccones de desgualdad. x: Representa el vector de m varables de control. u: Representa el vector de l varables de estado. La seleccón de la funcón objetvo para el cálculo del FCO obedece a un análss de la red eléctrca de potenca bajo estudo en térmnos de su segurdad y economía de funconamento y, por tanto, exsten múltples aspectos de la msma que pueden ser planteados a tal fn [10. En el presente estudo, se ha selecconado el costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo. En este sentdo, la funcón objetvo debe modelar matemátcamente las curvas de entrada salda (costos vs. potenca generada) asocadas a las undades generadoras presentes en la red [7. Típcamente, en redes con presenca de centrales termoeléctrcas, las curvas entrada salda asocadas a las undades generadoras son aproxmadas o modeladas medante un polnomo de orden dos (funcón convexa) [7, tal y como se esquematza en la Fgura 1. Bajo esta premsa, en la presente nvestgacón el costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo se modelará de la sguente forma [7: ng ( Mn f = a + b P G + c PG) 2 =1 (4)

3 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, Y [ j Ω 1, α j [rad: Magntud y fase, respectvamente, para admtanca entre las barras j ésmas. En lo referente a las restrccones de desgualdad dadas por (3), para el cálculo del FCO éstas son defndas en funcón de los límtes operatvos mpuestos a la red bajo estudo, y sus componentes consttutvos, de la sguente forma [11: Fgura 1: Curva de entrada salda típca para undad térmca (fuente propa). n g [ : Número [ de undades [ generadoras. a $ h, $ b MWh, $ c MW 2 h : Coefcentes de costos para la ésma undad. P G [MW : Potenca actva sumnstrada por la ésma undad generadora. Las restrccones de gualdad dadas por (2) son defndas a partr del balance de potenca actva y reactva en las barras de la red bajo estudo, de la sguente forma [10: { Pg P h = d A() = 0 = 1,..., n 1 (5) Q g Q d B() = 0 = 1,..., n pq y Con A() = B() = n V V Y ( ) j j cos δ δ j α j j=1 n V V Y ( ) j j S en δ δ j α j j=1 n: Número de nodos o barras. n pq : Número de nodos o barras tpo PQ. P g, P d [MW: Potenca actva total generada y demandada, respectvamente, en la ésma barra. Q g, Q d [MVAR: Potenca reactva total generada y demandada, respectvamente, en la ésma barra. V [kv, δ [rad: Magntud y fase, respectvamente, del voltaje en la ésma barra. g = PG mín P G PG máx = 1, 2,..., n g QG mín Q G QG máx = 1, 2,..., n g V G mín V G V G máx = 1, 2,..., n g t mín t t máx = 1, 2,..., n t QC mín Q C QC máx = 1, 2,..., n c V mín V V máx = 1, 2,..., n 1 δ mín δ δ máx = 1, 2,..., n 1 S r S r máx = 1, 2,..., n r (6) n r : Número de ramas. n t, n c : Número de transformadores de potenca y compensadores en dervacón, respectvamente. Q G [MVAR: Potenca reactva sumnstrada por la ésma undad generadora. Q C [MVAR: Potenca reactva sumnstrada por el ésmo compensador en dervacón. V G [kv: Magntud del voltaje en la ésma undad generadora. t : Valor del cambador de toma bajo carga del ésmo transformador de potenca. S r [MVA: Magntud de la potenca total transmtda a través de la ésma rama. QG mín, QG máx [MV AR: Límtes de sumnstro de potenca reactva para la ésma undad generadora. QC mín, QC máx [MV AR: Límtes de sumnstro de potenca reactva en la ésma undad compensadora. V G mín, V G máx [kv: Límtes para la magntud del voltaje en la ésma undad generadora. t mín, t máx : Límtes para el valor del cambador de toma bajo carga del ésmo transformador. V mín, V máx [kv: Límtes para la magntud del voltaje en la ésma barra tpo PQ. δ mín, δ máx [rad: Límtes para la fase del voltaje en la ésma barra. S r máx [MVA: Magntud de la potenca total máxma transmsble a través de la ésma rama.

