BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

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1 págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes: ( 7xy + 3a)( 7xy 3a), para evitar realizar las operacioes correspodietes a fi de obteer el resul- tado 7 3 xy a 7 3 xy + a 9x y + 1axy 1axy 9a 9x y 9a se cooce la regla de los biomios cojugados que establece que el resultado es el cuadrado del primer térmio meos el cuadrado del segudo, co lo que directamete se obtiee, si ecesidad de realizar toda la operació, que ( )( ) 7xy + 3a 7xy 3a = 9x y 9a De maera semejate, para obteer el resultado si efectuar operacioes de elevar u biomio ( x + y) a cierta potecia, e dode debe ser u úmero atural, es decir u etero positivo, existe ua regla llamada biomio de Newto. Se puede deducir la regla observado las características comues que tiee los siguietes desarrollos:

2 págia 17 x + y = x + y ( ) x + y = x + xy + y ( ) x + y = x + 3x y + 3xy + y ( ) 3 3 x + y = x + x y + 6x y + xy + y ( ) x + y = x + 5x y + 10x y + 10x y + 5xy + y ( ) x + y = x + 6x y + 15x y + 0x y + 15x y + 6xy + y a) El primer térmio es x. 1 b) El segudo térmio es x y. De aquí e adelate o se puede cotiuar estableciedo ua regla para cada térmio que sigue, pues si el biomio está elevado al cubo tiee cuatro térmios mietras que si está a la séptima tedrá ocho, así que si se establece la regla para el quito térmio el biomio al cubo o llega hasta allí. Siempre habría térmios faltates o sobrates depediedo de la potecia del biomio. Debe poerse características geerales, es decir, que todos los térmios las tega. c) Al pasar de u térmio al siguiete, el expoete de x se reduce e uo mietras que el expoete de y aumeta e uo. d) Cada desarrollo tiee + 1 térmios. e) La suma de los expoetes e cada térmio de x y de y es. f) El último térmio es y. g) El coeficiete de cada térmio se forma, a partir del térmio aterior, multiplicado el coeficiete por el expoete de x y dividiédolo etre el úmero de térmios que se lleva costruidos. O bie,, e dode k es el ordial que ocupa el térmio a calcularse. Ck 1 h) Los coeficietes so simétricos. ( ) E el biomio aterior x + y, la literal x represeta realmete al "primer térmio del biomio" mietras que la literal y sigifica "el segudo térmio del biomio". Para desarrollar u biomio elevado a la potecia debe hacerse cumplir las codicioes ateriores. El proceso completo costa fudametalmete de dos pasos: uo, idicar el desarrollo y dos, el desarrollo ya efectuado. Es importate hacer otar que el iciso g) debe aplicarse cuado está idicado apeas el desarrollo, o cuado ya se desarrolló cada térmio. Para mayor claridad, ver el ejemplo 1. Además, el resultado fial debe escribirse de maera que cada térmio esté ordeado, es decir, que las literales aparezca e orde alfabético.

3 págia 173 a + b Ejemplo 1: ( ) 5 Solució: E este caso, x = a ; y = b. ( a) 5 a) El primer térmio es. 1 b) El segudo térmio es x y = 5( a) ( b) x = c) El coeficiete del tercer térmio se obtiee multiplicado el coeficiete del térmio aterior (5) por el expoete de (a) que es y eso etre el úmero de térmios que va, es decir etre : 5 = 10 3 ( ) ( ) así que el tercer térmio es 10 a b, o bie 5C3 1 5 C 10 y así sucesivamete. De maera que el desarrollo del biomio es = = ( a) + 5( a) ( b + ) ( a ) ( b ) + ( a ) ( b ) + ( a )( b ) + ( b ) ( a) 5( a) ( b) 10( a) ( b) 10( a) ( b) 5( a)( b) ( b) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = 3a a b a b + 10 a b + 5 a b + b = 3a + 80a b + 80a b + 0a b + 10ab + b (idicado) (desarrollado) NOTA: El desarrollo del biomio es 3a a b + 80a 3 b + 0a b ab + b 5. Es icorrecto dejarlo idicado como (a) 5 + 5(a) (b) + 10(a) 3 (b) + 10(a) (b) 3 + 5(a)(b) + b 5 porque así solamete está idicado el desarrollo, pero o está desarrollado. Es el equivalete a decirle al lector tú haz las cuetas.

