TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

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1 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR RANSMISIÓN DE CAOR POR EN ESACIONARIO. Intoducción.. Balanc d ngía n una supfici plana. 3. Balanc d ngía n supficis cilíndicas y sféicas. 4. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa un muo plano. 5. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa un cilindo. 6. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa una sfa. 7. conducción n mdios compustos. 8. Radio cítico d un aislant. 9. concpto d sistncia témica. Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03

2 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR Objtivo: Da a conoc la foma d analiza l fnómno d tansmisión d calo po conducción n sólido, planta la cuación difncial u ig l campo témico n poblmas unidimnsionals n dtminadas gomtías. Estas gomtías asumindo citas simplificacions pudn s utilizadas n múltipls situacions abituals n ingniía.. Intoducción. Como ya s a dico la tansfncia d calo n una dtminada dicción dpnd d la divada pacial dl campo d tmpatuas n sa dicción. x k x El flujo d calo dnota una potncia po unidad d áa [W/m], a pati d aoa no s utilizaá l punto ncima d la vaiabl paa dnota potncia, la utilización d minúscula indica u s po unidad d áa, la potncia témica u atavisa una dtminada supfici d nsión A s dnota con mayúscula: x Ak x Hacindo l mismo plantaminto n las otas dos diccions dl spacio x, y, z Ak,, x y z Podmos calcula paa cada punto dl spacio dl sólido un vcto divando la función scala u dfin la distibución d tmpatuas n l sólido. os poblmas d tansmisión d calo po conducción consistn n dtmina la distibución d tmpatua n todos los puntos dl sólido. El pod obtn xpsions d sta distibución u s pudan manja d foma sncilla s duc a situacions n las u la tmpatua no vaia n dos d las ts diccions, aunu sta ipótsis puda pac muy stictiva s pud aplica a multitud d poblmas muy abituals n ingniía. Paa dtminadas gomtías convin utiliza un sistma d coodnadas difnt dl catsiano como l cilíndico o sféico..- Balanc d ngía n una supfici plana Supóngas un muo d dimnsions muy supios a su spso y n l u podmos supon u la tmpatua s constant n cualui punto a lo lago d las dos dimnsions considadas infinitas. En s caso no xist flujo d calo n sas dimnsions ya u la divada d la tmpatua spcto a sas dos dimnsions s co. Admás s consida u s sta n una situación stacionaia y s contmpla la gnación d ngía témica po unidad d volumn g [W/m 3 ] n l sno dl matial po fctos como po jmplo l Joul. En la dicción n la u vaia la tmpatua x s pud aliza un análisis ngético. En un sistma con la foma d un cubo difncial d áa d una Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03

3 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR d sus caas A, situado n l io dl muo solo s tansmit calo po las dos caas ppndiculas a la dicción x. Si l sistma no acumula ngía (situación stacionaia) l calo u sal po una caa tin u s igual al u s gna más l u nta po la ota caa. z nt sal y dx x x x dx nt gn sal ka gadx ka x x x dx x k k x x x g k g 0 dx x x Si la conductividad témica no dpnd d la tmpatua y l matial s omogéno la conductividad no dpnd d la posición y podmos saca la conductividad d la divada. x g 0 x k Esta s la cuación unidimnsional d tansmisión d calo n égimn stacionaio, s pud nd a las ts dimnsions con un azonaminto simila. x, y,z x, y,z x, y,z g 0 x y z k En l caso d u no aya gnación d ngía témica n l sno dl matial g=0 y: 0 X Intgando sta cuación difncial n cada poblma sgún las condicions d contono, s obtin l pfil d tmpatuas y finalmnt s pud dtmina l flujo d calo divando la tmpatua. Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 3

