Probabilidad con técnicas de conteo

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1 UNIA 3 Probabilidad co técicas de coteo Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: distiguirá y utilizará las reglas de multiplicació y de suma para el cálculo de la catidad de arreglos co y si orde explicará cómo se traza u diagrama de árbol para el coteo de arreglos co orde idetificará y explicará qué es ua permutació resolverá problemas de permutacioes co y si reemplazo maejará las permutacioes co elemetos iguales idetificará y explicará qué es ua combiació resolverá ejercicios y problemas usado combiacioes resolverá problemas referetes a la teoría de las probabilidades empleado las técicas de coteo

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3 Itroducció El aálisis combiatorio es ua rama de las matemáticas discretas de gra aplicació, como la teoría de las probabilidades y el aálisis de algoritmos, etre otras. Las aplicacioes de la teoría combiatoria está basadas e el empleo de métodos para cuatificar los diferetes tipos de arreglos que se obtiee co los elemetos de uo o más cojutos. Puesto que e la teoría de las probabilidades o siempre es fudametal ecotrar todos los putos muestrales, basta coocer la catidad de éstos; e particular, cuado se aplica la defiició de probabilidad, es decir, cuado el espacio muestral se cosidera uiforme, el cálculo de la probabilidad de u eveto requiere ua divisió de la catidad de elemetos del eveto etre la catidad de elemetos del espacio muestral, por lo que es ecesario coocer las técicas que se puede aplicar para calcular la catidad de putos muestrales e u experimeto. E esta uidad se aaliza varioscojutosy susarreglospor medio de dosreglas elemetales de coteo: regla de multiplicació y regla de suma. E ocasioes los arreglos se grafica por medio de diagramas de árbol. Tambié se trabajará por separado los casos especiales de los arreglos que se forma co ua parte o todos los elemetos de u cojuto cuado el orde e que se coloque éstos sea importate permutacioes y la elecció de los elemetos se realice co o si reemplazo; se ampliará el estudio de los casos co elemetos iguales e u cojuto y los casos cuado el orde etre los elemetos de los arreglos o es importate combiacioes. Esta uidad termia co la parte umérica del cálculo de probabilidades dode se empleará las técicas de coteo estudiadas. 3.1 Regla de multiplicació La regla de multiplicació aplicada a dos cojutos cosiste e que dados los cojutos A = {a 1, a 2,..., a } y B = {b 1, b 2,..., b m }, se quiere saber cuátas parejas diferetes se puede formar co sus elemetos si se coloca u elemeto del cojuto A y posteriormete u elemeto del cojuto B. Primero se elige u elemeto cualquiera del cojuto A y se relacioa co cada uo de los elemetos del cojuto B, de tal forma que se obtiee m arreglos diferetes (puesto que B cotiee m elemetos) a 1 b 1, a 1 b 2, a 1 b 3,..., a 1 b m espués se escoge u segudo elemeto del cojuto A, y se relacioa co cada uo de los elemetos del cojuto B y se obtiee otros m arreglos, los cuales so todos diferetes respecto de los que se formaro ates, ya que se combiaro elemetos diferetes del cojuto A a 2 b 1, a 2 b 2, a 2 b 3,..., a 2 b m

4 90 otiuado el proceso se tiee m parejas distitas que cotiee u elemeto de cada cojuto. E estos arreglos se escribe primero los elemetos del cojuto A seguidos de los del B. El proceso se puede geeralizar para el caso de k cojutos, y resulta la siguiete defiició. efiició 3.1 ados A 1,..., A k k cojutos diferetes y 1, 2,..., k las catidades respectivas de elemetos de dichos cojutos, etoces la catidad de arreglos diferetes que cotiee u elemeto de cada cojuto, escribiedo primero los elemetos del cojuto uo seguidos de los del cojuto dos, sucesivamete hasta llegar al cojuto k, se llama regla geeralizada de multiplicació, y está dada por k Ejemplo 1 1. Se tiee ocho libros de física, cuatro de química y siete de matemáticas, todos ellos diferetes, cuátos arreglos de tres libros, que cotega u libro de cada tema, se puede formar co todos los libros si primero va los de física, seguidos por química y matemáticas? o los datos ateriores y el uso de la regla de multiplicació, que idica el total de arreglos de libros diferetes de cada tema, se obtiee = Para ir de la ciudad A a la ciudad B existe tres camios, de la ciudad B a la existe cuatro, de la ciudad a la dos, dé cuátas maeras se puede ir de la ciudad A a la, si pasar por la misma ciudad más de ua vez? o los datos ateriores y co el uso de la regla de multiplicació, el total de camios diferetes para ir de A a es = 24 Ejercicio 1 1. uátas parejas diferetes se puede formar co las letras a, r, m y los úmeros 3, 5, 6 y 8, si primero va la letra y después el úmero? 2. Para viajar de la ciudad de México a Veracruz existe tres camios y de Veracruz a Tabasco tambié tres, calcula de cuátas formas puede viajar ua persoa de México a Tabasco si debe pasar por Veracruz. 3. Ua persoa quiere regalar dulces de tres tipos a su hijo: chocolate, caramelo y goma de mascar; etra a ua tieda dode hay doce variedades de chocolates, quice de caramelos y diez de goma de mascar, calcula de cuátas maeras puede itegrar el arreglo de dulces. 3.2 iagramas de árbol El ombre diagrama de árbol se debe a su forma, ya que co los elemetos de los diferetes cojutos que se estudia se costruye ramificacioes, co las cuales se obtiee todos los arreglos posibles.

