Álgebra En esta unidad usted aprenderá a: Al aprender lo anterior usted podrá:

Transcripción

1 Álgebra IVEn Unidad IV esta unidad usted aprenderá a: Aplicar el concepto de igualdad en una ecuación. Plantear ecuaciones con una o varias incógnitas. Conocer las características de algunos cuerpos geométricos o figuras. Manejar los principales elementos del álgebra. Al aprender lo anterior usted podrá: Utilizar letras que representen datos en los problemas o los resultados. Formular ecuaciones que sirvan para resolver problemas en los que se desconoce una o varias incógnitas. Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4 Más o menos igual Ecuaciones numéricas Planteamiento de ecuaciones Términos algebraicos

2 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 1 Más o menos igual L os hijos de Lourdes se admiran que en un sube y baja los tres de un lado no le ganan a su mamá que se encuentra en el otro extremo. Si Laura, Moni y Juan pesan 19 kg, 17 kg y 16 kg, respectivamente, y su mamá, Lourdes, pesa 62 kg, por qué el lado de Lourdes (la mamá) siempre está más abajo? Para analizar porqué siempre gana Lourdes, se puede hacer un diagrama como el siguiente: Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Lourdes 62 kg 150

3 ÁLGEBRA Como se puede observar, del lado de los niños, hay 19 kg + 17 kg + 16 kg = 52 kg. Laura 19 kg Moni 17 kg Juan Lourdes 16 kg 62 kg Lado de los niños = 52 kg Lado de Lourdes = 62 kg Analicemos el lado de los niños. Ahora, el lado de Lourdes. 62 kg Para que el sube y baja quede equilibrado, el peso sumado de los tres niños que están sentados al lado izquierdo debería ser igual al de Lourdes, quien está sentada en el lado derecho. Para que lo anterior suceda, entre los tres niños deberían aumentar el peso 10 kg, porque 52 kg + 10 kg = 62 kg (peso de Lourdes). Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Piedra 10 kg Lourdes 62 kg 19 kg + 17 kg + 16 kg + 10 kg = 62 kg 62 kg 151

4 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA También podría ser que Lourdes adelgace 10 kg y con ello el sube y baja queda equilibrado. Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Lourdes flaca 52 kg 19 kg + 17 kg + 16 kg = 52 kg 52 kg Cuando el peso de un lado se iguala al del otro lado, el sube y baja se encuentra en equilibrio porque ambos pesos son iguales. Peso de los niños más la piedra 52 kg + 10 kg 62 kg = = = Peso de Lourdes 62 kg 62 kg También podría ser que Lourdes adelgace. Peso de los niños 52 kg 52 kg = = = Peso de Lourdes menos lo que adelgazó 62 kg - 10 kg 52 kg Cuando los niños no cargan la piedra de 10 kg o si Lourdes no adelgaza, el sube y baja estará desigual, o sea, con un lado más pesado que otro, lo que genera que el lado más pesado baje más que el ligero. Esto se expresa de la siguiente manera: 52 kg 62 kg 152 Se dice que hay una desigualdad.

5 ÁLGEBRA Cuando en los dos lados del sube y baja hay el mismo peso (62 kg ó 52 kg), se dice que hay una igualdad y se expresa de la siguiente manera. Lado izquierdo: peso de los niños + piedra = Lado derecho: peso de Lourdes 62 kg = 62 kg Lado izquierdo: peso de los niños = Lado derecho: peso de Lourdes flaca 52 kg = 52 kg En ambos casos, el sube y baja estará en equilibrio (ni sube ni baja). Para que una igualdad (62 kg = 62 kg) se mantenga como tal, si se agrega o quita algo de un lado, también se debe agregar o quitar del otro. s 40 = 40 igualdad = = 30 también es igualdad 52 = 52 igualdad = = 42 también es igualdad 153

6 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA De la misma manera, para que se conserve la igualdad, si en uno de sus lados (también llamado miembro) se multiplica o divide, también se debe multiplicar o dividir por la misma cantidad. s 52 = 52 igualdad Si se multiplica por 2, se tiene: 52 x 2 = 52 x = 104 también es igualdad 52 = 52 igualdad Si se divide entre 2, se tiene: 52 2 = = 26 también es igualdad Observe que para que una igualdad se conserve como tal, lo que se agregue o se quite en un miembro se debe agregar o quitar en el otro. s 25 = 25 igualdad 25 + (5 x 3) = 25 + ( ) 25 + (15) = 25 + (15) 40 = = 18 igualdad ( ) = 18 - (3 x 1) = =

7 ÁLGEBRA Ejercicios 1. Coloque usted el número que falta para que las siguientes igualdades se mantengan como tales. a) = 52 + i) 15 = 5 + (2 x ) b) 14 - (4 + 3) = j) = 8 c) 18 + (11) = k) 16 = 8 x d) (6 x 2) + = l) 12 = x 0.5 e) 13 + (3 + ) = m) = 12-4 f) 16 - ( x 3) = 16-6 n) = 8 g) 16 - ( x 3) = o) = 5 x 2 h) 8 = 4 + ( ) 155

8 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 2 Ecuaciones numéricas L as igualdades también se llaman ecuaciones; siempre están compuestas de dos lados o miembros y entre ambos existe un signo de igualdad. Elementos del primer miembro Signo de igualdad Elementos del segundo miembro 3 x 6 = Primer miembro Segundo miembro ( 6 2 ) x 3 = ( 3 x 3 ) 1 Primer miembro Segundo miembro 156 A los elementos que componen un miembro, se les llama términos. Cuando no se conoce uno de los términos o elementos de los miembros de una ecuación, a éste se le conoce como incógnita y se puede representar por una letra (por ejemplo, la x ).

