Prácticas y problemas de regresión lineal simple.

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1 Capítulo 1 Prácticas y problemas de regresión lineal simple Problemas de regresión lineal simple con ordenador. Problema 4.1. Los datos de la tabla adjunta proporcionan la distancia en línea recta (LR) y por carretera (DC) entre veinte pares de puntos geográ cos (localidades) de She eld. 1. Existe una relación lineal entre las dos variables? 2. Es su cientemente bueno el modelo de regresión lineal que explica la variable de interés DC en función de la variable regresora LR?. Estimar el modelo de regresión lineal. Calcular intervalos de con anza al 90 % para los parámetros del modelo. 3. Calcular la tabla ANOVA del modelo. Conclusiones que se obtienen. 4. Predecir la distancia por carretera entre dos ciudades cuya distancia en línea recta es 25. Calcular un intervalo de predicción al 90 %. Repetir el apartado si la distancia (LR) es Existe un modelo linealizable mejor? DC LR DC LR DC LR

2 2 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Desarrollo del Problema 4.1. En primer lugar se representa la grá ca de dispersión de la nube de puntos que permite tener una primera idea acerca de la forma del modelo de regresión. Se utiliza el siguiente módulo de Statgraphics graficos > graficos de dispersion > grafico x-y Un estudio detallado del modelo lineal simple ajustado se obtiene en dependencia > regresion simple Dentro de este módulo, en el apartado resumen del procedimiento, se obtiene la recta de regresión estimada (estimación de los coe cientes de 0 y 1 ; desviaciones típicas, lo que permite calcular intervalos de con anza de los mismos y test de la t). Este apartado también proporciona la tabla ANOVA y los coe cientes de determinación. En este problema el coe ciente de correlación es r = , y se concluye que el ajuste lineal es bueno. El apartado predicciones permite calcular predicciones e intervalos de con anza de la media condicionada y de predicción para una observación determinada. Si la recta de regresión se quiere comparar con otros modelos linealizables se puede hacer en el apartado comparacion de modelos alternativos Este módulo proporciona la correlación de doce ajustes. Con los datos de este problema los ajustes doble recíproco y multiplicativo mejoran ligeramente (en correlación) a la regresión lineal y habría que evaluar la conveniencia de trabajar con ellos. Para calcular el ajuste de alguno de estos modelos linealizables se utiliza el apartado de opciones en resumen del procedimiento. Este módulo también proporciona las observaciones con residuos grandes (residuos atipicos), las observaciones in uyentes (puntos influyentes) y diferentes grá cos que permiten evaluar la bondad del ajuste y el cumplimiento de las hipótesis básicas. Problema 4.2. (Datos simulados) Este problema consta de dos partes. En un primer apartado se simula un conjunto de datos bidimensionales (x i ; y i ) que siguen un modelo de regresión lineal simple con diseño jo. En el segundo apartado se estudia el modelo de regresión que mejor se ajusta a los datos simulados en el apartado anterior. La variable regresora X toma los valores 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30 y 33: Para cada valor de X se tienen 15 observaciones de la variable respuesta Y; en total, 150 observaciones. Los valores se generan a partir del modelo matemático donde " sigue una distribución N 0; 10 2 : Se seguirán los siguientes pasos: Y = X + ";

3 Prácticas y problemas de regresión lineal simple Generación de la muestra. 2. Hacer un estudio estadístico básico de la variable condicionada Y =X: 3. Calcular la recta de regresión ajustada a las observaciones simuladas: estimación de los parámetros, tabla ANOVA, contraste de regresión y de linealidad, intervalos de con anza. Se obtienen resultados congruentes, la recta de regresión ajustada está próxima a la recta generadora de las observaciones? 4. Contrastar las hipótesis estructurales del modelo. Existen datos atípicos? 5. Hacer predicciones para X = 10; 20; 30; 40; 50; 100: Calcular intervalos de con anza y de predicción. 6. Estudiar otros modelos linealizables. Desarrollo del Problema 4.2. Para generar la muestra por simulación se siguen los siguientes pasos: - Crear la variable valor_x = 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30; 33: - Generar la variable x = rep(15; valor_x): - Generar la variable recta = ; 5 x: - Generar la variable error = rnormal(150; 0; 10): - Obtener la variable respuesta y = recta + error. La muestra (simulada) se representa en un grá co bidimensional según el análisis graficos > graficos de dispersion > grafico x-y Como se dispone de varias observaciones de la respuesta para cada valor de X se debe hacer un análisis estadístico de la variable condicionada Y=X: Para ello se utiliza el módulo descripcion > datos numericos > analisis de subgrupo Introducir codes = x. Igual que en el problema anterior el análisis de regresión se realiza en dependencia > regresion simple En este problema se puede hacer una tabla ANOVA más completa y el contraste de linealidad en la opción contraste de falta de ajuste. El desarrollo del resto del problema es análogo al anterior y como se dispone de un número relativamente grande de observaciones se puede hacer un estudio más completo acerca del cumplimiento de las hipótesis del modelo.

