Práctica 1. Introducción a Java Optimization Modeler (JOM)

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1 TEORÍA DE REDES DE TELECOMUNICACIONES Grado en Ingeniería Telemática Grado en Ingeniería en Sistemas de Telecomunicación Curso Práctica 1. Introducción a Java Optimization Modeler (JOM) Autor: Pablo Pavón Mariño

2 1. Objetivos Los objetivos de esta práctica son: 1. Introducir al alumno en la utilización de la librería Java Optimization Modeler (JOM), integrada dentro de programas Java. Esta herramienta permite resolver diversos tipos de problemas de programación u optimización matemática. 2. Plantear y modelar problemas sencillos de optimización y resolverlos numéricamente utilizando JOM: Establecer las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones. Seleccionar e invocar a través de JOM al solver que resolverá numéricamente el problema. Extraer la solución encontrada, y los multiplicadores de las restricciones. Entender el significado de los multiplicadores, como estimación de la variación del coste óptimo de un problema al variar las restricciones. 2. Duración Esta práctica tiene una duración de dos sesiones, cumpliendo un total de 4 horas de laboratorio. 3. Material necesario El material necesario para resolver esta práctica es: Entorno Eclipse para el desarrollo de programas en Java. Este software está disponible en http: //www.eclipse.org/downloads/. Librería Java Optimization Modeler (JOM), disponible en La ayuda (p.e. javadoc) de este software está disponible en esta misma web. Instrucciones básicas presentes en este enunciado. 4. Evaluación de esta práctica Los alumnos no tienen que entregar ningún material al finalizar esta práctica. Este boletín es para el estudio del alumno. En él, el alumno deberá resolver los problemas planteados y anotar las aclaraciones que estime oportunas para su posterior repaso en casa. 5. Trabajo previo: lecturas previas antes de la primera sesión Como preparación de la práctica, los alumnos deben leer toda la documentación sobre JOM en el site: En especial, deben entender el ejemplo que aparece en la página principal, y los contenidos de la sección Getting started y JOM syntax at a glance. También deben familiarizarse con los métodos de la clase OptimizationProblem que se pueden consultar en la ayuda javadoc de JOM. 1

3 6. Instalación de Eclipse y JOM Eclipse es un entorno de programación de código abierto (open source), con distintas versiones disponibles para desarrolladores de código en distintos lenguajes. En esta asignatura, se sugiere que los alumnos utilicen la versión Eclipse para desarrolladores Java (Eclipse IDE for Java Developers). Siga las instrucciones en para instalar Eclipse. Para instalar JOM y los solvers que utiliza en su ordenador, siga las instrucciones en upct.es/~ppavon/jom. Importante: En esta asignatura únicamente es necesario instalar los solvers GLPK e IPOPT. Una vez instalado JOM, para poder utilizarlo desde Eclipse, recuerde que: 1. Debe añadir los ficheros jom_xxx.jar, jna.jar y parallelcolt jar al classpath de Java (donde XXX será un número de versión), para que la máquina virtual pueda encontrar las clases de JOM y de las librerías externas que utiliza. En Eclipse esto se puede realizar dentro de las Propiedades del proyecto, en la opción Java Build Path, Add External JARs. 2. Aquellos programas Java que llamen a la librería JOM, deben importar las clases adecuadas del paquete JOM. En general, esto requiere únicamente añadir la línes import com.jom.*; a nuestro código Java. 7. El API básica de JOM Observando la información disponible en la ayuda de la librería JOM en la página web http: //ait.upct.es/~ppavon/jom, el API y los ejemeplos, responda a las siguientes preguntas. 1. El paso inicial para resolver un problema de optimización, es crear un objeto Java de la clase OptimizationProblem. Escriba el código Java que crea un objeto de este tipo, y lo guarda en una variable de nombre op. 2. Escriba el código Java para añadir a op un array de variables de decisión de tamaño 3x3x3, que aparecerá con el nombre x en las expresiones. El valor mínimo que pueden tomar los elementos de x es 0, y el máximo es 10. Los valores no están restringidos a tomar valores enteros. 3. Escriba el código Java que establece que la función objetivo del problema op debe ser el minimizar la expresión: ijk x ijk 2

4 4. Escriba el código Java que añade la siguiente restricción al problema: y le asigna el identificador r_1. x 000 +x 111 +x 222 = 5 5. Escriba el código Java que añade con una sola línea de código, las siguientes 3 restricciones al problema: x ij0 8 ij x ij1 8 ij x ij2 8 y le asigna el identificador r_2 a ese conjunto de restricciones. ij 6. Escriba el código Java que encuentre la solución numérica al problema de optimización op, utilizando el solver GLPK, después compruebe si el solver ha encontrado la solución óptima, y en caso afirmativo la imprima por pantalla (imprima los valores del array x). 8. Ejercicio de programación lineal: problema de las dietas Este problema fue publicado como problema de programación lineal y resuelto por el método del simplex por Stigler (1945). El problema original consistía en determinar las cantidades de 77 alimentos que debían ser adquiridos minimizando el coste total, con la restricción de que debían satisfacer una determinadas necesidades vitales. En esta sección, el alumno deberá encontrar la solución a un problema de optimización semejante, con menor número de variables, utilizando para ello la librería JOM y el solver GLPK. 3

