TESIS INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL VALUACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS CON EL MODELO DE VOLATILIDAD DE HESTON ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN VALUACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS CON EL MODELO DE VOLATILIDAD DE HESTON TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA) PRESENTA: MARIO DURÁN BUSTAMANTE MÉXICO, D. F. MAYO DE 2013

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7 Agradecimientos En primera instancia quiero agradecer a mi familia: A mi padre que me alentó a estudiar Economía. A mi madre que en paz descansé y cuya profesión de ambos herede de algún modo. A mis dos hermanos Alejandro y Marco Tulio y a mi primo Gerardo que lo considero igual, por tenerme toda la paciencia del mundo. Que mi esfuerzo sirva de ejemplo para que alcancen sus propias metas. Quiero agradecerle a la Escuela Superior de Física y Matemáticas por brindarme las bases necesarias para tratar de entender el fascinante mundo de las matemáticas. En particular al profesor Dr. Govindan Trivellores Eachambadi por su excelente catedra. De igual forma quiero agradecer a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Economía por darme la oportunidad de perfeccionar mis habilidades en todos los sentidos posibles. Quiero agradecer al Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez por permitirme trabajar un tema de tesis, que para él representa un esfuerzo de muchos años, que ha venido desarrollando y trabajando hasta el día de hoy, por todo su apoyo como profesor y como amigo, Gracias!! A todos mis maestros que me han guiado en mi formación académica en especial a mis directores de tesis Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez y Dr. Francisco Venegas Martínez y a los profesores Dr. Salvador Cruz Ake, Dr. Adrián Hernández del Valle y al Dr. Humberto Ríos Bolívar por compartir su conocimiento conmigo a través de sus magníficas cátedras. A mis compañeros y amigos Alejandro, Cynthia, Cesar, Fanny, Jessica, Adriana y Jorge Luis por haber compartido este periodo de la vida conmigo y aquellos que por mi olvido haya faltado mencionar. Gracias!!!

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9 Índice general Pág. Agradecimientos Índice de cuadros Índice de gráficas Glosario Resumen Abstract Introducción I VII IX XI XVII XIX XXI CAPÍTULO 1. Opciones Financieras Introducción Derivados Historia y desarrollo de los mercados de opciones Opciones financieras Opciones de compra Opciones de venta Posiciones en un contrato de opción Posición larga sobre opciones call Posición corta sobre opciones call Posición larga sobre opciones put Posición corta sobre opciones put Opciones americanas y europeas Opciones dentro, fuera y en el dinero Liquidación en efectivo y en especie

10 IV 1.9 Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones Factores para la determinación de los precios de las opciones Opciones sobre acciones que pagan dividendos Opciones sobre divisas Opciones sobre futuros Opciones exóticas CAPÍTULO 2. Introducción al movimiento browniano y al cálculo estocástico Introducción Caminata aleatoria Procesos estocásticos Filtración e información actual relevante Procesos estocásticos adaptados a una filtración Movimiento browniano aritmético Movimiento browniano aritmético como el límite de una caminata aleatoria simple Momentos de un movimiento browniano aritmético Movimiento browniano Proceso de Wiener Las trayectorias no son diferenciables Las trayectorias son continuas Movimiento geométrico browniano Momentos de un movimiento geométrico browniano Cálculo de Itô Integrales de: Riemann-Stieljes, Stratonovitch e Itô Lema de Itô Lema de Itô multidimensional Martingalas Definiciones y ejemplos Martingalas y movimiento browniano Notas CAPÍTULO 3. Modelo de Black y Scholes: Marco probabilista y griegas Introducción Distribución del rendimiento logarítmico del activo subyacente Valuación neutral al riesgo

11 V 3.4 Función de densidad del precio del subyacente neutral al riesgo Media y varianza del precio del subyacente en un mundo neutral al riesgo Valuación neutral al riesgo de una opción europea de compra Valuación neutral al riesgo de una opción europea de venta Condición de paridad de opciones de venta y compra Griegas del modelo de Black y Scholes Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y Scholes Griegas de una opción europea de compra Griegas de una opción europea de venta CAPÍTULO 4. Modelo de volatilidad estocástica de Heston Introducción El modelo de volatilidad estocástica de Heston Griegas del modelo de Heston Cálculo del precio de la opción por medio de la transformación de Lewis Análisis de sensibilidad a precios de opciones a diferentes valores de los parámetros ρ y σ CAPÍTULO 5. Calibración de parámetros con funciones de pérdida Introducción Estimación de parámetros con funciones de pérdida Aplicación y análisis de resultados Conclusiones 117 Bibliografía 119

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13 Índice de cuadros Pág. Cuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre S t y K.. 13 Cuadro 2.1: Reglas básicas de diferenciación estocástica Cuadro 3.1: Griegas del modelo de Black y Scholes Cuadro 4.1: Impacto de la correlación en los precios de opciones de compra Cuadro 4.2: Comparación de precios de opciones de compra con ρ variable Cuadro 4.3: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de compra Cuadro 4.4: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de compra Cuadro 4.5: Comparación de precios de opciones de compra con σ variable Cuadro 5.1: Datos relevantes Cuadro 5.2: Resumen de las funciones de pérdida con los correspondientes valores de los parámetros estimados del modelo de Heston Cuadro 5.3: Precios estimados con el modelo de Heston con las funciones de pérdida y volatilidades implícitas

