= m V. recordemos que el volumen de una esfera es de V = 4 3 r3

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1 Estatica de Fluidos Problema. Calcule la masa de una esfera sólida de hierro que tiene un diamétro de 3:00cm: Solución. La masa la calcularemos a partir del volumen de la esfera y la densidad del hierro, la cual es de 7: kg=m 3 : = m V recordemos que el volumen de una esfera es de V = 4 3 r3 m = V = (7: )( 4 3 (0:05)3 ) = 0:Kg Problema. Una mujer de 50Kg se equilibra sobre un par de zapatillas con tacón de aguja. Si el tacón es circular y tiene un radio de 0:5cm Qué presión ejerce sobre el piso? Recuerde trabajar en el sistema internacional de unidades. Solución. Se tiene que: p = F A En este caso la fuerza es la ejercida por el peso de la mujer de 50kg y el área es la del tacón circular de 0:5cm (0:005m) de radio. Por lo cual: p = F A = mg r = (50)(9:8) (0:005) = 6: P a Problema 3. Una alberca tiene dimensiones de 30m 0m y un fondo plano. Cuando la alberca está llena a una profundidad de m con agua potable, a) Cuál es la fuerza causada por el agua sobre el fondo? b) en cada extremo? c) en cada lado? Solución. a)la presión varía con con la profundidad de acuerdo a la siguiente expresión. p = p o + gh en donde para este problema, p o corresponde a la presión a una altura de m del fondo de la piscina, justo donde empieza el agua, lo cual correspondería a la presión atmosférica. Ahora bien, como en este problema nos solicitan la fuerza causada por el agua, la expresión anterior se reduce a: p = gh la densidad del agua es agua = 000kg=m 3 y la altura de la columna de agua desde la super cie hasta el fondo es de m, por lo que la presión en el fondo de la piscina es:

2 p = gh = (000)(9:8)() = 9600:0P a La fuerza causada por el agua sobre el fondo de la piscina el cual tiene un área de 30m 0m será entonces: F = pa = (9600)(30)(0) = 5: N hacia abajo b)calculemos la fuerza causada por el agua en la pared de uno de los extremos de la piscina, la cual tiene w = 30m de ancho. Para este caso podemos observar que la presión varía con la profundidad por lo que debemos integrar para resolverlo. Dividiremos entonces nuestra pared en pequeñas tiras horizontales de alto dy. Observemos una de éstas tiras, la cual se encuentra ubicada a una distancia y del fondo de la piscina. h H dy y w La presión sobre cada una de estas tiras se debe sólo al agua y podemos considerarla uniforme a lo largo de la tira, de tal forma que la presión del agua sobre una de estas tiras es: p = g(h y) En la expresión anterior H representa la altura hasta la cual se encuentra llena la piscina (H = m). Calculemos el diferencial de fuerza que experimenta esta tira: df = pda donde da es el área de la tira, siendo ésta da = wdy siendo w el ancho de la pared. Entonces la fuerza total sobre la pared será: Z F = df = Z H 0 pda = Z H 0 g(h " Z H y)wdy = gw Hdy 0 Z H 0 ydy # = gw Hy y H 0

3 F = gw H H = gw H sustituyendo valores para = 000kg=m 3, g = 9:8m=s y w = 30m F = (000)(9:8)(30) () = 5: N hacia afuera c)para calcular la fuerza del agua en la pared de la piscina de0m de ancho, se procede exactamente igual que el literal anterior variando únicamente el ancho de la pared w: Entonces, F = gw H sustituyendo valores para = 000kg=m 3, g = 9:8m=s y w = 0m F = (000)(9:8)(0) () = : N hacia afuera Problema 4. En un tubo en U se vierte mercurio como se muestra en la gura. El brazo iquierdo del tubo tiene un área de sección transversal A de 0cm y el brazo derecho tiene un área de sección transversal de A de 5cm. A continuación se vierten 00g de agua en el brazo derecho. a)determine la longitud de la columna de agua en el brazo derecho del tubo en U. b)dado que la densidad del mercurio es 3:6g=cm 3 Qué distancia h se eleva el mercurio en el lado izquierdo? A A A A H O h l h h Hg Solución. a)para determinar la longitud de la columna de agua en el brazo derecho, utilizaremos la densidad del agua (g=cm 3 );la cantidad de masa de agua que se vierte y las dimensiones del tubo en el brazo derecho. Sabemos que: = m V 3

