Modelado de flujo en redes. Jhon Jairo Padilla A., PhD.

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1 Modelado de flujo en redes Jhon Jairo Padilla A., PhD.

2 Conceptos básicos Demanda o volumen de Demanda: Es el tráfico que están requiriendo los usuarios de una red. Para transportar el volumen de demanda entre dos nodos de una red, se requieren uno o más caminos para transportarlo Flujo: Es el volumen de demanda que es transportado por un camino específico También se conoce como: Flujo de camino, volumen de demanda que fluye en un camino ó volumen de demanda de enrutamiento en un camino

3 Conceptos básicos Camino (path): Es una de las rutas posibles entre dos nodos finales Flujo de enlace: Es la cantidad de flujo en un enlace sin importar para cuál de los nodos finales es el volumen de demanda. Flujo en redes TCP/IP: Se refiere a todos los paquetes que pertenecen a una misma comunicación, identificada por la quíntupla (dir orig, dir dest, pto orig, pto dest, identif protocolo) En el modelado de flujo en redes le llamaremos microflujo, para diferenciarlo del concepto general de flujo.

4 Conceptos básicos Red Capacitada: Una red podría no transportar la demanda de tráfico, debido a limitaciones en sus recursos Una red que puede transportar toda la demanda de tráfico es una red capacitada Tradicionalmente, la ingeniería de tráfico analiza cómo transportar el flujo de demanda sobre una red capacitada

5 Conceptos básicos Red direccional: Sus enlaces, y por tanto los flujos, son unidireccionales Red no Direccional: Los enlaces y los flujos son bidireccionales Ejemplos: Red IP basada en OSPF es direccional Red Telefónica es bidireccional: Los enlaces pueden ser usados en ambos sentidos por parte de los nodos extremos. Aquí, suponemos enlaces bidireccionales para simplificar los modelos (para tres nodos se usarían 3 enlaces bidireccionales o 6 enlaces unidireccionales)

6 Conceptos básicos Par de nodos ó Par de demanda: Es un par de nodos que demandan tráfico y están comunicándose entre sí. Par de nodos i:j En una red direccional, i es el origen o fuente y j el destino o sumidero Para una red direccional, el orden es intercambiable, aunque suele escribirse primero el nodo con menor identificación Enlace i-j: interconecta directamente los nodos i y j. Es bidireccional. i j: enlace direccional, con i como origen y j como destino.

7 Conceptos básicos Unidad de costo de flujo (en un enlace) Unidad de Costo de enlace (para un flujo) Ambos se refieren al volumen de demanda No confundir con los costos de los algoritmos de enrutamiento (costo de enlace, costo distancia)

8 Flujo en red para una o varias demandas Single-Commodity: Es el término usado para cuando hay una sola demanda (sólo un par de usuarios) Mulit-commodity: Es el término usado para cuando hay múltiples demandas, es decir, una red con múltiples comunicaciones simultáneas entre diferentes usuarios finales. Hay múltiples pares de demanda.

9 Modelado de flujo en red Single- Commodity

10 Ejemplo Se requiere llevar un volumen de demanda de 5 unidades entre los nodos 1 y 2. Se asume que el volumen de demanda es un número determinístico. Todos los enlaces son bidireccionales y tienen una capacidad de 10 unidades cada uno.

11 Ejemplo El enlace 1-2 puede acomodar fácilmente las 5 unidades de volumen de demanda ya que el enlace tiene una capacidad de 10 unidades. Tan pronto como el volumen de demanda llegue a ser mayor que 10 unidades es claro que el camino del enlace directo no puede llevar todo el volumen de demanda entre los nodos 1 y 2. En otras palabras cualquier cantidad en exceso a 10 unidades necesitaría ser llevada sobre el segundo camino

12 Ejemplo: Observaciones Se supuso que se estaba utilizando enrutamiento del camino más corto basado en el número de saltos El límite de la capacidad de un enlace es muy importante Se asumió que el camino directo era menos costoso que en camino alterno Si el camino menos costoso fuera el 1-3-2, entonces la situación habría sido al contrario (camino elegido hasta cumplir la capacidad: ) CONCLUSIONES: La decisión de enrutamiento depende del algoritmo de enrutamiento y no del número de saltos solamente. Necesitamos una manera genérica para representar el problema para que diversas situaciones puedan abordarse en una red capacitada, a fin de encontrar la mejor solución.