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15 Índice de gráficas Pág. Gráfica 1.1: Pérdidas y ganancias de una opción call larga Gráfica 1.2: Pérdidas y ganancias de una opción call corta Gráfica 1.3: Pérdidas y ganancias de una opción put larga Gráfica 1.4: Pérdidas y ganancias de una opción put corta Gráfica 2.1: Caminata aleatoria Gráfica 3.1: Función de densidad de S T S t Gráfica 3.2: c es la pendiente de la recta tangente a c en S t Gráfica 3.3: c como función de S t Gráfica 3.4: Γ c como función de S t Gráfica 3.5: v c como función de S t Gráfica 3.6: p como función de S t Gráfica 4.1: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de ρ Gráfica 4.2: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de σ Gráfica 4.3: Superficie de precios opciones de compra con el modelo de Heston Gráfica 4.4: Superficie de precios opciones de venta con el modelo de Heston Gráfica 4.5: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y correlación variable Gráfica 4.6: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y volatilidad de la varianza variable

16 X Gráfica 5.1: σ implícitas de calls obtenidas de las funciones de pérdida. 113 Gráfica 5.2: σ implícitas de puts obtenidas de las funciones de pérdida. 114 Gráfica 5.3: Comparación entre σ implícitas de calls y σ implícitas de mercado Gráfica 5.4: Comparación entre σ implícitas de puts y σ implícitas de mercado

17 Glosario Activo subyacente: Bien o indice de, objeto de un contrato futuro o de un contrato de opción, concertado en la bolsa de derivados. Los precios de los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: acciones, un indice o una caminata aleatoria. At the money: Cuando el valor del subyacente coincide con el precio de ejercicio, se dice que la opción se encuentra en el dinero (At The Money). Contrato de opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el contrato respectivo. Si el contrato de opción se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente. Bolsa: Con este nombre se designa al mercado financiero en donde se compran y venden acciones, obligaciones, bonos y otros activos financieros. En la Bolsa las transacciones se realizan a través de intermediarios financieros que reciben el nombre de brokers. También se la conoce como Bolsa de Valores o Bolsa de Comercio. Bolsa Mexicana de Valores: Institución sede del mercado mexicano de valores. Institución responsable de proporcionar la infraestructura, la supervisión y los servicios necesarios para la realización de los procesos de emisión, colocación e intercambio de valores y títulos inscritos en el Registro Nacional de Valores (RNV), y de otros instrumentos financieros. Así mismo, hace pública la información bursátil, realiza el manejo administrativo de las operaciones y transmite la información respectiva a SD Indeval, supervisa las actividades de las empresas emisoras y casas de bolsa, en cuanto al estricto apego a las disposiciones aplicable, y fomenta la expansión y competitividad del mercado de valores mexicanos.

18 XII Bursátil: Relativo a la actividad en Bolsa. Cámara de Compensación: Organismo que en los mercados financieros ejerce la función de garante de todas las transacciones. La cámara se sitúa de eje de la transacción convirtiéndose en comprador frente al vendedor y en vendedor frente al comprador. Chicago Board of trade: Es el mayor mercado de opciones y de futuros del mundo y tiene su sede en Chicago. Cierre: Término de una sesión bursátil, de acuerdo con los horarios oficiales. Registro de las operaciones realizadas y del nivel alcanzado por las cotizaciones de los títulos operados durante una sesión. Cobertura de Riesgos (Hedging): La cobertura de los riesgos financieros a través de los productos derivados es similar a la adquisición de un seguro; proporciona protección contra los efectos adversos de las variables sobre las cuales no tienen control los agentes participantes en la actividad económica. Contrato de Opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el contrato respectivo. Si en el contrato de opción se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente. Contrato de Opción Call: Opción de compra que da a su comprador tenedor de la opción- el derecho, pero no la obligación, de comprar algún activo subyacente, en una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido. Contrato de Opción Put: Opción de venta que da a su comprador tenedor de la opción- el derecho, pero no la obligación, de vender algún activo subyacente, en una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido. Correlación: Debido a la dificultad para interpretar la magnitud de la covarianza, suele utilizarse la correlación para medir el grado de movimiento conjunto entre dos variables o la relación lineal entre ambas. La correlación se encuentra entre -1 y 1.