4 En este caso V = A l, donde A es la sección transversal del tubo del lado derecho y l es la longitud de la columna que ocupa el agua en el tubo en U. Para la sección derecha A = 5cm 00cm m = 0:0005m. Sutituyendo entonces, l = = m A l m 0:kg = A (000Kg=m 3 )(0:0005m ) = 0:m b)observemos el nivel del mercurio en el tubo de ensayo antes de vertir el agua. Debemos tomar en cuenta que lo que descienda de nivel el mercurio por debajo de su nivel inicial en el lado derecho h, hará que el nivel en el lado izquierdo suba una distancia h : Si los tubos fueran de igual sección transversal lo que baja de un lado sería lo mismo que sube del otro, pero en este caso por tener áreas distintas no es el caso. Trataremos entonces de encontrar una relación que nos permita conocer como se relacionan h y h : Para ello recordemos que las masa de mercurio que se desplaza hacia abajo en el lado derecho debe ser la misma que se desplaza hacia arriba en el lado izquierdo, por lo que: m izq = m der V izq = V der A h = A h h = A h A Ahora también sabemos que la presión en los puntos y en la gura son las mismas. Entonces, p = p p o + agua gl = p o + Hg g(h + h ) agua (l) = Hg (h + A h A ) agua (l) = Hg h + A A despejando h y sustituyendo valores h = agua (l) 000(0:) = Hg + A (3600) + 0:00 = 4: m ó 0:49cm A 0:0005 4

5 Problema 5. Una pelota de ping pong tiene un diámetro de 3:8cm y una densidad promedio de 0:0840g=cm 3 Qué fuerza requiere para mantenerla completamente sumergida bajo el agua? Solución. Analicemos las fuerzas que actúan sobre la pelota: el peso de la pelota, el empuje provocado por el peso del volumen de agua desplazado y la fuerza externa que debemos aplicar para mantenerla sumergida. Cuando la pelota está completamente sumergida se tiene: B = mg + F ext agua V desplazado g = bola V g + F ext pero en estas condiciones V desplazado = V, entonces, F ext= V g( agua bola ) sustituyendo valores y trabajando en el sistema internacional de unidades: F ext= V g( agua bola ) = 4 3 (0:09)3 (9:8)(000 84) = 0:57 9N hacia abajo Problema 6. Un bloque metálico de 0kg que mide cm 0cm 0cm está suspendido en una balanza y sumergido en agua como se muestra en la gura. La dimensión de cm es vertical y la parte superior del bloque está a 5cm abajo de la super cie del agua. a) Cuáles son las fuerzas que actúan sobre las partes superior e inferior del bloque? (Considere p o = 0:3KP a ) b) Cuál es la lectura de la balanza de resorte? c) Demuestre que la fuerza de otación es igual a la diferencia entre las fuerzas sobre las partes superior e inferior del bloque. T h = 0.05m h = 0.m B m=0kg Solución.a)La fuerza sobre la parte superior será: F = p A mg 5

6 en donde p = p o + agua gh siendo h la altura desde el nivel del agua hasta la parte superior del bloque p = (0: (9:8)(0:05)) = : P a F sup erior = (: )A el área de la parte superior del bloque es A = (0:m)(0:m) = 0:0m por lo que al sustituir valores tenemos: F sup erior = (: )(0:0) = 07: 9N apuntando hacia abajo Ahora, la fuerza sobre la parte inferior será: F = p A en donde p = p + agua gh siendo h la altura desde la parte superior a la parte inferior del bloque F inf erior = (p + agua gh )A p = p + agua gh = : (000)(9:8)(0:) = : P a el área de la parte inferior del bloque es A = (0:m)(0:m) = 0:0m por lo que al sustituir valores tenemos: F inf erior = (: )(0:0) = 09: 66N apuntando hacia arriba b) La lectura de la balanza de resorte nos dará el peso del objeto sumergido en el agua. La balanza nos da la lectura de la tensión de la cuerda. Haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre el bloque X Fy = 0 B agua + T = w bloque agua V desplazado g + T = (0)(9:8) T = (0)(9:8) agua V desplazado g T = (0)(9:8) (000)(0: 0: 0:)(9:8) = 86: 4N La lectura de la balanza será entonces 86: 4N c)el empuje es igual a 6