4 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR.- Balanc d ngía n supficis cilíndicas y sféicas. Hacindo un plantaminto simila po aoa n un cilindo d longitud muy gand spcto a su dimnsión adial s pud supon u la tmpatua solo vaía n la dicción adial y no dpnd d la posición a lo lago dl cilindo ni dl ángulo. z nt d sal En l cilindo uco d longitud, d spso d y d adio. El balanc d ngía n stado stacionaio indica: k gd k d nt gn sal d d d g g 0 0 d k k u s la cuación d tansmisión d calo unidimnsional n égimn stacionaio n coodnadas cilíndicas En l caso d una sfa l plantaminto s simila y s llga a la conduc a la cuación d tansmisión d calo unidimnsional n égimn stacionaio n coodnadas sféicas: g 0 k 4. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa un muo plano. Supongamos un muo infinito cuyas supficis stán a difnt tmpatua, st s l caso d las pads d un sistma u no sta n uilibio témico con su ntono. nmos u ga la cuación difncial dl calo con condicions d contono d tmpatuas conocidas n los límits dl valo d gación. a tmpatua solo vaia lo lago dl spso dl muo (coodnada x), sin gnación d calo podmos scibi: d d 0 C Cx C. dx dx a distibución d tmpatuas a lo lago dl spso dl muo s linal con la coodnada x. as constants d gación s pudn calcula a pati d las condicions d contono x=0 = y X= = Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 4

5 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR x El flujo d calo s calcula a pati d la ly d Foui: d k k dx El cual s indpndint d la posición, po s stacionaio l flujo d calo u atavisa cada scción db s l mismo ya u n caso contaio l muo acumulaía ngía témica y su tmpatua staía ccindo. x Si xist gnación d calo unifom n l io dl muo, l plantaminto s l siguint: d g d g g x x C Cx C dx k dx k k Imponindo las mismas condicions d contono: g g C C C k k g x g x x k k El sultado s una función paabólica cuyo máximo s pud dtmina igualando la pima diva a co. d g g k x 0 x max dx k k g xistiá un máximo n l io dl muo si y g, sto uá dci u ay k flujo d calo acia las dos supficis () ios ya u s gna tanto calo n l io dl muo u pud aumnta la tmpatua dl muo asta valos (0) supios a. k d dx g x k 5. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa un cilindo. Sa un cilindo uco con un diámto muco mno u su longitud (tubía) d mana u podamos supon u no ay vaiacions d tmpatua a lo lago dl tubo ni tampoco ay distibución d tmpatua n función dl x Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 5

6 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR ángulo. as tmpatuas n las supficis ios ios son y spctivamnt, la conductividad témica s unifom n todo l sólido y no ay gnación d calo. Intgando la cuación d tansfncia d calo n coodnadas cilíndicas uda: d d d C 0 d d d Imponindo las condicions d contono ( )= y ( )= C C C C El flujo d calo po unidad d áa uda: d k k d El cual dpnd d la posición, sin mbago l flujo d calo u atavisa una supfici concéntica al tubo s simp contant, así db d s paa u l pocso sa stacionaio. k El caso d un cilindo macizo con gnación d calo unifom, s pac azonablmnt bin al caso d una sistncia léctica disipando calo po fcto Joul y u sta inmsa n un fluido a una tmpatua amb con l u cambia calo po convcción sgún la ly d Nwton con un coficint d plícula. En st caso la condición d contono consist n u l flujo d calo s nulo paa =0 d d 0 k 0 0 d 0 d 0 y paa = l flujo d calo db d s igual a todo l calo gnado n io dl cilindo y a su vz stá gobnado po l coficint d plícula y la difncia d tmpatuas nt la supfici y l ambint. g g g amb amb Patindo d la cuación gnal con gnación d calo: d d g d g C d d k d k Como paa =0 la d/d=0, C val co. Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 6

7 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR g C 4k Sustituyndo la sgunda condición d contono: g amb g 4k C k d d g amb g k y 6. Intgación d la cuación d tansmisión d calo paa una sfa. Un poblma típico paa solv n coodnadas cilíndicas s l d una bombilla ca con un cistal d adio io y adio io la cual solo una puña pat d su potncia lo mit n l spcto visibl y atavisa l cistal, l sto d la adiación u mit l filamnto W s absobido po la supfici io dl cistal y tin u vacuas al io po conducción y finalmnt al ambint po convcción con un coficint d plícula y una tmpatua ambint amb. En st caso las condicions d contono son u paa l adio io l flujo d calo sta dfinido po la potncia absobida W y n l io l flujo d calo s l mismo y sta dtminado po l pocso d convcción. d W d 4 W W amb amb 4 4 Intgando la cuación d tansfncia d calo po conducción n coodnadas sféicas sin gnación d calo: 0 C Aplicando la pima condición d contono: W C W C 4k 4k Intgando una sgunda vz y sustituyndo la sgunda condición d contono: C W W C amb C : 4 4k Con lo u: Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 7