19 XIII Covarianza: Es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias describiendo el movimiento conjunto entre éstas. Delta: La delta es el índice que mide la variación del valor de la prima de la opción ante variaciones en el precio del activo subyacente. Matemáticamente es la primera derivada de la prima con respecto al subyacente. Derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, implementados a partir de 1972, cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de referencia (títulos representativos de capital o de deuda, índices, tasas, y otros instrumentos financieros). Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en condiciones de elevada volatilidad. Los principales derivados financieros son: futuros, opciones sobre futuros, warrants y swaps. Derivados Plain Vanilla: Instrumentos financieros derivados más simples o denominados de primera generación ( plain vanilla ). Por ejemplo: Forwards, Futuros, Swaps, Opciones. Desviación standard o Desviación típica: Medida estadística de la variabilidad de una magnitud. Es igual a la raíz cuadrada de la varianza. Gamma: Debido a que la delta de la opción cambia continuamente como consecuencia de los cambios en el valor del subyacente, es importante medir estos cambios. La gamma se define como la medida de cambio de la delta ante cambios en el subyacente. También se conoce como la segunda derivada del valor de la opción con respecto al valor del subyacente. In the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es positivo, se dice que la opción se encuentra dentro del dinero (In the Money). Índice de Precios y Cotizaciones (IPC): Indicador de la evolución del mercado accionario en su conjunto. Se calcula en función de las variaciones de precios de una selección de acciones, llamada muestra, balanceada, ponderada y representativa de todas las acciones cotizadas en la BMV. MexDer: Sociedad Anónima denominada MexDer, mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V., que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios necesarios para la cotización y negociación los contratos de futuros y contratos de opciones.

20 XIV Modelo de Black-Scholes: Asume que el comportamiento de los precios sigue una distribución lognormal. Basados en los modelos estocásticos de Wiener y el conocido lema de Itô, así como mediante argumentos de arbitraje, Fisher Black y Myron Scholes determinaron una ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya solución representa el precio de la opción. Este modelo es aplicable solamente para opciones europeas. Opción: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar (si se trata de una opción de compra) o vender (opción de venta) una cantidad de activos, a un precio establecido, en una feche determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha (opción americana). Por este derecho generalmente el comprador paga un precio o prima. Existen muchos mercados de opciones en el mundo. Opción de Compra: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar una cantidad de activos, a un precio establecido, en una fecha determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha (opción americana). Opción europea: El tenedor de la opción las puede ejercer hasta la fecha de vencimiento. Out of the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es negativo, se dice que la opción se encuentra fuera del dinero (Out of The Money). Paridad Put Call: La paridad call-put describe la relación entre el precio de una opción tipo Call Europea y el precio de una opción tipo Put Europea, cuando ambas tienen el mismo precio de ejercicio y misma fecha de vencimiento. Rho: La rho es la variación del precio de la opción ante cambios en la tasa de interés libre de riesgo. Subyacente: Bien o índice de referencia, objeto de un Contrato de Futuro o de un Contrato de Opción, concertado en la Bolsa de Derivados. Los precios de los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: títulos representativos de capital o deuda, índices, tasas y otros instrumentos financieros. También se denomina valor de referencia. Theta: La theta es la sensibilidad del precio de la opción ante el paso del tiempo, es decir, es el cambio esperado en el valor teórico de la opción ante una variación de un día en el tiempo pendiente hasta el vencimiento.

21 XV Valor Intrínseco de una opción: El valor intrínseco de una opción es el máximo entre el monto por el cual la opción está en el dinero y cero. Vega: La vega es la variación del precio de la opción ante cambios en la volatilidad del subyacente. Volatilidad: Grado de fluctuación que manifiesta el precio del subyacente a través del tiempo. Volatilidad Implícita: Esta volatilidad no se basa en considerar observaciones históricas sino en observar la volatilidad existente en el mercado de opciones. La manera de calcularla es observando el precio de la prima de las opciones en el mercado y sustituyendo este valor en la fórmula de Black-Scholes. Una vez hecha la sustitución se despeja el valor de la volatilidad de dicha fórmula. La volatilidad implícita es muy confiable cuando el mercado de opciones del subyacente tiene suficiente liquidez. Sin embargo en la práctica se enfrenta el problema de que no todos los subyacentes tienen contratos de opciones, por tanto solo para algunos casos se puede calcular la volatilidad implícita.

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23 Resumen Los derivados plain vainilla son uno de los principales productos negociados en las bolsas de derivados; las opciones se clasifican en este grupo. En México se negocian dentro del Mercado Mexicano de Derivados (MexDer) y también en el mercado Over The Counter. La fórmula de Black y Scholes es la más utilizada para valuar opciones; sin embargo, algunos de sus supuestos no son consistentes con lo que se observa en el mercado. Por ejemplo, la volatilidad no se mantiene constante en el tiempo y cambia en el transcurso de vida de la opción, lo que se conoce como: smile y smirk. El modelo de Heston de volatilidad estocástica (la volatilidad varía en el tiempo y se comporta de manera aleatoria), el activo subyacente es conducido por un movimiento browniano, y la volatilidad de la varianza es conducida por un segundo movimiento browniano. Este modelo es utilizado para valuar opciones europeas de compra y de venta. La transformada fundamental de Lewis, nos ayuda a resolver una integral con términos imaginarios, cuya solución conduce al precio de la opción en el modelo de Heston, esto se logra a través de algoritmos numéricos de integración. Una de las características notables de este modelo y que se verificaron empíricamente, es que el parámetro de correlación controla el sesgo de la función de la densidad de Heston, además de que el parámetro de la volatilidad de la varianza controla la curtosis. Asimismo existe una relación negativa entre el precio de la acción y la varianza, que se puede expresar textualmente como: bajas en el precio de la acción implican un aumento en la varianza, el mismo argumento opuesto es cierto cuando la varianza es positiva. Una metodología para estimar parámetros del modelo de Heston es por medio de una función de pérdida, que consiste minimizar una medida del error dado por la diferencia entre precios de mercado y precios del modelo teórico. En este trabajo de tesis se proponen tres funciones de pérdida, de las cuales dos corresponden a precios y una asociada con las volatilidades implícitas de mercado. Con