5 91 efiició 3.2 El diagrama de árbol co los diferetes elemetos de los cojutos que se tiee. U arreglo cojuto. Ejemplo 2 Retomado los datos del ejemplo 1, umeral 2, es posible resolver el problema mediate u diagrama de árbol. Primero se represeta e u puto a la ciudad A, después se traza, a partir de este puto, tres líeas rectas para los tres camios de la ciudad A a la B; de igual forma, de cada puto que represeta a la ciudad B, se traza cuatro líeas para los cuatro camios de la ciudad B a la ; fialmete, de cada puto que represeta la ciudad, se traza dos líeas para los dos camios de la ciudad a la. B A B B El diagrama 3.1 muestra todos los camios posibles para viajar de la ciudad A a la, pasado por las ciudades B y, los cuales se puede obteer al uir rectas desde el puto A al si regresar por igú camio. omo se observa, los diagramas de árbol so bastate secillos y muestra todos los arreglos posibles. Si embargo, e los casos e que la catidad de elemetos es grade, se tiee tambié ua catidad grade de ramificacioes, y trazarlo ya o sería factible. No obstate, como se verá e la siguiete uidad, los diagramas de árbol tiee gra aplicació al resolver problemas de probabilidad codicioal.

6 92 Ejercicio 2 1. uátas parejas diferetesse puede formar co las letras a, r, m y los úmeros 3, 5, 6 y 8, si primero va la letra y después el úmero? Resuelve mediate diagramas de árbol. 2. Para viajar de la ciudad de México a Veracruz existe tres camios y de Veracruz a Tabasco tambié, calcula de cuátas formas puede viajar ua persoa de México a Tabasco, si debe de pasar por Veracruz. Resuelve mediate diagramas de árbol. 3.3 Arreglos co y si reemplazo Al aplicar la regla de multiplicació se debe tomar e cueta que o sólo se emplea co diferetes cojutos sio que puede estar aplicada a u mismo cojuto e los casos que se pida realizar arreglos co todos o algua parte de sus elemetos. ichos arreglos, si embargo, puede ser de dos tipos: cuado se permite el reemplazo (o repetició) y cuado o se permite Arreglos co reemplazo Se dice que los arreglos so co reemplazo o co repetició cuado después de tomar u elemeto éste se puede tomar uevamete cada vez que se realice otra extracció. Es decir, si se tiee u cojuto A co elemetos diferetes y se realiza ua extracció, ésta se podrá hacer de formas diferetes. ado el cojuto A = {a 1, a 2,..., a }, se pide formar arreglos diferetes que cotega k elemetos del cojuto e el cual se permite el reemplazo. Por la regla de multiplicació (defiició 3.1), esto es equivalete a teer k cojutos iguales de los cuales se forma arreglos diferetes que cotega u elemeto de cada cojuto, de tal forma que del primer cojuto se tedrá elemetos para escoger uo, del segudo cojuto tambié elemetos puesto que se permite la repetició, sucesivamete k veces, lo que se expresa k veces k arreglos diferetes efiició 3.3 ado el cojuto A = {a 1, a 2,..., a } co elemetos diferetes, la catidad de arreglos que cotega k elemetos tomados co reemplazo del cojuto A está dada por k Ejemplo 3 uátos úmeros diferetes de placas se puede formar co los úmeros dígitos y las letras del alfabeto, si cada placa costa de tres letras y tres dígitos y se permite la repetició?

7 93 ada letra del arreglo se puede elegir de 26 maeras, ya que se permite la repetició, al igual que cada dígito del arreglo se puede escoger de diez maeras, por tato = placas diferetes Arreglos si reemplazo (permutacioes) Los arreglos so si reemplazo o si repetició cuado después de tomar u elemeto, éste o se puede tomar de uevo. Es decir, si se tiee u cojuto A 1 = {a 1, a 2,..., a } co elemetos diferetes y se realiza ua extracció, ésta se podrá hacer de maeras diferetes. Sea el elemeto tomado a 3, éste ya o se regresa al cojuto teiedo u cojuto A 2 = {a 1, a 2, a 4, a 5,..., a } co 1 elemetos diferetes, de forma tal que cuado se realice ua seguda extracció será de 1 maeras. Sea el cojuto A = {a 1, a 2,..., a }, se pide formar arreglos diferetes que cotega k elemetos elegidos del cojuto si reemplazo. Por la regla de multiplicació, esto es equivalete a teer k cojutos, de maera que del primer cojuto se tedrá elemetos para tomar uo, del segudo cojuto 1 elemetos (puesto que o se permite el reemplazo), sucesivamete hasta llegar al k-ésimo cojuto, el cual cotedrá ( (k 1)) elemetos diferetes para tomar uo. o la regla de multiplicació la catidad de arreglos diferetes que se pueda formar co los k cojutos está dada por ( 1) ( 2) ( ( k 1)) arreglos diferetes k elemetos efiició 3.4 ado el cojuto A = {a 1, a 2,..., a } co elemetos diferetes, la catidad de arreglos ordeados que cotega k elemetos tomados si reemplazo del cojuto A está dado por la resultate de ( 1) ( 2)... ( (k 1)) Ejemplo 4 uátas placas diferetes se puede formar co los úmeros dígitos y las letras del alfabeto, si cada placa costa de tres letras y tres dígitos si o se permite la repetició? La primera letra se puede elegir de 26 maeras, la seguda las 25 restates, la tercera 24. E el caso de los úmeros se escogerá el primero de diez maeras, el segudo ueve y el tercero ocho. Fialmete, por la defiició 3.4 y la regla de multiplicació se tiee que la catidad de arreglos es ( ) (10 9 8) = La expresió para los arreglos si repetició se simplifica itroduciedo la siguiete defiició. efiició 3.5 El factorial de u úmero N ( 1)( 2) 1 y se simboliza por!