9 ÁLGEBRA Recuerde que para que la x no se confunda con el signo de multiplicación (x) en lugar de éste se usa un punto o se ponen las cantidades entre paréntesis. 3 x 6 = x En esta igualdad hay una incógnita, la que representamos como x. Para conocer una incógnita x, se recomienda realizar primero todas las operaciones posibles en la ecuación para hacerla lo más simple posible. Observe cómo se puede obtener el valor de x en la ecuación anterior. Para que el signo de multiplicación (x) no se confunda con la incógnita, se usará a partir de ahora un punto ( ) o paréntesis como signo de multiplicar. Cuánto vale x? 3 6 = x (3) (6) = x 18 = 16 + x Para dejar sola a la x en el segundo miembro de la ecuación, debo quitarle (restar) 16, porque al valor de la x se le está sumando 16. segundo término: 16 + x - 16 Como resté 16 en el segundo miembro, para que se conserve la igualdad, también debo restar en el primero: = 16 + x - 16 Vuelvo a realizar las operaciones: = x 2 = 0 + x 2 = x Por lo tanto, la incógnita x es igual a

10 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA No olvide que para conservar una igualdad, lo que suma o resta en un miembro de la ecuación lo debe sumar o restar en el otro. Cuál es el valor de la incógnita en la siguiente ecuación? Ecuación original: = x Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación = x 35 = 25 + x Paso 2 Se deja sola a la incógnita. En este caso, para que quede sola, hay que restarle 25 en el 2º miembro y para que la igualdad se mantenga, también se deben restar en el primer miembro = 25 + x - 25 Paso 3 Se vuelve a simplificar la ecuación al máximo = x 10 = 0 + x 10 = x El valor de x es igual a Para comprobar que no hay equivocaciones, podemos poner el valor de x, que obtuvimos, en la ecuación original. Ecuación original: = x Se sustituye a la x (la incógnita) por el valor que se encontró (10) = (10) Se resuelven las operaciones indicadas. 35 = 35 Se comprueba que, cuando x tiene el valor de 10, la ecuación se satisface.

11 ÁLGEBRA Ecuación original 15 - (3 2) = 3 x Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean factibles (3 2) = 3 x 15-6 = 3 x 9 = 3 x Paso 2 Se deja sola a la incógnita. Esto se llama despejar a la incógnita. 9 = 3 x En este caso, para despejar a la incógnita, se debe dividir al segundo miembro entre tres, y para que la igualdad se mantenga, también el primer miembro se debe dividir entre tres. Paso 3 Se resuelven las operaciones para obtener el valor de la incógnita = x = x 3 Recuerde que cualquier número multiplicado por 1 resulta el número original. 3 = 1 x 3 = x Observe que no es necesario poner el número 1 antes de una letra. El valor de x es 3. Para comprobar si el valor obtenido de la incógnita es adecuado, se sustituye éste en la ecuación original (3 2) = 3 x 15 - (3 2) = 3 (3) 15-6 = 9 9 = 9 La igualdad se comprueba, por lo que la solución es adecuada. 159

12 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ecuación original: (20-4) = x 2 Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean posibles. (Primero se resuelven las operaciones de los números que están dentro del paréntesis.) (20-4) = = + 2 = x 2 x 2 x 2 Paso 2 Dejar sola a la incógnita. En este caso, como la x está dividida entre 2, para que quede sola ésta se debe multiplicar por dos. Y para que la igualdad no se altere, se debe también multiplicar al primer miembro por dos. 2 2 = x 2 2 Paso 3 Se ejecutan las operaciones. 2 2 = 4 = x 1 4 = x x El valor de x en la ecuación es 4 ó, lo que es lo mismo, la ecuación se resuelve cuando x tiene el valor de 4. Para comprobar que lo anterior es verdadero, se sustituye el valor obtenido en lugar de la incógnita y se realizan las operaciones (20-4) = = 2 2 = 2 Se cumple la igualdad.

13 ÁLGEBRA Ecuación original: 5 - (x - 1) = 10 Paso 1 Se resuelve en lo posible la ecuación, ejecutando las operaciones. 5 - (x - 1) = 10 Observe que para ejecutar las operaciones, es necesario quitar el paréntesis que está precedido por un signo negativo, lo que significa que cada uno de los signos de los componentes del paréntesis deben ser multiplicados por (-). Como la x no tiene un signo escrito quiere decir que tiene signo positivo (+) y como (-) por (+) da menos, entonces, al eliminar el paréntesis, la x queda con signo negativo. Aún falta sacar del paréntesis al -1; como el signo que está fuera del paréntesis es (-) y el del 1 es también (-), entonces (-) por (-) es igual a (+) por lo que el uno tendrá signo positivo. 5 - x + 1 = 10 - x + 6 = 10 Paso 2 Se despeja la x. Para ello se resta el 6 en los dos miembros de la ecuación, quedando así: x = x = 4 Paso 3 Se realizan las operaciones. Como la x tiene signo (-), la ecuación no se altera si multiplicamos los dos miembros por (-1), quedando así: Para comprobar que la ecuación se resuelve bien con el valor obtenido, se puede sustituir al -4 en lugar de la x en la ecuación original. 5 - (-4-1) = 10 (-x) (-1) = 4 (-1) como (-) (-) = + y (+) (-) = - tendremos x = ( -5 ) = = 10 Lo cual indica que está bien resuelto. 161