24 XVIII datos de opciones sobre futuros del I. P. y C. negociadas en MexDer se calibraron los parámetros del modelo de Heston. Un resultado relevante es que la función de pérdida de volatilidad implícita del error cuadrático medio es la que mejor se ajusta en todos los niveles de moneyness (K/S) y que se muestra en la gráfica de volatilidades implícitas del último capítulo de esta tesis.

25 Abstract The plain vanilla derivatives are mostly negotiated on a Derivatives Exchange; the options are classified into this group. In Mexico, they are traded in the Mexican Derivates Exchange (MexDer) and of course in the Over the Counter market. The Black and Scholes formula is widely used to valuate options; however some of its assumptions are not very consistent with the market. For example, the volatility is not constant over the time and it changes over the duration of the option, this phenomenon is known as smile and smirk. In the Stochastic Volatility Heston model (the volatility changer over the time and its behavior is random), the underlying asset is conducted by a brownian motion, and the volatility of variance is driven by a second brownian motion. This model is used to price european call and put options. The fundamental transform of Lewis help us to solve an integral with imaginary terms, whose solution leads to the price of the option in the Heston model, it is done by numerical integration algorithms. One of the most outstanding characteristics of this model is that the correlation parameter controls the skewness of the Heston s density function; furthermore, the variance parameter controls kurtosis. In fact, there is a negative correlation between the stock price and the variance, which can be expressed textually as: if stock price downs imply an increase in the variance, the same opposite argument is true when variance is positive. A methodology to estimate Heston model parameters is through a loss function, which minimize a measure of error given by the difference between market prices and theoretical model prices. In this thesis three different loss functions are proposed, two correspond to prices and other is associated with implied volatilities observed in the market. With data from futures options on I. P. y C. (Indice de Precios y Cotizaciones) traded on MexDer, Heston model parameters were calibrated. An important result is that the implied volatility root mean squared

26 XX error loss function best fit at all levels of moneyness (K/S) which is shown in the implied volatilities figure in the last chapter of this thesis.

27 Introducción El objetivo general de este trabajo es valuar opciones financieras europeas mediante el modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993). La justificación de este hecho radica en el supuesto de volatilidad constante el modelo tradicional para valuar opciones de Black- Scholes (1973) y Merton (1973). No obstante desde el punto de vista del mercado, este supuesto no es consistente al comparar los resultados obtenidos con los precios observados de las opciones. Un ejemplo de ello son las volatilidades implícitas obtenidas con el modelo de Black Scholes para diferentes plazos y precios de ejercicio, estas volatilidades no se comportan de manera constante en el tiempo y tienden a ser en forma de sonrisa(smiles). Se han tratado de corregir y explicar tales inconsistencias observadas en el modelo de Black y Scholes. Se han propuesto varias extensiones a dicho modelo ente las que podemos mencionar: Merton(1973) propone que la volatilidad sea una función determinista del tiempo, logra explicar los diferentes niveles que se alcanzan en la volatilidad implícita, para diferentes periodos en el tiempo, pero no alcanza a explicar la forma de sonrisa para diferentes precios ejercicio. Dupire (1994), Derman y Kani (1994) y Rubinstein (1994), sugieren que no solo se indexe el tiempo en la volatilidad, proponen la dependencia con un coeficiente de volatilidad, de igual modo dichos autores no logran explicar la forma de la sonrisa para diferentes periodos en el tiempo. Posteriormente se desarrollaron los modelos de volatilidad estocástica, en estos se consideran dos factores estocásticos: un factor conduce la dinámica estocástica del subyacente y el segundo factor modela la dinámica estocástica de la volatilidad y que es la causante del efecto sonrisa. Se han propuesto modelos diferentes para saber que proceso sigue la volatilidad, entre los cuales destacan, el movimiento geométrico browniano y modelos con reversión a la media (procesos del tipo Ornstein-Uhlenbeck). De entre los modelos propuestos destaca el modelo de Heston (1993) porque presenta una fórmula cerrada para el precio de una opción con el supuesto de correlación entre el precio del activo y su volatili-