8 94 Nota Por defiició, 0! = 1. o la defiició 3.5 se puede represetar la expresió de la defiició 3.4 de forma simplificada. Se multiplica y se divide la expresió de la defiició 3.4 por ( k)! ( 1) ( 2) ( ( k 1)) ( 1) ( 2) ( ( k 1))( k) 2 1 ( k) 2 1! ( k)! e tal forma que a partir de la expresió aterior es posible itroducir ua defiició equivalete a la 3.4. efiició 3.6 Se llama permutació de k elemetos escogidos de u total (todos diferetes) a P k! ( k)!, 0 k que represeta la catidad total de arreglos ordeados de tamaño k que se puede formar co elemetos diferetes cuado o se permite la repetició. Ejemplo 5 1. Se calcula a) 4! = = 24 b) 7! = = ! c) P 7 ( 10 7)! ! d) P 4 ( 200 4)! ! 196! 2. Se ecuetra el valor de de acuerdo co la igualdad P 8P Empleado la defiició 3.6, se tiee P! ( 1)! = ( 3)! ( 3)! por otro lado 1 8P 1 ( )! 2 8 ( 1 2)! ( 1)! 8 ( 3)! igualado estas dos últimas expresioes, resulta ( 1)! ( 1)! = 8 ( 3)! ( 3)! 8

9 Permutacioes co elemetos iguales Para los casos e que se quiere formar arreglos co todos los elemetos de u cojuto, etre los cuales existe alguos que so iguales, se tiee que, de forma geeral, cuado existe 1 elemetos iguales, 2 elemetos iguales,... y m elemetos iguales, tales que m =, resulta la catidad total de ordeamietos diferetes cosiderado todos los elemetos por ordeamieto P 1 2 m! 1! 2! m! ; co m = Ejemplo 6 1. Se tiee cuatro computadoras X, tres computadoras Y y tres computadoras W; de cuátas maeras diferetes se puede ordear e líea recta? Se tiee e total diez computadoras, de las cuales existe cuatro, tres y tres de cada tipo, por la fórmula 1, se tiee 10! 4! 3! 3! (total de arreglos diferetes) 2. uátas permutacioes diferetes se puede formar co todas las letras de la palabra Guaajuato? Aquí el problema es que existe elemetos iguales, se tiee tres letras a, dos u y sólo ua de las siguietes g,, j, t y o. Por la fórmula 1, se tiee 10! 3! 2! 1! 1! 1! 1! 1! permutacioes diferetes Ejercicio 3 1. alcula a) P 6 12 b) P alcula, si emplear la calculadora, P alcula valor de que hace que se cumpla P 8 = 8! 4. Ua persoa acomoda e u estate de ua librería seis libros de filosofía, cuatro de química y ocho de historia. e cuátas formas se puede acomodar los libros si a) los de historia siempre debe de ir jutos b) los libros debe de ir separados por materias 5. osidera todas las letras de la palabra uitláhuac, calcula la catidad de arreglos diferetes que se puede formar cosiderado todas las letras.

10 96 6. Se pide tomar seis úmeros, uo tras otro si reemplazo de u total de 44, calcula cuátos arreglos diferetes se puede formar. 7. uatro parejas (cuatro hombres y cuatro mujeres) va a ir al teatro; compraro ocho boletos e la misma fila. a) calcula de cuátas maeras diferetes se puede colocar las cuatro parejas si que algua quede separada b) calcula de cuátas maeras diferetes se puede colocar las ocho persoas, si se toma dos hombres para que o se siete jutos? 3.4 ombiacioes E la secció aterior se aalizaro las permutacioes, arreglos e los que el orde etre sus elemetos es de suma importacia, por tato, la permutació ab es diferete al arreglo ba. E la presete secció se verá los arreglos e los que el orde etre sus elemetos o importa, es decir, dado u cojuto de elemetos distitos se desea cotar el úmero de subcojutos o ordeados de tamaño k. Por ejemplo, dado u grupo de 40 estudiates, se pide tres alumos para que represete al grupo. E este caso o es importate el orde de los alumos. Esto lleva a la siguiete defiició. efiició 3.7 ado u cojuto co elemetos diferetes, se llama combiació a cualquier subcojuto o ordeado de tamaño k. El úmero de combiacioes de tamaño k que se puede formar co los elemetos se deota por k, 0 k omo k represeta la catidad de subcojutos o ordeados que costa de k elemetos tomados de u total de, se tiee que e cada ua de esas combiacioes se puede formar k! arreglos diferetes. Por tato, si k represeta la catidad total de subcojutos o ordeados formados de k elemetos diferetes, k! k represeta la catidad de arreglos diferetes de k elemetos tomados de u total. omo se aalizó e la secció 3.3.2, esta catidad es igual a P k, de dode se deduce espejado k P k = k! k k!( k)! k k! Nota Ua diferecia fudametal etre las permutacioes y las combiacioes cosiste e que e el orde de los elemetos de los grupos escogidos e las combiacioes o importa,

