Estadística 2º curso del Grado en Ciencias de la Actividad Física y el Deporte. ---o0o--- Concepto General de Test de Hipótesis

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1 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Estadística 2º curso l Grado en Ciencias la Actividad Física y el Deporte ---oo--- Concepto General Test Hipótesis Bioestadística - Facultad Medicina Universidad Granada (España) Contrastes hipótesis - 2 Un contraste (test) hipótesis es un conjunto técnicas estadísticas que se ocupan ver si una afirmación acerca una población es cierta o no El entrenamiento alternativo es mejor que el tradicional Los hombres se lesionan más que las mujeres La proporción lesiones en el fútbol es mayor que en el baloncesto En un contraste hipótesis intervienen siempre dos enunciados excluyentes entre sí, las hipótesis: Hipótesis nula ó H es la hipótesis que se somete a comprobación (contraste en terminología estadística) para ver si es cierta ó no Hipótesis alternativa ó H es la hipótesis que se acepta cuando se rechaza H, suele ser la negación total o parcial la H 5-

2 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis Por ejemplo: H : Los entrenamientos alternativo y tradicional son igualmente efectivos H : Uno los entrenamientos es más efectivo que el otro Pasos para para llevar a cabo un un contraste hipótesis º) º) Determinar H y H 2º) 2º) Tomar información la la realidad para para ver ver si si esa esa información contradice H 3º) 3º) Tomar una una cisión por por H o por por H Contrastes hipótesis Naturaleza un test terminista El método científico actúa así: Paso : Plantear las hipótesis H Teoría Newtoniana es cierta vs H es falsa Paso 2: Tomar los datos (órbitas planetarias) Paso 3: Comprobar si los datos son conformes con lo que predice H : a) Datos sí conformes con H Acepto H : no es fiable, siempre pue haber otros datos -no tomados- que la contradigan (la Ciencia es una aproximación continua a la VERDAD) b) Datos no conformes con H Rechazo H Acepto H : sí es fiable Naturaleza un test aleatorio La Estadística actúa igual, pero se ve obligada a alterar el Paso 3 5-2

3 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis Ejemplo Supongamos que nos enfrentamos a quien alante será llamado "oponente" en el siguiente juego: el oponente proporciona una moneda que se lanza al aire, ganando él si sale cara y el lector si sale cruz Si el oponente no es fiar, es lógico que el lector tome sus precauciones solicitando probar previamente la moneda un número, digamos n= veces y cidiendo, a partir los resultados obtenidos, si el oponente es ó no tramposo (es cir, si el lector participa ó no en el juego) Contrastes hipótesis Hipótesis H sí juego El jugador es honrado p =,5 (p = % caras) H no juego El jugador es fullero p>,5 (da masiadas caras) Datos Lanzar n= veces la moneda: tamaño muestra Observar los resultados (C, C, F,, F): muestra aleatoria Fijarse en la característica relevante para el problema planteado nº caras x: estadístico contraste Con ello x B(n=; p=sconocida) y al observarla se obtiene x = x exp : valor experimental (l estadístico contraste) 5-3