28 XXII dad, el parámetro de correlación modela el sesgo de la densidad del subyacente, mientras que el parámetro de volatilidad de la varianza modela la curtosis de la densidad del subyacente, con estas características fue uno de los primeros en explicar la sonrisa. Los objetivos particulares de la tesis son: Realizar un análisis de sensibilidad del modelo de volatilidad estocástica de Heston, para diferentes valores de los parámetros de correlación y volatilidad de la varianza del activo subyacente en estudio; Estimar los parámetros del modelo de Heston por medio de funciones de pérdida con los precios de mercado de opciones que se negocian en MexDer. La hipótesis del presente trabajo es la siguiente: bajo el supuesto que existe una correlación arbitraria entre las ecuaciones diferenciales estocásticas del precio del subyacente y de la volatilidad entonces el modelo de Heston arroja precios consistentes con el mercado de opciones al compararlos con el modelo de Black y Scholes. Este trabajo esta organizado como sigue, en el primer capítulo se presenta una introducción a los derivados, con énfasis en las opciones financieras, la historia de las mismas, sus características generales y los factores que son necesarios para determinar el precio de dichas opciones. En el segundo capítulo se aborda la teoría de los procesos estocásticos la cual se requiere para modelar adecuadamente la dinámica de las variables financieras, revisamos algunos conceptos básicos de probabilidad y procesos estocásticos, algunas de las propiedades del movimiento browniano aritmético y geométrico, el lema de Itô y algunas aplicaciones de este en la modelado de diversos fenómenos en finanzas cuantitativas. En el tercer capítulo se desarrolla el modelo de Black-Scholes-Merton, desde un marco probabilista, se obtienen las fórmulas para valuar opciones europeas de compra y venta así como también las llamadas griegas. En el cuarto capítulo se presenta el modelo de Heston y sus características teóricas y calculamos precios de opciones con la transformación de Lewis (2000). Asimismo se examina la sensibilidad del precio de la opción con respecto del coeficiente de correlación entre los dos movimientos brownianos que conducen

29 XXIII al activo subyacente y a la varianza del activo subyacente y la sensibilidad del precio de la opción con respecto del coeficiente de volatilidad de la varianza del activo subyacente. Dado que en la práctica generalmente las volatilidades implícitas de las opciones negociadas en los mercados de derivados varían, ya sea con respecto al precio de ejercicio o con el vencimiento de la opción. La variación con respecto al precio de ejercicio se le denomina sonrisa de volatilidad (volatility smile), o sesgo de volatilidad (volatility skew). De esta manera en el quinto capítulo se aplica la metodología propuesta por Bakshi, Cao y Chen (1997) a un conjunto de precios de opciones negociadas en el MexDer. El algoritmo de calibración minimiza un error dado un conjunto de parámetros iniciales. Para un determinado conjunto de parámetros se calculan precios de opciones con el modelo de Heston y se calcula una medida del error. Por último en las conclusiones se comentan las ventajas y limitaciones de utilizar el modelo de Heston, junto con sus posibles extensiones.

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31 Capítulo 1 Opciones Financieras 1.1 Introducción En este capítulo se presenta una introducción a los productos derivados con énfasis en las opciones financieras, su historia, sus características generales, los factores que intervienen en la determinación de su precio. Algunos de los conceptos de este capitulo fueron tomados de Gutiérrez (2001) y de Ortiz (2008). 1.2 Derivados Un producto derivado se puede definir como un contrato privado cuyo valor depende de algún activo subyacente como una tasa, una acción, un bono, una divisa o un commodity. Los derivados abarcan desde componentes estructurales simples, como los contratos lineales: contratos adelantados (forward), futuros; opciones y swaps, hasta productos más complejos como son las opciones exóticas o las notas estructuradas. Los derivados son activos financieros que tienen una gran importancia en las decisiones financieras actuales, se han convertido en una herramienta indispensable para la administración del riesgo debido a que proveen un método de bajo costo y efectivo para administrar la exposición de las fluctuaciones de las tasas de interés, precios de commodities, tipos de cambio e inclusive sobre el clima. Los dos principales mercados donde se llevan a cabo operaciones con instrumentos derivados son:

32 2 (i) Bolsas; (ii) Fuera del mostrador (Over-the-Counter) 1. Los derivados negociados en mercados organizados difieren en dos aspectos de los derivados negociados Over The Counter (OTC). La primera diferencia es que los contratos negociados en un mercado organizado son casi siempre estandarizados, es decir, tienen características bien definidas y todos los contratos de un mismo tipo son exactamente iguales. Esto se hace con el objetivo de dar liquidez, los contratos son más baratos. Para algunos participantes del mercado, esta liquidez representa ciertas desventajas porque puede pasar que el activo subyacente no tenga las características deseadas por los participantes del mercado, pero en general la estandarización ha probado ser una característica deseable entre los participantes del mercado. La segunda diferencia de los contratos negociados en un mercado organizado es que los contratos son realizados con una entidad regulatoria llamada cámara de compensación 2, y no con un banco. Para garantizar que el contrato se cumpla por las partes, el mercado organizado elimina el riesgo de crédito mediante la figura y los lineamientos de la cámara de compensación, en caso de que alguna de las partes no cumpla con un pago, la cámara interviene y cubre el pago. 1.3 Historia y desarrollo de los mercados de opciones El inicio de las opciones se dio en los países Bajos. Un judío español Joseph de la Vega, en su descripción de la Bolsa de Amsterdam, escrito en 1688, describe un firme mercado de opciones en las acciones de la Compañia de Indias Holandesa. Fué hasta fines del siglo pasado que se atacó desde el punto de vista matemático el problema de fijar el precio de una opción. Hacia 1900 en Francia, el matemático Louis Bachelier presenta la primera fórmula para calcular el precio de la opción. En 1968 cuando ya se conocía el Chicago Board of Trade por sus contratos 1 El mercado Over The Counter, OTC, es un sistema de cotización de valores donde los participantes negocian directamente entre ellos, sin la intermediación de una bolsa o de un piso de remate. Las operaciones se realizan a través de redes de cómputo o telefónicas que vinculan entre sí a los agentes de todo el mundo. 2 Institución en un mercado de derivados que es la contraparte de cualquier transacción y que asegura el cumplimiento de los contratos. En el MexDer es ASIGNA.

