CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, OTROS DATOS.

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1 CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, OTROS DATOS. Una parícula se muee en la dirección posiia del eje X, de modo que su elocidad aría según la ley = α donde α es una consane. Teniendo en cuena que en el momeno = se encuenra en =. Deerminar a) la elocidad y aceleración en función del iempo, b) la elocidad media de la parícula en el iempo en el cual recorre los s primeros meros. Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 3 a) Para deerminar la posición en función del iempo operamos de la siguiene forma: d d = α d = αd Inegrando imponiendo las condiciones iniciales del moimieno en los límies de las inegrales enemos que: d = αd 2 = α ( ) = 1 4 α 2 2 Se raa por lo ano de un moimieno uniformemene acelerado donde la elocidad y la aceleración endrán dadas por: ( ) = d d = 1 2 α 2 a = d = 1 2 α 2 b) Como la elocidad es siempre posiia, y el móil parió del origen, la disancia recorrida en función del iempo es igual en odo momeno a la coordenada del moil: ( ) = d s = d = 1 4 α 2 2 = ( ) = 2 α s La elocidad media en el ineralo en que ha recorrido la disancia s será: m = Δ Δ = ( ) = s( ) = s 2 = α s α 2 s Física Tema Página 1

2 En la siguiene gráfica se muesra la eolución de la elocidad en función de su posición en la carrera de 1 m lisos que el alea Maurice Greene (enonces recordman de la disancia con 9.79 s) realizó en los campeonaos de aleismo de Seilla Ayudándose de esa gráfica: a) Dibuje una gráfica aproimada de su aceleración en función de su posición, b) Calcule los iempos parciales cada 1 m y uilice eso para dibujar gráficas de posición, elocidad y aceleración en función del iempo, c) Por úlimo indique por cuano no baió el récord mundial. Solución: I.T.I. 99, 2, 5, I.T.T. 99, 2, 5 Consruyamos la siguiene abla de alores: V ( km / h) V ( m / s) V 2 ( m 2 / s 2 ) a( m / s 2 ) Δ( s) Para calcular las aceleraciones hemos hecho la suposición de que en cada ramo la aceleración es consane y enemos un moimieno uniformemene acelerado: Física Tema Página 2

3 2 n+1 = 2 n + 2a( n+1 n ) Para calcular los iempos uilizamos que en el moimieno uniformemene acelerado: Δ = Δ a (salo si la aceleración es nula, en ese caso uilizamos Δ = Δ ) Si sumamos odos los ineralos de iempo de la abla anerior nos sale un iempo oal de 12.6 s, basane mayor que el iempo real inerido por el corredor durane la carrera que fue de 9.8 s (se quedo a una cenésima del récord mundial en aquel momeno que él mismo osenaba). Eso nos indica que la aproimación de moimieno recilíneo uniformemene acelerado uilizada para la consrucción de la abla anerior no es del odo correca, sobre odo en los primeros insanes de la carrera ( no es creíble un iempo de casi cuaro segundos para recorrer los primeros diez meros!). Las gráficas aproimadas que nos piden serán (uilizando los alores de la abla): a (m / s 2 ) (m) (m / s) (m) a (m / s 2 ) (s) (s) (s) Física Tema Página 3

4 Un moimieno iene definido por a = k (k = ce.), siendo coincidenes los orígenes de espacio y iempo y esando animada la parícula en ese insane por una elocidad. Epresar elocidad en función del iempo, el espacio en función del iempo y la elocidad en función del espacio. Represenar gráficamene esas dependencias. Solución: I.T.I. 98, 99, 2, 3, 5, I.T.T. 99, 2, 5 La aceleración es la deriada de la elocidad, luego: d = k Separando ariables, elocidad a un lado y iempo al oro: = k d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: = k d ln = k ( ) = e k (1) Para hallar la posición en función del iempo, como la elocidad es la deriada de la posición enemos que: d d = e k Separando ariables, posición a un lado y iempo al oro: d = e k d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: d = e k d ( ) = k e k Despejando en (2) y susiuyéndolo en (1): ( ) = k 1 e (2) k e k = 1 k ( ) = 1 k Las represenaciones gráficas serán: Física Tema Página 4

5 má. má. = k k k má. Física Tema Página 5

6 Un cuerpo se encuenra en moimieno recilíneo con una aceleración dada por a = En = sabemos que: = y = 4ms -1. Halle: a) como función de, b) como función de, c) como función de. Represénelas. Solución: I.T.I. 96,, 1, 4, I.T.T. 96,, 1, 4 a) La aceleración es la deriada de la elocidad, luego: d = 32 4 Separando ariables, elocidad a un lado y iempo al oro: 32 4 = d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: = d ln = ( ) ( ) = 8 8 ( )e 4 ( ) ( ) = 8 4e 4 (1) b) La elocidad es la deriada de la posición, luego: d d = 8 4e 4 Separando ariables, posición a un lado y iempo al oro: d = ( 8 4e 4 )d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: d = ( 8 4e 4 )d = 8 ( ) = + 8 c) Despejando en (1) y susiuyéndolo en (2): ( ) +e 4 e 4 ( ) +e 4 e 4 ( ) = 8 +e 4 1 (2) = 1 4 ln 2 4 ( ) = 2ln Las represenaciones gráficas serán: Física Tema Página 6

7 () () () (Las unidades uilizadas en el problema son las del S.I.) Física Tema Página 7

8 La aceleración de una móil que se muee en línea reca iene dada por a = k 2, donde k es una consane posiia. Suponiendo que cuando =, su elocidad y posición son y respeciamene, enconrar la elocidad y posición en función del iempo, y la elocidad en función de la posición. Solución: I.T.I. 95 Teo solución La aceleración de una parícula se define por la relación a = k 2, con k =.125 m 1. Si se le comunica a la parícula una elocidad inicial hallar la disancia recorrida: a) hasa que su elocidad sea = /2, b) anes de pararse, c) qué iempo arda en alcanzar /2? Solución: I.T.I. 99, 2, 5, I.T.T. 99, 2, 5 La aceleración es la deriada de la elocidad, luego: d = k 2 Separando ariables, elocidad a un lado y iempo al oro: 2 = k d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: = k d = k ( ) = 1+ k Para hallar la posición en función del iempo, como la elocidad es la deriada de la posición enemos que: d d = 1+ k Separando ariables, posición a un lado y iempo al oro: d = 1+ k d Inegrando, y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: d = 1+ k d ( ) ] ( ) = 1 k ln 1+ k = 1 k ln( 1+ k ) Física Tema Página 8

9 a) Si llamamos * al momeno en que su elocidad se ha reducido a la miad: ( *) = 1+ k * = 2 ( *) = 1 k ln( 2) = k * = m b) Dada la dependencia de la elocidad con el iempo: ( ) = sólo se anulará para un iempo infinio, posición con el iempo: ( ) = 1 k ln 1 + k ( ) =., la elocidad 1+ k ( ) =. Susiuyendo en la epresión de la ( ), nos da una disancia recorrida infinia, c) Del aparado a) obenemos que: k * = 1 * = 1 k = 8 m Física Tema Página 9

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