4 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis Regla Decisión Si x exp = podrá parecer raro pero es posible! (la binomial toma valores a ) siempre se concluiría H! hay que cambiar la regla l caso terminista! Comprobar si el resultado es improbable bajo H (p=5%): a) Resultado no improbable bajo H (como x exp =5) aceptar H : no es fiable, pues una moneda incorrecta (p>5%) pue dar 5 caras b) Resultado sí improbable bajo H (como x exp =) rechazo H acepto H : no es fiable, pues una moneda correcta (p=5%) pue que dé caras En Estadística las dos conclusiones puen ser erróneas: lo relevante es que esos errores ocurran con poca probabilidad (error α si se concluye H ; error β si se concluye H ) Nuevo Paso 3) Comprobar si los datos son improbables o no bajo H Si los datos son improbables, se rechaza H y se acepta H Si los datos no son improbables, se acepta H Contrastes hipótesis Si Si el el número número caras caras al al lanzar lanzar veces veces la la moneda moneda es es gran gran le le llamaremos llamaremos tramposo tramposo Luego Luego la la cisión cisión se se basa basa en en el el número número X caras caras obtenidas obtenidas al al lanzar lanzar veces veces la la moneda moneda En En general: general: A todo todo número que, que, obtenido a partir las las observaciones una una muestra (tal (tal es es x), x), sirve sirve para para cidirse por por H ó por por H,, se se le le llama estadístico contraste En En nuestro caso caso el el estadístico contraste será será X = "número caras caras obtenidas al al lanzar veces la la moneda" Observemos que que X es es una una va va con con distribución B(n=;p) si si H es es cierta será seráx B(n=;p=½), y cualquier valor valor X (, (,,, 2, 2,,, 9, 9, ) ) es es compatible con con H Qué valores X me me llevarán a rechazar la la H? 5-4

5 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis Valores posibles, con sus probabilidas, l número caras obtenidas al lanzar veces una moneda correcta (p=/2) A la la vista vista estos estos datos: datos: Qué Quévalores nos nos llevarán llevarán a a rechazar rechazar la la hipótesis hipótesis nula nula Contrastes hipótesis - 5 Le Le diremos diremos tramposo tramposo si si salen salen X= X= caras? caras? Si, Si, porqué porquésiendo la la moneda moneda correcta correcta la la probabilidad probabilidad que que salgan salgan diez diez caras caras es es masiado masiado baja: baja: ; ; es es cir cir P(X P(X = = p = ½) ½) = Puedo Puedo equivocarme equivocarme con con esta esta regla? regla? Está Estáexenta error? error? Si Si que que puedo equivocarme, puesto que que usándola etiqueto como tramposo al al por por mil mil los los honrados De De cada cada oponentes honrados uno uno sería sería etiquetado como tramposo si si uso uso esta esta regla En En un un contraste contraste hipótesis hipótesis aleatorio aleatorio la la cisión cisión al al asumir asumir como como cierta cierta H no no está estáexenta exenta error error 5-5

6 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 5 Definición Error Tipo TipoIIo Error es es aquel que que se se comete al al cidirse por por H siendo cierta H P( cidir H cierta H) A partir ahora el investigador berá elegir el error que está dispuesto a soportar - Para un error = le diré tramposo si salen caras -Si elijo un error 55% entonces le diré tramposo siempre que salgan 8 caras o más El El error error α se se fija fija antemano en en base base a cómo importante sea sea una una cisión errónea por por H En En caso caso duda duda utilizar un un α = 5% 5% Contrastes hipótesis El El error error α se se fija fija antemano en en base base a cómo importante sea sea una una cisión errónea por por H En En caso caso duda duda utilizar un un α = 5% 5% En En el el ejemplo: α=,% si si el el oponente es es amigo o me me va va a llevar a los los tribunales; α=2% si si es es un un sconocido ; α=5% es es lo lo tradicional (salvo razones peso) En el ejemplo: P Decidir H es cierta H P x 8 p 5 5 5% cada honrados, a 55 les llamaremos fulleros inbidamente El valor se calcula en base a la B(n=; p=5) En la práctica Antes: se fijó la RC se termina α En la práctica: se fija α se termina la RC Cada α dará una RC y una conclusión diferente 5-6