14 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ejercicios 1. Obtenga el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones. a) 13 - (8 + 2) = 2 + x 48 x e) 18 - ( ) = 6 2 b) 18 + ( ) = 30 - x f) 6 ( ) = 4 2 x c) 14 + (2 x 3) = 10 x g) (22) = 15 - x h) 8 - (x - 2) = 20 d) x + 6 = 20 Las ecuaciones sirven para plantear las soluciones a problemas en los que falta un dato, como se observa a continuación. Marcela compró 5 tazas. Si por ellas pagó 25 pesos, cuánto costó cada taza? Paso 1 Se hace el planteamiento de la ecuación original. Se multiplica el número de tazas (5) por lo que cuesta cada taza (x pesos), y esto es igual a 25 pesos. 5 x pesos = 25 pesos Paso 2 Se simplifica al máximo la ecuación. En este caso, la ecuación está simplificada ya que todas las operaciones ya fueron ejecutadas. 5 x pesos = 25 pesos 162 Tratar de dejar sólo una taza (que es el valor que se busca); para esto, se deben de dividir entre 5 a los dos miembros de la ecuación. 5 x pesos 25 pesos = 5 5 Paso Se ejecutan las operaciones, y se tiene que: = 1 y = x pesos = pesos 1 x pesos = 5 pesos x = Lo que significa que cada taza tiene un valor de 5 pesos.

15 ÁLGEBRA La señora Olivia cobró a un cliente 27 pesos por 5 litros de leche y una barra de mantequilla que vale 3 pesos. Cuánto cuesta cada litro de leche? Lo que le cobró Lo que cuesta un litro de leche 27 = (5 x) litros de leche 3 pesos de una barra de mantequilla Observe que ya no se puso el punto para indicar (5 x). Es importante saber que aun cuando se acepta escribir 5x + 3, en este ejemplo se puso un paréntesis al (5x) para evitar la confusión de si primero se le suma a la x el 3 y luego se multiplica por 5. Lo que es incorrecto, ya que algebraicamente eso se escribiría así: 5 (x+3). Se deja sola a la x. Para quitar el +3, se restan 3 en los dos miembros = (5x) = 5x Luego, para quitar el 5 que está multiplicando a la x, se divide entre 5 a los dos miembros. 24 5x = = 1x De acuerdo a lo anterior, cada litro de leche (x) cuesta 4.80 pesos. Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor de x = 4.80 en la ecuación original. 27 = 5x = (5 4.80) + 3 (Aquí se usó el punto para evitar confusión.) 27 = = 27 Se cumple la igualdad, por lo que la ecuación numérica fue bien resuelta. 163

16 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Humberto vendió 4 toneladas de maíz; después de haber pagado 100 pesos de impuestos, le quedarón 2,500 pesos. En cuánto vendió cada tonelada de maíz? 2,500 = (4x) Lo que cobró 4 por el costo de cada tonelada de maíz Impuestos que pagó Para resolver la ecuación, se deja sola a la x (la que no se conoce). Para eliminar el -100 en el segundo miembro, se suman 100 en los dos miembros. 2, = 4 x Se ejecutan las operaciones y nos queda: 2,600 = 4 x 164 Para quitar el 4 que está multiplicando a la x, se dividen los dos miembros entre 4. 2,600 4 = 650 = x 4x 4 Con lo que se dice que cada tonelada de maíz fue vendida en 650 pesos. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de la x obtenido en la ecuación original. 2,500 = 4 (650) ,500 = 2, ,500 = 2,500 Recuerde que todo número dividido entre sí mismo da la unidad. Como se cumple la igualdad, la ecuación fue bien planteada y resuelta.

17 ÁLGEBRA Lucrecia tiene 2 hijos. La suma de sus edades es 12 años. Si el más grande tiene 8 años, cuántos años tendrá el menor? Planteamiento de la ecuación: La suma de las edades es 12 y uno de los dos hijos tiene 8 años. 8 años + x años = 12 años Edad del hijo mayor Edad desconocida Suma de las dos edades Se despeja a la x (edad desconocida); para ello se debe eliminar al 8 que tiene signo positivo, lo que se logra restando 8 en ambos miembros x = 12-8 x = 4 Lo que nos indica que la edad del hijo pequeño de Lucrecia es de 4 años. Para comprobar si la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de x obtenido en la ecuación original. 8 + (4) = = 12 Como la igualdad se cumple, la ecuación está bien resuelta. 165

18 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Un camión cargado pesa 9,485 kg. Si el camión sin carga pesa 1,430 kg, cuál es el peso de la carga del camión? Como el peso total del camión con carga debe ser igual al peso del camión más el peso de la carga, se puede plantear la siguiente ecuación: 9,485 kg = 1,430 kg + x Peso total del camión con carga Peso del camión sin carga Peso de la carga 166 Para dejar sola a la incógnita x (lo que no se conoce), los 1,430 kg que se están sumando en el segundo miembro se eliminan al restarles 1,430 kg; pero para que la ecuación no se altere, se deben restar también en el primer miembro. 9,485 kg - 1,430 kg = 1,430 kg - 1,430 kg + x Al realizar las operaciones se tiene que: 8,055 kg = x Por lo que se puede afirmar que la carga del camión es de 8,055 kg. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor obtenido de x en la ecuación original. 9,485 kg = 1,430 kg + (8,055 kg) 9,485 kg = 9,485 kg Como la igualdad se comprueba, la ecuación fue bien resuelta.