13 Enrutamiento de Costo Mínimo

14 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo: restricciones Se asume que la capacidad de cada enlace es c y que el volumen de demanda para el par 1:2 es denotado por h. El volumen de demanda para el par 1:2 puede ser dividido entre el enlace directo 1-2 y los dos enlaces Entonces sea x la cantidad de volumen de demanda a ser enrutado en cada camino, entonces: Este requerimiento es conocido como restricción de flujo de demanda osimplementerestricción de demanda.

15 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo: restricciones Las variables no pueden tomar valores negativos. Teniendo en cuenta que un camino no puede llevar demanda negativa, el más bajo costo es cero. Cualquier flujo sobre un camino debido a enrutamiento no puede exceder la capacidad sobre cualquier enlace que su camino usa. Entonces: Restricción de capacidad Las ecuaciones anteriores son referidas como las restricciones del problema.

16 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo: Objetivo Aun cuando las restricciones son conocidas, el problema entero no es completo ya que no está identificado aún la meta del problema. Si no se define la meta del problema, el sistema tiene un número infinito de soluciones ya que una combinación infinita de valores que satisfagan las ecuaciones anteriores pueden ser asignadas a X12 yx132. Como la primera meta, se considera el costo de flujo de enrutamiento. Es así que se introduce un costo no negativo genérico por unidad de flujo en cada camino:

17 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo El costo total es referido como la función objetivo yesdenotadaporf. Si la meta es minimizar el costo de enrutamiento, se puede escribir el problema completo como: El anterior es un Problema de flujo de red de comodidad única y también es conocido como problema de programación lineal. Esta representación dada en las anteriores ecuaciones es referida como Formulación de un problema de optimización. Este problema también es conocido como Problema de flujo de red de costo mínimo o enrutamiento de costo mínimo. Una solución óptima para un problema de optimización es la que satisfaga las restricciones del problema (solución factible).

18 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo Situación 1: Considere una de 10, c=10. Si el costo unitario se basa en un flujo por unidad de enlace, entonces claramente se pueden escribir como componentes de costo ξ12 = 1 (ya que es una ruta de enlaces directos) y ξ132 = 2 (debido a dos enlaces conformando un camino). En este caso los flujos óptimos se pueden escribir como: Si h>20, es claro que la red no tiene suficiente capacidad para llevar toda la demanda de volumen, esto es conocido como una situación no factible y ese caso,el problema es considerado como no factible.

19 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo Situación 2: Considere un caso alternativo donde el costo por unidad sobre un camino alternativo es 1 mientras sobre el camino directo es 2: En este caso, el flujo óptimo puede ser escrito como: Resolviendo el problema de flujo de red de comodidad única: Cuando el volumen de demanda es menor que la capacidad de un enlace h<=c. Con dos variables desconocidas se puede resolver por sustitución, estableciendo:

20 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo Note que el ultimo término (ξ132h) permanece constante para un situación específica del problema Por tanto, se considera necesaria la minimización del resto de la expresión: Sujeto a las restricciones apropiadas. Si ε12<ε132, entonces el problema está en mínimo cuando x*12=h; Si ε12>ε132, el mínimo es observado cuando x*12=0. Si ε12=ε132, entoncesx12 puede tomar cualquier valor en el rango [0,h] Por tanto, el problema tiene múltiple soluciones óptimas.

21 Descripción Formal y objetivo de enrutamiento de costo mínimo Considere ahora el caso en el cual el volumen de demanda, h, esmayorquec pero el problema es aún factible. Por ejemplo, h>c,peroh<=2c: En este caso, se necesita tomar los limites apropiadamente Si ε12<ε132, luego x*12=min{h,c} Si ε12>ε132, luego el mínimo es observado cuando x*12=max{0,h-c}. Para valores de h que van desde 0 a 2c, se puede ver que flujos óptimos son como ya se ha identificado en la situación 1 y la situación 2 correspondientes a ε12<ε132 y ε12>ε132 respectivamente.

22 Balanceo de Carga

23 Meta: Minimización de utilización máxima del enlace Esta meta también es conocida como Balanceo de carga de flujos en la red. La utilización del enlace está definida como la cantidad de flujo sobre un enlace dividida por la capacidad del enlace. La utilización máxima sobre todos los enlaces, significa el máximo sobre estas dos expresiones:

24 Variación en objetivo: Balanceo de Carga. Para el equilibrio de carga, se recogen los valores de las variables de tal manera que la máxima utilización de los enlaces está en un mínimo. Para ilustrar el significado de utilización máxima del enlace, considere c=10 y h=5. Si todo el volumen de demanda es enrutado sobre el enlace 1-2, luego x12=5 y x132=0; el máximo de la utilización del enlace es: max{5/10, 0/10}=1/2. Sin embargo si se fuera a enrutar una unidad de volumen de demanda sobre el camino alterno 1-3-2, por ejemplo: x132=1 mientras se guarda el resto en el enlace directo x12=4. Entonces la máxima utilización del enlace es: max{4/10,1/10}=2/5. Este valor de utilización es más bajo que si todo el volumen de demanda fuera enrutado por el enlace directo.