11 97 sólo se cosidera la catidad de elemetos e el grupo, mietras que e las permutacioes el orde etre sus elemetos es fudametal. Permutacioes ab ba ombiacioes {a, b} = {b, a} E alguos textos para la otació combiatoria tambié se deota k o k esta última suele emplearse e las calculadoras juto co la de Pk para las permutacioes. Ejemplo 7 1. Se calcula 10 10! a) 3 3!( 10 3)! 15 15! b) 4 4!( 15 4)! uátos grupos de dos elemetos se puede formar de u cojuto que cotiee cico elemetos? omo e estos casos o importa el orde etre los elemetos, co la fórmula 2, se tiee 5 5! 2 2!( 5 2)! iez es el total de grupos diferetes co dos elemetos cada uo. Por ejemplo, si el cojuto es {a, b, c, d, e}, los grupos de dos elemetos so {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e} Propiedades e el cálculo de k alcular las combiatorias por medio de su defiició formal puede resultar pesado; e alguos casos se puede simplificar mediate las siguietes propiedades uméricas. 1., para toda N y 0 k k k por tato, Por defiició de combiatoria se tiee k k!( k)! k!!!! ( k)!( ( k))! ( k)! k! k!( k)! k

12 ; para toda N 0!! 0!( 0)! 1! 1, después por la propiedad 1, se da 1 ya que + 0 = , para toda N 1! 1!( 1)! ( 1)! 1( 1)!, después por la propiedad 1, se da 1 ya que = k 4. k ( 1 )( 2 ) ( ( 1 )) k( k 1)( k 2) 1 Ejercicio 4 1. alcula a) 6 12 b) alcula, si emplear la calculadora a) b) Ecuetra el valor de k o, que cumpla la igualdad correspodiete a) P 5! 4 6 k k b) 4. Se pide tomar seis úmeros a la vez de u total de 44, calcula cuátas combiacioes es posible hacer si el orde o es importate. 5. alcula de cuátas maeras se puede colocar ocho torres e u tablero de ajedrez de tal forma que igua de ellas se efrete, es decir, o se ubique dos o más e ua misma líea vertical u horizotal si a) todas las torres so del mismo color b) hay cuatro torres blacas y cuatro egras 6. U exame de métodos uméricos está formado por tres temas. El tema A cotiee seis pregutas, el tema B cuatro y el tema ocho pregutas, y se tiee que cotestar tres pregutas de cada tema, calcula de cuátas maeras diferetes u estudiate puede elegir sus pregutas.

13 Regla de suma Existe muchos problemas relacioados co las permutacioes o combiacioes dode para ecotrar la catidad total de arreglos se tiee que recurrir a diferetes tipos de éstos. Por ejemplo, se va a formar u comité de cico persoas de u grupo de 20, de los cuales tres so hermaos, de cuátas maeras se puede formar el comité, si debe estar por lo meos dos de los hermaos? Se puede formar los arreglos de dos maeras: 1. uado de las cico persoas seleccioadas esté dos de los hermaos. 2. uado de las cico persoas seleccioadas esté los tres hermaos. La respuesta al problema es la suma de los arreglos puesto que los dos cumple la codició de teer por lo meos dos de los hermaos e el comité. Por lo expuesto es posible cocluir que si A y B so dos tipos de arreglos diferetes y el total de arreglos A ocurre de maeras e igualmete el total de arreglosb ocurre de m maeras, etoces el total de arreglos de ambos tipos ocurre de + m maeras. Ésta es ua regla que se puede geeralizar co la siguiete defiició. efiició 3.8 ados A 1, A 2,..., A m diferetes tipos de arreglos que puede ocurrir de las maeras 1, 2,..., m, respectivamete, el total de arreglos de todos los m tipos ocurrirá de m maeras. A esto se le llama regla de suma. Nota La aplicació de la regla de suma por lo geeral se realiza cuado aparece e el euciado del problema las frases: a lo más o por lo meos. Ejemplo 8 1. Se va a formar u comité de cico persoas de u grupo de 20, de los cuales tres so hermaos; de cuátas maeras se puede formar el comité, si debe estar por lo meos dos de los hermaos? Se pide que por lo meos dos de los tres hermaos itegre el comité y se tiee dos tipos de arreglos. 1. uado se tega dos hermaos e el comité (el orde e este problema o es importate, ya que sólo iteresa que e el comité exista cico persoas): puesto que se requiere cico persoas e el comité y dos de ellas debe elegirse de los tres hermaos, se tiee que, co el uso de la regla de multiplicació, esto podrá ocurrir de maeras, e dode 2 represeta la catidad de maeras de escoger dos de los tres hermaos, mietras que 3 17 es la catidad de maeras de escoger a las otras tres persoas de los 17 restates. 2. uado e el comité se elija los tres hermaos, lo cual ocurre de maeras, e dode 3 3 represeta la catidad de maeras de escoger tres de los tres hermaos, mietras que 17 2 represeta la catidad de maeras de escoger a las otras dos persoas de los 17 restates.