4 4 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1.2. Problema resuelto de regresión lineal simple. Problema 4.3. Los datos de la tabla adjunta muestran el tiempo de impresión (Y ) de trabajos que se han imprimido en impresoras de la marca PR. Se está interesado en estudiar la relación existente entre la variable de interés tiempo de impresión de un trabajo y la variable explicativa (X) número de páginas del trabajo. Utilizando estos datos ajustar un modelo de regresión. Datos de las impresoras x y x y x y Solución Problema 4.3. Se calculan los estadísticos básicos de las variables X e Y; n = 75 P n x i = 408 x = P n x2 i = 2;818 x2 = s 2 x = s x = P n y i = 4; y = P n y2 i = 296;397 y2 = 3; s 2 y = s y = P n x iy i = 28; xy = s xy = Las estimaciones de los parámetros de la recta de regresión son ^ 1 = s xy s 2 x = = :

5 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 5 Se calculan las predicciones ^y i ^ 0 = y ^ 1 x = = Predicciones x i ^y i x i ^y i x i ^y i x i ^y i x i ^y i La suma de cuadrados de los residuos (scr) se obtiene como X75 X75 e 2 i = (y i ^y i ) 2 = 75X Una forma alternativa, más sencilla, de calcular scr es X75 La varianza residual es y i x i 2 = :! X75 X75 X75 e 2 i = yi 2 ^ 0 y i + ^ 1 x i y i = : ^s 2 R = 1 n 2 X75 e 2 i = Las varianzas de los parámetros son = ) ^s R = : V ar(^ 1 ) = ^s2 R ns 2 = x = ) (^ 1 ) = : V ar(^ 0 ) = ^s2 R 1 + x2 = n = ) (^ 0 ) = s 2 x Intervalos de con anza (al 90 %) y contrastes de hipótesis sobre los parámetros del modelo son: Intervalo de con anza para 2 (n 2) ^s 2 R 2 2 n 2 ) ) ) = = : Intervalo de con anza para ^ 1 ^ 1 1 (^ 1 ) t n 2 ) t t ) ) = = ; :

6 6 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Intervalo de con anza para ^ 0 ^ 0 0 (^ 0 ) t n 2 ) t t ) ) = = ; : Contraste de hipótesis para ^ 1 (H 0 : 1 = 0 frente H 0 : 1 6= 0) d 1 = ^ 1 1 (^ 1 ) j H 0 = ^ 1 (^ 1 ) = = t n 2 ) p valor = P jt 73 j > = ) Se rechaza H 0 : Contraste de hipótesis para ^ 0 (H 0 : 0 = 0 frente H 0 : 0 6= 0) d 0 = ^ 0 0 (^ 0 ) j H 0 = ^ 0 (^ 0 ) = = t n 2 ) p valor = P jt 73 j > = ) Se rechaza H 0 : El coe ciente de correlación es r = s xy s x s y = = : En el siguiente grá co se representa la nube de puntos y la recta ajustada Figura 4.1. Nube de observaciones y recta ajustada.

7 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 7 El grá co de residuos frente a las predicciones se observa en el siguiente grá co, Figura 4.2. Grá co de residuos. Cálculo de la tabla ANOVA del modelo. scr = scg = sce = de donde 75X 75X 75X e 2 i = 8; ; (y i y) 2 = 75 s 2 y = = 47; ; (^y i y) 2 = scg scr = 47; ; = 39; ; Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados Varianzas F test p value variación cuadrados libertad sce (modelo) 39; ^s 2 e = 39; F = scr (Residual) ^s 2 R = ^s R = scg (Global) 47; ^s 2 y = ^s y = Contraste de regresión. H 0;reg : H 1 : el modelo de regresión lineal ajustado no es in uyente el modelo ajustado es in uyente