8 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR W 4 k W 4 amb amb W 7. conducción n mdios compustos. Supongamos un tabiu cuyo l spso s muco mno u sus dimnsions u spaa dos sistmas fluidos a difnt tmpatua y. a tansfncia d calo nt los fluidos y l muo sta gobnado po la convcción con coficints d plícula y y n l muo tin una conductividad k. En una situación stacionaia l flujo d calo n las dos supficis ios dl muo s l mismo y admás son iguals al flujo d calo a tavés dl muo. muo m m muo k m m _ m _ m m muo m k m m x Sumando las ts cuacions d la dca U k k W m K U Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 8

9 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR A la invsa dl dnominado s l sul dnomina coficint global d tansfncia. Una vz conocido l flujo d calo s fácil calcula las tmpatuas d las supficis dl muo. m En l caso d u ubis vaios muos con difnt conductividad y spso s llgaía: i i ki En l caso d un cilindo uco (tubo) bañado n su pat io y io po fluidos, l plantaminto s simila, po ay u tn n cunta u aoa l flujo d calo po unidad d áa no s mantin constant ya u l áa va aumntando a mdida u l adio aumnta, po lo u n égimn stacionaio l flujo d calo po unidad d áa disminuy con l adio paa cumpli la cuación d consvación d la ngía. Sin mbago, paa cualui scción cilíndica con j d simtía n l cnto dl cilindo, s cumpl u l flujo d calo po unidad d longitud s constant n égimn stacionaio. cilindo m m / m _ cilindo k m _ m _ m _ Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 9

10 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR cilindo k m _ m _ m _ Sumando las cuacions d la dca: m _ k k El flujo d calo po unidad d áa dpnd dl adio n dond uamos calculalo, po lo gnal s adio io o l io, po lo gnal s pfibl tabaja con flujo d calo po unidad d longitud, n st caso l coficint global uda: W U U mk k ambién s pud abla d coficint global po unidad d áa po ay u dfini spcto d u áa y sustitui po l adio paa l cual s ui calcula l flujo po unidad d aa.. W U m K k En l caso d n tubos concénticos (tubías con aislant) i i n i n i0 ki 0 En l caso d sfas suppustas l flujo d calo a tavés d toda la supfici d cualui casut sféico: 4 in n i 0 k i i i 0 8. Radio cítico d un aislant. El caso más abitual d mdios compusto s l d un aislant suppusto a una supfici paa vita la tansfncia d calo. En l caso d un muo Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03 0

11 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR cuanto mayo sa l spso dl aislant mayo s la disminución n l flujo d calo. Sin mbago n l caso d cilindo y sfas xist un valo dl adio dl aislant po dbajo dl cual l flujo d calo aumnta al aumnta l adio dl aislant, sto s pud v divando la xpsión dl flujo d calo spcto dl adio. Asumindo u la supfici io dl aislant sta a una tmpatua m_ m _ / k Divando spcto dl adio io: d k m _ d k En l caso d una sfa l adio cítico s k Cuanto mjo s l aislant más puño s l adio cítico y pud s infio u l adio io, n s caco no ay u tn n cunta st fcto ya u no s da paa ningún adio. 0 /k k / sin aislaminto / con aislaminto Intsa aisla / con aislaminto / sin aislaminto NO Intsa aisla /k /k En l caso d aislants d cabls lécticos, l adio idóno dl aislant s l adio cítico a fin d vacua con la minima tmpatua l calo gnado po fcto Joul. 9. concpto d sistncia témica. Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03

12 ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR Hacindo un símil léctico d la tansmisión d calo podmos pnsa u campo d tmpatuas s un potncial y u l flujo d calo s la nsidad, la cual sta condicionada po la sistncia léctica dl lmnto po dond pasa, n l caso d tansmisión d calo, la sistncia léctica s pud asimila a algo invso a la conductividad dl matial. En l caso d un muo con difnts capas s pud consida un conjunto d sitnacias pustas n si: R Dond las sistncias pudn sta asociadas a los pocsos d tansfncia po convcción o po conducción. Rconv Rcond k En l caso d cilindos solo tin sntido n l caso d flujo d calo po unidad d longitud ya u s ncsaio u l calo u uival a la nsidad sa l mismo po todos los lmntos u pasa. Rconv R cond R k i i i i Dpatamnto d ingniía Engética y Fluidomcánica 09/05/03