GUIA DE EJERCICIOS. d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0

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1 ECUACIÓN DE LA RECTA Y PENDIENTE GUIA DE EJERCICIOS ) Encontrar la pendiente de la recta determinada por cada uno de los guientes pares de números: a) (, ) y (5, ) b) (, -3) y (-, ) c) (, 6) y (8, 56) ) Qué relación (paralela, perpendicular o de intersección) tiene la recta 3x + y - = 0 con cada una de las rectas guientes? (Nota: Dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es -) a) 8x - 6y + 5 = 0 b) 9x + y + 7 = 0 c) 3x + y - = 0 d) x - 9y + = 0 e) x+ y - 6 = 0 3) Si una recta L tiene la ecuación general: x + 0.6y-0.8 = 0, encontrar la parte faltante en cada uno de los casos guientes: a) (3, y) c) L tiene pendiente? b) (x, 5) d) L intercepta a y en? ) Cuáles de los puntos guientes quedan en la recta cuya ecuación es 3x + y - 0 = 0? a) (, ) b) (-, ) c) (0, -5) d) (-5, ) e) (0, 0) f) (/9, /3) 5) Obtenga la función general (o estándar) de la recta a partir de cada una de las guientes funciones: a) y = 3x + 9 d) y = 3x + 9 d) y = / - x b) x = 3y e) x = 3y e) p = /3 q - / e) p = /3 q - / c) y = - 5x f) y = - 5x f) z = 0. +.t d) f) y z = = / 0. - x +.t 6) Obtenga la ecuación general de la recta, sabiendo que: a) pendiente = /5 intersección con y en (0, 3/) b) pendiente = -.5 intersección con y en (0, -.5) 7) Escribir las guientes ecuaciones en la forma pendiente-intersección e indicar la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas. a) x + y = c) 3y - = x b) y = x+ d) 3s = - t 8) Encontrar la ecuación de la recta que: a) Pasa por (5, 5) y tiene una pendiente de -3. b) Pasa por el punto (6, ) y es paralela al eje de las x c) Pasa por el punto (-, ) y es paralela a la recta que une los puntos (0, 50) y (00, 00) 9) Para cada uno de los pares de puntos guientes, a) Hallar la pendiente de la recta que pasa por ambos b) Hallar la ecuación de la recta usando la pendiente c) Hallar la ecuación de la recta n usar la pendiente d) Graficar la recta i) (0, 0) y (6, 3) ii) 0/3, 0 ) y (0, 5/) iii) (-7, ) y (8, ) iv) (3, -) y (3, 5) v) (-, -) y (, ) vi) (-, -3) y (-5, -6)

2 0) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -) y es perpendicular a la que pasa por los puntos (-, -) y (3, 7) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 3) y es paralela a la que pasa por los puntos (0, -3) y (6,) ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 5) y es paralela a y = x + 5 Qué relación (paralela, perpendicular o de intersección) tiene aquella recta con la que pasa por los puntos (6, 0) y (-, 8)? 3) Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, -3) y que es perpendicular a la que pasa por los puntos (-, -) y (, 5) ) Hallar la ecuación de la recta paralela a la que pasa por los puntos (5, 6) y (7) y también pasa por la intersección dos rectas L y L tales que: L : tiene pendiente y pasa por el punto (-, -6) L : tiene pendiente 3 y pasa por el punto (, ) APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL ) Determine cuántas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de equilibrio una empresa tiene los costos fijos de $000 y costo variable de $5 por cada unidad y además vende cada artículo a $50. ) Una industria puede producir 7 toneladas de mineral a un costo de US$500.- y puede producir 5 toneladas a un costo de US$800.- suponiendo un modelo lineal: a) Determine la ecuación de costos b) Calcule el costo de producir 0 toneladas c) Grafique la tuación 3) Un fabricante de zapatos está en su punto de equilibrio sus ventas son de US$800.- Si los costos fijos son de US$50.- y cada par de zapatos se vende a US$30.- Determine la cantidad de zapatos vendidos y el costo variable de cada par de zapatos ) Si la Utilidad (u) es cero cuando la Cantidad (q) es 0 y la utilidad es -500 cuando q es cero, encuentre una función lineal que relacione estas dos variables. ( U(q) = 50q ) 5) Un artículo que cuesta $9000 se vende en $000 y otro que cuesta $99000 se vende en $,000. Si estos dos ejemplos representan la política general de precios: a) Encontrar una función que represente esta tuación. 3x 9000 y = 9 b) Encontrar el costo de un artículo que se vende en $80000 ( 56076,9 ) c) Encontrar el precio de venta de un artículo que cuesta $35000 ( 9555,55 ) d) Representar gráficamente la función. 6) El flete aéreo de una libra de mercancía cuesta $55 transportándola 800 millas y $00 transportándola 000 millas. Suponiendo que estos datos representan la política usual de costos, encontrar: a) Una función lineal que determine el costo del transporte aéreo. ( y=0,0375x +5 ) b) El costo de transportar una libra por 500 millas. ( y = 8,5 ) 7) El costo de almacenaje de un artículo I está definido por la función C = 0.x + $360, en donde x es el costo unitario de I. a) Encontrar el costo de almacenaje para un artículo que cuesta $6000 ( C(x) = $ 3760 ) b) Encontrar el valor de un artículo para el cual su costo de almacenaje es de $800. ( x = $ 00 ) 8) A una compañía le cuesta US$75 producir 0 unidades de cierto artículo, y US$0 producir 5 unidades del mismo artículo. a) Cuál es el costo variable y costo fijo por artículo ( CV = 3, CF = 5 ) b) Cuál es el costo de producir 0 artículos ( US$05 ) 9) Los costos fijos por producir cierto artículo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el productor vende cada uno a US$6. Encuentre el punto de equilibrio (x = 000 Unid. Ó US$ 000 )

