CURSO 2006/2007 TEMA 1:

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1 HOJA DE PROBLEMAS ÓPTICA I CURSO 2006/2007 TEMA 1: La anchura de banda del espectro de emisión de una fuente láser es: ν = 30 MHz. Cuál es la duración del pulso luminoso emitido por la fuente? Cuál es la longitud del pulso? Una fuente de luz de sodio emite un tren de ondas con una longitud de onda media de λ = 589,3 nm. a) Cuántas ondas hay en 1 mm.? b) Cuál es la frecuencia de la luz emitida? Cuál es su periodo? La potencia luminosa de una fuente de luz monocromática es de 10 W en la longitud de onda de 500 nm. A qué distancia máxima será detectada esta fuente por un observador si su ojo reacciona a un flujo luminoso de 60 fotones/s? Dato: Tómese para el diámetro de la pupila del ojo el valor: 0,5 cm Demuéstrese que la superposición de dos oscilaciones armónicas de frecuencia angular ω da lugar a otra oscilación armónica igualmente con frecuencia ω. Estúdiese si se mantiene el mismo resultado en el caso de: a) ondas esféricas, b) ondas cilíndricas. TEMA 2: Un rayo de luz viaja de un punto a otro atravesando una superficie plana que separa dos medios de índices n y n. Demostrar, utilizando el principio de Fermat del tiempo mínimo, que la trayectoria seguida por el rayo viene dada por la ley de Snell. n Una fuente puntual situada en un punto P1 se encuentra en el interior de una esfera hueca espejada interiormente, emitiendo un rayo que, tras reflejarse en la esfera, pasa por P2, simétrico de P1 respecto del centro. En qué punto(s) de la esfera deberá reflejarse dicho rayo? Dos puntos A y B en el espacio distan 10 cm. Suponemos ahora que estos puntos quedan inmersos en un medio distinto del aire con índice de refracción 1,6. Cuál es el camino óptico asociado a este camino geométrico?

2 2.4- Un buzo bajo el agua ve el sol con un ángulo aparente de 45º respecto de la vertical. Dónde está el sol? En el fondo de una cubeta se sitúa una fuente luminosa puntual P. Un observador situado fuera de la dirección normal observa una imagen de esta fuente en P' (véase figura). Estúdiese si el camino óptico asociado al segmento PP' es o no constante. y aire O x agua P P Sea un reflector elíptico espejado interiormente y sean P1 y P2 sus focos. Demostrar que los rayos que salen de P1 y llegan a P2 tras una reflexión presentan camino óptico estacionario Demostrar que en un espejo parabólico de revolución todo rayo que pasa por el foco ha incidido paralelo al eje Sea una superficie esférica de radio de curvatura R sobre la que incide un rayo paralelo al eje. Encontrar, aplicando el principio de Fermat, el camino óptico del rayo geométrico refractado por esta superficie Un rayo de luz incide desde la izquierda en la cara vertical de un cubo de vidrio de índice de refracción 1,50 (véase figura). El plano de incidencia se supone que es plano del papel y el cubo está sumergido en agua. Calcular el valor máximo del ángulo de incidencia del rayo incidente para que se produzca reflexión total interna dentro del cubo de vidrio. n=1,50 θ Se tiene un recipiente de vidrio con forma de medio cilindro, con índice de refracción 1,65. Sobre la cara plana se sitúa una gota de líquido. Calcular el valor que

3 debe tener el índice de refracción de la gota para que se produzca reflexión total interna dentro del semicilindro para un valor del ángulo crítico θc = 58 o Un cable de fibra óptica de índice n = 1.5 se sumerge en agua (n = 1.33). Cuál es el ángulo crítico para que la luz se mantenga dentro del cable? Una fibra óptica Selfoc está caracterizada por tener una variación en el índice de refracción: n x, y = n 0 1 α x + y ( ) ( ) donde: n0 y a son constantes. Este tipo de fibras se utiliza en comunicaciones ópticas. Obtener la trayectoria del rayo geométrico en este medio. NOTA: Téngase en cuenta la aproximación paraxial Una fibra óptica está diseñada con una variación gradual en el índice de refracción que tiene la siguiente expresión: ( ) = sech ( α ) n x n x 0 Donde: n0 y a son constantes. Encontrar la trayectoria del rayo geométrico propagándose en este medio. Demostrar que el periodo de oscilación del rayo es independiente de las condiciones iniciales de propagación. TEMA 3: En el fondo de un recipiente lleno de agua hay un espejo plano. Un individuo se inclina sobre el recipiente y ve la imagen de su ojo en el espejo a la distancia óptima: d = 25 cm. siendo la distancia desde el ojo hasta la superficie del agua: h = 5 cm. Determinar la profundidad del recipiente. El índice de refracción del agua es: n = 4/ Sean dos semiesferas concéntricas de vidrio con distintos índices de refracción, tal como indica la figura. Construir la marcha del rayo AB bajo la condición: n n 2 1 R = r A B La posición de una estrella, vista desde la Tierra, difiere un poco de la real a causa de la refracción de los rayos en la atmósfera. Determinar el error al fijar la posición angular de una estrella que desde la Tierra se ve bajo un ángulo de 45 o con