25 Variación en objetivo: Balanceo de Carga. Note que el máximo en el objetivo es sobre dos términos, por tanto el mínimo puede ser alcanzado si estos términos son iguales: Las incógnitas están relacionadas por: Substituyendo X*132 se obtiene: Se puede observar que cuando el balanceo de carga de flujos es la meta principal, la solución optima, es partir por partes iguales los flujos sobre ambos caminos. Este resultado es verdad mientras el volumen de demanda h< 2c. El problema llega a ser no factible cuando h>2c.

26 Balanceo de Carga: Capacidades diferentes Considere una simple variación en el cual la capacidad de los enlaces en la red no es la misma. Para considerar este caso, se mantiene la capacidad del enlace 1-2 igual a c, pero se incrementa la capacidad de los otros dos enlaces a 10 veces el enlace 1-2 por ejemplo a 10c. La utilización del enlace 1-3 y 3-2 es ahora x132/10c, y la formulación cambia a: Balance óptimo cuando:

27 Balanceo de Carga: Capacidades diferentes Esto esencialmente dice que el balanceo de cargas sobre una red con capacidad no uniforme resulta en la utilización siendo balanceada, pero no los flujos necesariamente. Considere la capacidad del enlace 1-2 a ser 10Mbps y la capacidad de los otros enlaces 100Mbps; sería preferible enviar más tráfico al enlace con capacidad mayor.

28 Enrutamiento con retardo mínimo

29 Retardo promedio en un sistema de un único enlace. Se asume que la llegada de paquetes a un enlace de red sigue un proceso Poisson con tasa de llegada promedio λ paquetes por segundo. La tasa de servicio de paquetes por un enlace es asumido como μ paquetes por segundo. Se considera el caso en el cual la tasa de llegada promedio es más baja que la tasa de servicio promedio, λ<μ; de otra manera se tendría una situación de sobreflujo. k: tamaño promedio de paquete; h: tasa de llegada en Mbps

30 Objetivo: Retardo Promedio. Se considera de nuevo la red de tres nodos con volumen de demanda h entre nodo y nodo 2, la capacidad de todos los enlaces es fijada a c. El retardo promedio en una red con flujo x12 sobre el camino de enlace directo yx132 sobre un camino alternativo puede ser capturado a través de la expresión: La fórmula del retardo es tomada, teniendo en cuenta que cada enlace se comporta como una cola M/M/1.

31 Variación en objetivo: Retardo Promedio. La capacidad es normalizada, por lo que las unidades de medida para flujo y capacidad son la misma. La meta de minimización de retardo promedio es resolver el siguiente problema: Consideraciones: - La función objetivo no está definida para x12=c ó x132=c. - Y el problema tiene significado solamente cuando x12< cyx132< c. - Se desea limitar el flujo sobre un enlace mediante una cantidad pequeña, donde x12 c ε y x132 c ε.

32 Variación en objetivo: Retardo Promedio. Para resolver el problema anterior teniendo en cuenta la restricción del flujo h, se puede obtener la función objetivo: Esta es una función no lineal que se desea minimizar. Se puede usar calculo para resolver este problema. Primero se deriva la expresión F con respecto a x12 y se fija el resultado a cero y se resuelve la ecuación para encontrar la solución de x12. Se puede hacer la prueba de la segunda derivada a esta solución para verificar que es un mínimo y no un máximo. En este caso la primera derivada da una ecuación cuadrática lo cual significa que se obtienen dos soluciones. Sin embargo solamente una solución es relevante conociendo que x12 debe ser > 0, y además que, x12 debe ser menor o igual que h.

33 Variación en objetivo: Retardo Promedio La solución es: Si la demanda de volumen es baja, la solución óptima enruta todo el flujo sobre el camino de enlace directo, pero cuando la demanda crece, es óptimo fluir algo del valor sobre el segundo camino.

34 Flujo en el enlace directo para diferentes objetivos Conclusiones: La función objetivo, cambia el comportamiento de la cantidad de flujo sobre el enlace directo En las regiones de baja carga y cuando se está llegando al máximo de capacidad, las diferencias en el flujo no son considerables. En la región media sí es considerable la diferencia en el comportamiento del flujo según sea el objetivo de optimización Importa el valor de c y de h.

