Valoración de opciones sobre acciones: el modelo Black-Scholes. Capítulo 10

Transcripción

1 Valoración e opciones sobre acciones: el moelo BlackScholes Capítulo 0

2 Moelo e valuación e BlackSholes El supuesto subyacente al moelo BS es que el precio e las acciones sigue un recorrio aleatorio (ranom walk). Los cambios en el precio e las acciones se istribuye normalmente. El precio e las acciones tiene una istribución lognormal (sólo puee ser positiva).

3 El supuesto el (ranom walk) moelo Black Scholes Consieremos una acción cuyo precio es S. En un períoo corto e tiempo e uración δt se asume que es normal la variación en el precio e la acción con: μδt σ δt μ es el renimiento esperao e las acciones y σ la volatilia el precio e las acciones.

4 La propiea lognormal El supuesto e BlackScholes implica que lns T se istribuye normalmente con la meia: lns 0 + (μ σ /)T y esviación estánar: σ T Como el logaritmo e S T es normal, S T tiene una istribución lognormal.

5 La propiea lognormal ln S T ~ [ln S 0 + (μ σ /)T, σ T ] o ln S T S 0 [ ] ( μ σ ) T, σ T one [m,s] es una istribución normal con meia m y esviación estánar s.

6 La istribución lognormal E(S T ) S 0 e μt var(s T ) S 0 e μt (e σt )

7 Tasa e rentabilia esperaa El valor esperao el precio e las acciones es S 0 e μt. La rentabilia esperaa e las acciones con compuesto continuo es μ σ /. La meia aritmética e los renimientos urante perioos cortos e tiempo δt es μ. La meia geométrica e los renimientos es μ σ /.

8 La volatilia La volatilia es la esviación estánar el renimiento proporcionao por compuesto continuo en un año. La esviación estánar el renimiento en tiempo δt es σ δt. Si el precio e una acción es e 50 ólares y su volatilia es el 30 por ciento anual, cuál es la esviación estánar e la variación el precio en una semana? 30 x 5 4,6%

9 Estimación e la volatilia meiante atos históricos. Tomamos las observaciones S 0, S,..., S n en intervalos e años.. Definimos la rentabilia el compuesto continuo como: S i u i ln S 3. Calculamos la esviación estánar, s, e u i s. 4. La estimación e la volatilia histórica es: s ˆ s i

10 Supuestos subyacentes al moelo Black Scholes El precio e las acciones se istribuye lognormalmente con y s constantes. No hay costos e transacción e impuestos. Los activos financieros son perfectamente ivisibles. Las acciones no pagan ivienos urante la via e la opción. No hay oportuniaes e arbitraje. La negociación e valores es continua. Los inversores pueen prestar y peir prestao al mismo interés libre e riesgo. La tasa permanece constante.

11 Supuestos subyacentes al moelo Black Scholes Se establece una cartera libre e riesgo consistente en una posición en la opción y otra en las acciones subyacentes. En ausencia e oportuniaes e arbitraje, la rentabilia e la cartera ebe ser el interés libre e riesgo. Cuano se establece una cartera apropiaa con las acciones y la opción, el beneficio (péria) e la posición en acciones siempre compensa el beneficio (péria) e la posición en la opción y por lo tanto el valor e la cartera se conoce con presición.

12 Las fórmulas e valoración el moelo BlackScholes c S 0 N( ) Xe rt N( ) p Xe rt N( ) S 0 N( ) ln(s one 0 /X) + (r + σ /)T σ T ln(s 0 /X) + (r σ /)T σ T T σ

13 La función N(x) N(x) es la probabilia e que una variable istribuia normalmente φ(0,) con meia cero y esviación estánar sea menor que x. 0 x

14 Propieaes e las fórmulas e Blackscholes Cuano S 0 es muy grane, c tiene a S Xe rt y p tiene a cero, ya que y aumentan mucho y N( ) y N( ) se aproximan a Cuano S 0 es muy pequeño, c tiene a cero y p tiene a Xe rt S. y aumentan mucho y se vuelven engativos y N( ) y N( ) se aproximan a 0

15 Ejemplo Supongamos que el precio e las acciones seis meses antes el vencimiento e una opción es $4, el precio e ejercicio e la opción es $40, el tipo e interés libre e riesgo es el 0% y la volatilia es el 0% anual. (S 0 4, X 40, r 0,, s 0, y T 0,5) ln(4 / 40) (0, 0, / ) x0,5 0,7693 0, 0,5 ln(4 / 40) (0, 0, / ) x0,5 0,678 0, 0,5 0, x0,5 p 40e N( 0,678) 4N( 0,7693) N(0,7693) 0,779 N(0,7693) 0,09 N(0,678) 0,7349 N(0,678) 0,65 C 4,76 y p 0,8

16 N(0,678) N(0,6) + 0,78[N(0,63)N(0,6)] 0, ,78 x (0,7357 0,734) 0,7349

17 Divienos Las opciones europeas sobre acciones que pagan ivienos se valoran sustituyeno e la fórmula e BlackScholes el precio e las acciones menos el valor actual e los ivienos. Solamente se eberían incluir los ivienos con fechas exivieno urante la via e las opciones. El ivieno ebería ser la reucción esperaa en el precio esperao e las acciones.