19 Martín compró un automóvil a crédito, por el que va a pagar en total 87,000 pesos. Si de enganche pagó 26,280 pesos y le quedan letras de 2,530 pesos mensuales, en cuántos meses terminará de pagar su auto? Como lo que cuesta el automóvil menos el enganche debe ser igual a lo que va a pagar al mes por el número de meses, se puede plantear la siguiente ecuación: 87,000-26,280 = 2,530 M ÁLGEBRA Costo total del automóvil El enganche que dio Lo que va a pagar al mes Número de meses que va a pagar Se resuelven las operaciones de la ecuación. 60,720 = 2,530 M Se despeja la incógnita. En este caso, es el número de meses (M) en los que pagará lo que quedó a deber. Para quitar los 2,530 pesos que están multiplicando a M en el segundo miembro, se divide entre 2,530, pero para que no se altere la ecuación, el primer miembro también debe ser dividido entre 2, ,720 2,530 2,530 = M 2,530 Haciendo las operaciones se tiene: 24 = M Lo anterior indica que Martín pagará su deuda en 24 meses. Para saber si se resolvió bien la ecuación, se sustituye el valor de M (24) en la ecuación original. 87,000-26,280 = 2,530 (24) 60,720 = 60,720 La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación está bien resuelta. 167

20 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA El terreno de la casa de Matías es rectangular. Si de superficie mide 162 m 2 y uno de sus lados tiene 9 m, cuánto mide el otro lado? Planteamiento de la ecuación: Se sabe que el área de un rectángulo es el producto de sus lados. L 2 Por lo tanto, se tiene que multiplicar el lado 1 (9 m) por el lado 2 (L 2 ) y esto es igual al área del terreno. La ecuación queda como la siguiente: 9 m L 2 = 162 m 2 9 m Lado uno Lado dos Área del terreno Para despejar L 2 (la incógnita), se dividen los dos miembros entre L 2 = 162 m L 2 = 18 m Se obtiene que el otro lado del terreno de la casa de Matías mide 18 m. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de L 2 obtenido en la ecuación original. 9 m L 2 = 162 m 2 9 m 18 m = 162 m m 2 = 162 m 2 Como la igualdad se comprueba, la ecuación está bien resuelta.

21 ÁLGEBRA Si al número 12 se le agrega 3 veces un número y el resultado es el número 24, cuál es el número que se agregó? Planteamiento de la ecuación: Número inicial que se tiene Resultado 12 + ( 3 x ) = 24 Número que se agrega 3 veces Para quitar los 12 que están sumando, se restan 12 en ambos miembros (3x) = x = 12 Para dejar sola a la x, se dividen ambos miembros entre 3. 3 x = 3 x = El número buscado es 4. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el 4 en la ecuación original x = (4) = = 24 La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación fue bien resuelta. 169

22 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA El ancho y largo de una caja son 0.5 m y 0.8 m, respectivamente. Si su capacidad es de 0.4 m 3, cuál es la medida del fondo de la caja? Como la capacidad de un paralelepípedo es el producto de sus tres lados, se puede plantear la ecuación siguiente: Ancho Alto x = 0.4 Largo Capacidad 170 Para dejar sola a la incógnita, primero se resuelven las operaciones de la ecuación. 0.5 m 0.8 m x m = 0.4 m Se dividen ambos miembros entre 0.4 y se obtiene: Lo que indica que de fondo la caja tiene un metro. Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original x = (1) = = m x m = 0.4 m x = x = Como la igualdad se confirma, la ecuación estuvo bien resuelta.

23 Pancracio ahorra x cantidad de dinero durante un año. El banco en donde tiene su dinero le da el 11% de interés. Si se suman 228 pesos a lo que el banco le dio de interés, se obtienen 580 pesos. Cuánto ahorró Pancracio? Considerando que el 11% equivale a 0.11 de la cantidad ahorrada, ahora se plantea la ecuación: ÁLGEBRA 11% Total de interés (0.11 x) = 580 Lo que ahorró Lo que aumentó Para despejar la incógnita, primero, se restan 228 en ambos miembros. (0.11x) = (0.11x) = 352 Después, se dividen los dos miembros entre (0.11x) (0.11) = x = 3, Con lo anterior se sabe que la cantidad que ahorró Pancracio fue de 3,200 pesos. Para comprobarlo, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original. (0.11) (x) = 580 (0.11) (3,200) = = = 580 Demostrando la igualdad de la ecuación se confirma que estuvo bien resuelta. 171

24 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Si a la mitad de un número se le restan 4 y se obtiene 26, cuál es el número que fue dividido a la mitad? Planteamiento de la ecuación: x ( ) - 4 = 26 2 Para despejar la incógnita, se suman 4 en los dos miembros de la ecuación. x ( ) = x = 30 2 Y para conocer el valor de x, se multiplica por 2 a los dos miembros. 2x 2 x = 60 = 2 30 Con lo que el número buscado es 60; para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye este número en la ecuación original. 60 ( ) - 4 = = 26 Problemas 26 = 26 Se comprueba la igualdad, por lo que la ecuación fue bien resuelta. 1. Si al número 5 se le agrega 3 veces un número y su resultado es el número 20, cuál es el número agregado? 2. Una persona ahorra durante un año una cantidad, por lo que recibe el 14% de interés. Si agrega a lo que recibió de intereses 500 pesos y obtiene 1,200 pesos, cuánto había ahorrado en un año? 3. Se tiene una caja de base rectangular que mide 0.4 m por 0.8 m. Si el volumen de la caja es m 3, cuál será su altura? 172