35 Modelado de Flujo en red Multicommodity

36 Multi-commodity Network Flow Ocurre cuando una red tiene múltiples flujos entre diferentes pares de nodos. Para la optimización, se persiguen los mismos objetivos que en el caso single-commodity

37 Caso de enrutamiento de mínimo costo. - Suponga que se tiene una red de tres nodos como la de la figura. Los tres pares de demanda deben tener volúmenes de demanda positivos. - Cada demanda se denota como hij, donde i y j son los nodos extremos de la demanda. - Para cada par de demanda, el volumen de demanda puede ser acomodado usando dos caminos, uno es el camino directo y otro es el camino alterno usando el tercer nodo.

38 Caso de enrutamiento de mínimo costo. La cantidad de flujo sobre cada camino es desconocidoyvaaserdeterminadabasadaen un objetivo. El problema completo puede ser formulado así: Hay enlaces que llevan los nodos de diferentes demandas. Estas demandas no pueden exceder la capacidad del enlace

39 Caso de enrutamiento de mínimo costo. El problema es clasificado como programación lineal (LP) ya que todas las restricciones y la función objetivo son lineales. Los problemas de LP pueden ser resueltos usado el bien conocido método simplex, y otros métodos tales como el método de punto interior. También algunos software como CPLEX. En este tipo de problemas da como resultado valores reales Algunos problemas tienen restricciones con variables que toman valores enteros, entonces el problema se denomina Problema de programación lineal Mixto (variables enteras y reales) MILP. Si todas las variables toman valores enteros se denomina Programa de programación lineal entera ILP.

40 Caso de enrutamiento de mínimo costo. Los problemas con restricciones enteras son en general más duros de resolver, consumen más tiempo. Además un problema con restricciones enteras no puede ser resuelto por el método Simplex; se usan metodos como Branch and Bound y Branch and cut. Herramientas como CPLEX soportan este tipo de métodos. Para problemas con muchas restricciones y variables, algunas veces los solvers no son efectivos, por lo que se debe recurrir a algoritmos especializados.

41 Balanceo de Carga También referido como Minimización de la máxima utilización del enlace. y =Flujo total sobre un enlace. h=flujo enviado entre un par de nodos.

42 Balanceo de carga Es importante notar que la máxima utilización del enlace es una cantidad entre 0 y 1, teniendo en cuenta que el flujo de enlace debería ser menor que la capacidad del respectivo enlace para un problema factible. El problema no es un LP debido a que la función objetivo no es lineal, pero se puede decir que es una función lineal a trozos. Teniendo en cuenta que una función es convexa si para cada dos puntos z1 y z2 en su dominio, y para un parámetro α en 0 α 1 se sostiene que:

43 Balanceo de Carga Esto significa que la combinación convexa de la linea de segmento que conecta los valores de la función a f(z1) y f(z2) será mayor o igual que la función entre los puntos z1 y z2. Se puede observar que la función objetivo es convexa, y también se recalca que es una función lineal a trozos es así que se puede escribir:

44 Balanceo de carga Donde r es mayor o igual que cada uno de los componentes. Debido a que la meta es minimizar, esto es equivalente a minimizar r sujeto a las restricciones.

45 Objetivo: Retardo promedio Teniendo en cuenta colas M/M/1 Dado que la carga ofrecida total externa h12 + h13 + h23 es una constante, este factor puede ser ignorado en la función objetivo.

46 Retardo promedio Consideraciones: - La función objetivo no está definida cuando la carga sobre un enlace sea igual a la capacidad del enlace. Por tanto, en el desarrollo de un algoritmo para resolver esta formulación se puede restringir la capacidad por una cantidad pequeña ε.ej: - Es importante notar que la función objetivo es convexa cuando el flujo del enlace es menor que la capacidad. - A diferencia de la máxima capacidad del enlace, esta función no es lineal a trozos, esta es altamente no lineal cuando la carga se aproxima a la capacidad.

47 Retardo promedio Para resolver un problema de optimización no lineal se usan aproximaciones tales como el algoritmo de desviación de flujos. Sin embargo, aquí se describe una aproximación que considera una aproximación lineal a trozos de la función objetivo. Primero se considera que la función objetivo incluye la forma funcional: Esta función, escalada por c, por ejemplo cf(y), puede ser aproximada por la siguiente función lineal a trozos complementando la función a varios puntos sobre la curva tales como y/c=0,1/3,2/3 y así sucesivamente:.