14 100 Fialmete, co la regla de suma, el total de maeras e que puede ocurrir los dos tipos de arreglos es = = Se va a formar u comité co u presidete, u secretario y u tesorero de u grupo de 20 persoas, de las cuales tres so hermaos, de cuátas maeras se puede formar el comité, si a lo más uo de los tres hermaos estará e el comité y cualquiera de las 20 persoas puede estar e otro puesto? Se pide que a lo más uo de los tres hermaos itegre el comité; se tiee dos tipos de arreglos: 1. uado iguo de los hermaos esté e el comité (el orde e el problema sí es importate, ya que os iteresa que e el comité las persoas ocupe puestos determiados). ebido a que se requiere e el comité u presidete, u secretario y u tesorero, y iguo de ellos debe ser uo de los tres hermaos, co la regla de multiplicació se tiee Presidete Secretario Tesorero = P 3 maeras Nota El úmero 17 e la primera casilla sigifica que dicho lugar puede ocuparlo cualquiera de las 17 persoas (iguo de los tres hermaos deberá estar), pero o represeta al elemeto 17. Lo mismo se aplica para las otras casillas. 2. uado para el comité se elige uo de los tres hermaos, el cual puede ser presidete, secretario o tesorero; para cada uo de los tres arreglos resultates, puede ocurrir la misma catidad de maeras. Presidete Secretario Tesorero = P = P 1 P = 17 P 2 Fialmete, co la regla de suma, el total de maeras e que puede ocurrir los diferetes tipos de arreglos es P 1 3 P 1 3 P P P P P P P = maeras ebido a que puede haber problemas para difereciar los arreglos e los que el orde es importate de los que o, además de los casos e dode se debe emplear las reglas de multiplicació y de suma, se preseta alguos ejemplos e los cuales o se especifica el tema del problema (como e los ejemplos ateriores). Por cosiguiete, primero se tedrá que recoocer el tipo de problema y después resolverlo.

15 101 Para la solució de u problema, el camio aalizado o ecesariamete es el úico. Se puede propoer varios métodos de solució, pero siempre cosiderado las reglas de multiplicació y suma. Ejemplo 9 1. U exame de verdadero y falso está formado por catorce pregutas, de las cuales ocho so verdaderas y el resto falsas, cuátos arreglos de catorce respuestas se puede dar si se cotesta todas las pregutas? El problema se refiere a casos co elemetos iguales (ya que si dos o más respuestas so verdaderas o se distigue etre ellas). Por la fórmula 1 se tiee que la catidad de arreglos posibles es! P 8, 6 8! 6! maeras de cotestar el exame 2. Se quiere formar arreglos de cuatro cifras co los úmeros 0 a 9. a) cuátos úmeros diferetes de cuatro cifras se puede formar co los úmeros 0 a 9 (si o se permite la repetició) el cero o puede ir al pricipio y los úmeros formados puede ser cualesquiera? b) los úmeros formados del iciso a) debe ser pares E los dos icisos el orde es importate, ya que al permutar las cifras el úmero formado cambia, por ejemplo, a) como los úmeros puede ser cualesquiera, b) puesto que los úmeros formados debe ser pares, e la última posició sólo puede ir u úmero par (0, 2, 4, 6 y 8). Asimismo, se tiee dos tipos de arreglos, uo cuado el úmero e la última posició sea cero y otro cuado o lo sea. o el uso de la regla de suma, se tiee = úmeros pares de cuatro cifras diferetes que se puede formar co los úmeros dígitos. 3. Se sabe que u úmero expresado e sistema biario tiee siete cifras, de las cuales se cooce que tiee tres 1 y las demás so ceros, cuátos úmeros diferetes se puede formar, si el cero o va al pricipio?

16 102 omo el cero o va al pricipio, e las otras seis posicioes puede estar dos uos y cuatro ceros. omo estos elemetos so iguales, se tiee que la catidad de úmeros diferetes es! 6 6 P 2, 4 2! 4! E ua fábrica se distribuye quice aparatos electróicos e tres líeas diferetes, co cico aparatos e cada líea. Si dos de los aparatos so defectuosos, de cuátas maeras se puede distribuir los aparatos e las cico líeas si a) los dos defectuosos queda e la líea uo b) los dos defectuosos queda e ua misma líea E este problema el orde etre los aparatos o importa, sólo iteresa que exista cico e cada líea. a) e los cico aparatos de la líea uo, dos so defectuosos, por lo que se puede escoger 2 2 defectuosos y 3 13 bueos para la líea 1. Para la líea 2 se escoge los cico de los diez bueos restates. Fialmete, los cico de la líea 3 se escoge de los cico bueos restates. Esto se represeta b) Se pide que los dos aparatos defectuosos se localice e ua misma líea, que puede ser cualquiera de las tres existetes, la seguda o la tercera. ada tipo de arreglo tedrá la misma catidad de casos, por lo cual es ecesario resolver sólo uo. Se retoma la solució del iciso a) e la líea 1, y se multiplica la catidad de casos a ocurrir 1 3 = 3. Basados e esto, se tiee = maeras de distribuir los 15 aparatos Es posible comprobar la respuesta resolviedo los tres casos obteiedo el mismo valor. Total de arreglos =