8 8 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Si H 0;reg es correcto ^s 2 e 0: El estadístico del contraste es ^d reg ^d reg = ^s2 e ^s 2 R = 39; = F 1;73 ) p valor reg = P (F 1;73 > ) = : Se rechaza H 0;reg y se asume que el modelo ajustado es signi cativo. Contraste de linealidad. Dado que para cada valor de x se dispone de varias observaciones de Y; se puede hacer el contraste H 0;lin : H 1 : el modelo lineal es adecuado el modelo de regresión no es lineal Se descompone scr en dos términos: X75 X75 X75 scr = e 2 i = (y i ^y i ) 2 = (y i: ^y i ) X (y i y i ) 2 : scr 1 = scr 2 = scr = 75X 75 (y i: ^y i ) 2 = 2; : X (y i y i ) 2 = 5; : 75 X X75 e 2 i = (y i ^y i ) 2 = 2; = 8; : La nueva tabla ANOVA, más completa, es Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados Varianzas F test p value variación cuadrados libertad sce (modelo) 39; ^s 2 e = 39; F reg = scr 1 2; ^s 2 R;1 = scr 2 5; ^s 2 R;2 = F lin = scr (Residual) ^s 2 R = ^s R = scg (Global) 47; ^s 2 y = ^s y = Si H 0;lin es correcto ^s 2 R;1 0: El estadístico del contraste es ^d lin ^d lin = ^s2 R;1 ^s 2 R;2 = = F 8;65 ) p valor lineal = P (F 8;65 > ) =

9 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 9 Se rechaza H 0;lin y se deduce que el modelo lineal no es el que mejor se ajusta a la nube de observaciones. Predicciones. Calcular intervalos de con anza al 90 % para el tiempo medio de impresión de los trabajos que tienen 6 y 12 hojas respectivamente. Calcular intervalos de predicción al 90 % para el tiempo de impresión de un trabajo que tiene 6 hojas. Calcular el intervalo de predicción para el tiempo de impresión de un trabajo de 12 hojas. Para x t = 6; el estimador de m t = E(Y=X = 6) es ^m t = x t = = : El valor de in uencia (leverage) es h t = 1! n 1 + xt x 2 = 1 s X ! = = : ) n t = 1 h t = (número de observaciones equivalente): La varianza del estimador ^m t V ar ( ^m t ) = ^s2 R n t = = : ) ( ^m t ) = : Un intervalo de con anza al 90 % para m t es m t t 73 ) 2343 m t t ) m t = = ; : La predicción para Y=X = 6 es La varianza de predicción es ^y t = x t = = : V ar (^y t ) = ^s2 R + ^s 2 R = n h = ) (^y t ) = :

10 10 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Un intervalo de predicción al 90 % para y t es y t t ) y t = = ; : Análogamente, se realizan los cálculos para x q = 12: El estimador de m t = E (Y=X = 12) es ^m q = = : Su valor de in uencia es h q = 1! n 1 + xq x 2 = 1 s R ! = = ) n q = 1 h q = (número de observaciones equivalente): La varianza de ^m q es V ar ( ^m q ) = ^s2 R n q = = : ) ( ^m q ) = : Un intervalo de con anza al 90 % para m q es m q t ) m q = = ; : La predicción de Y=X = 12 es ^y q = = : V ar (^y q ) = ^s2 R + ^s 2 R = n q ) (^y q ) = : Un intervalo de predicción al 90 % para y q es y q t ) = : y q = = ; :

11 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 11 En la tabla adjunta se pueden comparar las longitudes de los intervalos calculados Longitudes de los intervalos calculados Int. Con anza de (E (Y=x)) Int. Predicción de (Y=x) núm. equivalente de observaciones x t = x q =

12 12 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1.3. Problemas propuestos de regresión lineal simple. Problema 4.4. (este problema se puede resolver utilizando calculadora) En la tabla adjunta se presentan el número de páginas y el precio de doce libros técnicos: páginas precio páginas precio páginas precio Con estos datos se obtiene: (X el número de páginas e Y el precio): P 12 X i = 4;330; P 12 Y i = ; P 12 X2 i = 1;714;700; P 12 Y 2 i = ; P 12 X iy i = 20;663: 1. Ajustar una recta de regresión que explique el precio en función del número de páginas e interpretar los resultados. 2. Construir la tabla ANOVA asociada. Es el ajuste adecuado? 3. Calcular intervalos de con anza al 90 % para los parámetros del modelo. 4. Calcular un intervalo de con anza al 90 % para el precio de un libro de 500 páginas. Problema 4.5. La resistencia del cemento (r) depende, entre otras cosas, del tiempo de secado del cemento (t). En un experimento se obtuvo la resistencia de bloques de cemento con diferente tiempo de secado los resultados fueron los siguientes (Hald, A. (1952) Statistical theory with engneering applications. Wiley & Sons). En base a esta muestra, Tiempo (días) Resistencia (kg=cm 2 ) Analizar la posible existencia de una relación entre estas dos variables. 2. Qué conclusiones se deducen del contraste de regresión y del contraste de linealidad? 3. Si se utilizase un ajuste cuadrático se obtienen mejores resultados?