4 págia 17 b 3a Ejemplo : ( ) Solució: ( b ) + ( b ) ( 3a) + 6( b ) ( 3a) + ( b )( 3a) + ( 3a) = 16b + ( 8b )( 3a) + 6( b )( 9a ) + ( b )( 7a ) + ( 81a ) 3 3 = 16b 96ab + 16a b 16a b + 81a (desarrollado) (idicado) 3bc a Ejemplo 3: ( ) Solució: ( 3bc) 6( 3bc) ( a ) 15( 3bc) ( a ) 0( 3bc) ( a ) ( 3bc) ( a ) + 6 ( 3bc)( a ) + ( a ) = 79b c 916ab c + 860abc 30a bc + 160a bc 576a bc+ 6a EJERCICIO 7 Desarrollar los siguietes biomios 1) (3b 3 + a) 6 ) (ab - x ) 5 3) (b 3 c + a ) 6 ) (b y - x 3 ) 5) (3bc + a 5 ) 6) (ab - x ) 5 7) (b 3 c + ) 5 8) ( - bx 3 y) 9) (a b 3 x - c) 7 10) (3 - b 6 xy) 5

5 págia TERMINO K-ÉSIMO Hay ocasioes e que es ecesario coocer solamete u térmio específico del desarrollo del biomio ( x + y ) el biomio.. E casos así resulta más útil saber algua forma de deducirlo si ecesidad de desarrollar todo A partir de los icisos de la págia 68 se puede deducir las características del térmio k-ésimo e dode haría falta aalizar más profudamete los coeficietes de cada térmio para obteer el que específicamete se desee. Para el térmio k-ésimo se tiee las siguietes características: a) El expoete de y es k -1 ; b) el expoete de x es la diferecia a, ya que la suma de los expoetes de x y de y debe ser. Dicho expoete es - (k - 1) = - k + 1 ; Para hacer las deduccioes correspodietes a cada coeficiete es ecesario teer presetes las siguietes correspodecias factoriales: * A la expresió ( - 1), para ser! le hace falta los factores desde ( - ) hasta 1, que o es otra cosa que ( - )!. De maera que multiplicado por ( - )! umerador y deomiador para que o se altere se tiee que ( 1)( )!! ( ) ( ) ( 1) = =!! * A la expresió ( - 1)( - ), para ser el factorial! le falta los factores desde ( - 3) hasta 1, que o es otra cosa que ( - 3)!. De maera que multiplicado umerador y deomiador por ( - 3)! para que o se altere se tiee que E el idioma Español, los úmeros ordiales se deota e geeral co el sufijo ésimo, como e vigésimo. Cuado el úmero e cuestió, por tratarse de u asuto geérico, se ombra co la letra, su ordial toma el ombre de eésimo, derivado de la letra ee y el sufijo ésimo. Si e vez de se utiliza la k, su ordial es kaésimo, escrito k-ésimo. Es oportuo cometar, como ua cuestió cultural, que los ordiales so mal empleados por la mayoría de la gete, icluídos los que trabaja e los medios iformativos y los oradores, a pesar de que debería ser los que mejor maejara el idioma por ser su herramieta de trabajo. Suele decir cosas como Estamos celebrado el cicueta y cuatroavo aiversario de la muerte de... E el idioma Español el sufijo avo se emplea para deotar ua fracció o quebrado, como u treceavo. Así que afirmar lo aterior es supoer que apeas se está celebrado ua pequeña fracció del año. Lo correcto es utilizar los ordiales co su termiació ésimo, salvo sus excepcioes (del uo al ueve). Debe decirse estamos celebrado el quicuagésimo cuarto aiversario de la muerte de... El ordial de 16 es cetésimo cuadragésimo sexto. El ordial de 81 es bicetésimo octogésimo primero. El ordial de 396 es tricetésimo oagésimo sexto. El ordial de 35 es cuadrigetésimo trigésimo quito. A partir del 00 la c cambia a g.

