Nuevas miradas a viejas prácticas

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1 Nuevas miradas a viejas prácticas Enseñar las tablas de multiplicar Alicia Xavier de Mello (2003) Revista Quehacer Educativo Nº 59, Junio FUM. Montevideo. La memorización de las tablas de multiplicar ha sido considerada desde siempre uno de los aprendizajes básicos imprescindibles como logro de la Escuela Primaria. Se nos presenta a los maestros como una exigencia de padres, abuelos y la sociedad en general; hasta se ha comentado alguna vez en la prensa escrita como uno de los problemas de la enseñanza primaria: los niños no saben las tablas. Esto implica un juicio de otro alcance: deberían saberlas muy bien para no fracasar posteriormente en Matemáticas. Si observamos el Programa Escolar, en primer año aparece como contenido Tablas de sumar, bajo el título Adición y en segundo y tercero, ordenadamente, las tablas de multiplicar del 2 al 9 y la multiplicación por 10, dejándose para cuarto grado la multiplicación por 100 y 1000, todo ello bajo el título Multiplicación. La forma en que se presentan las tablas en el Programa evidencia algunas concepciones: Las tablas aparecen como un contenido, vale decir son consideradas como un objeto matemático, valioso por sí mismo. Se presentan ligadas únicamente a la adición y a la multiplicación, como requisito para la enseñanza graduada de los algoritmos convencionales para cumplimiento de uno de los objetivos señalados: Adquirir y aplicar la técnica de las operaciones. La nueva mirada que queremos presentar aporta los resultados de investigaciones y producciones en Didáctica de la Matemática, posteriores al momento de la reformulación del Programa Escolar. Esta mirada, no tiende a desvalorizar la presencia de las tablas en la escuela, ni siquiera a relativizarla, sino a darle otro lugar. En este nuevo lugar, los objetivos ya no son saber de memoria las tablas y aplicarlas a una técnica sino: desarrollar competencias de cálculo y aprender Matemáticas utilizando como recurso las tablas. Los dos objetivos planteados nos están mostrando una doble visión de la Matemática. La Matemática es una herramienta y por lo tanto pueden desarrollarse competencias para su utilización, pero la Matemática es por sobre todo un objeto de conocimiento, es decir un objeto teórico, una construcción de la cultura, que aporta a la comprensión e interpretación del mundo y al desarrollo humano. En la Escuela Primaria, muchas veces se tiene en cuenta solo el aspecto instrumental, y llega a catalogarse a la Matemática únicamente como técnica o instrumento. En relación a la multiplicación y a la división, aparece muy comúnmente una confusión entre operación y cálculo, y más aún cálculo algorítmico, llegándose muchas veces a considerar que saber hacer cuentas de multiplicar equivale a saber la multiplicación.