25 ÁLGEBRA 4. Amaro va a comprar un automóvil a crédito, el que con todo e interés cuesta 72,000 pesos. Si Amaro va a pagar 2,000 pesos durante 12 meses, cuánto debe dar de enganche? 5. Qué edad tiene el hijo de Zacarías si éste dentro de 45 años tendrá el triple que ahora? 6. Cuál es el diámetro (D) de un círculo si su perímetro es de 6.28 m? Recuerde que: Perímetro = p x D y p= Si un triángulo tiene de área 30 m 2 y de base 20 m, cuál será su altura? Recuerde que el área de un triángulo se puede obtener por medio de b x h la fórmula A= ; en la que A = área, b = base y h = altura En la tienda de Rodrigo se obtuvieron en este año 85,450 pesos de ganancias, lo que significó el 28% más de lo que obtuvieron el año pasado. Cuáles fueron las ganancias en la tienda de Rodrigo el año pasado? Recuerde que el 28% de ganancias más que el año pasado se representa por el 1.28 de lo que ganó el año pasado. 173

26 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 3 Planteamiento de ecuaciones A maro tiene tres recipientes con las siguientes dimensiones. Recipiente 1 174

27 ÁLGEBRA Recipiente 2 Recipiente 3 Con qué formula, usando letras, se pueden expresar las operaciones realizadas para obtener las capacidades de los tres recipientes? Para conocer el volumen o capacidad del recipiente 1, se multiplica el lado del frente del recipiente (1.1 m) por el lado de fondo (0.9 m) por el alto (0.9 m); de lo anterior se obtiene lo siguiente: (1.1 m) (0.9 m) (0.9 m) = (0.891 m 3 ) Observe que el signo de multiplicación x (cruz) fue cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis). Además, las cantidades de cada lado se colocaron dentro de un paréntesis, lo que nos indica que la m de metros pertenece al número que acompaña. De la misma manera se puede calcular el recipiente 2: frente (0.8 m) por su fondo (0.7 m) por su alto (0.6 m). (0.8 m) (0.7 m) (0.6 m) = m 3 Recuerde que m m m = m

28 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA También en el tercer recipiente hacemos lo mismo: frente (1 m) por fondo (0.8 m) por alto (0.7 m). (1 m) (0.8 m) (0.7 m) = 0.56 m 3 Recuerde que el signo de multiplicación (x) puede ser cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis). Para conocer el volumen de los tres recipientes, se multiplicó la dimensión del frente por la del fondo y por la de la altura. Si al frente se le llama a, al fondo b y a la altura h, tendremos que el volumen (V) se obtiene de la siguiente manera. Si a los lados de los recipientes se les nombra de la siguiente manera. 176 V = a b h En esta ecuación, las letras a, b y h pueden adquirir cualquier valor del frente, fondo y alto de un recipiente. Por lo que se puede decir que esta fórmula sirve para calcular el volumen de cualquier paralelepípedo regular.

29 ÁLGEBRA A las expresiones como la anterior en donde sus componentes son letras que se suman, restan, multiplican o dividen se les llaman expresiones algebraicas y se utilizan mucho para expresar fórmulas o para indicar las operaciones que debemos seguir para obtener un resultado. s Uso Enunciado Expresión algebraica Área de un rectángulo Área = (base) x (altura) A = b h Área de un triángulo Área = (base) x (altura) 2 A = b h 2 Perímetro de un círculo Perímetro = (p) x (diámetro) P = p D (constante) p= 3.14 Volumen de un cilindro Volumen = (área de la base) x (altura) V = p r 2 h (área de la base) = p x (radio x radio) (constante) p = 3.14 Volumen de un cono Volumen = (área de la base) x 1 3 (área de la base) = p x (radio x radio) (altura) V = p r 2 h 3 (constante) p = 3.14 Presión Presión = (fuerza) (área) P = F A Velocidad Velocidad = (distancia) (tiempo) v = d t Voltaje Voltaje = (resistencia) x (corriente) V = R I 177

30 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Con el álgebra se pueden simplificar las expresiones algebraicas ya que las letras pueden tener cualquier valor. Si se conoce que el área de un rectángulo es el producto de multiplicar su base (b) por su altura (h), tenemos que: A = b h h Si a ese rectángulo le trazamos una línea diagonal y lo dividimos en dos partes, tendremos dos triángulos. b h Con lo anterior, podemos señalar que el área de un triángulo es igual a la de un rectángulo, pero dividido entre dos. Área de un rectángulo Área de un triángulo = 2 Como el área de un rectángulo es igual a multiplicar la base por la altura: A = b h se puede construir una expresión algebraica que nos indique cuál es la fórmula para obtener el área de un triángulo. b A = b h 2 178