33 3 de futuros, comenzó un estudio sobre la posibilidad de introducir contratos de futuros sobre acciones de bolsa, pero dicho estudio terminó recomendando opciones sobre acciones. De esta manera surgió en 1972 el Chicago Board Options Exchange (CBOE) que comercializaba opciones sobre acciones en bolsa, teniendo un éxito espectacular. Cinco años después se comenzaron a negociar opciones tipo put en nuevas bolsa de valores como AMEX, Philadelphia, Pacific y MidWest. La creación de este mercado permitió que hubiera flexibilidad en estrategias de especulación y cobertura una de las características principales de las opciones. A pesar del gran desarrollo de las opciones que existió en la década de los 70 s, los mercados internacionales se enfrentaron al gran problema de las fluctuaciones en tipos de cambio y tasas de interés. Los mercados vieron la necesidad de introducir instrumentos para especular y cubrirse de dichos movimientos. Esto dio origen al mercado de contratos a futuros y a medida del éxito que tuvieron las bolsas comenzaron a ver la posibilidad de ofrecer opciones sobre contratos de futuros. En octubre de 1982 el Chicago Board of Trade comenzó a negociar opciones sobre contratos de futuros sobre T-Bonds 3 Tres años después se introdujeron las opciones sobre un contrato a futuro cuyo subyacente era el eurodólar. A partir del 15 de diciembre de 1998, con base en diversos estudios de la BMV y el marco regulatorio establecido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público (SHCP), el Banco de México y la Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV), inicia operaciones el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer), luego de dos años de negociaciones para su aplicación, con el propósito de incorporar a los participantes nacionales en la creciente industria global de derivados, especialmente los vinculados con valores subyacentes mexicanos. La inversión total para la puesta en marcha del mercado fue inferior a los 14 millones de dólares. El contrato del dólar de Estados Unidos de América fue el primero en cotizar con un tamaño adecuado para permitir que tesorerías de empresas medianas y pequeñas, así como personas físicas, pudieran beneficiarse de una mayor certidumbre sobre el tipo de cambio. Las operaciones se realizaron a viva voz 4. 3 Los T-Bonds son instrumentos que reflejan las tasas de interés de largo plazo en E.U. 4 Véase por ejemplo Palacios (2002).

34 4 1.4 Opciones financieras La formación de portafolios con un equilibrio adecuado entre riesgo y rendimiento es un objetivo básico de la ingeniería financiera. Uno de los instrumentos que actúan como seguros contra contingencias financieras son las opciones. En un ambiente de extrema volatilidad, estos instrumentos proporcionan al inversionista un mecanismo para inmunizar un portafolio contra cambios adversos en los mercados financieros con bajos costos de transacción. Una opción es un producto derivado que por el pago de una prima da a su tenedor (comprador) el derecho, más no la obligación, de comprar o vender el activo subyacente (bienes, acciones, índices bursátiles, divisas, futuros, tasas de interés, etc.) a un precio determinado, llamado precio de ejercicio. La contraparte, el emisor, de estos títulos tiene la obligación de vender o comprar el activo subyacente. En un contrato de opción se especifican cinco elementos: (i) Tipo de opción: opción de compra o de venta (americana o europea), (ii) Activo subyacente: es el activo (acciones, divisas, tasas de interés, petróleo, oro, etc.), (iii) Cantidad del activo negociado: es la cantidad, en unidades, del activo subyacente que está estipulado que se puede comprar o vender por cada contrato de opción, (iv) Fecha de vencimiento: es la fecha en que se vence el contrato, (v) Precio de ejercicio: es el precio al que se podrá ejercer el contrato, es decir, el precio al que se podrá comprar o vender el activo subyacente, según la opción sea de compra o de venta. Hay otro elemento determinado por el mercado que no figura estipulado en el contrato, que es el precio a pagar por la opción, precio que se fija en el mercado organizado de opciones, siguiendo la ley de la oferta y la demanda. Este precio recibe el nombre de prima. Un punto importante en un contrato de opción es que sólo se obliga al vendedor, mientras que el comprador tiene el derecho (opción) de ejercer el contrato,