5 Un granjero especializado en la explotación de ganado debe decidir qué piensos ha de comprar para la alimentación de sus animales. El catálogo de piensos disponibles es corto, ya que únicamente puede seleccionar 5 tipos de piensos, A, B, C, D, E. Cada uno de los piensos que puede adquirir tiene dos nutrientes M y N. Las conversaciones con el veterinario de la granja le indican que las necesidades de alimentación, medidas en kg de nutrientes que deben ingerir la suma de sus animales al día, es de al menos 5500 kg de nutriente M y al menos 8700 kg de nutriente N. Las necesidades de alimentación deben ser cubiertas a través de las compras diarias de piensos que deben realizarse. Para ello el granjero se basa en datos del catálogo de cada pienso: kg M / tonelada pienso kg N / tonelada pienso Coste tonelada pienso Pienso A Pienso B Pienso C Pienso D Pienso E Plantee y resuelva el problema de optimización que calcula cuántas toneladas de cada pienso debe comprar el granjero al día de tal manera que se satisfagan las necesidades de alimentación, y el coste sea mínimo. 1. Escribe el problema de optimización: variables de decisión, función objetivo y restricciones. 2. Escriba el código Java para resolver el problema e imprimir por pantalla la solución óptima alcanzada, en una clase de nombre P1_DietProblem. El código debe imprimir también el multiplicador de Lagrange asociado a la restricción los nutrientes tipo M deben ser al menos 5500 kg. 3. Escriba la solución óptima alcanzada: 4

6 Tipo de pienso Pienso A Pienso B Pienso C Pienso D Pienso E Toneladas pienso se adquieren Coste total adquisición 4. Dibuje una gráfica sobre la Fig. 1 que se muestre la función de perturbación del problema para la restricción de nutrientes M. En el eje horizontal, la cantidad de nutrientes M variando desde 1000 a en saltos de 500, y en el eje Y el coste óptimo del problema asociado a ese valor de requisitos de nutrientes M. Para ello deberá ir reejecutando el programa cada vez. Sobre esos mismos ejes, dibuje la recta estimador que toque a la función de perturbación cuando M=5500 kg (el valor del problema original), y, que tiene como pendiente el valor del multiplicador de Lagrange de esa restricción. Qué relación guarda esa recta con la función de perturbación? Multiplicador de Lagrange restricción: Unidades en que se mide el multiplicador: 9. Ejercicio de programación lineal entera En el problema anterior, el granjero no tenía ninguna restricción en cuanto a la compra de un número fraccionado de toneladas. Esto no suele ser lo habitual. Modifique el problema anterior adecuadamente, de manera que el granjero únicamente tenga la posibilidad de hacer pedidos por un múltiplo entero de una cantidad, dependiente de cada pienso. Es decir, es como si el pienso de cada tipo se pudiese adquirir empaquetado, en paquetes de un determinado peso. Pienso A: Pedidos múltiplo de 1 tonelada. Pienso B: Pedidos múltiplo de 2 toneladas. Pienso C: Pedidos múltiplo de 5 toneladas. Pienso D: Pedidos múltiplo de 2,8 toneladas. Pienso E: Pedidos múltiplo de 1 tonelada. 5

7 Figura 1: Función de perturbación de restricción nutriente M y recta de estimación optimista. De nuevo, se debe determinar cuántas toneladas de cada pienso debe comprar el granjero al día de tal manera que se satisfagan las necesidades de alimentación, y el coste sea mínimo. 1. Escribe el problema de optimización: variables de decisión, función objetivo y restricciones. 2. Escriba el código Java para resolver el problema e imprimir por pantalla la solución óptima alcanzada, en una clase de nombre P1_DietProblemInteger. 3. Escriba la solución óptima alcanzada: 6

8 Tipo de pienso Pienso A Pienso B Pienso C Pienso D Pienso E Toneladas pienso se adquieren Coste total adquisición 10. Ejercicio de programación no lineal sin restricciones Deseamos colocar un almacén en un punto geográfico de coordenadas (x,y), tal que el coste de trasladar la mercancía del almacén hacia los destinos sea mínimo. Asumimos que las posiciones de los puntos (x,y) se miden en km en un sistema de coordenadas cualquiera, y el coste se mide en euros. Los destinos de las mercancías son: A: Posición (7,2), se deben transportar 9 unidades de mercancía. B: Posición (3,8), se deben transportar 3 unidades de mercancía. C: Posición (15,4), se deben transportar 12 unidades de mercancía. D: Posición (1,13), se deben transportar 5 unidades de mercancía. Donde: El coste de transporte de una unidad de mercancía es una función lineal: C(d,u) = d u d = distancia almacén-destino en km. u = unidades a transportar. k = constante desconocida mayor que 0. Plantear el problema de programación no lineal subyacente, y resolverlo con JOM, utilizando el solver IPOPT. 1. Escribe el problema de optimización: variables de decisión, función objetivo y restricciones. 7