18 Ejemplo Consiere una opción Europea e compra sobre una acción con fecha ex ivieno en y 5 meses. Se espera un ivieno e $0,50. El valor actual e la acción es e $40, el precio e ejercicio e $40, el tipo e interés libre e riesgo es el 9% anual, la volatilia el precio e la acción el 30% anual y el tiempo al vencimiento es e seis meses. Valor presente e los ivienos: 0,09 x / 0,5 e 0,5 e 0,09 x5 / ln(39,059/ 40) (0,09 N( ) 0,5800 y N( ) 0, ,059x0, e 0,3 / ) x0,5 0,3 0,5 ln(39,059/ 40) (0,09 0,3 0,3 0,5 0,09 x0,5 0,974 / ) x0,5 x0,4959 0,07 0,004 3,67

19 Valuación e opciones sobre ínices Se asume que el ínice puee manejarse como un activo que paga un renimiento conocio (q). El cálculo e q ebe incluir solo los ivienos cuya fecha exivieno ocurra urante la via e la opción. T T T q r X S T T q r X S N S e N e X p N e X N S e c qt rt rt qt s s s s s / ) ( ) / ln( / ) ( ) / ln( ) ( ) ( ) ( ) (

20 Ejemplo Consiere una opción Europea e compra sobre el ínice S&P 500 que está a os meses el vencimiento. El valor actual el ínice es e 930, el precio e ejercicio e 900, el tipo e interés libre e riesgo es el 8% anual y la volatilia el ínice el 0% anual. Se esperan rentabiliaes por ivienos el 0, y 0,3 % en el primer y seguno mes respectivamente. Renimiento e los ivienos: q 0,03 ln(930/ 900) (0,08 N( ) 0,7069 y N( ) 0,678 0,03 x / c 930x0,7069e 0,03 0, / ) x / ln(930/ 900) 0, / 0, / (0,08 0,03 0, 900x0,678e / ) x / 0,08 x / 0,5444 0,468 5,83

21 Opciones e compra Americanas Una opción e compra Americana sobre una acción que no paga ivienos no ebería ejercerse anticipaamente. Una opción e compra Americana sobre una acción que paga ivienos sólo ebería ejercerse inmeiatamente antes e una fecha exivieno.

22 Aproximación e Black para tratar con ivienos en opciones e compra Americanas Calcular el precio e las opciones Americanas para que sea igual al máximo e los precios e os opciones Europeas:. El primer precio Europeo es para una opción que vence al mismo tiempo que la opción Americana.. El seguno precio Europeo es para una opción que vence justo antes e la última fecha exivieno.

23 Ejemplo Consiere la opción el ejemplo anterior que es americana en lugar e Europea Valor presente el primer ivieno: 0,5 e 0,09 x / 0,496 S ,496 39,5074, X 40, r 9%, σ 30% y T 0,467 C 3 $3,5 C 6 $3,67 De estos os valores se toma el mayor

24 Se puee eucir que un futuro equivale a una acción que paga un ivieno continuo igual a la tasa libre e riesgo r. Luego reemplazano S con F, y q con r obtenemos: BS para opciones sobre futuros T T T X F T T X F N S N X e p N X N F e c rt rt s s s s s / ) / ln( / ) / ln( ) ( ) ( ) ( ) (

25 Ejemplo Consiere una opción europea e venta sobre un contrato e futuros sobre petróleo cruo. El vencimiento es a 4 meses, el precio el futuro actual es 0 ólares, el precio e ejercicio es 0 ólares, el tipo e interés libre e riesgo es el 9% anual y la volatilia el precio el futuro es el 5% anual. F$0, X$0, r9%, σ5%, T0,333 y ln F/x0 N( ) 0,47 N( ) 0,588 s T s T p e rt 0,5 0,33 0,076 0,5 0,33 0,076 [ XN( ) SN( )] p 0,09 x e 0,33 [0x0,588 0x0,47],