7 B agua = agua V desplazado g = (000)(0: 0: 0:)(9:8) = : 76N Ahora calculando el empuje como la diferencia de fuerzas B = F inf erior F sup erior = 09: 66 07: 9 = : 76N Problema 7. Cuántos metros cúbicos de helio se requieren para levantar un globo con una carga de 400kg a una altura de 8000m? (Considera He = 0:80kg=m 3 ). Suponga que el globo mantiene un volumen constante y que la densidad del aire disminuye con la altura z de acuerdo a la expresión aire = o e z 8000, donde z está en metros y o = :5kg=m 3 es la densidad del aire a nivel del mar. Solución. Realicemos un diagrama de cuerpo libre del globo. B aire W helio W carga Las fuerzas que actúan sobre el globo cuando este se encuentra en equilibrio a una altura de 8000m son: B aire = w c arg a + w helio Es importante que para calcular el empuje del aire consideremos la densidad del aire a 8000m : aire = o e z 8000 para z = 8000! aire = :5e = 0:459 85kg=m 3, entonces aire V desplazado g = (400)g + helio V g donde V desplazado = V es el volumen que nos solicitan en el problema. la ecuación anterior podemos eliminar g y tenemos: En despejamos V : (0:459 85)V = (400) + (0:80)V 7

8 V = (0: :80)V = (400) 400 = 49: 3m3 (0: :80) el volumen que necesitamos de helio es entonces 49: 3m 3 : Problema 8. Un globo lleno con helio se amarra a una cuerda uniforme de :00m de largo y 0:050kg. El globo es esférico con un radio de 0:400m. cuando se libera, eleva una longitud h de cuerda y luego permanece en equilibrio. Determine el valor de h. La cubierta del globo tiene una masa de 0:50kg. Solución. Analicemos las fuerzas que actúan sobre el globo cuando éste se encuentra en equilibrio. Hacia arriba se tiene el empuje del aire, hacia abajo se encuentran el peso de la cubierta del globo, el peso del helio dentro del globo y el peso de la cuerda de longitud l (note que no es el peso de la cuerda completa, sólo de la sección que se encuentra levantada) B aire = w cubiertaglobo + w helio + w cuerda longitud h El empuje es el peso del uido de aire que ha sido desplazado por el globo, por lo que aire V desplazado g = (0:50kg)(9:8) + helio V g + w cuerda longitud h El volumen desplazado es igual al volumen del globo, es decir V = 4 3 r3 = 4 3 (0:4)3 = 0:68 08m 3 ; también la aire = :9kg=m 3 y helio = :790 kg=m 3 : Para calcular el peso de la parte de la cuerda que se levanta, utilizaremos el hecho que toda la cuerda tiene una longitud de m y su masa total es de 0:050kg. Calcularemos entonces la masa por unidad de longitud de la cuerda, la que llamaremos = masa cuerda longitud total = 0:050 = 0:05 kg=m: Este dato es la densidad lineal de masa de la cuerda y si a este valor lo multiplicamos por 8

9 h (longitud de la sección de cuerda levantada), obtendremos la masa de esta sección. m cuerda longitud h = h w cuerda longitud h = m cuerda longitud h (g) = hg Ahora sustituimos valores y obtenemos aire V desplazado g = (0:50kg)(9:8) + helio V g + w cuerda longitud h (:9)(0:68 08)(9:8) = (0:50)(9:8)+(:790 )(0:6808)(9:8)+(0:05)h(9:8) entonces la longitud de la cuerda que se levanta es: h = (:9)(0:68 08)(9:8) (0:50)(9:8) (:79 0 )(0:6808)(9:8) (0:05)(9:8) = : 93 5m Problema 9. La mitad inferior de un tanque se llena con agua ( HO = 000kg=m 3 ) y la mitad superior se llena con petróleo ( petroleo = 850kg=m 3 ). Suponga que un bloque rectangular de madera de 5:5kg de masa, 30cm de largo, 0cm de ancho y 0cm de alto se coloca en este tanque. Cuán profundo se sumergirá en el agua la parte inferior del bloque? petróleo h h 0.m agua Solución. El bloque se encuentra en equilibrio, analicemos las fuerzas que actúan sobre el bloque. Hacia arriba se tiene el empuje del agua y el empuje debido al petróleo, hacia abajo se tiene el peso del cubo. Por lo que: B agua + B petroleo = W bloqe 9