4 74 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, Fnalmente, en el presente estudo las varables de control (x) y estado (u) de la red estarán consttudas por los sguentes conjuntos: x = [V x P x t x Q x (7) con V x = [ V G1 V G2... VGng, P x = [ P G1 P G2...P G(n g 1), tx = [ t 1 t 2...t nt y Q x = [ Q c1 Q c2...q cnc u = [V u δ u Q u S u (8) con V u = [ P re f V 1... Vnpq, δ u = [δ 1...δ n 1, Q u = [ Q G1 Q G2...Q Gng y S u = [ S r1 S r2... S rnr P re f [MW: Potenca actva sumnstrada por la barra de referenca ( n re f ). 3. Algortmo empleado. Para este trabajo se ha mplementado la modfcacón del AEP propuesta en [11, que es una versón local [12, conjuntamente con el crtero desarrollado por Deb. K. [8. Cada partícula (x ) está consttuda por el conjunto de varables de control (7) y las varables de estado u (k) (8) son calculadas a partr de x (k) para la k ésma teracón medante la solucón del sstema de ecuacones (5), aplcando el método de Newton Raphson [13. El desempeño de la ésma partícula en la k ésma teracón está dado por f (k) = f ( ) x (k), u (k), donde f representa la funcón objetvo planteada en (4). Se mpuseron límtes a las varables de control x aplcando el crtero de pared reflectante [14 y se lmtó cada componente de la velocdad. Para el manejo de restrccones se usó el crtero de Deb. K. [8: dado un problema de optmzacón con restrccones y dos propuestas para su solucón denotadas como {s, IF, IO } y { } s j, IF j, IO j ; con s Ω R N, IF N 0, IO R, sendo Ω el espaco de búsqueda, IF un índce de factbldad (cumplmento de restrccones) e IO un índce de optmaldad (valor de la funcón objetvo), entonces: ( S IF j = 0 IF 0 ) entonces selecconar {s, IF, IO }. ( ) S IF > IF j entonces selecconar {s, IF, IO }. S ( IF = IF j IO < IO j ) entonces selecconar {s, IF, IO }. 4. Varables, parámetros y caso prueba. En el presente desarrollo las varables ndependentes están consttudas por el conjunto de varables de control especfcadas en (7), mentras que las varables dependentes venen dadas por el conjunto de varables de estado especfcadas en (8). El algortmo genera un conjunto ncal de varables de control, almacenadas en la matrz de enjambre, y las manpula calculando el conjunto de varables de estado asocado. Los valores de los parámetros {ϕ 1, ϕ 2 } para el optmzador por enjambre modfcado fueron obtendos en [14, mentras que los valores asgnados a los parámetros { ω, p, n vec,kmáx } fueron defndos por los autores de la presente nvestgacón a partr de ensayos prelmnares. Por últmo, la toleranca para el desajuste de potenca (ε) para el método de Newton Raphson [13 se fjó en 0,0001. La Tabla 1 resume los valores asgnados. Tabla 1: Valores asgnados para los parámetros del algortmo propuesto. Parámetro Valor asgnado Factor de nerca (ω) 0,735 Factor cogntvo (ϕ 1 ) 1,494 Factor socal (ϕ 2 ) 1,494 Tamaño del enjambre (p) 40 Número de partículas vecnas (n vec ) 3 Número máxmo de teracones (k máx ) 500 El algortmo fue empleado en el cálculo del FCO en la red de prueba IEEE 30, mostrada en la Fgura 2. Como potenca base (S base ), para los cálculos en por undad, se asgnó un valor de 100 MVA. Este valor, conjuntamente con los datos asocados a los elementos consttutvos de la red IEEE 30, así como los requerdos para la

5 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, formulacón completa del cálculo del FCO, fueron obtendos en [15, 16, 17, 18. Se efectuó un expermento de 100 ejecucones del algortmo propuesto para el cálculo del FCO sobre el caso prueba. Cada ejecucón se efectuó con una semlla dstnta del generador de números aleatoros. La caracterzacón de los resultados obtendos en las 100 ejecucones, para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo (costos de generacón) asocada a la red IEEE 30, se efectuó con la medana como índce de tendenca central de los datos y su desvacón, con respecto a la medana, como índce de dspersón de los msmos. Adconalmente, se tabularon el mejor y peor valor calculado. Tabla 2: Resultados computados para la funcón costos de generacón en 100 ejecucones. Mejor valor Medana Peor valor Desvacón meda [$/h [$/h [$/h [$/h 800,56 800,67 801,12 0,08 En la Fgura 3, se muestra la representacón medante dagrama de caja de los 100 valores computados por el algortmo para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo (costos de generacón) asocada a la red de prueba IEEE 30. Fgura 3: Valores computados para la funcón costos de generacón en 100 ejecucones. Tabla 3: Valores óptmos computados para los cambadores de toma bajo carga. Fgura 2: Dagrama unflar de la red de prueba IEEE 30 [ Resultados. La Tabla 2 muestra el mejor y el peor valor arrojado por el algortmo propuesto, en 100 ejecucones, para la funcón costos de generacón, conjuntamente con la medana y la desvacón meda respecto a la medana de los datos. N Barra Barra t Poscón ncal fnal t mín t máx , ,90 1, , , , N : número de transformador En la Tabla 3, se muestra los valores óptmos (p.u.) computados para los cambadores de toma bajo carga en los transformadores de potenca (t ). Estos valores están asocados al mejor valor computado para la funcón costos de generacón por undad de tempo. En la Tabla 4, se muestran los valores (p.u.) computados para la magntud del voltaje ( V G ), la potenca actva (P G ) y reactva (Q G ) sumnstrada