17 e cuátas maeras puede setarse e líea recta siete hombres y cuatro mujeres si a) todas las mujeres debe setarse primero b) todas las mujeres debe estar siempre jutas E este problema sí importa el orde. a) E el caso de que las mujeres debe setarse primero, se puede setar de = 4! = 24 maeras; mietras quelos hombres se puede setar de 7! = maeras. o el uso de la regla de multiplicació, se tiee que el total de arreglos, cuado las mujeres se siete primero, es 4! 7! = = b) E el caso de que las mujeres debe setarse siempre jutas, se tiee diferetes tipos de arreglos; uo cuado esté e primer lugar, otro e segudo, e tercero, etc., hasta el octavo lugar, y todos va a teer la misma catidad de maeras de acomodarse; se retoma el resultado del iciso a) y se tiee que el total de arreglos es Ejercicio = U exame de álgebra lieal está formado por tres temas. El tema A cotiee seis pregutas, el tema B cuatro pregutas y el tema ocho pregutas y se debe cotestar cico pregutas, de cuátas maeras diferetes puede elegir sus pregutas u estudiate, si a lo más debe elegir dos pregutas del tema? 2. E u grupo de 30 persoas existe cuatro co el mismo apellido. Si se forma u equipo de tres persoas, calcula de cuátas formas diferetes se puede realizar la elecció de tal maera que por lo meos ua de las persoas elegidas coicida co dicho apellido. 3. uátos úmeros diferetes de tres cifras se puede formar co los úmeros 0 a 9, si el cero o va al pricipio, o se permite la repetició y a) los úmeros debe de ser mayores que 450 b) los úmeros so pares 4. E ua tieda hay 30 artículos, de los cuales 20 o tiee defectos y diez sí so defectuosos. Si se seleccioa ocho artículos, calcula de cuátas maeras se puede hacer la elecció para que a lo más dos sea defectuosos. 5. U juego cosiste e tomar seis úmeros si reemplazo de u grupo del 1 al 44, calcula de cuátas formas se puede hacer la elecció de tal maera que por lo meos cuatro de los seis sea úmeros pares. 3.6 Aplicació de las técicas de coteo a la probabilidad E esta secció sólo se cosiderará espacios muestrales fiitos e los que todos sus elemetos so equiprobables; esto es, los problemas tratados se asemejará al lazamieto

18 104 de ua moeda, u dado o algú otro objeto; para los casos de seleccioar u objeto se sobreetederá que dicha elecció se realiza de forma aleatoria. osiderado sólo espacios muestrales fiitos, se simboliza por (S) 0 la catidad de elemetos del espacio muestral y por (E) a la catidad de elemetos de algú eveto E. osiderado que los elemetos del espacio muestral so equiprobables, la probabilidad de uo (cualesquiera de ellos) es 1/ (S) y, de acuerdo a la corriete clásica de probabilidad, se tiee que la probabilidad del eveto es P( E) ( E) 1 ( S) ( E) ( S) ( S) 0yE S abe mecioar que esta probabilidad cumple co los tres axiomas de probabilidad de Kolmogorov. E los siguietes ejemplos se muestra el procedimieto de solució 1. Se defie el experimeto del que se habla e el problema. 2. Se ecuetra el espacio muestral del experimeto. 3. Se defie y ecuetra al eveto correspodiete. Fialmete, se calcula la probabilidad. Ejemplo Ua ura cotiee trece esferas umeradas del uo al trece, de las cuales tres so rojas, cuatro blacas y seis azules. Si se toma dos esferas, calcula la probabilidad de que ua y sólo ua de ellas sea roja. Esto os lleva a tres opcioes de resolució. a) Tomar las esferas al azar (si reemplazo). El experimeto cosiste e tomar dos esferas de u total de trece. Por tato, el espacio muestral S tiee (S) = = 156 elemetos. El eveto E se defie como: el resultado del experimeto e dode ua y sólo ua esfera es roja. Esto puede ocurrir de dos maeras: 1. uado la primera esfera extraída es roja y la seguda o lo es (3 10 = 30 opcioes). 2. uado la primera o es roja y la seguda sí lo es (10 3 = 30 opcioes). Por tato, (E) = = 60 La probabilidad es P( E) ( E) ( S) b) Tomado las dos esferas a la vez. El experimeto cosiste e tomar dos esferas a la vez de u total de trece. Por tato, el espacio muestral S tiee (S) = 13 2 = 78 elemetos. El eveto E se defie como: el resultado del experimeto e dode ua esfera y sólo ua es roja. Lo aterior ocurre (E) = = 30 maeras, y la probabilidad es: P( E) ( E) ( S)

19 105 c) o reemplazo. El experimeto cosiste e: tomar dos esferas de u total de trece ua tras otra co reemplazo. Por tato, el espacio muestral S tiee (S) = = 169 elemetos. El eveto E se defie como: el resultado del experimeto e dode ua y sólo ua esfera es roja. Esto puede ocurrir de dos maeras: 1. uado la primer bola extraída es roja y la seguda o lo es (3 10 = 30 opcioes) 2. uado la primera o es roja y la seguda sí (10 3 = 30 opcioes). Por tato, (E) = = 60. La probabilidad es P( E) ( E) ( S) Si se sieta e líea recta siete hombres y cuatro mujeres aleatoriamete, se calcula la probabilidad de que a) todas las mujeres se siete e los primeros cuatro lugares b) todas las mujeres se siete siempre e lugares cotiguos E este problema sí importa el orde. El experimeto, e geeral, se defie como: maera e que puede setarse oce persoas e líea recta. Por tato, el espacio muestral S tedrá (S) = 11! putos muestrales. a) el eveto E se defie como: las mujeres setadas e los primeros cuatro lugares. Las mujeres puede setarse de = 4! = 24 maeras diferetes, mietras que los hombres de 7! = maeras. o el uso de la regla de multiplicació se tiee el total de arreglos cuado las mujeres se siete e los primeros lugares La probabilidad es (E) = 4!7! = = P( E) ( E) ( S) 4! 7! 11! b) el eveto E se defie como: las mujeres setadas jutas. Se tiee diferetes opcioes de arreglos, uo cuado las mujeres esté e primer lugar, otro e segudo, e tercero, etc., hasta el octavo lugar, teiedo la misma catidad de maeras de acomodarlas; por tato, empleado el resultado del iciso a) se tiee que el total de arreglos cuado las mujeres va siempre jutas esta dado por La probabilidad es (E) = 4!7! 8 = P( E) ( E) ( S) 4! 7! 8 11!