4 la vertical. El índice de refracción del aire cerca de la superficie de la Tierra es: n = 1, Una varilla transparente de 40 cm. de largo e índice n = 1.5 tiene un extremo plano y el otro en forma de semiesfera de 12 cm. de radio. Se coloca un objeto sobre el eje de la varilla a 10 cm. del extremo semiesférico. Calcular la posición y el aumento de la imagen final. R TEMA 4: Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes convergentes iguales de distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm. Se sitúa 15 mm. A la izquierda de la primera lente. Cuál debe ser la separación entre lentes para que la imagen final sea real, derecha y cuatro veces mayor que el objeto? Cuando una lente delgada se sumerge en agua, su potencia se hace una cuarta parte de la que tenía el aire. Cuál es el índice de refracción del vidrio? Demuéstrese que para una lente delgada positiva la separación mínima entre dos puntos conjugados ambos reales es 4f Una lente delgada convergente tiene una distancia focal f. Obtener la posición del objeto para que la imagen sea real y para que sea virtual. Explicar por qué en una lente divergente la imagen es siempre virtual Se dispone de N lentes delgadas convergentes alineadas, cada una de distancia focal f, de modo que el foco imagen coincida con el foco objeto de la siguiente. Hallar el valor N para que la imagen de un punto luminoso situado a la izquierda de la primera lente a una distancia mayor que f, sea real Un objeto de 5 cm. De longitud está situado sobre el eje de una lente delgada convergente de distancia focal 10 cm. y forma con éste un ángulo 30 o. Su pie dista del polo de la lente 25 cm. Calcular la posición de la imagen y el ángulo que forma con el eje, el aumento lateral y la longitud de la imagen En la figura se representa una fuente puntual de luz S, su imagen S 1 obtenida por medio de una lente, y el eje óptico de la lente OO 1. Determinar, por construcción, la posición de la lente y hallar su foco. La imagen dada, es virtual o real? S 0 S 1

5 4.8.- Un pez de pequeño tamaño se encuentra en el centro de una pecera esférica de 40 cm. De diámetro. Encontrar la posición y el aumento lateral de la imagen del pez, visto por un observador fuera de la pecera Considérese un sistema periódico compuesto por lentes convergentes de distancias focales f 1 y f 2, dispuestas alternativamente a una distancia d entre ellas. Encontrar la condición de estabilidad de este sistema En la figura se da la marcha del rayo ABC a través de una lente divergente. Determinar por construcción, el foco de la lente. C A B TEMA 5: Para qué valores del índice de refracción de un prisma rectangular es posible la trayectoria del rayo representada en la figura? La sección del prisma es un triángulo isósceles; el rayo incide normalmente en la cara AB. A B Dos rayos paralelos se propagan en el aire. En el camino de uno de ellos, se coloca una lámina transparente, de índice n = 1,54 y espesor desconocido, que está inclinada 30º con respecto a la horizontal. Si la diferencia de camino óptico entre los dos rayos es de 0,00351 mm, calcular el espesor de la lámina.

6 5.3.- Considérese una lámina de vidrio plano-paralela de espesor d inmersa en aire, una de cuyas caras se esmerila de modo que se comporta como un difusor; es decir, refleja la luz en todas direcciones. Un rayo de luz incide perpendicularmente por la cara transparente, observándose sobre la cara difusora un punto intenso de luz rodeado de un círculo oscuro. Obtener una expresión para el radio de dicho círculo oscuro en función del índice de refracción de la lámina y de su espesor. TEMA 6: Un objeto O está a una altura h sobre el eje óptico de una lente delgada convergente de distancia focal f, con distancia objeto s 0. A una distancia s 1 de la lente se sitúa una pantalla. Aplicando el formalismo matricial de la óptica paraxial hállese: a) la relación entre s 0 y s 1 para que la imagen de O se forme en la pantalla. b) El aumento lateral del sistema en función de s 0 y s Supongamos una esfera de radio 20 cm. e índice de refracción n = 1,6. Encontrar mediante el formalismo matricial la posición del plano focal paraxial y los planos principales Se supone un resonador óptico compuesto por dos espejos esféricos de radios R 1 y R 2, respectivamente y separados una distancia L. Obtener la condición de estabilidad del sistema. TEMA 7: Sea un sistema formado por dos lentes delgadas convergente L 1 (f 1 = 200 mm., D 1 = 50 mm.) y a su derecha L 2 (f 2 = 50 mm., D 2 = 10 mm.) separadas 25 cm. Calcúlese: a) El tamaño y situación de los diafragmas de apertura y de campo para un punto axial muy alejado de L Una apertura circular de 1 cm. de diámetro es la pupila de entrada de un sistema óptico. Dicha pupila está situada a medio camino entre una fuente de luz extensa y una lente convergente de focal 10 cm. La lente proyecta una imagen de la fuente en una pantalla situada a 14 cm. de la lente. Calcular el diámetro de la pupila de salida del sistema Se tiene una lente delgada convergente inmersa en aire de focal imagen: f = 10 cm. y diámetro D = 4 cm. A una distancia de 20 cm. a la derecha de la lente se coloca un diafragma de diámetro d = 2 cm. Calcular la apertura numérica y el campo de iluminación media para objetos situados en el plano focal objeto Es compatible la presencia de alguna aberración de Seidel con un comportamiento estigmático objeto-imagen? Razónense la respuesta.

7 7.5.- Se considera un dioptrio esférico de radio R. Encontrar las condiciones para que la aberración esférica sea cero Los dos rayos que viajan paralelos al eje inciden en la cara plana de una lente planoconvexa de índice de refracción n = 1.6. Si la cara convexa es esférica, un rayo cerca del borde no atraviesa el punto focal (ocurre aberración esférica). Si esta cara tiene un radio de curvatura de 20 cm, y los dos rayos inciden a alturas h = 0.5 cm y 12 cm del eje, hallar la diferencia entre las posiciones donde éstos cruzan el eje. (para valientes!)

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