CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS

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1 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS Dada la dependencia de la velocidad con la posición en un movimieno recilíneo mosrada por la siguiene gráfica, deerminar la dependencia con el iempo de la aceleración, velocidad y posición del móvil, sabiendo que x() =.75 m. V 2 x Solución: I.T.I. 95 Texo solución Tres parículas describen movimienos unidimensionales esando represenadas en las gráficas algunas de sus caracerísicas. Deerminar en cada caso: x, x, v o, v, a y ipo de movimieno. Represenar en cada caso x(), v() y a(). v() x() x() Solución: I.T.I. 93 Texo solución Física Tema Página 1

2 Tres parículas describen movimienos unidimensionales esando represenadas en las gráficas algunas de sus caracerísicas. Deerminar en cada caso: x, x, v o, v y ipo de movimieno. Represenar en cada caso x(), v() y a(). v() x() x() Solución: I.T.I. 98, 5 La primera gráfica represena un movimieno rec. unif. acelerado ya que la aceleración, represenada por la pendiene, es consane. De la gráfica obenemos que: v( ) = 2 + v = 2 m/s, a = 1 m/s 2 La ecuación para la posición con el iempo será: x( ) = x donde la posición inicial x nos es desconocida. Las graficas serán (omando x = ): x() a() La segunda gráfica represena un movimieno rec. uniforme ya que la velocidad, represenada por la pendiene, es consane. De la gráfica obenemos que: x( ) = x = 1 m, v = 2 m/s La ecuación para la velocidad con el iempo será: v( ) = 2 Física Tema Página 2

3 La gráfica será: v() La ercera gráfica represena un movimieno rec. unif. acelerado ya que se raa de una parábola (polinomio de segundo grado en ). De la gráfica obenemos que: x( ) = 1+ 2 x = 1 m, v = m/s, a = 2 m/s 2 La ecuación para la velocidad con el iempo será: v( ) = 2 Las graficas serán: a() v() Física Tema Página 3

4 Un puno recorre la miad del camino con la velocidad v. La pare resane la hace a una velocidad v 1 la miad del iempo, y a la velocidad v 2 el rayeco final. Deerminar la velocidad media del puno durane el recorrido. Solución: I.T.T. 97, 3 Si llamamos d a la longiud del camino el iempo que inviere en recorrer la primera miad será: Δ 1 = d / 2 v En la segunda miad emplea un iempo Δ 2 a velocidad v 1 y el mismo iempo a velocidad v 2 con lo que enemos que: d 2 = ( v 1 + v 2 )Δ 2 Δ 2 = d / 2 v 1 + v 2 Aplicando la definición de velocidad media enemos que: v m = d Δ = d Δ 1 + Δ 2 + Δ 2 = 2v v 1 + v 2 ( ) 2v + v 1 + v 2 Física Tema Página 4

5 v(m/s) La gráfica de v frene a muesra el movimieno recilíneo de una parícula. Para = la parícula se enconraba en el origen. a) Trazar la gráfica de la aceleración en función del iempo. b) Calcular la aceleración media en el inervalo de 2 a 8 segundos. c) Calcular la aceleración insanánea en = 4s. (s) Solución: I.T.I. 97 Texo solución Física Tema Página 5

6 Un puno se mueve en línea reca en un mismo senido. La figura muesra gráficamene la disancia s recorrida por él en función del iempo. Hallar con ayuda de la gráfica. a) la velocidad media del puno durane odo su desplazamieno, b) la velocidad máxima, c) el insane en el cual la velocidad insanánea es igual a la velocidad media durane los primeros segundos. s(m) (s) 2 Solución: I.T.T. 97, 3 a) Aplicando la definición: s(m) 2. v m = Δx Δ =.1 m / s 1. 1 (s) 2 b) Se corresponderá con la pendiene máxima en la gráfica, que se alcanza a los 12 s: s(m) 2. v = dx d =.25 m / s 1. 1 (s) 2 c) Si la velocidad media enre y es igual a la velocidad insanánea en eso quiere decir que la secane a la curva en dichos insanes debe ener una pendiene igual a la angene a la curva en el insane. Debemos buscar por lo ano una angene a la curva que pase por el origen de iempos. De la siguiene gráfica se deduce que: =16 s s(m) (s) 2 Física Tema Página 6