3 0) Determine cuántas unidades se deben producir y vender para lograr el punto de equilibrio una empresa tiene los costos fijos de $000 y costo variable de $5 por cada unidad y además vende cada artículo a $50 ) Los costos fijos por producir cierto artículo son de US$5000 al mes y los costos variables son de US$3,5 por unidad. Si el productor vende cada uno a US$6. a) Encuentre el punto de equilibrio (x = 000 Unid. Ó US$000) b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de US$000 ( x = 00 Unid. ) c) Obtenga la pérdida, cuando sólo se producen y venden 500 unidades (-US$ 50) I. RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. ) Dada la función = x 5 el valor de f ( ) + f ( ) es : ) Dada la función = 3 el valor de f ( 7) + f ( ) es : 3) Dada la función x 5 =, el valor de f ( 3) es: x + ) Halla el dominio de la guiente función: x 5 = x y, x +, x < 3 5) Dada la función: = x +, 3 x 3, hallar: f ( 7) f ( ) + f (3) f () x + 5, x > 3 6) Halla la función inversa de = 3 x 7) Cuál es la función que representa a la grafica de la figura: 8) El dominio de = x es: 9) Si ( x) = x 5 f y g ( x) = x 3, determine ( fog )() 0) Indica la función que corresponde a la guiente tabla: X 0 3 Y ) Dadas 3x =, g ( x) = x + 6 funciones reales, determine el valor de : 5 f ( ) g( ) 7 3

4 ) El gráfico guiente corresponde a la recta de ecuación: y a) y = -3(x + ) b) y = x c) y = x d) y = -x - e) y = -x O 3 x ) Dada la función ( x) = x 3x + f, la expreón equivalente a ( a + 3) f es : ) Dada la función cuadrática = 5x + x, los puntos de intersección con el eje de las X son: 5) Determine vértice de la parábola = x + x : -5 6) Dadas las funciones lineales + = x y, y 3 x =, determine el punto de intersección. 7) Cuál de las guientes funciones es la que representa a la grafica de la figura: a) y = x + 0x 5 b) y = x 0x + 5 c) y = x + 5 d) y = x 5 e) y = x x + y O 3 5 x - - x+ 8) El valor de x en la ecuación 3 5 = 9 9) El valor de x en x+ x = 8 es:

5 0) El valor de x en la expreón x 5 x a = ( a ) es: ) Al resolver la ecuación x 3 5 = 7se obtiene que x es igual a: ) En la ecuación x x 5 3 = 7 x es igual a: 3) Determine x en 5 3 = 5 x : ) Dada la función: f(x) = 3 ax, f() =,, entonces el valor de a es: 8 5) Dada las funciones x x = ; g( x) = 3,el valor de f ( ) + g () II. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS. ) El costo variable de producir un artículo es de 7,5 dólares y el costo total de producir 50 unidades es 875 dólares. Determine el costo de producir 0 unidades. ) El costo de producir 0 unidades es de US$.75 y el costo de producir 0 unidades es de US$.90. Determine el costo de producir 3 unidades. 3) Si la función U ( x) = 0,0x + 50x 000 representa las utilidades de una empresa donde U: dólares y x: unidades vendidas, la utilidad máxima de la empresa es de: ) Se sabe que la masa de cierto material radioactivo disminuye en función del tiempo (t) según la función 5t m( t) = 60 estando m en gramos y t en horas. Después de cuánto tiempo la masa del material es de 30 gramos? 5) Al depotar un capital C en una entidad que paga una tasa de interés del i por ciento, al final de n años se tendrá: M = C ( + i ) n.si se invierten $ a un interés compuesto del 5% anual; Después de cuántos años tendremos un capital total de $ 89.93? 6) Se estima que cierta máquina se deprecia de tal forma que su valor después de t años viene dado por: 0.03 t V( t) = 8000 e (dólares) Después de cuantos años la máquina tendrá un valor de 7.853,6 dólares? 7) Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dos inicial es de 0 mg y la cantidad A (t) que queda en el cuerpo t horas después está dada por t A( t) = Para que el fármaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos mg. Determine cuándo quedan sólo mg. 8) Una población P(t) de peces de un estanque a los t meses está dada por la expreón: t 3 P (t) = 0. A los cuántos meses habrá peces? 9) Si depoto en una institución bancaria $ 0.000, con un interés compuesto del 0% anual, qué cantidad tendré en 8 meses, suponiendo que ya tenía ahorrados $ 0.000? 0) El costo de producción de un artículo está dado por la función C ( x) = x 0x 0.Si cada artículo se vende a $.- Determine el número de unidades que se deben producir y vender para que no haya ganancias ni pérdidas III. Grafique la función f (x) = x 5