9 2. La posición óptima del almacén dependen del valor de k? (asumiendo que siempre k > 0) 3. Escriba el código Java para resolver el problema e imprimir por pantalla la solución óptima alcanzada, en una clase de nombre P1_LocationStorageUnconstrained. Haga que la solución inicial en la que el solver empiece a buscar sea la posición (0, 0). 4. Escriba la solución óptima alcanzada: Coordenada x Coordenada y Coste (asumiendo k = 1) 11. Ejercicio de programación no lineal con restricciones Plantear y resolver el mismo problema que en la sección anterior, para el caso de que se obligue a que el almacén se encuentre a una distancia del punto (5,5) menor o igual a 3 unidades. 1. Escribe el problema de optimización: variables de decisión, función objetivo y restricciones. 8

10 2. Escriba en una clase de nombre P1_LocationStorageConstrained) el código Java para resolver el problema e imprimir por pantalla la solución óptima alcanzada, el coste final (asumiendo k = 1) y el multiplicador asociado a la restricción. 3. Escriba la solución óptima alcanzada: Coordenada x Coordenada y Coste (asumiendo k = 1) Multiplicador restricción (asumiendo k = 1) 4. Dibuje la función de perturbación del problema para el rango de distancias máximas [1, 2, 3,..., 10]. En la misma gráfica, pinte la recta estimación optimista de la restricción. Es decir, la recta que toca a la función de perturbación para distancia máxima 3, y tiene como pendiente el multiplicador de Largange de esa restricción, en negativo. Qué relación guarda esa recta con la función de perturbación? Multiplicador de Lagrange restricción: Unidades en que se mide el multiplicador: 12. Balance de carga entre dos enlaces minimizando el retardo medio Un conmutador de paquetes recibe 10 Mbps, y debe repartilas entre dos enlaces de salida, e 1 de capacidad 10 Mbps y e 2 de capacidad 5 Mbps, tal que el retardo medio al atravesar el enlace sea el 9

11 Figura 2: Función de perturbación de restricción y recta de estimación optimista. menor posible. El retardo medio T e al atravesar un enlace e se calcula según la fórmula de la M/M/1: T e = L u y cuando y < u, L está en bits, y y,u se miden en bps. Si y,u se miden en Mbps, el retardo obtenido se mide en microsegundos. El retardo medio resultante de repartir el tráfico entre los dos enlaces es la media ponderada entre ambos. Es decir, si y 1 es el tráfico en el enlace e 1, e y 2 el tráfico en el enlace e 2, el retardo medio global T sería igual a: Se pide: T = y 1T e1 +y 2 T e2 y 1 +y 2 = L 10 ( y1 + y ) 2 10 y 1 5 y 2 1. Modelar el problema de optimización en términos de variables de decisión, función objetivo y restricciones. 10

12 2. Formular y resolver el problema con JOM. Nota: La solución óptima del problema es y 1 = 7,07,y 2 = 2, Ejercicio opcional: balance de carga entre dos enlaces minimizando el bloqueo medio Un conmutador de circuitos recibe 10 Erlangs de tráfico de conexiones. Cada petición de conexión ocupa 1 unidad de capacidad. Para petición de conexión, el conmutador elige aleatoriamente con probabilidad x si lo encamina por un enlace e 1 de capacidad 10, y con probabilidad y = (1 x) si lo encamina por un enlace e 2 de capacidad 5. El reparto (x,y) se calcula tal que se minimice el bloqueo medio sufrido. El bloqueo sufrido por el tráfico encaminado en cada enlace se calcula según la fórmula de Erlang-B, que calcula el bloqueo sufrido por el tráfico ofrecido a un enlace e como: E b [y e,u e ] = yue e /u e! ue k=0 yk e/k! Donde u e es la capacidad del enlace, e y e es el tráfico ofrecido. El bloqueo medio resultante de repartir el tráfico entre los dos enlaces es la media ponderada entre ambos. Es decir, si x es la fracción de tráfico en el enlace e 1, e y es la fracción de tráfico en el enlace e 2, el bloqueo medio global B sería igual a: B = xb e 1 +yb e2 x+y = xb e1 +yb e2 Nota: La fórmula de la Erlang-B está incluida en JOM con el nombre erlangb(load,numservers), donde load es el tráfico en Erlangs ofrecido, y numservers es la capacidad del enlace. Se pide: 1. Modelar el problema de optimización en términos de variables de decisión, función objetivo y restricciones. 2. Formular y resolver el problema con JOM. Nota: La solución óptima del problema es x = 0,702352,y = 0,297648,B = 0,

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