ANÁLISIS DE LAS PRESIONES QUE SE TRANSMITEN AL SUELO EN UNA ESTRUCTURA CIMENTADA CON UNA MALLA DE CIMENTACIÓN RESUELTA CON CEINCI_LAB

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1 ANÁLISIS DE LAS PRESIONES QUE SE TRANSMITEN AL SUELO EN UNA ESTRUCTURA CIMENTADA CON UNA MALLA DE CIMENTACIÓN RESUELTA CON CEINCI_LAB Roberto Aguiar Falconí (1), Andrés Carrillo (2), Stalin López (2) y Gabriela Subia (2) (1) Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército raguiar@espe.edu.ec (2) Estudiantes de sexto nivel Carrera de Ingeniería Civil Escuela Politécnica del Ejército RESUMEN Se va a resolver una estructura de un piso compuesta por seis columnas, y cinco pórticos, para esto se calcularan sus reacciones y se analizara como se transmiten estas fuerzas hacia la malla de cimentación, se verá el comportamiento de estos pórticos frente a cargas verticales y sísmicas. En este articulo el ejercicio presentado a continuación será resuelto mediante un programa de computación que sirve para el análisis de mallas espaciales de cimentación sobre un medio considerado elástico, el programa se denomina CEINCI_LAB (Dr. Roberto Aguiar Falconí), cuya programación se adjunta en el ANEXO 1 para pórticos planos y el ANEXO 2 para mallas de cimentación, el propósito del programa es su uso para simplificar el cálculo de los pórticos y de la malla de cimentación, se muestra a continuación el desarrollo de este ejemplo. ABSTRACT It will solve a one-story structure consisting of six columns and five porches, for this is calculated and tested their reactions as these forces are transmitted to the foundation mesh, will be the behavior of these frames against vertical loads and seismic. This article is presented below the exercise will be solved by a computer program that serves the space mesh analysis of foundations on elastic half considered, the program is called CEINCI_LAB (Dr. Roberto Aguiar Falconi), whose use simplifies the calculation of the frames and mesh foundation will be shown below the development of this example.

2 36 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ 1. INTRODUCCIÓN Para la cimentación de estructuras es muy usual hacerlo con mallas de cimentación, el cual requiere de un cálculo muy extenso, con la ayuda de los programas informáticos y en este caso con una potente herramienta como lo es MATLAB se hace un poco más fácil el cálculo y un trabajo más rápido. Este articulo trata de la metodología utilizada para resolver mallas de cimentación usando para este propósito el programa CEINCI_LAB. El programa fue utilizado para la resolución de una casa de un piso con sus características geométricas descritas así como diferentes estados de carga. 2. MARCO TEÓRICO 2.1. Pórticos Planos La ecuación diferencial que gobierna la flexión (1), en un elemento de sección constante despreciando el efecto de corte para elementos de un pórtico plano es: 4 d v = 4 dx Po EI (1) Donde Po es la carga transversal, uniforme distribuida, que actúa en el elemento, I es el momento de inercia a flexión y v es la ordenada transversal de la elástica. La solución de la ecuación diferencial es: (2) Donde la solución homogénea es la mostrada en la ecuación (3): Las funciones de forma para miembros lineales totalmente flexibles de sección constante son las siguientes: X φ 1( x) = 1 L (4) 2 3 X X (5) φ2( x) = L L 2 X φ ( x) = X 1 (6) 3 L X φ ( x) = (7) 4 L 2 X X φ ( x) = 3 2 (8) 5 2 L L 2 X ( ) X (9) φ x = 1 6 L L (3)