6 págia 176 Etc. ( 1)( ) = = ( )( )( ) ( 3! ) 1 3!! 3! ( ) Sea el biomio (x + y), cuyo desarrollo es a) primer térmio: x ; b) segudo térmio: x - 1 y ; c) el tercer térmio es d) el cuarto térmio es e) el quito térmio es ( ) 1! x y = x y!! ( )( ) ( ) 1! x y = x y 3 3! 3! ( ) ( )( )( ) 1 3! x y = x y 3!! ( ) Y así sucesivamete. De maera que el desarrollo del biomio es a partir del tercer térmio e adelate es:!!! +!! 3! 3!!! 3 3 x y + x y x y +... ( ) ( ) ( ) k = 3 k = k = 5 fialmete se tiee que el térmio k-ésimo es C x y k 1 k + 1 k 1

7 págia 177 Ejemplo 1: Obteer el º térmio del desarrollo (b 3 - a) 9 Solució: E este caso se tiee que = 9 y k =. Así que el º térmio es k + 1 k 1 3 k ( ) ( ) ( ) ( ) C x y = C b a = C b a =5376a b Ejemplo : Obteer el 3 er térmio del desarrollo (3 - ax 5 ) 10 Solució: E este caso se tiee que = 10 y k = 3. Así que el 3 er térmio es 8 ( ) ( ) Ck 1x y = 10C 3 ax k + 1 k = a x 10.3 TRIANGULO DE PASCAL Más que algo útil, el llamado triágulo de Pascal es u jueguito de úmeros iteresate e el que cada regló cotiee a los coeficietes correspodietes de las diferetes potecias del desarrollo del biomio de Newto. Dicho triágulo se costruye bajo las siguietes reglas: 1) Todos los regloes comieza y termia co el úmero 1. ) Todos los úmeros de cada regló debe estar localizados exactamete abajo del espacio formado por dos úmeros del regló aterior. 3) La suma de cada dos úmeros cosecutivos e cada regló es el úmero que se coloca e el regló siguiete y e el espacio formado por esos dos úmeros sumados. ) Cada uevo regló debe coteer u úmero más que el regló aterior.

8 págia 178 No es exagerado afirmar que solamete es u jueguito de úmeros el triágulo de Pascal porque o resulta ada práctico, ya que debe estar costruidos todos los regloes ateriores para poder deducir el siguiete. Así, si se desea coocer, por ejemplo, los coeficietes del desarrollo de (x + y) 18 debe costruirse todos los regloes ateriores para lograrlo. 10. EXPONENTES FRACCIONARIOS O NEGATIVOS El biomio de Newto ( x + y ) solamete fucioa para u úmero atural, es decir u etero positivo. Si es u úmero egativo o fraccioario, por las reglas del desarrollo del biomio vistas ateriormete o tedría fi. Cuado o es u úmero atural el biomio de Newto es utilizado como u recurso para obteer resultados co cierta aproximació; dicha aproximació depederá del úmero de térmios que se emplee. Actualmete co el uso de las calculadoras resulta totalmete impráctico. Ejemplo: Obteer el valor aproximado de 5. Solució:El valor real de es Se cosidera que 5 = + 1 /. Etoces e la siguiete tabla 5 ( ) 1 puede observarse que mietras más térmios se emplee, más cerca del valor real se está: DIFERENCIA CON EL VALOR REAL EN VALOR ABSOLUTO 1 1 / = / 1 ( ) 1 / ( 1) 1/ ( ) / ( 1) ( ) / ( 1) = = / ( ) / ( 1) ( ) / ( 1) ( ) / ( 1) =

9 págia 179 EJERCICIO 8 1) Ecotrar el º térmio del desarrollo del biomio (b + a) 7 ) Ecotrar el 3 er térmio del desarrollo del biomio (ab - x ) 5 3) Ecotrar el º térmio del desarrollo del biomio (b c + 3a 3 ) 10 ) Ecotrar el 6º térmio del desarrollo del biomio (b y - x ) 1 5) Ecotrar el 5º térmio del desarrollo del biomio (3bc + a ) 11 6) Ecotrar el º térmio del desarrollo del biomio (ab - x 5 ) 5 7) Ecotrar el º térmio del desarrollo del biomio (b 3 c + ) 8 8) Ecotrar el º térmio del desarrollo del biomio (y - bx ) 9 9) Ecotrar el 3 er térmio del desarrollo del biomio (a b 3 x - c) 7 10) Ecotrar el 3 er térmio del desarrollo del biomio (3 - b 6 xy) 6

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