13 Prácticas y problemas de regresión lineal simple Estudiar el modelo paramétrico propuesto por A. Hald que estudiba la relación del logaritmo de la resistencia del cemento sobre la inversa del tiempo de secado. Problema 4.6. La variable (Y ) representa, en miles, el número de asnos en España y la (X) el tanto por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación. año Y X año Y X año Y X ; ; ; Representar gra camente estos datos. 2. Construir la recta de regresión que explique el comportamiento de la variable tanto por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación en función de la variable el número de asnos en España e interpretar los resultados 3. Es signi cativo el coe ciente de correlación entre estas dos variables? 4. Los residuos asociados al ajuste de la regresión lineal son independientes? 5. Representar las variables X e Y frente al tiempo. Calcular los coe cientes de correlación y rectas de regresión de las variables X e Y respecto al tiempo. Nota: Estos datos son recogidos del texto de Daniel Peña Estadística modelos y métodos. Vol. 2. Modelos lineales y series temporales. Alianza Universidad Textos. Es un claro ejemplo de variables entre las que existe una alta correlación estadística pero no existe relación entre las mismas (correlaciones espúreas), su relación estadística es debida a la relación que ambas tienen con una tercera (el tiempo) y que no se tiene en cuenta en el estudio. Problema 4.7. Se llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre el número de años de experiencia (X) y el salario mensual, en miles de pesetas, (Y ) entre los informáticos de una región española. Se tomó una muestra aleatoria de 17 informáticos y se obtuvieron los siguientes datos Exper. Salario Exper. Salario Exper. Salario

14 14 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1. Calcular la regresión lineal de la variable salario frente a años de experiencia. Calcular intervalos de con anza al 95 % para los coe cientes de este modelo. 2. Calcular el coe ciente de correlación lineal y el coe ciente de determinación. Con = se puede rechazar la hipótesis de que el coe ciente de determinación es cero? 3. Calcular intervalos de con anza al 90 % y 95 % para la predicción del salario de un informático que tiene 8 años de experiencia. 4. Se observa alguna anomalía en el grá co de los residuos frente a la regresora. Problema 4.8. El siguiente conjunto de datos era tomado sobre grupos de trabajadoras de Inglaterra y Galés en el período de Cada grupo está formado por trabajadores de la misma profesión (médicos, trabajadores textiles, decoradores,...etc,) y en cada uno de los veinticinco grupos muestrados se han observado dos variables: el índice estandarizado de consumo de cigarrillos y el índice de muertes por cáncer de pulmón. (Occupational mortality: the registar general s decennial supplement for England and Wales, , series Ds, n.1, London:HMSO,149). x y x y x y Estudiar la regresión lineal del índice de mortalidad frente al índice de fumadores. 2. Calcular la tabla ANOVA. Conclusiones. 3. Comprobar si se veri can las hipótesis del modelo. Problema 4.9. Anscombe utilizó el siguiente conjunto de datos para demostrar la importancia de los grá cos en el análisis de regresión y correlación. Hay cuatro conjuntos de datos bidimensionales (X; Y ), el vector X es el mismo para los tres primeros conjuntos. 1. Para cada uno de los cuatro conjuntos de datos, calcular la recta de regresión de Y frente a X y el coe ciente de correlación. 2. Para cada uno de los cuatro casos, dibujar la grá ca de Y frente a X y la grá ca de los residuos frente a las predicciones. Qué conclusiones se deducen?