3 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 37 Para la resolución de Pórticos Planos con elementos totalmente flexibles utilizando la teoría de análisis matricial, debemos numerar los nudos existentes en la estructura, cada uno con tres grados de libertad (desplazamiento en x, desplazamiento en y, rotación), para el caso de los apoyos del pórtico, dependiendo del tipo su numeración será: Apoyo móvil: [1 0 1] Apoyo fijo: [0 0 1] Empotramiento: [0 0 0] Con esta numeración obtenemos el vector de coordenadas generalizadas (cg), en el cual cada fila representa los nudos del pórtico y su numeración, vector con el cual podemos definir los grados de libertad del pórtico siendo el mayor número encontrado en el vector de coordenadas generalizadas, véase Figura 1. Aguiar (2004) nudoa cg = 1 23 nudob 405 nudoc Figura 1 Pórtico plano Con la ayuda del cg vamos a obtener el vector de colocación (vc), el cual consiste en posicionar en cada fila los grados de libertad de los nudos iniciales y finales de cada elemento vc = Para poder resolver por completo un pórtico plano debemos encontrar la matriz de rigidez de la estructura (K) la cual es simétrica y cuadrada, de dimensiones iguales al número de grados de libertad del pórtico. Para poder encontrar la matriz K existen diferentes métodos, sin embargo en este artículo vamos a hallarla mediante ensamblaje directo, con la ayuda del vector de colocación y la matriz de rigidez de cada elemento ( k 3 ). La matriz de rigidez de un elemento totalmente flexible en coordenadas globales tiene una dimensión de 6x6, es simétrica y depende de su módulo de elasticidad (E), inercia (I), longitud (L), área (A) y de su orientación (α ), siendo C = cosα, S = senα. Aguiar (2004). Para hallar la matriz de rigidez de la estructura K, ubicamos el vector de colocación de cada elemento sobre su respectiva matriz de rigidez k 3 y al costado derecho, el vector de colocación ubicado sobre la matriz nos indica a que columna de la matriz K debe ir el elemento, y la del

4 38 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ costado derecho a que fila. Entonces los elementos que tengan en el vector de colocación 0, no contribuirán a la matriz K. (10) Se debe hallar el vector de cargas generalizadas (Q) del pórtico plano, para hacerlo debemos: Hallar el vector de cargas de empotramiento perfecto de cada elemento en coordenadas locales Q 2. Calcular el vector de empotramiento perfecto de cada elemento en coordenadas locales Q 3, utilizando la matriz de paso T 2-3 con la ecuación: Q 3 = T2 3 *Q2 (11) Ensamblar Q 3 en Q, mediante el vector de colocación, cuando el vector de colocación es cero, queda cero en el vector Q, cuando es diferente de cero se obtiene del vector Q 3 la cantidad respectiva y se ensambla, el vector de colocación indica la posición del vector Q 3 que debe tomarse para el vector Q Una vez hallado Q y K, se procede a resolver un sistema de ecuaciones lineales para hallar el vector de desplazamientos y giros ( q ), en la ecuación. Aguiar (2004): Q = K * q (12) Se debe hallar el vector de deformaciones (p) de cada elemento de cada elemento en coordenadas globales y se lo hace utilizando el siguiente algoritmo: Encerar el vector p, para elementos totalmente flexibles tiene 6 elementos. Ensamblar q en p mediante el vector de colocación, cuando el vector de colocación es cero, queda cero en el vector de deformaciones, cuando es diferente de cero se obtiene del vector q la cantidad respectiva y se ensambla, el vector de colocación indica la posición del vector q que debe tomarse para el vector p. Finalmente para hallar las acciones de cada elemento en coordenadas globales P, se debe multiplicar el vector de deformaciones (p) de cada elemento, por su respectiva k 3. Aguiar (2004). P = k * p 3 (13)

5 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE Mallas de cimentación La presente tiene como objetivo la resolución de mallas de cimentación sobre un suelo que se considera elástico. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento a flexión (14) y torsión (15) de una malla de cimentación son las siguientes. Aguiar (2006): (14) (15) Las variables utilizadas en las ecuaciones (12) y (13) son: β coeficiente de balasto del suelo, r ancho de la viga de cimentación, w componente de desplazamiento vertical de un punto situado a una distancia x de la viga, EI rigidez a flexión, P o carga vertical que gravita sobre la viga, GJ rigidez a torsión, θ t giro a torsión, M t momento a torsión. La solución de la ecuación diferencial (12) se resume en la Tabla 1. Aguiar (2006.) Tabla 1 Expresiones finales de la solución de una viga de cimentación La forma de interpretar cada una de las ecuaciones de la Tabla 1 es la siguiente: V = V 2EI + 3 λ [( A2 A3) c& C& + ( A1 A4) c& S& + ( A1 + A4) sc & & + ( A2 A3) ss & &] 0 + ( 16 ) Donde V o es la solución particular del cortante que depende del tipo de carga que gravita en la viga. (17) De otra parte, A1, A2, A3 y A4 son constantes de integración, las mismas que se calculan con la Tabla 2. Aguiar (2006).