10 HOV desph O g + petroleov desppetroleo g = m bloque g Denominaremos h ; la altura del bloque sumergida en agua y h la altura del bloque sumergida en petróleo. Debido a que el bloque tiene una altura total de 0cm; h = 0: h De lo anterior se tiene que: V desph O = Ah V desppetroleo = Ah = A(0: h ) En donde A es el área de la caras superior e inferior del bloque. Sustituyendo entonces lo anteriormente encontrado en la primera expresión: HOAh + petroleo A(0: h ) = m bloque HOAh + 0: petroleo A petroleo Ah = m bloque por lo que despejando h sustituyendo valores: h A( HO petroleo ) = m bloque 0: petroleo A h = h = m bloque 0: petroleo A A( HO petroleo ) 5:5 0:(850)(0:)(0:3) (0:)(0:3)( ) = 4: 44 0 m Entonces, la parte inferior del bloque se sumerge en agua 4:4cm. Problema 0. Una rana que está en un recipiente semiesférico ota sin hundirse en un líquido con una densidad de :35g=cm 3 : Si el recipiente tiene un radio de 6cm y masa despreciable Cuál es la masa de la rana? Solución. El sistema recipiente-rana se encuentra en equilibrio estático, por lo que la sumatoria de fuerzas que actúan es igual a cero. Al hacer un análisis de fuerza y considerando que la masa del recipiente es despreciable, tenemos 0

11 B l{quido = W rana l{quido V desp g = m rana g l{quido V desp = m rana En este caso el volumen desplazado es el volumen del recipiente semiesférico, mismo que se encuentra sumergido en el agua. sustituyendo V desp = 4 3 r3 = 4 6 r3 la masa de la rana es entonces: liquido ( 4 6 r3 ) = m rana m rana = (350)( 4 6 )(0:06)3 = 0:6kg Problema. Un cubo de madera tiene una dimesión de arista de 0cm y una densidad de 650kg=m 3 ota en el agua. a) Cuál es la distancia desde la super cie horizontal más alta del cubo al nivel del agua? b) Qué masa de plomo se debe colocar sobre el cubo, de modo que la parte superior del cubo esté justo a nivel con el agua? Solución. a) Denominaremos h la altura del cubo que no se encuentra sumergida en agua, es decir la distancia desde la super cie horizontal más alta del cubo y el nivel del agua. Por lo tanto la altura del cubo que se encuentra sumergida será h = 0: h Existen únicamente dos fuerzas que actúan sobre el cubo, el empuje del agua y el peso del cubo, por lo que: B HO = m cubo g HOV desp g = cubo V cubo g HOV desp = cubo V cubo El volumen desplazado de agua corresponde a la parte del cubo que se encuentra sumergida la cual es igual a: V desp = Ah = A(0: h ): Sustituyendo se tiene: HOA(0: h ) = cubo V cubo

12 (000)(0:) (0: h ) = 650(0:) 3 h = 0: 650(0:) 3 000((0:) = 0:07m Por lo tanto la altura del bloque que no se encuentra sumergida es de 7 cm. b)al colocar la masa de plomo, el bloque queda con todo su volumen sumergido en agua, por lo cual el volumen desplazado de agua corresponderá al volumen del bloque. B HO = W cubo + W plomo HOV desp g = cubo V cubo g + m plomo g De la expresión anterior V desp = V cubo : Asimismo se cancela la gravedad en todos los términos de la ecuación. HOV cubo = cubo V cubo + m plomo m plomo = V cubo ( HO cubo ) = (0:) 3 ( ) = : 8kg Problema. Un vaso de precipitados de kg que contiene kg de aceite ( aceite = 96kg=m 3 ) descansa sobre la báscula. Un bloque de hierro de :00kg; suspendido de una balanza de resorte, se sumerge completamente en el aceite, como se muestra en la gura. Determine las lecturas de equilibrio de ambas básculas. Solución. Analicemos la lectura de la báscula de resorte que cuelga del techo. Las fuerzas que actúan sobre el bloque de hierro son

13 Baceite Tensión Peso La lectura de la báscula re ejará la fuerza correspondiente a la tensión. Entonces: B aceite + T ension = P eso bloque aceite V desp g + T = m bloque g T = m bloque g aceite V desp g = m bloque g aceite V bloque g El volumen del bloque de hierro lo podemos obtener a partir de la densidad del hierro (7860kg=m 3 ), por lo cual: V bloque = m bloque hierro = 7860 = : m 3 T = ()(9:8) (96)(: )(9:8) = 7: 3N La lectura de la báscula de resorte es de 7.3 Newtons. Para la lectura de la báscula inferior analicemos las fuerzas que actúan sobre el sistema combinado (vaso-aceite-bloque): Peso Bloque T Peso Aceite N Peso del vaso de precipitados N + T W bloque W aceite W vaso = 0 En donde la fuerza T es la que corresponde a la tensión hacia arriba que ejerce sobre el sistema, la báscula superior y cuyo valor encontramos previamente. 3