7 Una parícula describe el movimieno unidimensional represenado en la figura. Deerminar gráficamene la velocidad insanánea para = 4s. En qué momeno la velocidad insanánea se anula?. Cuál es la velocidad media en el inervalo enre 2 y 1 segundos?. Si la gráfica represena una parábola deerminar las ecuaciones del movimieno x(), v() y a() y represenar gráficamene las dos úlimas. Solución: I.T.I. 1, 4, I.T.T. 1, 4 Para deerminar gráficamene la velocidad insanánea en = 4s razamos una reca angene a la gráfica en dicho iempo: La pendiene de dicha angene es el valor de la velocidad insanánea que nos piden: v( 4) = pendiene = ( 18 ) m ( 5.5 1) s = 4 m / s Cuando la coordenada x alcanza un máximo la pendiene, que es la velocidad insanánea, se anula. Eso ocurre para v = en = 6 s Para calcular la velocidad media en el inervalo enre 2 y 1 segundos, unimos los punos de la curva correspondienes a dichos iempos y calculamos la pendiene de la reca: v m = pendiene = ( ) m ( 1 2) s = m / s Como el móvil ha vuelo a su posición inicial es lógico que la velocidad media resule ser nula. Noa: Algunos libros inroducen el concepo de rapidez para referirse al módulo de la velocidad (canidad siempre posiiva). Si nos hubiesen pregunado por la rapidez media en el inervalo enre 2 y 1 segundos habría que haber hecho el cociene enre la disancia recorrida, 32m (el móvil sale del origen llega hasa x = 16m y vuelve) y el iempo ranscurrido, 8s, dando como resulado 4 m/s. La parábola represenada en la figura endrá como ecuación: x = c c 2 + c 3, donde las consanes c 1, c 2 y c 3 las podemos enconrar a parir de la gráfica uilizando algunos punos: Física Tema Página 7

8 x( 2) = x( 6) = 16 x( 1) = x( ) = Para la velocidad endremos: v( ) = dx d = Para la aceleración: a( ) = dv d = 2 a() (Las unidades uilizadas en el problema son las del S.I.) Física Tema Página 8

9 Un auomóvil, pariendo de una velocidad inicial cero, se desplaza por un camino reco, primero con una aceleración de 5 m/s 2, luego con una velocidad uniforme, y finalmene reduciendo la velocidad con la misma aceleración se deiene. En odo el proceso inviere 25 s y su velocidad media fue de 72 km/h. Durane cuáno iempo el auomóvil manuvo consane su velocidad? Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 3 Durane los procesos de aceleración y frenado inverirá el mismo iempo Δ 1 ya que la aceleración es la misma pero de senido conrario. Llamemos Δ 2 al iempo inverido en el movimieno con velocidad consane. Los desplazamienos realizados en cada ramo serán: Tramo acelerado: desplazamieno: Δx 1 = 1 2 a ( Δ 1) 2, velocidad final: v 1 = aδ 1 Tramo a velocidad ce.: desplazamieno: Δx 2 = v 1 Δ 2 = aδ 1 Δ 2 Tramo decelerado: desplazamieno: Δx 3 = v 1 Δ a ( Δ 1) 2 = 1 2 a ( Δ 1) 2 Tiempo oal inverido: Δ = 2Δ 1 + Δ 2 Δ 1 = Δ Δ 2 2 Disancia oal recorrida: d = Δx 1 + Δx 2 + Δx 3 = aδ 1 ( Δ 1 + Δ 2 ) = a 4 [ ( Δ ) 2 ( Δ ) 2 ] 2 La velocidad media será: v m [ = d Δ = a ( Δ ) 2 ( Δ ) 2 ] 2 4 Δ Δ 2 = Δ ( ) 2 4v Δ m a = 15 s Un auomóvil pare del reposo con una aceleración de 4 m/s 2 durane 4 s. En los siguienes 1 s iene un movimieno uniforme. Después se aplican los frenos y el auo desacelera a razón de 8 m/s 2 hasa que se deiene. a) Haga una gráfica de la velocidad en función del iempo. b) Verifique que el área limiada por la curva de velocidad y el eje del iempo sea una medida de la disancia oal recorrida. El movimieno del auo es recilíneo. Solución: I.T.I. 96, Texo solución Se observa que una parícula en el insane = esá en la coordenada de posición x = 5 m y se mueve con una velocidad v = 2 m/s. La parícula sufre una desaceleración consane (es Física Tema Página 9