2 También en el entorno social, se escucha muchas veces la confusión entre habilidades de cálculo y conocimiento matemático. Cuando alguna persona se manifiesta como hábil calculista, suele decirse que es buena en Matemáticas. Pensemos en un matemático investigador que no recuerde la forma escolar de la multiplicación o de la división. diríamos que no es bueno en Matemáticas? Pensemos ahora en un vendedor ambulante que calcula mentalmente precios y vueltos en pesos y centésimos a gran velocidad: pensaríamos que puede interpretar un modelo matemático en un artículo referido a una investigación científica? Queda claro que son dos tipos diferentes de conocimiento; y muchas veces se privilegian las habilidades de cálculo a expensas del conocimiento matemático. Intentaremos entonces reflexionar sobre la función de la escuela en torno a estas dos formas de conocimiento, en relación a nuestro objetivo inicial: las tablas de multiplicar. Las tablas y el cálculo. Más allá de que desde las familias se valore la repetición mecánica de las tablas, los maestros sabemos desde siempre que importa la comprensión que los alumnos pueden lograr acerca de las mismas y su utilización inteligente a la hora de trabajar con el cálculo. Nos interesa que el alumno memorice los cálculos que aparecen en las tablas y no que deba repetir toda la tabla ordenadamente para encontrar el que busca. También tenemos claro que el papel de la memoria es insustituible, pero cómo lograr una memoria comprensiva? Intentemos ubicar el aprendizaje de las tablas dentro del capítulo del cálculo mental. Cuando hablamos de cálculo mental estamos haciendo referencia a dos aspectos: la apropiación de un repertorio de cálculos la disponibilidad para utilizar estrategias de cálculo Ambos aspectos están implicados en el aprendizaje de los cálculos que aparecen en las tablas de multiplicar. Hemos visto que en el Programa de Matemática de primer año aparece como contenido Tablas de sumar. Sin embargo no es usual que se exija a los alumnos su memorización, y no se considera un escollo para realizar cálculos escritos con adición y sustracción, la falta de tablas memorizadas. A qué se debe esta diferencia con el tratamiento que se da a las tablas de multiplicar? Los alumnos van interiorizando cálculos de adición a partir de la frecuentación de situaciones aditivas y son capaces de recordar las sumas de dígitos que les serán necesarias a la hora del cálculo escrito. Las adiciones con dígitos ( 2 +1 es 3; es 8) van formando naturalmente parte de su repertorio de cálculos. Para otros cálculos con números mayores utilizan sus conocimientos del sistema de numeración ( es 36) u otras estrategias a partir de los repertorios incorporados ( es ). Trabajos de diversos autores i muestran que ciertos cálculos se aprenden de memoria con gran facilidad en edades muy tempranas, por ejemplo adición de sumandos iguales (2 +2; 3 +3), adición de 1 (3 +1; 9 +1). Estos trabajos indican que la facilidad con que se incorporan esos cálculos al repertorio es independiente del

3 tamaño de los números, es decir que se aprende más fácilmente es 8 ó es 6 que es 5. Los estudios también muestran que ciertas propiedades de la adición como la asociativa (ya citada en el ejemplo es ) y la conmutativa (ante pensar en 7 + 2) son incorporadas tempranamente por los niños como estrategias para resolver cálculos aunque no hayan sido enseñadas explícitamente. Una experiencia orientada por Cecilia Parra ii en los primeros grados de la escuela primaria, mostró que ciertos cálculos son considerados por los niños como fáciles mientras que otros son catalogados como difíciles. La experiencia apuntaba, no a la clasificación por sí misma, sino a poner en discusión los criterios y buscar vinculaciones entre los cálculos y los procedimientos. En una primera instancia aparecían como fáciles los + 0, los +1, los + 2, las sumas de iguales, los que implican sobreconteo, entre otros. Luego los niños avanzaron hacia la utilización de estrategias que se apoyaban en los repertorios y reglas que habían ido construyendo. Así empezaron a encontrar fácil porque es dieciocho y uno más que saqué primero, entonces es 19 (véase que se están utilizando la propiedad conmutativa y la asociativa). Por qué esta introducción extensa referida a la adición cuando nuestro tema es las tablas de multiplicar? Porque este mismo alumno capaz de construir sentido para el cálculo, discutir criterios y justificar procedimientos, cuando de adiciones se trata, es el que debe enfrentarse muchas veces a una memorización de tablas de multiplicar desprovista de sentido. Trabajando con nuestros niños. Alumnos de tercer año y de cuarto año que reconocen como un fracaso personal, no saberse las tablas frente a la pregunta sobre multiplicaciones fáciles y difíciles son capaces de elaborar un repertorio de fáciles. Ese repertorio, elaborado en pequeños grupos de niños, se va ampliando mediante ricas discusiones. Así ante 3 x 2 es fácil surge entonces también es fácil 4 x 2 y 5 x 2 que todos los sabemos y claro, porque es buscar el doble. En esta primera etapa, para la justificación de la calidad de fácil prima el porque todos lo sabemos aunque en algunos casos aparecen justificaciones referidas a regularidades de los números y al uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación. En una segunda etapa, se analiza con los alumnos el repertorio y se los anima a buscar criterios de clasificación y de justificación. Se va llegando a las conclusiones siguientes. Son fáciles: - Todos los x 0 porque siempre dan 0 (nótese que se ha incorporado la propiedad de factor absorbente de la multiplicación) - Todos los x 1, porque siempre dan el mismo número (neutro de la multiplicación) - Todos los por 2 porque es como sumar dos veces el número. - Todos los por 5 porque la tabla va de 5 en 5. - Todos los x 10 porque se agrega un 0.