14 Asimismo, la normal correspondera a la fuerza hacia arriba que ejerce el plato de la báscula inferior, sobre el sistema: La lectura de la balanza será la que corresponde a la normal en nuestro análisis de fuerzas: N = W bloque + W aceite + W vaso T N = ()(9:8) + ()(9:8) + ()(9:8) 7:3 = 3:7N La lectura de la báscula inferior es de 3.7 N. Dinámica de Fluidos Problema 3. Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior y lleno de agua, en su costado en un punto a 6m abajo del nivel de agua se elabora un ori cio pequeño. La relación del ujo a causa de la fuga es de :5 0 3 m 3 = min : Determine a)la rapidez a la que el agua sale del ori cio b) el diámetro del ori cio. 6 m NR Solución. Aplicaremos Bernoulli entre los puntos y de la gura, tomando el nivel de referencia en el punto donde se encuentra el ori cio de la fuga. p + v + gh = p + v + gh Observemos que los puntos y están abiertos a la átmosfera, por lo que p = p = p o donde p o = presion atmosf erica: Asimismo, debido a que el área del tanque abierto en la parte superior es mucho mayor que el área del ori cio (A >>> A ), de la ecuación de continuidad podemos decir que v = 0: Por el lugar donde escogimos nuestro nivel de referencia h = 0. Lo anterior hace que nuestra ecuación se nos simpli que: 4

15 gh = v despejando v, tendremos que la rapidez con la que el agua sale del ori cio es: v = (gh ) = ((9:8)(6)) = 7: 709m=s b) Del problema nos indican la rapidez de descarga :5 0 3 m 3 = min, convirtiendo al SI de unidades, despejando A :5 0 3 m3 min 5 m3 ( ) = 4:667 0 min 60s s A v = 4: m3 s 5 4:667 0 A = = : m 7: 709 pero A = (r ) por lo que el radio del ori cio es igual a r = A = : = 8: m El diámetro del ori cio es de d = r = (8: m) = : m Problema 4. A través de una manguera contra incendios de 6:35cm de diámetro circula agua a una relación de 0:00m 3 =s. La manguera termina en una boquilla de :0cm de diámetro interior. Cuál es la rapidez con la que el agua sale de la boquilla? r =3.75 cm Boquilla Manguera r =.0 cm Solución. Debido a que conocemos el caudal de agua a través de la manguera y sabemos el diámetro de la boquilla, tenemos: Av = 0:00m 3 =s; asimismo para la parte de la boquilla A = rboquilla = (0:00) = 3: m por lo que despejando v, tenemos que la rapidez con la cual el agua sale de la boquilla es: v = 0:00 3: = 3: 568m s 5

16 Problema 5. Desde el río Colorado se bombea agua para suministrar a Grand Canyon Village, ubicada a la orilla del cañón. El río está a una elevación de 564m y la villa está a una elevación de 096m. Imagine que el agua se bombea a través de una larga tubería de 5cm de diámetro, impulsada por una bomba en el extremo inferior. a) Cuál es la presión mínima a la que el agua debe bombearse si ha de llegar a la villa? b) Si 4500m 3 de agua se bombean al día Cuál es la rapidez del agua en la tubería? c) Qué presión adicional es necesaria para impulsar este ujo? 096 m Diámetro 0.5 m NR 564 m Solución. a)la presión mínima es la necesaria para que el agua suba por la tubería y llegue justo al nivel de la ciudad de Grand Canyon sin que ésta agua uya hacia la ciudad, por encima de esta presión el agua uiría hacia la ciudad a cierto caudal. Al aplicar Bernoulli en estas condiciones, v = v de tal forma que: p + v + gh = p + v + gh p + gh = p + gh = 0 y con- escogiendo nuestro nivel de referencia a la altura del río, h siderando que p = p o ; se simpli ca aún más la ecuación anterior: p = p + gh De tal forma que la presión total que debe haber en el punto para que el agua alcance justo el nivel de la ciudad es: p = p o +gh = (035)+(000)(9:8)( ) = 035+5: = 5:50 6 P a b)para lograr el caudal de agua requerido (4500m 3 de agua al día), la rapidez de agua en la tubería de 7:5cm de radio deberá ser: Convirtiendo el caudal al SI de unidades tenemos: 4500 m3 hr 4hrs 3600seg = 0:0508 m3 s 6

