El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden

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1 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden El sistema de deducción de Hilbert para la lógica de primer orden consta de los siguientes elementos: IIC2213 Lógica de Primer Orden 55 / 65

2 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden El sistema de deducción de Hilbert para la lógica de primer orden consta de los siguientes elementos: Esquemas para generar fórmulas válidas: (a) ϕ (ψ ϕ) (b) (ϕ (ψ θ)) ((ϕ ψ) (ϕ θ)) (c) ( ϕ ψ) (( ϕ ψ) ϕ) (d) ( x ϕ(x)) ϕ(t), donde t es un término cualquiera (e) ϕ(t) ( x ϕ(x)), donde t es un término cualquiera (f) ( x ϕ) ( x ϕ) IIC2213 Lógica de Primer Orden 55 / 65

3 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Axiomas para la igualdad: (a) x (x = x) (b) x y (x = y y = x) (c) x y z ((x = y y = z) x = z) (d) Para todo predicado m-ario P: x 1 x m y 1 y m ((P(x 1,...,x m ) x 1 = y 1 x m = y m ) P(y 1,...,y m )) (e) Para toda función n-aria f : x 1 x n y 1 y n ((x 1 = y 1 x n = y n ) f (x 1,...,x n )=f (y 1,...,y n )) IIC2213 Lógica de Primer Orden 56 / 65

4 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Reglas de inferencia: (a) Modus Ponens: ϕ ψ ϕ ψ (b) Generalización: Si y no aparece libre en ϕ, entonces ϕ ψ(y) ϕ yψ(y) IIC2213 Lógica de Primer Orden 57 / 65

5 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Definición Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, unadeducciónformaldeϕ desde Σ es una secuencia de fórmulas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n tal que: Para cada i n: ϕ n = ϕ ϕi Σ o ϕi es un axioma lógico o existen j, k < italesqueϕi es obtenido desde ϕ j y ϕ k usando modus ponens o existe j < italqueϕi es obtenido desde ϕ j usando la regla de generalización IIC2213 Lógica de Primer Orden 58 / 65

6 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Definición Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, unadeducciónformaldeϕ desde Σ es una secuencia de fórmulas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n tal que: Para cada i n: ϕ n = ϕ ϕi Σ o ϕi es un axioma lógico o existen j, k < italesqueϕi es obtenido desde ϕ j y ϕ k usando modus ponens o existe j < italqueϕi es obtenido desde ϕ j usando la regla de generalización Notación Σ H ϕ IIC2213 Lógica de Primer Orden 58 / 65

7 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Corrección) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, siσ H ϕ,entonces Σ = ϕ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 59 / 65

8 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Corrección) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, siσ H ϕ,entonces Σ = ϕ. Ejercicio Demuestre el teorema. IIC2213 Lógica de Primer Orden 59 / 65

9 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Completidad de Gödel) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, siσ = ϕ, entonces Σ H ϕ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 60 / 65

10 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Completidad de Gödel) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, siσ = ϕ, entonces Σ H ϕ. Corolario (Compacidad) Un conjunto de fórmulas Σ es satisfacible si y sólo si Σ es finitamente satisfacible. IIC2213 Lógica de Primer Orden 60 / 65

11 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Completidad de Gödel) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, siσ = ϕ, entonces Σ H ϕ. Corolario (Compacidad) Un conjunto de fórmulas Σ es satisfacible si y sólo si Σ es finitamente satisfacible. Ejercicio Demuestre el corolario. IIC2213 Lógica de Primer Orden 60 / 65

12 Sea L un vocabulario y Struct[L] elconjuntodelas L-estructuras Una propiedad P sobre las L-estructuras es un subconjunto de Struct[L] IIC2213 Lógica de Primer Orden 61 / 65

13 Sea L un vocabulario y Struct[L] elconjuntodelas L-estructuras Una propiedad P sobre las L-estructuras es un subconjunto de Struct[L] Ejemplo: {A A Struct[L] yeldominiodea tiene al menos dos elementos} IIC2213 Lógica de Primer Orden 61 / 65

14 Una propiedad P se dice definible en lógica de primer orden si existe una L-oración Φ tal que: A P si y sólo si A = Φ IIC2213 Lógica de Primer Orden 62 / 65

15 Una propiedad P se dice definible en lógica de primer orden si existe una L-oración Φ tal que: A P si y sólo si A = Φ Ejercicio Qué propiedad define la L-oración x y (x = y)? IIC2213 Lógica de Primer Orden 62 / 65

16 Qué herramientas podemos usar para demostrar que una propiedad no es definible? Podemos usar el teorema de compacidad IIC2213 Lógica de Primer Orden 63 / 65

17 Qué herramientas podemos usar para demostrar que una propiedad no es definible? Podemos usar el teorema de compacidad Veamos un ejemplo: Sea L un vocabulario arbitrario y FIN = {A A Struct[L] yeldominiodea es finito} IIC2213 Lógica de Primer Orden 63 / 65

18 Qué herramientas podemos usar para demostrar que una propiedad no es definible? Podemos usar el teorema de compacidad Veamos un ejemplo: Sea L un vocabulario arbitrario y FIN = {A A Struct[L] yeldominiodea es finito} Vamos a demostrar que FIN no es definible en lógica de primer orden. IIC2213 Lógica de Primer Orden 63 / 65

19 Por contradicción, suponemos que FIN es definible en lógica de primer orden. IIC2213 Lógica de Primer Orden 64 / 65

20 Por contradicción, suponemos que FIN es definible en lógica de primer orden. Existe L-oración Φ: A = ΦsiysólosieldominiodeA es finito IIC2213 Lógica de Primer Orden 64 / 65

21 Por contradicción, suponemos que FIN es definible en lógica de primer orden. Existe L-oración Φ: A = ΦsiysólosieldominiodeA es finito Para cada n 2, defina la L-oración λ n de la siguiente forma: ( ) λ n = x 1 x n (x i = x j ) 1 i <j n IIC2213 Lógica de Primer Orden 64 / 65

22 Por contradicción, suponemos que FIN es definible en lógica de primer orden. Existe L-oración Φ: A = ΦsiysólosieldominiodeA es finito Para cada n 2, defina la L-oración λ n de la siguiente forma: ( ) λ n = x 1 x n (x i = x j ) 1 i <j n Además, defina Σ como el siguiente conjunto (infinito) de L-oraciones: Σ = {Φ} {λ n n 2} IIC2213 Lógica de Primer Orden 64 / 65

23 Tenemos que cada subconjunto finito de Σ es satisfacible. Por qué? IIC2213 Lógica de Primer Orden 65 / 65

24 Tenemos que cada subconjunto finito de Σ es satisfacible. Por qué? Por teorema de compacidad: Σ es satisfacible Existe una L-estructura A que satisface a Σ IIC2213 Lógica de Primer Orden 65 / 65

25 Tenemos que cada subconjunto finito de Σ es satisfacible. Por qué? Por teorema de compacidad: Σ es satisfacible Existe una L-estructura A que satisface a Σ Entonces: A tiene un dominio infinito y A = Φ Obtenemos una contradicción IIC2213 Lógica de Primer Orden 65 / 65

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