10 decir una aceleración en la dirección opuesa a la velocidad). Si después de 1 s se observa que la parícula iene una velocidad v = 2 m/s, cuál es su aceleración?. Cuál es la función de la posición?. Cuáno iempo habrá ranscurrido anes de que la parícula regrese a x = 5 m? Solución: I.T.T. 92, 96, Texo solución El maquinisa de un ren de viajeros que lleva una velocidad de 3 m/s ve un ren de mercancías cuyo furgón de cola se encuenra 2 m delane en la misma vía. El ren de mercancías avanza en el mismo senido que el de viajeros con una velocidad de 1 m/ s. El maquinisa del ren de viajeros aplica inmediaamene los frenos, produciendo una deceleración consane de 1 m/s 2, mienras que el ren de mercancías coninúa su marcha a velocidad consane. a) Chocarán ambos renes? b) En caso de producirse el choque dónde endrá lugar? Solución: I.T.I. 93 Texo solución Un auomovilisa viaja a 18 m/s cuando ve delane un venado en el camino a una disancia de 38 m. a) Si la desaceleración máxima del vehículo es de 4.5 m/s 2, cuál es el iempo de reacción máxima del auomovilisa que le permiirá eviar golpear al venado?. b) Si ese iempo de reacción es de.3 s, cuán rápido viajará cuando golpee al ciervo? Solución: I.T.T. 92, 96, Texo solución Física Tema Página 1

11 Dos parículas A y B se mueven sobre una reca en el mismo senido con movimieno uniformemene acelerado. Cuando = sus respecivas velocidades son 1 m/s y 3 m/s, sus aceleraciones respecivas son 2 m/s 2 y 1 m/s 2 y A esá 1.5 m por delane de B. Calcular cuándo y dónde se enconrarán. Solución: I.T.I. 96 Texo solución En = un auo esá deenido en un semáforo. Al encenderse la luz verde, el coche acelera a razón ce. hasa alcanzar 2 m/s, 8 s después de arrancar. El auo coninua con velocidad ce. durane 4 m. Luego el conducor ve un semáforo en rojo y frena a rimo ce. El auo para en el semáforo a 18 m de donde esaba en =. Dibujar curvas x-, v-, a- para el movimieno del coche. Solución: I.T.I. 3, I.T.T. 4 Siuemos el origen de coordenadas en el semáforo. Llamemos v 1 a la velocidad alcanzada al final del primer ramo cuando el cronómero marca 1 = 8 s. La aceleración en el primer ramo será: a 1 = v 1 1 = 2.5 m / s2 La posición del auo a lo largo de dicho primer ramo será: x( ) = 1 2 a 1 2 en concreo al final de dicho primer ramo el auo esará siuado en: x 1 = x( 1 ) = 1 2 a 12 1 = 8 m En el segundo ramo se desplaza a velocidad consane durane un desplazamieno: x 2 x 1 = 4 m x 2 = 12 m El iempo inverido en dicho movimieno será: Δ = 2 1 = x 2 x 1 v 1 = 2 s 2 = 1 s En el ercer ramo el auo frena a un rimo consane parándose (v 3 = ) en x 3 = 18 m, con lo que la aceleración a 3 la podemos obener de: Física Tema Página 11

12 v 3 2 = v a 3 x 3 x 2 ( ) a 3 = v v 1 ( ) = 1 3 m / s2 2 x 3 x 2 El iempo que marca el cronómero al deenerse el auo será: 3 2 = v 3 v 1 a 3 = 6 s 3 = 16 s Y la posición del auo a lo largo de dicho ramo vendrá dada por: x( ) = x 2 + v 1 ( 2 ) a 3( 2 ) 2 Con odos esos daos podemos ya dibujar las curvas del movimieno del auo: v() x() a() Física Tema Página 12

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