17 Av = 0:0508 m3 s Asimismo A = r = (0:075) = : m, por lo que la velocidad con la que sale el agua de la tubería será: 0:0508 v = = : 947 m=s : c)para calcular la presión adicional que hay que aplicar para que el agua uya hacia la ciudad con la rapidez del inciso anterior, consideraremos que el agua está en estado estacionario en el río (v = 0). Aplicando Bernoulli entre y, escogiendo nuevamente el nivel de referencia a nivel del río. p + v + gh = p + v + gh p = p + v + gh La presión adicional con respecto a sólo lograr que el agua alcance el nivel de la ciudad es: p adicional = v = 4: P a Problema 6. La gura muestra un tanque de agua con una válvula en el fondo. Si esta válvula se abre Cuál es la altura máxima que logra la corriente de agua que sale del lado derecho del tanque? Suponga, h = 0m; L = m y = 30 y suponga que el área de la sección transveral A es muy grande comparada con la de B. h v NR L Lsen Solución. Cuando el agua sale del tanque por la parte derecha, podemos considerar que sigue un movimiento de tipo parabólico. De tal forma que lo primero que calcularemos es la velocidad con la cual sale del tanque. Aplicando Bernoulli entre y, considerando que A >> A y tomando el nivel de referencia de acuerdo a la gura: 7

18 p + v + gh = p + v + gh p + gh = p + v + gh donde p = p = p o h = h h = Lsen sustituyendo y despejando v p o + gh = p o + v + g(lsen) v = ((gh glsen)) = (((9:8)(0) (9:8)()(sin 30 ))) = 3:8m=s Ahora consideremos un movimiento de tipo parabólico, en el cual v oy = v sin 30. Asimismo, para h max, v fy = 0 y la aceleración en "y" es la debida a la gravedad: a y = 9:8m=s Desde el punto donde el agua sale del tanque esta se elevará una altura de: v fy = v oy + a y (y) v oy y = v fy = (0) ((3:8)(sin 30 )) a y ( 9:8) = :5m Problema 7. Un tubo en U, abierto en ambos extremos está parcialmente lleno con agua. A continuación en el brazo derecho se vierte aceite que tiene una densidad de 750kg=m 3 y forma una columna de L = 5cm de alto. a)determinela diferencia H de alturas de las dos super cies de los líquidos. b)luego en el brazo derecho se cubre de cualquier movimiento del aire mientras el aire sopla a través de la parte superior del brazo izquierdo hasta que las super cies de los líquidos están a la misma altura. Determine la rapidez del aire que sopla a través del brazo izquierdo. Considere la densidad del aire aire = :9kg=m 3 8

19 b v 3 4 NR h h L=5cm L L NR Solución. a) La primera parte de este problema la resolveremos utilizando estática de uidos. Observemos el nivel del agua en el tubo de ensayo antes de vertir el aceite. Debemos tomar en cuenta que lo que descienda de nivel del agua por debajo de su nivel inicial en el lado derecho h, hará que el nivel en el lado izquierdo suba una distancia h: Ahora también sabemos que la presión en los puntos y en la gura son las mismas. Entonces, p = p p o + agua g(h) = p o + aceite g(l) despejando h y sustituyendo valores h = aceite(l) agua = (750)(0:05) () (000) = 0:0875m La diferencia de alturas entre los niveles de agua y el aceite será entonces de: H = L h = 0:05 (0:0875) = 0:0 5m ó :5cm b)ahora para conocer la velocidad con la cual se sopla a través del brazo izquierdo, aplicaremos Bernoulli entre los puntos 3 y 4 de la gura (recordemos que para aplicar Bernoulli debemos considerar puntos de un mismo uido). También escogeremos el nivel de referencia a la altura de estos puntos (h 3 = h 4 = 0). En el punto 4, el uido no se encuentra en movimiento por lo que v 4 = 0: Asimismo, la presión en el punto 3, la desconocemos ya que es en este punto donde se sopla, mientras que la presión en el punto 4 corresponde a la presión atmosférica. p 3 + airev 3 + aire gh 3 = p 4 + airev 4 + aire gh 4 9