35 5 pero no está obligado a ello. Esto permite al poseedor de una opción, no sólo a cubrirse ante posibles pérdidas sino también la posibilidad de obtener un beneficio en caso de que la evolución del precio del activo asociado a la opción sea favorable. Por otra parte, las opciones, al igual que los contratos futuros son contratos estandarizados, lo cual permite que las transacciones se efectúen en mercados abiertos, organizados y con garantías de su cumplimiento. Esta característica genera liquidez para llevar a cabo distintas combinaciones y estrategias para ampliar y diversificar las carteras de inversión. A diferencia de los mercados de futuros, en las opciones, el comprador del contrato sólo está obligado al pago de una prima (precio de la opción) que recibirá el vendedor, quién aportará el margen inicial y de mantenimiento según la evolución del mercado. La inversión en opciones también es una alternativa para especular (obtener ganancias extraordinarias asumiendo riesgos sobre tendencias inesperadas). Es también posible realizar operaciones de arbitraje aprovechando desequilibrios temporales en la prima de las opciones. Las opciones financieras más comunes son las que tienen como subyacente a los títulos de capital (acciones), los índices de mercados accionarios, las divisas extranjeras, títulos de deuda gubernamental y futuros. Se distinguen entre sí con base en tres criterios: tipo, clase y serie. El tipo nos indica si la opción es de compra (call) o de venta (put). Todas las opciones que sean del mismo tipo y que tengan una fecha de vencimiento común determinan una clase. Las opciones que pertenezcan a una clase y que tengan el mismo precio formarán una serie. En las opciones se presentan dos posiciones, las cuales nos indican la postura que presenta cada una con respecto al contrato: Posición larga: es la postura que presenta el comprador (quien paga la prima) de una opción, sin importar si ésta es un opción de compra o de venta. Posición corta: es la postura que presenta el emisor o vendedor de la opción (recibe la prima) de compra o de venta. Una vez firmado un contrato de opciones, existen tres formas de cerrarlo: (i) El comprador ejerce su derecho;

36 6 (ii) El comprador permite que pase la fecha de vencimiento sin ejercer su derecho, dándose por terminado el contrato; (iii) El comprador puede vender la opción a un tercero, o el emisor puede recomprar la opción al comprador, es decir, la opción se liquida Opciones de compra Una opción de compra otorga al comprador el derecho, más no la obligación, de comprar al emisor el activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha predeterminada o antes. El comprador tiene que pagar una prima al emisor en el momento de la realización del contrato. El contrato debe especificar entre otros elementos: (i) Concepto a negociar (activo subyacente); (ii) La cantidad a negociar; (iii) El precio de compra; (iv) La fecha de vencimiento. Este tipo de opciones presentan para el comprador ganancias ilimitadas al mismo tiempo que sus pérdidas se ven reducidas al valor de la prima que paga al firmar el contrato. En cambio el emisor presenta como ganancia máxima el valor de la prima y sus pérdidas son ilimitadas Opciones de venta Una opción de venta otorga al comprador el derecho, más no la obligación, de vender el activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha preestablecida o antes. El contrato especifica los mismos puntos que el de opciones de compra. En estos contratos al igual que en los de compra el emisor tiene una ganancia reducida a la prima y pérdidas ilimitadas, la situación del comprador es la contraria, es decir, presenta pérdidas reducidas a la prima y ganancias ilimitadas.

37 7 1.5 Posiciones en un contrato de opción Existen cuatro tipos diferentes de posiciones en el mercado de opciones, la cuales las que se pueden clasificar como sigue: (i) Posición larga sobre opciones call; (ii) Posición corta sobre opciones call; (iii) Posición larga sobre opciones put; (iv) Posición corta sobre opciones put. En las siguientes subsecciones mencionaremos sus características, así como el perfil de pagos de cada una de ellas Posición larga sobre opciones call En esta posición los participantes son aquellas agentes que compran opciones call. Observemos el perfil de ganancias de este tipo de participante en la Gráfica 1.1. Definamos al eje Y como las utilidades o pérdidas derivadas de un cierto movimiento en el precio del bien subyacente una vez comprada la opción, el eje X indica el precio del bien subyacente y denotemos al precio de ejercicio como K. En esta posición el comprador paga una prima por el derecho de comprar, la cual de entrada es una posible pérdida que denotaremos por c. Si el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio de ejercicio entonces el comprador tiene el derecho de no ejercer dicha opción, por lo tanto la opción expira sin tener ningún valor y el comprador solamente pierde la prima pagada por obtener el derecho de comprar. Sin embargo si se considera que el precio del bien subyacente permanece igual o por arriba del precio de ejercicio entonces el comprador tiene el derecho de ejercerla y comprar el bien subyacente.

38 8 Gráfica 1.1: Pérdidas y ganancias de una opción call larga. 5 1 Call 4 3 PyG 2 Función de K S t Call Fuente: elaboración propia. A partir de la gráfica anterior se observa una pendiente positiva, esto se debe que mientras más alto sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, entonces mayor será la utilidad neta. Lo anterior nos indica que el comprador de una opción call tiene un riesgo conocido y limitado, y una ganancia desconocida e ilimitada Posición corta sobre opciones call En esta posición están los participantes que venden opciones call. Esta posición corta es la imagen inversa de la posición larga sobre opciones call, como se aprecia en la Gráfica 1.2 En este caso el vendedor recibe una prima c. A medida de que el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio del ejercicio (K) la opción no se ejerce (por conveniencia del comprador) y el vendedor obtiene la ganancia de la prima.