4 - Todos los que son multiplicación de iguales (cuadrado de los números). - Si sabemos 2 x 8 entonces sabemos 8 x 2, si sabemos 8 x 5 sabemos 5 x 8 (propiedad conmutativa de la multiplicación). En una tercera etapa, presentando en carteles, papelógrafo o en el pizarrón, las tablas tradicionalmente memorizadas (desde la del 2 hasta la del 9) en su formato escolar (desde a x 0 hasta a x 10) se procede a revisar todo lo que ya saben de las tablas. Qué alegría cuando ven que la tabla del 2 y la del 5 podemos eliminarlas porque ya saben todos los x 2 y los x 5! También podemos sacar de todas las tablas el x 0, el x 1, el x 5 y el x 10 y los cuadrados (3 x 3; 4 x 4, etc.) Veamos qué nos queda y vayamos elaborando el repertorio de los difíciles. En la tabla del 3: 3 x 4 3 x 6 3 x 7 3 x 8 3 x 9 En la tabla del 4: 4 x 3 Y en seguida deciden que puede sacarse porque ya tienen 3 x 4 y es lo mismo Entonces 4 x 6 4 x 7 4 x 8 4 x 9 Y en adelante, por propiedad conmutativa vamos eliminando otros cálculos En la tabla del 6: 6 x 7 6 x 8 6 x 9 En la del 7: 7 x 8 7 x 9 En la del 8 8 x 9 Los diez primeros resultados de la tabla del 9 ya los tenemos o bien en los fáciles (9 x 1, 9 x 2, 9 x 5, 9 x 9, 9 x 10) o bien en los difíciles ya señalados (por propiedad conmutativa). Qué caminos podremos emprender ahora para una apropiación comprensiva de los difíciles? Algunos niños proponen sus estrategias, otras las presentamos nosotros. Aparecen entre los niños estrategias vinculadas a los x 5 y a los x 10 para resolver los x 4, x 6 y x 9. Así podemos escuchar si 7 x 10 es 70 entonces 7 x 9 es 70 7; si 8 x 5 es 40 entonces 8 x 6 es

5 Los niños van adquiriendo confianza. De sentirse incapaces de aprenderse las tablas pasan a una postura activa en la construcción de nuevos conocimientos a partir de los ya conquistados. Trabajando en esta línea, tenemos por delante un trabajo para la incorporación de repertorios de cálculo de multiplicaciones de dígitos, por cierto mucho más interesante y productivo que la exigencia de memorizar a toda costa las tablas. Estamos promoviendo en los niños el desarrollo de competencias de cálculo. Enseñar Matemática a partir de las tablas. En su formato escolar, las tablas de multiplicar aparecen solamente organizadas para los dígitos. Vemos que en el Programa Escolar aparecen únicamente las tablas del 2 al 9. En las prácticas habituales, se enseñan las tablas de esos números de la forma a x 1 hasta a x 10. Esto tiene que ver sin duda con el objetivo de enseñanza, que es la memorización de cálculos necesarios para realizar posteriormente los cálculos escritos en su forma convencional. Si consideramos que las tablas de multiplicar presentan la sucesión infinita de los múltiplos de los números y que el primer múltiplo de cualquier número es el 0, pensamos que convendría que la escuela presentara las tablas de variadas maneras y no en un único formato; presentar todas las tablas comenzando por el cero (a x 0 ); continuar hasta más allá del 10 en diferentes ocasiones; trabajar además con la tabla del 12, la del 15, la del 20 ó la del 50. Estas actividades podrían ayudar a la formación del concepto de múltiplo que presenta obstáculos aun en etapas posteriores a la escolar. Una creencia errónea muy común es considerar que los múltiplos de un número deben ser números que contienen a ese número. Muchas veces aparece esa confusión al identificar el concepto de múltiplo de un número con los múltiplos de las unidades de medida. Como consecuencia se reconocen como múltiplos de un número únicamente a los que son mayores que el mismo número y se piensa que el 0 no es múltiplo. Otra actividad interesante consiste en que los propios niños construyan tablas para números dados. Esta actividad puede realizarse con distintos objetivos en distintas etapas de la escolaridad. Alumnos de los primeros grados, enfrentados a problemas sencillos, trabajando en pequeños grupos, logran construir las tablas del 2, 3, 4 y 5 antes de su presentación formal como tales. En un 2º año, frente al planteo de averigüar cuántas ruedas se necesitan para armar 12 bicicletas, 12 triciclos y 12 autos, los tres grupos de niños formados escribieron tablas de frecuencias, lo que de cierta manera implica construir las tablas de multiplicar.