15 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 15 X1 = X2 = X3 Y 1 Y 2 Y 3 X4 Y Problema Los datos de la tabla adjunta muestran la cantidad de ozono registrada (Y ) y su presión parcial (X) para cada capa de altitud. Cada capa tiene aproximadamente un kilómetro de altura. Por conveniencia las capas se han escalado a un intervalo de -7 a Hacer una grá ca de estos datos, es razonable un ajuste lineal? 2. Ajustar una función de regresión lineal del ozono frente a la capa. Calcular la tabla ANOVA y los contrastes de regresión y de linealidad. Conclusiones. 3. Analizar detenidamente los residuos. Se veri can las hipótesis estructurales del modelo? Son los datos homocedásticos? 4. Existe un modelo no lineal que mejore el ajuste lineal?. Capa Ozono Capa Ozono Problema El chero problema-4-11 contiene once variables de 200 datos. La primera variable se corresponde con el vector de predicción de un ajuste lineal simple y las restantes diez variables se correponden con diferentes vectores de residuos del

16 16 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar ajuste. Utilizando básicamente métodos grá cos (grá co de residuos frente a predicciones, histograma, grá co de normalidad, grá co de residuos frente al índice, correlograma,...) contratar si se veri can las hipótesis básicas estructurales del modelo de regresión lineal o indagar la existencia de posibles problemas en el ajuste. Problema En 34 lotes de 120 libras de cacahuetes se observó el nivel medio de a atoxin (partes por billón) (X) y el porcentaje de cacahuetes no contaminados (Y ) : X Y X Y X Y X Y X Y Analizar estos datos e investigar la relación entre estas dos variables para predecir Y en función de X. Es adecuado el ajuste lineal? 2. Veri can los residuos las hipótesis estructurales? 3. Intentar encontrar un ajuste paramétrico que mejore al lineal. Problema En quince casas de la ciudad de Milton Keynes se observó durante un período de tiempo la diferencia de temperatura promedio (en grados centígrados) entre la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el consumo de gas diario en kwh. Dif. temp Consumo Dif. temp Consumo Dif. temp Consumo Hacer una grá ca de los datos. Existe relación entre estas dos variables? 2. Se puede explicar el consumo de gas por una relación lineal con la diferencia de temperatura?. 3. Ajustando un polinomio de mayor grado, se obtiene un mayor coe ciente de determinación?, qué modelo es preferible?. Problema Se midió la altura (en centímetros) y el peso (en kilogramos) de treinta chicas de once años del Heaton Meiddle School de Bradford. Estudiar estos datos y la relación entre ambas variables.

17 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 17 Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso Dibujar la grá ca de estas observaciones y calcular la recta de regresión de peso frente a altura y la de altura frente a peso. 2. En la regresión lineal de peso frente a altura, se observa alguna observación atípica?. 3. Existen observaciones in uyentes? 4. Contrastar las hipótesis estructurales del modelo. Problema El contenido en hierro de las escorias de los altos hornos puede ser determinada por una prueba química en laboratorio o, de forma más barata y rápida, por un test magnético. Se está interesado en estudiar la relación entre los resultados del test químico y del test magnético. En particular, se desea saber si a partir de los resultados del test magnético (X) se pueden estimar los resultados del test químico (Y ) sobre el contenido del hierro. Para ello, se han realizado los dos test a un conjunto de lotes recogidos secuencialmente en el tiempo. Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta. Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag Analizar estos datos. Hacer un estudio descriptivo y grá co de los mismos. 2. Estudiar la relación entre los tests, es adecuado el ajuste lineal? 3. Chequear las hipótesis del modelo. 4. Existe un ajuste linealizable o polinómico que mejore al ajuste lineal?

18 18 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema Utilizando los datos del chero problema-4-16 que contiene datos de variables de coches. 1. Estudiar la regresión lineal entre la variable mpg (miles per galon: inversa del consumo) y la regresora accel (aceleración). Existe un ajuste mejor que el lineal? 2. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora weight (peso). 3. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora price (precio). 4. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora displace. 5. Estudiar la regresión lineal entre price y la regresora accel (aceleración). 6. Utilizando un ajuste linealizable se mejoran los ajustes lineales estudiados? 7. Estudiar la existencia de datos atípicos y datos in uyentes en los ajustes lineales o linealizables obtenidos. Problema Los siguientes datos representan el Producto Nacional Bruto de USA (X) y los gastos de consumo (Y ) en miles de millones de dólares de 1972, entre los años Año PNB GC Año PNB 1; ; ; ; ; ; ; GC Año PNB 1; ; ; ; ; ; ; GC Ajustar un modelo lineal e interpretar los coe cientes de regresión estimados. 2. Hacer la grá ca de los residuos frente al tiempo. Estudiar la hipótesis de independencia. 3. Si existe una autocorrelación positiva, transformar los datos y ajustar el modelo de regresión lineal a los datos (mínimos cuadrados generalizados). Problema Para las compañías de seguros de hogar tiene interés estimar el coste de reemplazar algunos objetos. Una de estas compañías estaba interesada en estimar el coste de reemplazar una colección de 1554 libros a partir de una muestra de 100 libros. El coste de los cien libros muestrales se obtenía de los catálogos de las editoriales y si algún libro estaba descatalogado su valor se calculaba utilizando el precio de un libro de similares características. Los precios están en peniques.