6 76 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, Tabla 4: Valores óptmos computados para las undades generadoras. Barra N V G P G P mín G P máx G Q G Q mín G Q máx G 1 1,0839 1,7686 0,50 2,00 1,0070-0,20 2,00 2 1,0645 0,4892 0,20 0,80 0,2135-0,20 1,00 3 1,0324 0,2149 0,15 0,50 0,2552-0,15 0,80 4 1,0361 0,2140 0,10 0,35 0,2517-0,15 0,60 5 1,0601 0,1175 0,10 0,30 0,0566-0,10 0,50 6 1,0418 0,1200 0,12 0,40-0,0412-0,15 0,60 Resultado de las teracones: V G mín = 0,90 y V G máx = 1,10. por las undades generadoras. Estos valores están asocados al mejor valor computado para la funcón costos de generacón por undad de tempo. En la Tabla 5, se muestra los valores óptmos (p.u.) computados para la potenca reactva sumnstrada por las undades compensadoras en dervacón (Q C ). Estos valores están asocados al mejor valor computado para la funcón costos de generacón por undad de tempo. Fgura 4: Potenca transmtda vs. Máxma transmsble por rama (p.u.). Tabla 5: Valores óptmos computados para las undades compensadoras. Undad N Barra N Q C Poscón QC mín QC máx ,00 0, , , , , , , , , Fgura 5: Nvel de tensón en barras tpo PQ (p.u.). El gráfco de barras de la Fgura 4 muestra los valores óptmos (p.u.) obtendos para la potenca transmtda por rama ( S r ) conjuntamente con sus valores de potenca máxma transmsble. En el gráfco de la Fgura 5, se representan los valores óptmos (p.u.) calculados para el nvel de tensón ( V ) en las barras tpo PQ, ndcando sus valores límtes permtdos [0, 95; 1, 05. En el gráfco de la Fgura 6, se muestra los valores óptmos (rad) computados para la fase (δ ) del nvel de tensón en barras, ndcando sus valores límtes permtdos [0, 000; 0, Fgura 6: Fase del nvel de tensón en barras (rad). En la Fgura 7, se representa la evolucón o convergenca de los costos de generacón, en funcón del número de teracones, para el mejor valor computado por el algortmo.

7 A. Centeno et al /, Vol. 20, No. 3, Dcembre 2013, Fgura 7: Costos de generacón vs. Número de teracones para el mejor valor computado. Fnalmente, en la Tabla 6 se muestra los resultados comparatvos entre el mejor valor computado en este reporte para la funcón costo total de generacón de potenca actva por undad de tempo y pérddas de potenca actva totales, asocada a la red IEEE 30, con los mejores obtendos medante la mplementacón de dversas técncas metaheurístcas. Tabla 6: Resultados comparatvos obtendos medante la mplementacón de dversas técncas metaheurístcas. Técnca mplementada Costos de generacón [$/h Pérddas de potenca actva [MW AGS [19 802,36 9,60 AEP [19 802,67 9,59 AED [19 801,11 9,54 AGA [19 802,70 9,44 ABA [19 802,74 9,13 AGH [19 800,80 9,23 AGM [20 802,40 9,38 AOL [21 800,68 9,30 BB BC [21 800,89 8,91 AEP (calculado) 800,56 9,03 6. Análss de resultados. Los resultados obtendos y expuestos en la seccón anteror señalan las capacdades del algortmo empleado en el presente estudo al computar solucones para el cálculo del FCO en la red IEEE 30 smlares a las mejores publcadas hasta el presente. En partcular, el algortmo ha computado una solucón de mayor optmaldad que las publcadas en [19, 20, 21. Adconalmente, el algortmo exhbó alta establdad numérca, según se observa de la baja dspersón de los resultados computados en todas las ejecucones. Fnalmente, la ncorporacón del crtero propuesto por Deb K. [8 para el análss y actualzacón de la mejor experenca partcular y global en el enjambre, conjuntamente con un esquema local de actualzacón de poscón, ha evdencado su efcenca y robustez para el manejo de las restrccones que plantea el cálculo del FCO como problema de optmzacón, pues todas las solucones computadas resultaron factbles. 7. Conclusones. En el presente trabajo se ha expuesto la aplcacón del Algortmo de Enjambre de Partículas en conjunto con el crtero para el manejo de restrccones propuesto por Kalyanmoy Deb para el cálculo del flujo de carga óptmo en redes eléctrcas de potenca consderando a sus varables de control asocadas de tpo mxto. El algortmo mplementado fue sometdo a evaluacón medante el cómputo del cálculo del flujo de carga óptmo en la red de prueba IEEE 30. Los resultados obtendos señalan, al ser comparados con los dervados medante mplementacones prevas basadas en dversas técncas metaheurístcas, que el algortmo aquí empleado computa solucones factbles, para la funcón costo total de generacón por undad de tempo, smlares a las mejores publcadas hasta el presente y con alta establdad numérca. Referencas [1 Momoh, J., Koessler, R., Bond, M., Stott, B., Sun, D., Papalexopoulos, A., & Rstanovc, P. (1997). Challenges to optmal power flow. IEEE Trans. Power Systems, 12, [2 Carpeter, J. (1962). Contrbuton a l etude du dspatchng economque. Bulletn Socety Francase Electrcens, 8(3), [3 Dommel, H., & Tnney, W. (1968). Optmal power flow solutons. IEEE Transacton on Power Apparatus and System, 87,

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