20 p 3 + airev 3 = p o v 3 = (p o p 3 ) aire De la expresión anterior, desconocemos el valor de p 3 por lo que trataremos de encontrarlo, ya que conocemos que: p = p p 3 + aire gb + agua gl = p 4 + aire gb + aceite gl donde p 4 = p o, sustituyendo en la ecuación anterior y despejando p 3 : p 3 + agua gl = p o + aceite gl p 3 = p o + aceite gl agua gl ahora que conocemos p 3, sustituiremos su valor en la expresión que me permite calcular v 3 : v 3 = (p o p 3 ) aire v 3 = (p o (p o + aceite gl agua gl) aire = gl( aceite + agua ) aire entonces la velocidad del aire que sopla a través del lado izquierdo del tubo es: gl( aceite + agua ) v 3 = aire = (9:8)(0:05)( ) :9 = 3: 78m=s Problema 8. El tanque de la izquierda que se muestra en la gura, tiene un área transversal muy grande y está abierto a la atmósfera. Considere, y=0.600m. Las áreas transversales de los tubos horizontales son :00cm, 0:50cm y 0:0cm. El líquido es ideal (viscosidad=0). 0

21 Tanque abierto A y=0.6m NR h h h 4 h3 h 5 B C D E F G Tubo abierto a la atmósfera a)determine la razón del ujo de volumen de salida del tanque. Aplicaremos Bernulli entre A y G PA + ρ va + ρgha = PG + ρvg + ρghg P A = PG o G A = P, h = 0, asimismo v = 0 / m / m ρgha = ρvg vg = (gha) = (9.8)(0.6) = (.76 ) = s s Conociendo la sección transversal en G (en m ), la multiplicamos por el resultado anterior para conocer el caudal: m 0.cm * (00cm) = 0 5 m Av = m s 3 b)calcule la rapidez en cada porción del tubo horizontal. Del inciso anterior conocemos que la rapidez en F es de 3:49m=s y el caudal es de A F v F = 6: m 3 =s: Aplicando entonces la ecuación de continuidad encontraremos las velocidades de las diferentes secciones de la tubería En C y B el área es de cm Área A v = A v 4 = cm = 0 m C C F F AF vf m vc = = A s C

22 Rapidez en D y E donde la sección transversal es de 0:5cm A v = A v D D C m v D =. 37 s c) Qué altura tiene el líquido en cada uno de los cinco tubos verticales? Observemos que el líquido en h 5 no subirá debido a que éste se encuentra en la tubería F, y ésta se encuentra abierta a la atmósfera en su extremos derecho. También se tiene que h = h ; aplicando Bernoulli entre C y G: C Pc + ρ vc + ρghc = PG + ρvg + ρgh h = h = 0 P = P c G G o G G vc PC = Po + ρ( v = C o P ) Po + ρ((3.49) (0.686) ) = P ρ Ahora aplicando estática de uidos en la columna de líquido PC = Po + ρgh Entonces sustituyendo esta última expresión: P o + o ρgh = P ρ h = = m 9.8 Finalmente encontremos la altura a la cual sube el líquido en las columnas 3 y 4. Observe que h 3 = h 4 : Aplicando Bernoulli entre D y G

23 ( vd ) + ρghd = PG + ( v G P D + ρ ) ρ + ρghg PG = Po PD = Po + ρ( vg vd ) = Po + ρ((3.49) (.37) ) P D = P o ρ También aplicando estática de uidos a la columna de líquido por encima del punto D y combinándolo con el resultado anterior: P D = Po+ ρ gh3 Po ρ = Po + ρgh h3 = = m g Problema 9 Para la situación de la gura calcular: a)presión en el punto 3; b)velocidad en el punto en (m/s) y c)presión en el punto 3 c d b x z a Datos: Fluidos: agua, mercurio ( Hg = 3:6 0 3 kg=m 3 ), a = 0:54m, b = 0:06m, c = 0:508m, radio = 7:6cm radio = 5:08cm, radio 3 =:54cm, p = 7007:7P a Solución. a)debido a que conozco las longitudes b y a, adicionalmente se observa que el tubo en U de la derecha está abierto a la atmósfera en uno de sus extremos, aplicaremos estática de uidos entre dos puntos, los cuales denominaremos x y z, que se muestran en la siguiente gura: 3

24 3 c d b x z a p x = p z p x = p o + Hg g(a b) igualando y despejando p 3 p z = p 3 + agua ga p o + Hg g(a b) = p 3 + agua ga p 3 = p o + Hg g(a b) agua ga p 3 = (3600)(9:8)(0:54 0:06) (000)(9:8)(0:54) = : P a b)ya que conocemos la presión en el punto, aplicaremos Bernoulli entre y 3 para conocer la velocidad en el punto. p + aguav + agua gh = p 3 + aguav 3 + agua gh 3 Escojamos nuestro nivel de referencia de tal forma que h 3 = h = 0:También sabemos por la ecuación de continuidad que v 3 = A v A 3 = (r ) (r 3 ) v = (0:0508) (0:054) v = 4v sustituyendo en la ecuación de Bernoulli entre y 3. p + aguav = p 3 + agua(4v ) aguav 6 aguav = p 3 p 4