6 40 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Tabla 2 Formulario para calcular las constantes de integración Solución homogénea para los elementos de la matriz de rigidez. Aguiar (2006): (18) (19) Solución particular que depende de la forma del momento torsor M t. Aguiar (2006): Momento de torsión de una viga en un punto cualquiera: (20) (21) En la figura 2 se indica el sistema de coordenadas globales de un elemento de una malla de cimentación sobre suelo elástico. El eje del elemento forma un ángulo α con el eje de las X. La matriz de rigidez en coordenadas globales es la indicada en la ecuación ( 22 ) α 3 Figura 2 Coordenadas globales de un elemento de una malla espacial.

7 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 41 (22) (23) (24) (25) 3. CEINCI-LAB CEINCI_LAB es un programa creado de forma tal que el usuario lo va armando como un rompecabezas, contiene varias subrutinas las mismas que se complementan para su funcionamiento. El contenido de las carpetas Portico y Malla_Cimentacion se indican en la figura 3. Nótese que no se han colocado las tildes en el nombre de las carpetas ya que dan problemas en MATLAB.

8 42 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Figura 3 Contenido de las carpetas Portico y Malla_Cimentación de CEINCI-LAB. 3.1 Programas de la carpeta Portico gn_portico: Programa para generar el nudo inicial y final de los elementos, nos presenta los vectores del nudo inicial y del nudo final de la estructura. Datos para el uso del programa: GEN= Matriz con: elemento, nudo inicial, nudo final, elemento a generar, incremento en elemento, incremento en el nudo inicial, incremento nudo final glinea_portico: Programa para generar las coordenadas de los nudos en forma lineal. Datos para el uso del programa: NUDOS=Matriz con: Nudo, coordenadas en x, coordenadas en y, nudos a generar, incremento numero de nudo, incremento en x, incremento en y dibujo: Programa para dibujar la estructura la cual se nos presenta en una ventana grafica que nos permite verificar las dimensiones para poder continuar con el desarrollo del programa. Datos para el uso del programa: Vector de coordenadas en X Vector de coordenadas en Y Vector de nudos iniciales (de cada elemento) Vector de nudos finales (de cada elemento) vc_portico: Programa para calcular el vector de colocación de un pórtico plano. Datos para el uso del programa: Vector de nudos iniciales (de cada elemento) Vector de nudos finales (de cada elemento) Matriz que contiene las coord. generalizadas de nudos longitud: Programa que calcula la longitud, seno y coseno de los elementos. Datos para el uso del programa: Vector de coordenadas en X Vector de coordenadas en Y

9 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 43 Vector de nudos iniciales (de cada elemento) Vector de nudos finales (de cada elemento) glem_portico: Programa para generar elementos de un pórtico plano. Datos para el uso del programa: SECCION= Matriz con: Elemento, base, altura, incremento a generar, incrementó en el elemento krigidez: Programa para calcular la k de rigidez de un pórtico plano mostrándonos como resultado la matriz de rigidez de la estructura. Datos para el uso del programa ELEM= Matriz que contiene: la base y la altura de los elementos Vector que contiene la longitud de los elementos Vector que contiene los senos de los elementos Vector que contiene los cosenos de los elementos Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos Modulo de elasticidad del material Cargas: Programa para calcular el vector de cargas generalizadas y el vector de empotramiento perfecto en coordenadas locales de todos los elementos. Datos para el uso del programa: Numero de juntas cargadas Numero de miembros cargados Numero de Grados de libertad Longitud, Seno, Coseno Vector de coordenadas generalizadas Matriz de vectores de colocación F=Matriz de: nudo cargado, fuerzas horizontales, verticales, momento Fm=Matriz de: Número de elemento, carga, código, elemento a generar, incremento en el número de elemento Fuerzas: Programa para calcular: Deformaciones, fuerzas (Problema Complementario), fuerzas finales en coordenadas locales de cada uno de los elementos. Datos para el uso del programa: Numero de Grados de libertad ELEM= Matriz que contiene: la base y la altura de los elementos Vector que contiene la longitud de los elementos Longitud, Seno, Coseno Vector de colocación Modulo de Elasticidad Vector de coordenadas generalizadas (Desplazamientos y giros) Matriz que contiene acciones de empotramiento de elementos