7 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis Valores α para las distintas regiones críticas y distintos valores l tamaño muestra (H p=½) Todo Todo resultado resultado pue pue ser ser significativo significativo (ó (óno no significativo) significativo) con con tal tal tomar tomar un un error error αα suficientemente suficientemente gran gran (ó (ópequeño) De De ahí ahíque el el resultado resultado un un test test ba ba venir venir acompañado acompañado l l error error á bajo bajo el el cual cual se se obtuvo obtuvo tal tal conclusión conclusión Se Se pue pue elegir elegir un un α=? α=? Qué Quépasaría? Contrastes hipótesis Por Por otra otra parte, parte, si si me me cido cido por por H También También puedo puedoestar estar equivocándome! equivocándome! Error Tipo Tipo II IIo Error β es es aquel que que se se comete al al cidirse por por H siendo cierta H P( cidir H cierta H) Cuando H es es cierta cierta p solo solo pue pue valer valer,5,,5, pero pero cuando cuando es es cierta cierta H hay hay muchos valores valores posibles para para este este parámetro El El error error β es es una una función función los los valores valores p, p, por por tanto, tanto, El El error error β está estáinterminado! 5-7

8 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis qué quédiferencia hay hay entre entre estas estas dos dos situaciones? situaciones? El tramposo pue ser hábil e intentar no parecerlo, por ejemplo con una moneda con p=,6 El tramposo pue ser avaricioso y querer ganar rápido, por ejemplo con una moneda con p=,9 Valores α y β para las distintas regiones críticas, distintas alternativas y distintos valores l tamaño muestra (H p=½) Contrastes hipótesis - 6 Cuanto Cuanto más más se se aleje aleje H H,, es es cir, cir, mas mas diferente sea sea p l l 5 5 propuesto por por la la H,, menor menor es es el el error error β cometido, es es cir, cir, menor menor probabilidad hay hay aceptar aceptar inbidamente H ( ( que que el el test test no no dé désignificativo inbidamente) El El error error β es, es, en en principio, incontrolable lo lo que que es es grave No No es es lo lo mismo una una cisión por por H que que por por H antes continuar Frases equivalentes a cido H y cido H (en todos los casos al final be añadirse el α utilizado) 5-8

9 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 7 Potencia un test: Potencia P( cidir H cierta H ) La La potencia es es la la probabilidad un un acierto (al (al cidir por por H ) ) Hay Hay una una relación evinte entre entre la la potencia y el el error error Depen los los distintos valores p una tabla que ayuda a aclarar las cosas Contrastes hipótesis - 8 Relaciones entre los errores α y β Toda Toda disminución l l error error α (o (o β) β) conlleva un un aumento l l error error β (o (o α) α) Cuanto más más gran es es una una muestra, más más pequeño es es el el error error β para para un un test test al al error error α dado, es es cir cir más más fiables son son sus sus conclusiones por por H 5-9

10 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 9 Fiabilidad las conclusiones y efecto aumentar n Si se concluye H, la cisión sí es fiable (error α fijado) y no tiene sentido n (si lo hace, lo más probable es seguir concluyendo H ) Si se concluye H, la cisión no es fiable (error β no fijado) y si se n: Si H es verdad: pue que se concluya H (pues θ ) Si H es verdad: se seguirá concluyendo H en general En todo test hipótesis, una cisión por H be aceptarse sin más, en tanto que una aceptación por H pue requerir el aumento l tamaño muestra Contrastes hipótesis - 2 El El resultado resultado un un contraste contraste hipótesis hipótesis pue pue ser ser o o cidirme cidirme por por H o o cidirme cidirme por por H Pero Pero Son Son fiables fiables las las cisiones cisiones un un contraste contraste hipótesis? hipótesis? Cuando se acepta H la conclusión es fiable, pues la posibilidad un error α está controlada y es tan pequeña como se haya querido Pue ser que la conclusión sea errónea, pero la pequeña posibilidad ello (α) ha sido asumida De concluir H, no tiene sentido aumentar el tamaño la muestra, pues el error α sigue siendo el mismo y lo más probable es que sigamos concluyendo H Cuando se acepta H la conclusión no es fiable, pues la posibilidad error no está controlada y pue haber sido gran Ahora un aumento l tamaño muestra pue ser conveniente pues, si H es cierta, el error se hará más pequeño, la potencia aumentará y será más probable concluir H (y acertar) Pero también pue ser innecesario (si en realidad H es cierta) 5-