20 Nueve persoas saldrá de viaje e tres carros, co capacidad de dos, cuatro y cico pasajeros, respectivamete. Si las ueve persoas se reparte e todos lo carros, cuál es la probabilidad de que los dos lugares vacíos quede e el carro co capacidad para cico persoas? E el problema o importa el orde. El problema es: la maera como se reparte las ueve persoas e tres carros. Se tiee oce lugares y sólo ueve persoas, además se debe emplear los tres carros, por lo que siempre dos lugares estará vacíos, se tiee varios tipos de arreglos: E total, por la regla de suma, (S) = = El eveto E se defie como: los dos lugares vacíos queda e el carro co capacidad para cico persoas. e los resultados ateriores es posible observar que el eveto coicide co el último caso del espacio muestral, por tato, (E) = La probabilidad es P( E) ( E) ( S) Se laza u dado dos veces y se calcula la probabilidad de que se obtega u seis e el segudo lazamieto. El experimeto cosiste e: lazar u dado dos veces. Por tato, el espacio muestral S tiee (S) = 6 6 = 36 resultados posibles. El eveto E se defie como: el segudo lazamieto del dado resulte el primer seis. omo el primer lazamieto o debe ser seis, se tiee cico posibles resultados, mietras que el segudo lazamieto debe ser seis, por tato, sólo hay uaopció: (E) = 5 1 = 5. La probabilidad es P( E) ( E) ( S)

21 107 Ejercicio 6 1. E ua tieda se tiee cie artículos de los cuales 90 so bueos y diez defectuosos. alcula la probabilidad de que e los siguietes diez artículos que se veda se ecuetre a) uo y sólo uo defectuoso b) iguo defectuoso 2. Ua ura cotiee 20 caicas iguales e forma y tamaño, umeradas del uo al 20, de las cuales ocho so verdes, seis azules, cuatro rojas y dos blacas. Si se toma tres caicas de la ura si reemplazo (al azar), calcula a) la probabilidad de que las tres caicas sea verdes b) la probabilidad de que al meos ua sea verde 3. alcula la probabilidad de que el día de cumpleaños de doce persoas se presete e diferetes meses del año. 4. Se escribe e forma aleatoria tres úmeros etre 0 y 9. alcula la probabilidad de que a) los tres sea iguales b) etre los tres se ecuetre dos iguales 5. Para la solució de cierto problema se empleará u algoritmo, e el cual habrá ocho multiplicacioes y cuatro sumas, calcula la probabilidad de que las ocho multiplicacioes se efectúe siempre ua tras otra si que exista ua suma e medio de dos multiplicacioes. 6. E u cetro comercial queda diez carros de cotrol remoto para la veta, etre los cuales existe cuatro defectuosos. Si u cliete etra a la tieda para comprar dos de esos carros, calcula la probabilidad de que uo de los carros elegidos sea defectuoso. 7. osidera todas las letras de la palabra probabilidad, calcula la probabilidad de que las vocales iguales siempre vaya jutas. Ejercicios propuestos 1. uatro parejas (cuatro hombres y cuatro mujeres) va a ir al teatro, compraro boletos para ocho asietos e la misma fila, de cuátas maeras diferetes se puede colocar las ocho persoas si dos mujeres determiadas debe setarse jutas? 2. alcula cuátos úmeros diferetes de cuatro cifras se puede formar co los úmeros 0 a 9, si el cero o va al pricipio, o se permite el reemplazo y a) los úmeros debe ser impares b) los úmeros debe ser impares meores a cuatro mil