25 (p3 p ) v = 5 agua = (: :7) 5(000) = :6m=s c) Aplicaremos Bernoulli entre y, para conocer el valor de p sabemos que despejando p + aguav + agua gh = p + aguav + agua gh v = A v = (r ) A (r ) v = (0:0508) (:6) = :6m=s (0:076) p = p + aguav aguav p = 7007:7 + (000)(:6) (000)(:6) = : P a Problema 0 Considere la corriente de agua en ujo estable, desde el grifo de una cocina. En el grifo el diámetro de la corriente es 0:960cm: La corriente llena un contenedor de 5cm 3 en 6:3s: Encuentre el diámetro de la corriente 3cm abajo de la abertura del grifo. Solución. En este problema conocemos el ritmo o caudal con el cual se está entregando el agua: Av = 5cm3 6:3s = 7: cm3 s es decir Av = 7:67 cm3 s m3 6 m3 = 7: 67 0 (00cm) 3 s Sabemos que el caudal es el mismo a todo lo largo de la corriente de agua. Por lo tanto en el grifo la velocidad del agua es: A grifo v grifo = 7: ( 0:00960 ) v grifo = 7: :67 0 v grifo = ( 0:00960 = 0:05 97m=s ) Ahora aplicaremos Bernoulli jando un punto, en el grifo y un punto, 3cm por debajo de la apertura del grifo: p + v + gh = p + v + gh 5

26 Observemos que la corriente de agua está expuesta a la atmósfera, por lo cual p = p = p o. También jemos nuestro nivel de referencia en el punto, de tal forma que h = 0:3m y h = 0: Por lo tanto: p o + v + gh = p o + v en donde v = v grifo = 0:0597m=s, entonces: v = + v + gh = v " v + gh # = v + gh v = (0:06) + ()(9:8)(0:3) = :6m=s Recordando que el caudal debe ser constante entonces 3cm debajo del grifo el área es: A v = 7: (r ) v = 7: : r = : = :4 0 4 m (:6) El diámetro de la corriente es r = (: ) = : m Problema. Un tubo Venturi se puede usar como medidor de ujo. Al tomar la diferencia en presión como p p = kp a, encuentre la relación de ujo de uido en m 3 =s, dado que el radio del tubo de salida es de :00cm y el radio del tubo de entrada es cm y considerando que el uido es gasolina = 700kg=m 3 : Solución. Aplicando Bernoulli entre los puntos y se tiene: 6

27 p + v + gh = p + v + gh Si jamos el nivel de referencia en una línea horizontal situada en donde se encuentran ubicados los puntos y, tendremos que h = h = 0: Asimismo por la ecuación de continuidad A v = A v, por lo que: r v = r v v = r v r = (0:0) v (0:0) = 0:5v Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli: Entonces el caudal será: p + v = p + v p p = (v (0:5v ) 000 = (0:5)(700)(0:9375v) 000 v = = 8m=s (0:5)(700)(0:93759 A v = (0:0) (8) = : m 3 =s Problema. El agua se fuerza hacia afuera de un extintor de incendios mediante presión de aire como se muestra en la gura. Cuánta presión manométrica con aire en el tanque, se requiere para que el chorro de agua tenga una rapidez de 30m=s cuando el nivel del agua está 0:500m abajo de la boquilla? Solución. Para resolver este problema aplicaremos Bernoulli entre dos puntos, uno lo ubicaremos dentro del tanque, justo en el nivel del agua y el otro en el extremo derecho de la boquilla abierto a la atmósfera, por donde sale el agua del extintor. Asimismo, jaremos nuestro nivel de referencia en donde se 7

28 encuentra el nivel del agua dentro del tanque (h = 0) y consideraremos que el diámetro de la boquilla es muy, muy pequeño, comparado con el diámetro del extintor, por lo que v = 0, entonces p + v + gh = p + v + gh p = p o + v + gh p p o = v + gh = (0:5)(000)(30) + (000)(9:8)(0:5) = 4: P a El resultado anterior es la presión absoluta en el punto, al cual se le ha restado la presión atmosférica, por lo cual es la presión manométrica en el punto. 8

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