10 44 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ 4. DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA La estructura a ser analizada es descrita en la figura 4 que se indica a continuación, las cargas utilizadas son: D=400 Kg/m 2, L=200 Kg/m 2 y la carga S es el 10% de la carga total soportada por la estructura, un balasto para el suelo de 2000 T/m 3, un esfuerzo a la rotura de 30 T/m 2, un esfuerzo admisible de 10 T/m 2 en carga vertical y 15 T/m 2 ante cargas sísmicas, se usaran unas columnas de 30x30 y unas vigas de 30x25. A B C 1 3 m 1.5 m. 1.5 m 1 m 1.5 m 1.5 m 1 m 1.5 m 2 Figura 4 Vista en planta de la estructura En la figura 5 se indica el tipo de carga y el valor de las mismas, para los pórticos 1 y 2 y para los pórticos A y C. Estas cargas son correspondientes al estado de carga D. Tenga en cuenta que no son cargas mayorizadas ya que para el control de la presión transmitida al suelo se trabaja con cargas de servicio. 0.6 T/m T/m T/m 2 30/25 30/25 30/ m. 30/30 30/30 30/30 30/30 30/30 Pórtico 1=2 Figura 5 Estado de carga D Pórtico A=C

11 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 45 La figura 6 es similar a la figura 5 pero en este caso se tienen las cargas vivas L. 0.3 T/m T/m T/m 2 30/25 30/25 30/ m. 30/30 30/30 30/30 30/30 30/30 Pórtico 1=2 Figura 6 Estado de carga L. Pórtico A=C La carga vertical del pórtico B, es el doble de las cargas verticales de los pórticos A y C. En la figura 7 se indican sus valores para el caso de carga muerta, a la derecha y para el caso de carga viva a la izquierda. 1.2 T/m T/m 2 30/25 30/25 30/30 30/30 30/30 30/30 Pórtico B Pórtico B Figura 7 Estado de carga D y L para pórtico B 0.54 T 0.54 T Pórtico 1=2 Pórtico A=B=C Figura 8 Estado de carga S

12 46 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Para el estado de carga sísmico S, se consideró que la fuerza lateral es la décima parte del valor total de la carga vertical. El estado de carga S, se indica en la figura RESULTADOS Luego de resolver cada uno de los pórticos en el programa CEINCI_LAB, se obtienen las reacciones indicadas en las figuras 9 A 12. Como se analiza únicamente la cimentación solo se indican las reacciones. Es importante notar que para los estados de carga D y L las reacciones horizontales se anulan entre sí de tal manera que para estos estados de carga no existen fuerza horizontal que se transmite a la cimentación, solamente existen fuerzas horizontales del estado de carga S T T T T T T T 0.45 T 0.45 T Tm Tm Tm Tm Figura 9 Reacciones para el estado de carga D en el pórtico 1=2 y pórtico A=C T T T T T T T T T Tm Tm Tm Tm Figura 10 Reacciones para el estado de carga L en el pórtico 1=2 y pórtico A=C

13 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE T T T T T T T T T T Tm Tm Tm Tm Tm Figura 11 Reacciones para el estado de carga S en el pórtico 1=2 y pórtico A=C D L T T T T 0.9 T 0.9 T 0.45 T 0.45 T Tm Tm Tm Tm Figura 12 Reacciones para el estado de carga D y L en el pórtico B Una vez halladas las reacciones en cada uno de los pórticos, se procede a encontrar fuerzas y momentos que se transmiten a la cimentación, cambiadas de signo. Para la fuerza vertical se debe sumar las fuerzas que se tienen en los pórticos ortogonales Figura 13 Numeración de nudos y elementos