31 ÁLGEBRA Con las expresiones algebraicas se pueden plantear ecuaciones numéricas para resolver problemas en la vida cotidiana. s Si el costo de un kilo de plátanos es w pesos, cuál será el costo total y de n kilos de plátanos? Planteamiento de la ecuación: El costo de un kilo de plátanos es igual a w. Si se adquieren n kilos de plátanos, el total y será igual a multiplicar lo que cuesta un kilo (w) por el número de kilos que se adquieran (n). Por lo que la ecuación será la siguiente: Costo de un kilo n w = y En algunas ocasiones, no se coloca el punto para indicar la multiplicación, por lo que la ecuación anterior también podría ser expresada de la siguiente manera: Número de kilos adquiridos Total n w = y Si Malena en el mercado compra n kilos de plátano y el kilo cuesta w pesos, cuánto tendrá que pagar al frutero si éste le debe 8 pesos de cambio? Planteamiento de la ecuación: n kilos de plátano por w pesos que cuesta cada kilo sería el total; pero como le deben a Malena 8 pesos, se debe restar 8 al producto de n por w. Por lo que la ecuación quedará de la siguiente manera: Número de kilos que compró Lo que le debían ( n w ) - 8 = y Lo que le cuesta un kilo Total a pagar 179

32 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Observe que para indicar que primero se multiplica el número de kilos por lo que cuesta un kilo, esto fue encerrado en un paréntesis y, luego, se le restan los 8 pesos que le deben a Malena. Si esto no se hace, puede haber confusiones, porque no se sabría si se le quitan los 8 pesos a la w, lo que es incorrecto porque no es lo mismo multiplicar n por w y al producto quitarle los 8, que quitarle 8 a w y lo que dé multiplicarlo por n. Observe qué pasa si el kilo de plátanos cuesta 4.50 pesos y Malena compra 4 kilos. Con la ecuación bien planteada: (n w) - 8 = y n = 4 kilos (lo que compró) pesos w= 4.50 (lo que cuesta el kilo) kilo y = lo que se debe pagar (4 4.50) - 8 = y (18) - 8 = y 10 = y Malena debe pagar sólo 10 pesos. Con la ecuación mal planteada: n w - 8 = y Aquí no se sabe si primero restar a w 8, o primero multiplicar n por w y, luego, restar. Observe qué pasa si primero a w se restan = y 4 (-3.50) = y -14 = y Lo que es diferente a lo que debe pagar Malena. 180

33 ÁLGEBRA Cuando en una ecuación hay varios términos con los que se hacen productos o divisiones, se agregan o restan cantidades, es muy importante señalar con paréntesis qué se multiplica o divide, qué se resta o suma. s Ernesto va a comprar n litros de pintura vinílica blanca. Como es buen cliente, en el precio de cada litro ( b pesos), le hacen un descuento del 10% (0.1 b). Cuál será la ecuación con la que puede calcular lo que debe pagar si compra diferentes cantidades de pintura de diferentes precios? Pruebe su ecuación para cuando Ernesto compra lo siguiente: a) 5 litros de pintura de a 13 pesos cada litro b) 14 litros de pintura de a 18 pesos cada litro c) 3 litros de pintura de a 7 pesos cada litro Planteamiento de la ecuación: Costo de un litro con descuento: b - (0.1 b) Costo de n litros con descuento: en donde: y = n (b - (0.1 b)) n = número de litros que va a comprar b = precio de cada litro Observe que se asignó la letra y al costo total con el descuento. Podría haber sido cualquier letra. También observe que hay un paréntesis (0.1 b) dentro de otro paréntesis (b - (0.1 b)). 181

34 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA a) Prueba de la ecuación b) Prueba de la ecuación n = 5 litros b = 13 pesos por litro y = n (b - (0.1 b)) Sustituyendo n y b en la ecuación: y = 5 (13 - (0.1 13)) Primero, se multiplica el (0.1 13) para quitar el paréntesis que está dentro del paréntesis: y = 5 (13 -(0.1 13)) y = 5 (13-1.3) Luego, se hacen las operaciones que están en el paréntesis que queda, para ser eliminado. y = Por último, se hace la multiplicación, con lo que se obtiene el resultado. y = Debe pagar pesos. n = 14 litros b = 18 pesos por litro y = n (b - (0.1 b)) Sustituyendo: y = 14 (18 - (0.1 18)) Se hacen las operaciones del paréntesis que está dentro del otro paréntesis para que sea eliminado. y = 14 (18-1.8) Se elimina el paréntesis que queda, haciendo las operaciones de los números que están en él. y = y = Debe pagar pesos. Ejercicios 1. Pruebe usted ahora la ecuación con los datos de n = 3 litros y b = 7 pesos por litro. a) y = n (b - (0.1b)) b) y = ( - (0.1 7)) c) y = 3 ( 7 - ) d) y = 3 e) y = 182

35 ÁLGEBRA La ecuación se diseñó para que Ernesto sepa cuánto pagar con descuento por su pintura: Esto se puede hacer porque los dos términos tienen b. Por lo anterior, se puede simplificar aún más nuestra ecuación, de la siguiente manera: y = (0.9 b) n Para comprobar que esta ecuación es lo mismo que la que antes se había obtenido, la probaremos con los datos: a) n = 5, b = 13 b) n = 14, b = 18 c) n = 3, b = 7 a) Sustituyendo cuando n = 5 y b = 13, se tiene: y = (0.9 b) n y = 0.9 (13 5) y = 0.9 (65) y = 58.5 Cantidad igual a la que se obtuvo con la ecuación anterior. Ejercicios y = n (b b) Pero puede ser simplificada ya que el término (b b) es igual a (0.9 b), porque: + 1 b b b 1. Ahora, usted sustituya cuando n = 14 y b = 18 a) y = (0.9 b) n b) y = 0.9 ( ) c) y = 2. Obtenga el resultado, sustituyendo en la nueva ecuación cuando los valores de n = 3 y b = 7. a) y = 183