6 Resuelva los guientes ejercicios. ) Sean las funciones f ( x ) = 3x x > 5 x + x = 5 g ( x ) = x 5x + 3 x x < 5 Calcule: a) f ( 3 ) b) f ( - ) c) f ( / ) Respuestas d) g ( - ) e) g ( ) a) 0 b) c) 5/ d) 0 e) 7 ) Determine la función inversa de: a) = 3x x b) g( x) = c) 3x h( x) = x + d) x i( x) = 5 x Respuestas f ( x) = x + 3 g ( x) = x + h ( x) = x x 3 i ( x) = 5x x 3) Sean las funciones f ( x ) = x 5, g ( x ) = 3x, h ( x ) = Calcule. 3x x - x + x > - a) ( f o g) ( -3) b) ( h o g ) (-) c) ( f o g o h ) ( - ) d) ( g o h o f ) (- ) e) ( f - o g ) () f) ( h o g - ) (-) g) ( g - o h o f - ) () Respuestas a) y 39 b) 5 y 6 c) -7, 3 y 87 d) 3, -0 y e) - y f) y g) 3/, 3/ y 5/ ) Completar las guientes tablas f y g definidas en R son: f ( x ) = x x + g ( x) = 6x 3 X 0 - f(x) X - g(x) 3-3 6

7 5) Complete la tabla = x + 6 x - - f(x) ) Si g( x) = x + x 3 x x x completar x / ½ g(x) 7) Sean s y t funciones reales definidas como s ( x) = x 3 ; y + t ( y) = 5 y o y 0 Completar x s(x) y t(y) x 0 3 ( t s) 8) Sea f : R R tal que f ( x ) = x. Determinar; a) f()= b) f(-)= c) f(o)= d) f(y)= 9) Sea g : Q Q tal que g( x) = 3x +. Calcular: x a) g()= b) g(-)= c) g()= d) g(-)= e) g = f) 3 g = 0) Sea f : R R tal que =,completar la tabla: x + x /3 / f(x) /5 /5 7

8 x 3 x ) Sea f(x)=x+6, g ( x) = x + x completar las tablas: x x - - F(x) x / ½ G(x) ) Sea la función g : R R definida por a) g(5)= x 3x x g ( x) = Hallar: x + x b) g(8)= c) g(-)= Guía Función Exponencial y Logarítmica. Debido a una depreón, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 000, su población fue de habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P= e 0,0t en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año.008 Respuesta: 6.07 habitantes. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t) al final de t años, está dado por v(t)=0,78 C 0,85 t. Si el costo original es de $ , calcule el valor del automóvil después de tres años. Respuesta: $ Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 0% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por: v(t) = P, t. Si una casa fue comprada en $ en el año 00. Cuál será su precio en el año 008? Respuesta: $ El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V(t) = 750(,3) -t donde t es el tiempo en meses. La guiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucevas? Respuesta:,55 meses 5. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por dólares viene dado por la expreón: V ( t) = e 0,3 t, donde t mide los años después de su adquición. En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de.3,30 dólares? Respuesta: 5 años 6. Una población crece de acuerdo con la fórmula: P= 5 x0 6 e 0,06t donde t es el tiempo en años. Cuánto tiempo tardará la población en aumentar 50%?Respuesta: 6,76 años 7. Se adquiere una máquina batidora industrial por $ y se deprecia continuamente desde la fecha de adquición. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V = e 0,t En cuánto tiempo la máquina tendrá un valor de $00.000? Respuesta:, años 8

9 8. Según cierta información científica confiable, a partir del año 000, la concentración de CO ambiental, en cierta ciudad de Chile ha ido variando según la función: C = 75,0 t ; donde: C = concentración de CO, en ppm (partes por millón) y t = años a partir del 000 A partir de este modelo determine la concentración del CO el año 000 Respuesta: 75 ppm 9. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por la función: C =,5 0,86 T, donde la concentración C está medida en mg del producto por cada kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine en qué tanto por ciento disminuye la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación. Respuesta: Disminuye un 6% 0. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades. Estas utilidades vienen dadas aproximadamente por la expreón U =,5, t, donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. Cuánto tiempo demoraría en obtener 5 millones de pesos en utilidades? Respuesta:, meses..una compañía que fabrica software contrató a un técnico para evaluarlos. El número de software pobles de evaluar por día viene dada por: 00 N ( t) =, donde N es el número de software evaluado por día, después de t días de trabajo. Cuántos días requiere un + e 0,t técnico para evaluar 0 software diarios?respuesta: Aproximadamente 30días 9

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