14 48 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ En la figura 13 se indica la numeración de los nudos y miembros de la malla espacial de las vigas de cimentación. Los momentos a flexión de los pórticos 1 y 2 pasan con sentido contrario a la malla de cimentación, como momentos alrededor del eje y (verticales) y los momentos de los pórticos A, B y C pasan como momentos alrededor del eje x (horizontales) Tm Tm Tm Tm Tm Tm Figura 14 Estado de cargas D, que gravitan en la malla de cimentación. En las figuras 14 y 15 se indican las cargas que se transfieren a la cimentación de los pórticos debido a los estados de carga D y L. Las figuras 16 y 17 corresponden a los estados de carga +S y S, respectivamente Tm Tm Tm Tm Tm Tm Figura 15 Estado de carga L

15 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE Tm Tm Tm Tm Tm Tm T T T Tm T T T Tm Tm Tm Tm Tm Figura 16 Estado de carga +S Tm Tm Tm Tm Tm Tm T T T Tm T T T Tm Tm Tm Tm Tm Figura 17 Estado de carga -S Con los estados de carga D, L, +S y S indicados en las figuras 17se procede a realizar las siguientes combinaciones de carga, para el control de las presiones transmitidas al suelo. Estas combinaciones se indican en las figuras 18 a 22. i. D+L ii. D+L+S iii. D+L-S iv. D+S v. D S

16 50 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Tm Tm Tm Tm Tm T T T T T T Tm Tm Tm Tm Figura 18 Estado de carga D+L Tm Tm Tm Tm T T T T T T Tm Tm Tm Tm Tm Figura 19 Estado de carga D+L+S

17 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE Tm Tm Tm Tm T T T T T T Tm Tm Tm Tm Figura 20 Estado de carga D+L-S Tm Tm Tm Tm Tm Tm T T T Tm T T T Tm Tm Tm Tm Tm Figura 21 Estado de carga D+S Para los estados de carga en que interviene el sismo se considera el 25% de la carga viva, debido a que la probabilidad de que se registre un sismo con toda la carga viva es mínima. Aguiar (2008). Cada uno de los estados de carga indicados en las figuras 18 a 22 fue resuelto utilizando CEINCI-LAB. Los resultados para el estado de carga D+S se indican a continuación en la forma como reporta el programa, para los restantes estados de carga se presentan estos resultados en forma gráfica.

18 52 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Tm Tm Tm Tm T T T Tm T T Tm Tm Tm Figura 22 Estado de carga D-S CARGA: D + L ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 1 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t Los valores de la primera columna corresponden al punto X, medido a partir del nudo inicial, los de la segunda columna al desplazamiento vertical, considerando positivo hacia abajo, los de la tercera columna al giro a flexión, horario positivo, los de la cuarta columna al momento a flexión, con la convención de signos de resistencia de materiales, es decir es positivo si la tracción está en la fibra inferior, los de la quinta columna son el cortante con la convención de signos de resistencia de materiales, los de la sexta la presión transmitida al suelo y los de la última columna corresponden a los momentos a torsión. ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 2 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t

19 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 53 Es importante verificar que los desplazamientos sean todos positivos ya que un desplazamiento negativo significa que el suelo se está levantando, que el suelo está trabajando a tracción y el suelo no puede trabajar a tracción. Si sale negativo se debe incrementar las secciones de la viga. ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 3 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t Los valores más importantes que se deben chequear son los de la sexta columna. La presión transmitida al suelo. Para los estados de carga en que no actúa el sismo, la presión transmitida debe ser menor a 10 T/m 2. Si se excede este valor se debe incrementar las secciones de las vigas. Nótese que en los extremos de las vigas se tienen las máximas presiones y en el centro las presiones son muy bajas. ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 4 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t Para los estados de carga en que actúa el sismo la presión admisible, para el ejemplo que se está desarrollando, tiene que ser menor a 15 T/m 2. El suelo del ejemplo tiene un esfuerzo de rotura de 30 T/m 2. En base a este valor se obtuvieron los esfuerzos máximos para cargas sin y con sismo. Cuando actúa el sismo el esfuerzo admisible es mayor ya que el suelo ante cargas de corta duración responde de mejor manera. ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 5 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t Para el diseño de los elementos se deben obtener estados de carga mayorados, para tener momentos y cortantes últimos.