19 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 19 Dado que el valor de los libros era muy variable, en un intento de conseguir una mayor exactitud, se utilizó como regresora para explicar el precio de un libro el ancho del lomo del mismo (medido en milímetros). El ancho total de los libros era de mm. Los datos de los cien libros se encuentran en el chero problema En base a estos datos, se pide: 1. Analizar estadísticamente las variables precio y ancho del libro. 2. Existe una relación entre ambas variables? 3. Estimar el coste de toda la colección. En una primera aproximación sin tener en cuenta la variable ancho de los libros y, en segundo lugar, teniendo en cuenta esta variable. Problema El chero problema-4-19 contiene datos de dos nubes de puntos bidimensionales ((x; Y 1 ) y (x; Y 2 )). Estos datos son debidos a Wampler y los generó por simulación para comprobar cuando un determinado programa estadístico realiza con exactitud el ajuste por mínimos cuadrados. 1. Ajustar a estas dos nubes de puntos un polinomio. 2. Qué grado de polinomio se debe ajustar?, es el ajuste bueno? exacto?. Problema Los datos de la tabla adjunta son el conjunto clásico de datos del test psicológico de Strong sobre retención de memoria. Los datos se tomaban de la siguiente manera: un conjunto de individuos memorizaban una lista de objetos inconexos y pasado un tiempo la recordaba. La variable p indica el porcentage de retención de memoria en promedio y la variable t es el tiempo transcurrido. El objetivo del estudio era explicar la variable p en función de t: t p t p t p t p Analizar este conjunto de datos y estudiar la relación de la variable p respecto a t: 2. Estudiar analítica y gra cámente un modelo del tipo p = exp( t) que sugiere una pérdida geométrica de la memoria. 3. Estudiar analítica y gra cámente un modelo del tipo log p = t: Qué interpretación tiene este modelo?, Qué ajuste es mejor?.

20 20 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema El chero problema-4-21 contiene datos de 78 ciervos de Escocia en los que se estudia el crecimiento de los dientes. Para todos los ciervos de un rebaño se supone que el crecimiento de los dientes naliza a la misma edad y después la velocidad de desgaste es la misma para todos los animales y constante en el tiempo. La aleatoriedad en los resultados es debida al peso de la corona en la madurez que sigue una distribución normal y la edad de la madurez no es conocida con exactitud. A los ciervos de la muestra se les tomo la edad y el peso en gramos del primer molar. En base a estos datos: 1. Estudiar la relación del peso respecto a la edad. 2. Hacer los contrastes de regresión y de linealidad. 3. Analizar los residuos, se veri can las hipótesis básicas?. Problema En los sitemas productivos de ovejas tiene un gran interés controlar las necesidades energéticas de cada animal ya que in uyen en la predicción de la producción de carne. Por ello, se ha tomado una muestra de 64 ovejas australianas y, a cada una de ellas, se le controló su peso x (en kilogramos), y sus necesidades energéticas diarias Y medidas en Mcal/día. Los resultados de la muestra se presentan en el chero problema En base a estos datos muestrales: 1. Estudiar la relación lineal de Y respecto a x: 2. Estimar la media de consumo energético de las ovejas que pesan 30, 40, 50 y 60 Kgr. Calcular intervalos de con anza al 90 % para estos valores. Hacer el mismo cálculo pero considerando la predicción del consumo energético de una oveja de ese peso. Calcular intervalos de predicción. Problema El chero problema-4-23 contiene dos conjuntos de datos bidimensionales en los que no existe una relación lineal pero si es fácil encontrar la relación existente entre las dos variables. El primer conjunto tiene 25 observaciones de molinos de viento para la producción de energía eléctrica, la variable X1 mide la velocidad del viento y la variable Y 1 mide la corriente eléctrica obtenida. El segundo conjunto tiene 19 observaciones relativas a la producción del papel, la variable X2 mide la resistencia del papel fabricado y la variable Y 2 mide la proporción de madera en la pulpa a partir de la cual se obtiene el papel. 1. En ambos casos, dibujar la grá ca de la nube de puntos. 2. Obtener el modelo de regresión que mejor se ajusta a la nube de observaciones. Existe ajustes que mejoran al lineal?, el ajuste realizado es su cientemente bueno? 3. Analizar los residuos de los modelos ajustados.

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