36 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Como se puede observar, con las letras se pueden hacer operaciones, con lo que las ecuaciones algebraicas se pueden simplificar y facilitar los cálculos. En la próxima unidad, usted aprenderá a hacer operaciones con las letras y a simplificar las operaciones. Problemas 1. Si un rectángulo tiene L metros de largo y a metros de alto, cómo se puede plantear una ecuación para obtener el área? 2. El costo de un litro de pintura es w pesos. Cómo se puede expresar algebraicamente el costo y de n litros de pintura? 3. Plantee una expresión algebraica para señalar que el precio total de n ladrillos, cuyo costo unitario es p, es igual a y. 4. Cuál será la expresión algebraica que señale que el precio por metro cuadrado p es igual al precio total y entre la superficie n en m 2 del piso? 5. Considerando que n = 175, 200, 250 y 222, cuáles serán los valores de x en la siguiente ecuación? x = 2 n 184

37 ÁLGEBRA 6. Si tiene una figura como la que se muestra en el siguiente dibujo, plantee una ecuación para obtener el área o superficie de la región sombreada (A). A b 2 2 a 7. Si un cubo tiene 6 caras iguales, como se muestra en el dibujo, y cada lado de las caras se le denomina L, encuentre una fórmula para calcular la superficie de un cubo. Recuerde que la superficie de un cuadrado es: A = L x L 8. Aplicando la fórmula obtenida para calcular la superficie de un cubo, cuál será la superficie de un cubo que mide 2 m por lado? 185

38 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 9. Si la velocidad media (v m ) de un automóvil se encuentra determinada por la distancia que recorre (E) entre el tiempo utilizado (t): a) Plantee una fórmula para la velocidad media con las siguientes literales: v m = velocidad media E = espacio recorrido t = tiempo utilizado para recorrer el espacio b) Cuál será la velocidad media de un automóvil que recorre la distancia (E) de 160 km en (t) 2 h? c) Plantee otra ecuación para las siguientes literales: v x = velocidad media l = espacio recorrido x = tiempo utilizado 10. Si el volumen de una pirámide es igual al producto del área de la base por 1 de su altura, encuentre una fórmula para obtener el volumen de una 3 pirámide como la que se muestra en el dibujo. Base rectángular con lados a y b, la altura se representa por h. 186

39 ÁLGEBRA Tema 4 Términos algebraicos P ara hacer más fácil el manejo de las operaciones algebraicas, se recomienda conocer algunas definiciones para que al referirse a ellas se entienda siempre lo mismo. A continuación se presentan algunos de los términos comunes utilizados en el álgebra. Coeficiente. Es el número o letra que indica el número de veces que se va a sumar una cantidad. En 2b el número 2 es el coeficiente, indica que se debe considerar dos veces a la b. También un coeficiente puede estar representado por una letra como la n, en donde n indica que se debe considerar n veces la e. Esto se puede representar de la siguiente manera: e + e + e + e +e + e... = n(e) ( n veces la suma de la e ) 187

40 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Fórmula. Es una regla expresada por medio de símbolos que indica las operaciones que se deben efectuar para obtener ciertos resultados. A = b x a, es la fórmula para obtener el área de un rectángulo, multiplicando la base por la altura. Ecuación. Es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado de uno de sus elementos llamado incógnita. 6x = 18 Esta ecuación sólo es cierta para cuando x = 3, siendo x la incógnita. Miembros de una ecuación. Son las partes de una ecuación que se ubican a cada lado del signo de igual. Así, una ecuación siempre tiene dos miembros, al de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la derecha se le conoce como segundo miembro. Cada uno de los miembros de una ecuación puede tener uno o varios términos. 3x + 8 = 25 Primer miembro Segundo miembro Paréntesis. Es un signo de agrupación que permite indicar qué operaciones se realizan primero, o que al resultado de un conjunto de elementos se le va a aplicar el resultado de otro conjunto de elementos. (m + w) - a (m + w) En esta ecuación, a la suma de m y w se le debe restar lo que resulte de la suma de m y w multiplicado por a. 188

41 ÁLGEBRA Un producto de literales se puede escribir de cualquiera de la siguientes maneras: a x b, a b, a b, (a) (b) Sin embargo, cuando se están utilizando literales, se recomienda no utilizar el simbolo de por (x), porque se puede confundir con la letra equis (x). Variable dependiente o función. Es una cantidad que depende de las modificaciones que sufra en una ecuación otra cantidad llamada variable independiente. En la ecuación y = ax 2 - x + 4, la y está en función de x, porque si se modifica la x la y también lo hará. En esta ecuación, la y es la variable dependiente y la x es la variable independiente. Términos semejantes. Son aquellos que sólo difieren en los coeficientes y tienen las mismas literales. 2x y 13x son términos semejantes porque sólo varió el coeficiente. También lo son ax y bx porque lo que varía entre ellos es el coeficiente. Exponente. Es un numerito o cantidad que se coloca arriba y a un lado de otro número o literal que se llama base y significa el número de veces que se debe multiplicar por sí misma a la base para obtener un resultado que se llama potencia. 5 3 (cinco al cubo), el tres pequeño es el exponente y el cinco es la base. Esto significa que el cinco debe ser multiplicado por sí mismo tres veces, con lo que se obtiene el resultado o potencia (125). 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125 También se puede indicar con liteales; por ejemplo, x a en donde x es la base y a el exponente. 189