20 54 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 6 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t ANÁLISIS CADA CUARTO DE LUZ ELEMENTO 7 X Desplaz Giro f Momento Corte Presión Momento t A continuación se presentan en la figura 23 los diagramas de corte de los elementos 1 y 2, para cada uno de los cinco estados de carga. Se omite la presentación de los resultados de los demás elementos, para no alargar más la exposición. 1.5 Diagrama de corte elementos 1 y Corte D+L D+L+S -1.5 D+L-S D+S D-S Distancia Figura 23 Diagrama de corte elementos 1 y 2

21 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE Diagrama de momentos elementos 3 y Momento D+L D+L+S D+L-S D+S D-S Distancia Figura 24 Diagrama de momentos elementos 3 y 4 En la figura 24 se muestran los momentos a flexión obtenidos para los elementos 3 y 4 en cada uno de los estados de carga. El objetivo del artículo era mostrar el uso de CEINCI-LAB para el análisis de mallas de cimentación, por esta razón es importante mirar los programas de computación que se han elaborado en MATLAB que constan en los anexos 1 y 2. El anexo 1 corresponde al cálculo de las reacciones de un pórtico y el anexo 2 al cálculo de la malla de cimentación para los diferentes estados de carga. 6. CONCLUSIONES Se ha indicado la forma como se realiza el control de las presiones transmitidas al suelo en una malla de cimentación, de una estructura de un piso. Para quien se inicia en el estudio de las estructuras esta parte es muy interesante para ver como se transmiten las cargas de los pórticos a la cimentación. Para quienes ya tienen experiencia lo más interesante es ver como se utilizan los programas de las diferentes carpetas de CEINCI-LAB. Se aspira haber sido un aporte al desarrollo de la Ingeniería Estructural. AGRADECIMIENTO Al Crnl. Carlos Rodríguez Arrieta, Vicerrector Académico de la ESPE, por el apoyo que da a los profesores de la Escuela Politécnica del Ejército para que puedan cumplir a cabalidad su labor docente y por la preocupación constante de que los alumnos de la ESPE salgan muy bien preparados.

22 56 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p., Sangolquí. 2. Aguiar R., (2005), Análisis Estático de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha, 161 p. Quito. 3. Aguiar R., (2008), Análisis Sísmico de Edificios, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 320 p., Sangolquí. ANEXO 1 function reacciones_portico_ej2 clear all close all echo off % % Programa para encontrar las reacciones de un pórtico % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 % % Ejemplo 2 % nod=4; % Número de nudos del pórtico plano CG=[1 2 3;1 4 5;6 7 8;6 9 10]; ngl=10; % Número de grados de libertad % MATRIZ DE GENERACION DE NUDOS DE LOS ELEMENTOS GEN=[ ; %elem, ni, nf, elem a gene, inc en elem, inc en ni, inc en nf ]; % Generación de vector NI (Nudo Inicial) y NJ (Nudo Final) de elementos [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % MATRIZ DE GENERACION DE COORDENADAS DE LOS NUDOS NUDOS=[ ;% i, xi, yi, nudos a gener, incr num nudo, dx,dy ]; % Generación de las coordenadas de los nudos [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % Dibuja el portico plano dibujo (X,Y,NI,NJ) % Vector de colocación [VC]=vc_portico(NI,NJ,CG); % Longitud, Seno y Coseno de elementos [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); % Vector de cargas generalizadas % Secciones de los elementos SECCION=[ ; % Eleme, base, altura, elem a gener, increm en elem ]; [ELEM]=gelem_portico(SECCION);