48 Retardo promedio Función de aproximación lineal a trozos de y/(c-y) (Cuando c=1). La función aproximación puede también ser escrita como el máximo de cada una de las piezas lineales como sigue:

49 Retardo promedio Recordando la aproximación para transformar la minimización de una función máxima, se tiene:

50 Retardo promedio Considerando la función original, el objetivo de la función tiene tres partes, una por cada enlace, y cada uno de la misma forma. Es así que por cada parte se puede usar la aproximación lineal a trozos. La formulación queda: Esta formulación uede usar CPLEX para ser resuelta

51 Formulación general de un problema de flujo de red multi-commodity

52 Introducción Ahora se describirá el problema de flujos multicommodity en una red arbitraria. Se requieren algunas notaciones útiles en el contexto.

53 Notación Suponga una red con N nodos y L enlaces Número de demandas posibles: Red direccional: Red bidireccional: No todos los nodos son generadores ni destinos de tráfico, algunos son simplemente nodos de tránsito Se agrega un índice a los flujos indicando a qué flujo positivo pertenecen (no todos los pares de demanda tienen flujos)

54 Ejemplo de la notación Para sólo dos demandas entre 1y2 y entre 2 y 3 (K=2): Para tres demandas (entre todos los pares posibles, K=3):

55 Notación Los caminos candidatos pueden ser indexados con p: Pk es el número máximo de caminos candidatos Ejemplo: Cada demanda tiene dos caminos candidatos : variable de flujo para la demanda k y el camino p Las restricciones se podrán escribir como:

56 Formulación Link-path Representación usada para indicar la relación entre los enlaces y los caminos. Se utiliza debido a que no todos los pares de demanda posibles tienen flujos de demanda.

57 Formulación General

58 Representa la sumatoria de todos los flujos de demanda que pasan por el enlace l, cuyo flujo total es l. El flujo total por el enlace l debe ser menor o igual que la capacidad del enlace (cl).

59 Formulación General enlace-camino. Enrutamiento de menor costo : es el costo del camino p para la demanda k

60 Formulación enlace camino.

61 Tamaño del problema Red direccional con N nodos Número de flujos de demanda: Número de restricciones de demanda si todos los flujos son positivos: Para L enlaces, habrá L restricciones de capacidad : numero medio de caminos candidatos para la demanda k Número de variables de flujo:

62 Observaciones importantes Según la programación lineal, para que la formulación del problema tenga solución, se requiere que haya K+L variables de flujo. Para N=50 nodos, hay 200 enlaces y 1225 pares de demanda, se requieren variables de flujo de las posibles, para que haya una solución. Aún si se duplicase el número de caminos candidatos de 10 a 20 (aumentaría las posibles variables a 24500) se mantendría el número mínimo de variables de flujo necesarias para que la formulación del problema tenga solución

63 Observaciones Es difícil definir cuáles son los caminos candidatos para obtener una solución óptima. Esto se debe a la aleatoriedad del comportamiento de los usuarios de la red. Deben elegirse algunos según estimativos y según las estadísticas de comportamiento de los usuarios. Se sugiere que se tengan alrededor de 5 a 10 caminos candidatos para cada par de demanda para obtener una solución aproximada a la óptima.

64 Formulación enlace camino. Balanceo de carga La expresión siguiente captura el factor de máxima utilización delo enlace: Se requieren K+L-1 variables, ya que la variable r completa las K+L variables requeridas para que la formulación tenga solución.

65 Formulación Nodo Enlace. Balanceo de Cargas Para cualquier volumen de demanda, un nodo es: fuente o destino o un nodo intermediario Cualquier flujo que entra para esta demanda a través de un enlace, debe ir a través de otro enlace para mantener la conservación de flujos. Este tipo de formulación es descrita inherentemente para una red direccionada (enlaces direccionados)

66 Formulación Nodo Enlace. Balanceo de Cargas

67 Formulación Nodo Enlace. Balanceo de Cargas

68 Problema de flujo no particionable. En muchas instancias no se permite que el volumen de demanda entre un origen y un destino sea repartido en múltiples caminos. Desde el punto de vista de modelamiento se necesita seleccionar un solo camino entre un conjunto de caminos candidatos para un par demanda. Por tanto, la decisión de escoger un camino es una decisión binaria. Es así que se asigna 0/1 a una variable de decisión Ukp, para el camino p por demanda para k.

69 Problema de flujo no particionable. Para determinar el flujo sobre un enlace, se necesita primero identificar cual camino candidato está usando un enlace particular para un par de demanda particular. La formulación para el costo mínimo es:

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