6 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 1 bicicleta 2 ruedas 1 triciclo 3 ruedas 1 auto 4 ruedas , etc 4 16, etc. 5 10, etc En otro grupo de 2º año el planteo fue averiguar cuántas cajas de postre necesitamos comprar para hacer crema para 58 personas (los niños de los dos segundos, las maestras y las practicantes). Sabíamos que cada caja alcanza para 5 porciones. El procedimiento más generalizado de los alumnos fue armar la tabla del 5: 1 caja 5 personas Vemos que los alumnos ante un problema de división utilizan la multiplicación, aún antes de haber sido enseñados los cálculos correspondientes. Una vez que se han construido diversas tablas, pueden conservarse en cartulinas o papelógrafo para realizar su análisis para el estudio de la división como operación inversa de la multiplicación. En otras ocasiones pueden analizarse las regularidades en cada una de ellas, así como comparaciones de varias tablas. Qué resultados comunes aparecen en las tablas del 2, 4 y 8? Y en las del 3, 6 y 9? Y en la del 2, 3 y 6? cuándo aparecen como resultados el 5, 7, 11, 13, 17, etc.? A partir de esos análisis favorecemos la construcción de conceptos como múltiplo y divisor, criterios de divisibilidad, números primos y compuestos, etc. En esta nueva mirada a las tablas de multiplicar en la escuela, la propuesta es: - construir las tablas con los niños a partir de situaciones que les den sentido - generar familiaridad con los cálculos y promover estrategias de cálculo - desarrollar los repertorios y reglas que los niños van construyendo - realizar análisis de los números organizados en las tablas para construir conceptos sobre los números naturales, las operaciones y sus propiedades. Podemos entonces utilizar creativamente las tablas de multiplicar para contribuir a la formación matemática de los niños.

7 Bibliografía consultada y citada. Chemello, Graciela (1998) Las cuentas son un problema? "Los CBC y la enseñanza de la Matemática", Gustavo Iaies (compilador), Editorial AZ, Buenos Aires Giménez, Joaquim y Girondo, Luisa (1993) Cálculo en la escuela. Reflexiones y propuestas, Editorial Graò, Barcelona. Kamii, Constance.( 1992) Los niños reinventan la aritmética, Aprendizaje Visor, Madrid. Lerner, Delia y Sadovsky, Patricia (1994) El sistema de numeración: un problema didáctico, en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (compiladoras) Didáctica de la Matemática. Aportes y reflexiones. Editorial Paidos, Buenos Aires. Parra, Cecilia (1994) Cálculo mental en la Escuela Primaria, en Parra, Cecilia y Saiz, Irma (compiladoras) Didáctica de la Matemática. Aportes y reflexiones. Editorial Paidos, Buenos Aires. i Véanse Kamii, Parra, Giménez y Girondo, citados en la bibliografía ii Véase obra citada en la bibliografía

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