23 AGUIAR R., CARRILLO A., LÓPEZ S., SUBÍA G. CEINCI-ESPE 57 % Matriz de rigidez de la estructura E=250000; % Modulo de elasticidad del material [K]=krigidez(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E); r=[1:ngl];r1=[1,2,3,4,5]; %Grados de libertad de base fija r2=setdiff(r,r1); %Grados de libertad de nudos libres Kaa=K(r1,r1);Kab=K(r1,r2);Kbb=K(r2,r2); % Cargas solo en los elementos horizontales njc=0; F=0; % Número de juntas cargadas. Se debe colocar F=0 nmc=2; % Número de miembros cargados Fm=[ ]; %Elem carg, carga, código, elem a gener, incr numero elemento [Q,Q2]=cargas(njc,nmc,ngl,L,seno,coseno,CG,VC,F,Fm) % Desplazamientos y Giros de grados de libertad libres % Kaa*qa+Kab*qb=F1+R; Kab'*qa+Kbb*qb=F2 F2=Q(r2);qb=Kbb\F2; % Cálculo de las reacciones F1=Q(r1);% Son las contribuciones de los elementos R=Kab*qb-F1 for j=1:5; qa(j)=0;end; qa=qa'; % Base empotrada q=[qa;qb]; % Fuerzas y momentos finales en los elementos [FF]=fuerzas(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,q,Q2) % ---end--- ANEXO 2 function malla_cimentacion_dl % % Programa para resolver una Malla de Cimentación % icod=4 Para Mallas de cimentación % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Diciembre de 2009 % % Ejemplo 1 % clear all;close all;echo off; nod=6; % Número de nudos de malla de cimentacion nr=6; % Número de nudos restringidos %L1=4; r=0.15; h=0.20;%dimensiones de la viga %re= ; he= ; bal=2000;e= ;%balasto y módulo de elasticidad icod=4;% Código para Malla de Cimentación % % MATRIZ DE RESTRICCIONES DE LOS NUDOS RES=[ ; %Nudo, giro en X, giro en Y, desplazamiento vertical ; ;

24 58 XXI JORNADAS NACIONALES DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ ]; % Calculo de Coordenadas Generalizadas y grados de libertad [CG,ngl]=cg(nod,nr,RES); % CG Matriz de coord generalizadas % MATRIZ DE GENERACION DE NUDOS DE LOS ELEMENTOS GEN=[ ; %elem, ni, nf, elem a gene, inc en elem, inc en ni, inc en nf ; ; ; ; ; ]; % Generación de vector NI (Nudo Inicial) y NJ (Nudo Final) de elementos [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % MATRIZ DE GENERACION DE COORDENADAS DE LOS NUDOS NUDOS=[ ; ;% i, xi, yi, nudos a gener, incr num nudo, dx,dy ; ; ; ]; % Generación de las coordenadas de los nudos [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % Dibuja la viga de cimentación dibujo (X,Y,NI,NJ) % Vector de colocación [VC]=vc(NI,NJ,CG); %Longitud, Seno y Coseno de elementos [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) % Vector de cargas generalizadas njc=6; % Número de juntas Cargadas F=[ ; %Junta, Mom X, Mom Y, Carga Vertical ; ; ; ; ]; nmc=0; % Número de miembros cargados Fm=0; %Elem carg, carga, código, elem a gener, incr numero elemento [ELEM]=[r h; r h; r h; r h; r h;r h;r h]; % Base y altura de los elementos E= ; % Modulo de elasticidad del hormigon en T/m2 [Q,Q2]=cargas_cimentacion(njc,nmc,ELEM,ngl,L,CG,VC,F,Fm,bal,E); [K]=krigidez(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,icod); % Giros y Desplazamientos q=k\q % Fuerzas y momentos finales en los elementos [FF]=fuerzas(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,q,Q2,icod) % Cálculo cada cuarto de luz con convensión de resistencia de materiales cada_cuarto_malla_cimentacion(q,vc,elem,l,fm,e,bal,seno,coseno) % ---end---