22 Se sabe que u úmero e el sistema biario tiee trece cifras, de las cuales se tiee seis uos. uátos úmeros diferetes se puede formar, si el cero o va al pricipio, y el úmero e el sistema decimal es a) impar b) par 4. alcula cuátos arreglos diferetes puede formarse co las letras de la palabra uitláhuac, si se cosidera sólo cuatro letras diferetes al mismo tiempo. 5. U experimeto cosiste e lazar dos dados. a) utiliza los teoremas combiatorios para determiar el úmero de putos muestrales b) asiga probabilidades a los putos muestrales y calcula la probabilidad de que la suma de los úmeros que aparece e los dados sea igual a siete 6. U tetraedro regular tiee aotados los úmeros 1, 2, 3 y 4 e sus caras. Se laza y el úmero que queda abajo se aota. Si el tetraedro se laza tres veces, calcula todas las combiacioes posibles obteidas de los tres lazamietos y la probabilidad de que la suma de los tres lados resultates sea mayor a ueve. 7. E u exame de física experimetal, el profesor elabora 60 pregutas diferetes. El día del exame las coloca e ua ura y el alumo deberá tomar al azar tres pregutas si reemplazo. Si el primer estudiate que va a elegir sólo se preparó para 50 de las pregutas, de las otras diez o sabe absolutamete ada. El estudiate aprobará el exame si cotesta bie al meos dos de las tres pregutas, calcula la probabilidad de que e dichas codicioes el estudiate apruebe el exame. 8. Se laza seis dados, calcula la probabilidad de que al caer los dados todas las caras sea iguales o todas diferetes. 9. E u compoete electróico existe 20 placas de tres tipos diferetes, ocho del tipo I, cico del tipo II y siete del tipo III. Se seleccioa al azar cico placas para ispeccioarlas, calcula la probabilidad de a) que las cico placas sea del mismo tipo b) que dos sea del tipo I, ua del tipo II y dos del tipo III 10. U productor tiee almaceados ueve motores diferetes, dos de los cuales fuero sumiistrados por u proveedor e particular. Se debe distribuir los motores e tres líeas de producció, co tres motores e cada líea. Si la asigació de los motores es aleatoria, calcula la probabilidad de que los dos motores del proveedor quede e ua misma líea. 11. Para participar e u juego se elige seis úmeros si repetició de u total de 44. La persoa que tega los mismos úmeros resultates e el sorteo gaa el juego, calcula a) la probabilidad de que igú úmero elegido por la persoa coicida co los seis úmeros resultates del sorteo b) la probabilidad de que al meos cuatro de los seis úmeros elegidos por la persoa coicida co los seis úmeros resultates del sorteo

23 Se sabe que u úmero biario tiee siete cifras, de las cuales tres so 1. Si estos úmeros se coloca e diferetes recipietes, se sortea y se extrae uo de ellos, calcula la probabilidad de que el úmero extraído al cambiarse a base decimal sea mayor a 96, si el cero o va al pricipio. Autoevaluació 1. Se laza dos dados. Utiliza los teoremas combiatorios para determiar el úmero de putos muestrales y asígales probabilidades a cada uo, calcula la probabilidad de que la suma de los putos que aparece e los dados sea igual a cuatro. a) b) c) d) uatro persoasjuega domió, se reparte 28 fichas, siete para cada uo, calcula la probabilidad de que a ua persoa le toque cuatro mulas. a) b) c) d) E u cetro comercial queda diez carros de cotrol remoto para la veta, etre los cuales existe cuatro defectuosos. Si ua persoa compra dos carros, calcula la probabilidad de que por lo meos uo de los carros elegidos sea defectuoso. a) b) c) d) Ua tieda tiee 40 refrigeradores, de los cuales cico so defectuosos, calcula la probabilidad de que e los siguietes cuatro pedidos se etregue dos defectuosos. a) b) c) 0.4 d) 0.04

24 U úmero biario tiee diez cifras, de las cuales seis so 1, calcula cuátos úmeros diferetes se puede formar, si se sabe que el cero o va al pricipio y el úmero e el sistema decimal es impar. a) b) 576 c) 70 d) E u compoete electróico existe 20 placas de tres tipos diferetes, ocho so del tipo I, cico del tipo II y siete del tipo III. Si se seleccioa al azar cuatro placas para ispeccioarlas; calcula la probabilidad de que al meos tres sea del tipo II. a) b) c) 0.6 d) Para participar e u juego se cosidera seis úmeros al azar de u total de 44. La persoa que tega los mismos úmeros resultates e el sorteo gaa el juego, calcula la probabilidad de que tres de los seis úmeros cosiderados por ua persoa coicida co los seis úmeros resultates del sorteo. a) b) c) d) Si se tiee u cojuto fiito co elemetos diferetes y se forma combiacioes de k elemetos cada ua, idica cuál de los siguietes icisos se asocia a las combiacioes. a) el orde etre los k elemetos elegidos es fudametal b) la catidad de subcojutos de k elemetos, cada uo, elegidos de u cojuto ifiito que cotiee elemetos diferetes c) la catidad de arreglos diferetes que cotiee a lo más k elemetos elegidos si importar el orde de u cojuto fiito que cotiee elemetos d) catidad de subcojutos o ordeados que costa de k elemetos tomados de u total de 9. U alumo se ha preparado e 25 temas de u total de 35 para u exame, e el cual se les etregará ua ficha co cico temas al azar de u total de 35. Si el alumo debe cotestar correctamete por lo meos tres temas de los cico para aprobar, calcula la probabilidad de que apruebe el exame. a) b) 0.20 c) 0.5 d)

25 uado se resuelve problemas de probabilidad aplicado técicas de coteo por medio de espacios muestrales fiitos, dode cada uo de sus elemetos es equiprobable, para la asigació de probabilidades a los evetos se puede aplicar la corriete de probabilidad a) frecuetista b) subjetiva c) clásica d) bayesiaa Respuestas de los ejercicios Ejercicio Ejercicio 2 1. doce, el diagrama de árbol es a r m ueve, el diagrama de árbol es M V V V T T T T T T T T T

26 112 Ejercicio 3 1. a) b) a) 8!11! b) 3!(6!4!8!) a) 384 b) Ejercicio a) 924 b) 126 a) b) a) 20 b) a) 8! b) 8! Ejercicio

27 a) 399 b) Ejercicio a) b) a) b) a) 0.01 b) Respuestas de los ejercicios propuestos 1. 7! 2! a) b) 728 a) 330 b)

28 a) 36 1 b) a) b) a) b) Respuestas de la autoevaluació 1. d) 2. a) 3. a) 4. b) 5. c) 6. b) 7. c) 8. d) 9. a) 10. c)

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