39 9 Gráfica 1.2: Pérdidas y ganancias de una opción call corta. 2 1 Call K S t 15 Función de PyG Call Fuente: elaboración propia. Otro escenario para este participante es el caso en que el precio del bien subyacente permanece igual o rebasa el precio del ejercicio, entonces si se ejerce y el vendedor esta obligado a vender el bien subyacente al precio de ejercicio y esto ocasiona que sean mayores las pérdidas del vendedor. Por consiguiente, el vendedor de la opción call tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una ganancia conocida y limitada Posición larga sobre opciones put El participante que se encuentra en esta posición se dedica a la compra de opciones put. En el perfil de ganancias en la Gráfica 1.3 se observa que el comprador de opciones put paga una prima p. Si el precio del bien subyacente se mantiene por encima del precio de ejercicio, entonces la opción expira sin ningún valor. Por consiguiente el comprador tiene una pérdida que es el pago de la prima p para obtener el derecho a vender. En cambio si el precio del bien subyacente cae hasta o por debajo del precio de ejercicio, el tenedor de la opción put tiene el derecho de ejercerla y vender el bien subyacente al precio de ejercicio.

40 10 Gráfica 1.3: Pérdidas y ganancias de una opción put larga. 5 1 Put 4 3 PyG 2 Función de K S t Put Fuente: elaboración propia. Observe que mientras más bajo sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, mayores serán las ganancias, esto se puede ver en la recta con pendiente negativa. Por consiguiente, el comprador de la opción put tiene una pérdida conocida y limitada pero tiene una ganancia desconocida e ilimitada Posición corta sobre opciones put La función de los participantes que se encuentran en esta posición es la de vender opciones put. Este participante es la imagen inversa del perfil del comprador de la opción put. El vendedor recibe la prima p por parte del comprador. Si el precio del bien subyacente permanece por arriba del precio de ejercicio, entonces la opción no se ejerce y el vendedor obtiene la ganancia de la prima p que fue pagada. Si el precio del bien subyacente permanece hasta o por debajo del precio de ejercicio, entonces la opción se ejerce, el vendedor de la misma esta obligado a comprar el bien subyacente.

41 11 Gráfica 1.4: Pérdidas y ganancias de una opción put corta. 2 1 Put K S t 15 PyG 1 Función de Put Fuente: elaboración propia. En la Gráfica 1.4 se observa una recta con pendiente positiva; mientras menor sea el precio de mercado respecto al precio de ejercicio, mayores serán las pérdidas netas del vendedor de la opción put. De esta manera se puede afirmar que el vendedor de la opción put tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una ganancia desconocida y limitada. 1.6 Opciones americanas y europeas Las opciones también se pueden clasificar de acuerdo al tiempo en que se puede ejercer el derecho que ellas otorgan, siendo éstas: i. Opciones americanas: son aquellas en las que se puede ejercer el derecho a comprar o vender en cualquier fecha hasta el día a de vencimiento, es decir, durante la vida de la opción. ii. Opciones europeas: son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.

42 12 La mayoría de los contratos negociados en todo el mundo se realizan mediante opciones americanas. Pero estas presentan una mayor dificultad para su valuación que las europeas, y por lo mismo las propiedades de las americanas se derivan y explican a través de las propiedades de las europeas 5. Ejemplos de las combinaciones de las clasificaciones anteriores son: (i) Opción call europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en la fecha de vencimiento. (ii) Opción put europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de vender el subyacente en la fecha de vencimiento. (iii) Opción call americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento. (iv) Opción put americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de vender el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento. 1.7 Opciones dentro, fuera y en el dinero Las opciones pueden clasificarse, dependiendo de la relación que exista entre el precio pactado de ejercicio K y el precio de mercado S t de la siguiente manera: (i) Dentro del dinero (in-the-money): cuando el precio de mercado excede el precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio para una de venta. (ii) Fuera del dinero (out-of-the-money): cuando sucede lo contrario, es decir, cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es mayor al precio de ejercicio en una de venta. 5 Para una descripción más detallada de los productos derivados, consultar Hull, John (2011).

43 13 (iii) En el dinero (at-the-money): esto se da cuando el precio de mercado y el precio de ejercicio son el mismo, se cumple tanto para opciones de compra, como para las de venta. El Cuadro 1.1 muestra las condiciones para que una opción se encuentre in-themoney, at-the-money y out-of-the-money. Esta clasificación determina el precio a pa- Cuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre S t y K. S t vs K Opción call Opción put S t > K in-the-money out-of-the-money S t = K at-the-money at-the-money S t < K out-of-the-money in-the-money gar por comprar la opción, ya que las opciones que se encuentran dentro del dinero van a implicar necesariamente primas más altas, puesto que con estos contratos es muy probable que se logren ganancias si se ejercen al vencimiento, en cambio las opciones que se encuentran fuera del dinero implican primas muy bajas, ya que seguramente terminan sin ser ejercidas. 1.8 Liquidación en efectivo y en especie Las opciones también pueden clasificarse según su forma de liquidación, es decir, la forma de cumplimiento del contrato por parte de los vendedores de opciones: (i) En especie. (ii) En efectivo. 1.9 Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones La determinación del precio de las opciones se realiza en los mercados de acuerdo a su oferta y demanda. Varios factores intervienen en dicho proceso. Su

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