11 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 2 Razones por la que en un test hipótesis se pue aceptar H : a) Sea cierta H b) Por azar La muestra ha sido safortunada y ha llevado a aceptar H (siendo cierta H ) c) El tamaño la muestra no es lo suficientemente gran para poner manifiesto diferencias entre H y H Cuando en un test hipótesis se acepta H, no se sabe por cual estos tres motivos se ha aceptado, luego la aceptación H no es fiable (salvo que el tamaño muestral se calcule fijando los errores a y β, en cuyo caso la aceptación H es fiable) Contrastes hipótesis - 22 Pero entonces, Cómo se si tengo que aumentar el tamaño la muestra? Con un concepto nuevo: Qué hago si me salen X=8 caras? Depen l α El problema se pue plantear a la inversa Construyo una región crítica que empiece en 8 y calculo el valor α para esa región crítica, a ese α se le nomina valor P o nivel significación 5-

12 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 23 P es el mínimo error α que se be estar dispuesto a cometer si se sea concluir H El valor P mi cómo raro es lo que ha sucedido (ó algo más extremo) si fuera cierta H El valor P pue entenrse como una medida la disconformidad los datos con la hipótesis nula, indicando cómo improbables son estos si H es cierta En En la la práctica se se calcula siempre el el valor valor P y en en base base a él él se se ci si si se se acepta o se se rechaza la la hipótesis nula nula Contrastes hipótesis - 24 Cómo pequeño be ser el nivel significación P para rechazar la hipótesis nula? Debe evitarse aceptar H para para valores P próximos al al nivel nivel significación α elegido (el (el 5% 5% en en general) Por Por cuantificar la la regla regla pomos convenir la la siguiente Regla Regla Automática Decisión * Si Si P 5%: 5%: cidir H (hay (hay fuertes evincias en en contra H ) ) * Si Si P > 5% 5% ó 2%: cidir H (hay (hay acuerdo razonable con con H ) ) * En En otro otro caso: caso: no no pomos rechazar inmediatamente H pero pero hay hay evincias en en su su contra, por por tanto tanto conviene ampliar la la muestra 5-2

13 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Contrastes hipótesis - 25 Realización práctica un contraste hipótesis Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa 2 Calcular el estadístico contraste C exp 3 Elegir el error y comparar C exp con la cantidad teórica C α correspondiente a dicho error y que se obtiene a partir la tabla distribuciones probabilidad acuada Entonces cidir: Si C exp C α H al error α Si C exp < C α H 3 A partir la tabla distribuciones probabilidad acuada, obtener el nivel significación P y, usando la regla automática cisión, tomar la cisión final En En la la práctica, práctica, optaremos optaremos siempre siempre por por dar dar el el nivel nivel significación significación P P Contrastes hipótesis - 26 Ejemplos la obtención P Para centrar ias supongamos que la distribución referencia es una t-stunt con gl Empiécese con un nivel α muy gran y váyase rebajando mientras se rechace la hipótesis nula, estando P entre el último α al que se rechazó la hipótesis nula y el primero al que ya no se rechaza ) t exp =24 t 5 =2228< t exp =24< t 2 = < P < 5 H 2) t exp =2 t 3 =93< t exp =2< t 2 =372 2 < P < 3 H 3) t exp =2 t =82< t exp =2< t 5 = < P < n 4) t exp =633 t =4587< t exp =633 P < H 5) t exp =55 t 5 =7> t exp =55 P > 5 H 5-3

14 Pedro Femia Marzo, Mª Teresa Miranda León, José A Roldán Nofuentes, Inmaculada Roldán López Hierro Tabla la t Stunt (Tabla 3) 2 < P < 5 Contrastes hipótesis - 27 t exp =24 ---oo--- Fin l capítulo 5-4

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