42 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Radicación. Es la operación aritmética que nos permite conocer a la base, cuando se conoce el exponente y la potencia. El número que elevado al cuadrado nos da 49 es 7, porque 49 = 7. El número que elevado al cubo nos da 125 es 5, porque 125 = 5. Grado de un término. Es la suma de los exponentes de las incógnitas o literales. l2x es de primer grado, ax 2 es de segundo grado, xy es de segundo grado (uno de la x y otro de la y ), x 2 y 3 es de quinto grado (dos de la x y tres de la y ). Grado de una expresión algebraica. Es el mismo que el del término con mayor grado. 1 La ecuación x x + 9 = 0 es de segundo grado y la ecuación 6x xy 2-45 = es de tercer grado, debido a que el grado de 12xy 2 es tres. Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Es el nombre que se da a los términos de los miembros de una ecuación de acuerdo al número de partes que están separadas por un signo de más o de menos. Así, cuando tienen un solo elemento se les dice monomios. Si tienen dos, se llaman binomios; con tres, se les conoce como trinomios y a todas las que tienen más de dos se le llama polinomios. Lo anterior se muestra en los siguientes ejemplos. s 3 Cantidad de elementos Nombre Uno Dos Tres Más de dos 2x 2x + 3y 2x + 3y - 2x 2 2x + 3y - 2z + 5w Monomio Binomio Trinomio Polinomio 190

43 ÁLGEBRA La expresión 12s - 14r + 3n + 14w tiene cuatro partes y cada una de ellas es un monomio, pero si se le analiza toda junta, se dice que es un polinomio. En el caso de 3x 2-4x + 12, como se tienen tres partes será un trinomio. Ejercicios 1. Ponga usted el nombre de los términos que se presentan a continuación. a) 56x + 23y = b) 12s - 14 r + 3 n + 14 w = c) 13 x - 2 y = d) n = e) 2b = f) (2c - 3b) (3b - 2c) = g) 1 x x + 15 = h) 123x 2 = i) 7x 4-2x 2 + 9m = j) cd - 8da = 2. Observe la ecuación 3x 5-2yx 4 = 14y - 2xy y conteste las siguientes preguntas. a) Qué términos componen el miembro izquierdo de la ecuación? b) Cuál es el grado del miembro derecho de la ecuación? c) Diga si el miembro derecho de la ecuación es un monomio, binomio o trinomio. d) Cuál es el grado del término 2xy 2? e) Cuál es el exponente del término 3x 5? Binomio f) Señale qué términos son semejantes en el primero y en el segundo miembro de la ecuación. 191

44 Autoevaluación Unidad IV: Álgebra Ahora que terminó la Unidad IV, vamos a recordar los temas que ya estudió: Más o menos igual, Ecuaciones numéricas, Planteamiento de ecuaciones y Términos algebraicos. Para conocer lo que aprendió, es importante que resuelva los siguientes ejercicios; recuerde que puede utilizar todo el material que considere útil. 1. Complete las siguientes igualdades. a) 123 (7 + 7) = 1,522 + b) = c) (75-50) = (75 ) d) (240 5) = 1, Lalo acostumbra nadar 800 metros los miércoles y los viernes, 700 metros. Beto nada 900 metros los lunes y 450 metros los viernes. Cuántos metros más debe nadar Beto para igualar la cantidad que nada Lalo cada semana? 3. El martes, Marcela le cortó el cabello a 15 personas y ganó 375 pesos; Sandra ganó 425 pesos por los cortes de cabello que hizo. a) Cuánto cobraron por el corte de cabello a cada persona? b) A cuántas personas más les cortó el cabello Sandra? 192

45 4. Doña Lupe camina de su casa al correo 500 metros y del correo a la iglesia, x metros. Qué distancia hay del correo a la iglesia si doña Lupe caminó en total 1,400 metros y de regreso a su casa volvió a pasar frente al correo? 5. Rocío compró 5 cajas de 24 refrescos cada una y pagó en total 360 pesos. Qué ecuación utilizaría para saber el costo cada de refresco? a) (24x) 5 = 360 b) (24x)5 = x c) = d) (24x) + 5 = Si a un número x se le suman 7 y se divide entre 3, el resultado es 21. Cuál es la ecuación que expresa lo anterior? 21 a) x + 7 = 3 b) x + 7 = c) x + 7 = 21-3 x + 7 d) =

46 7. Cuánto mide la altura del siguiente rectángulo si el área mide 60 metros cuadrados? h Área = 60 m 2 12 m Recuerde: A = bh 8. Memo recorrió en su coche 400 km a una velocidad de 120. En cuánto tiempo h recorrió esa distancia? km Recuerde: v = d t 194

47 Hoja de respuestas Unidad IV: Álgebra Instrucciones Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad. Pregunta 1 Respuesta a) 200 c) 3 b) 15 d) 40 y 10 Nota: La respuesta de la igualdad del d) puede variar, es decir, puede ser 50 y 20, 60 y 30, 70 y 40, etcétera, lo importante es que la igualdad sea m a) 25 b) 2 cortes más que Marcela. 200 m b) (24x)5 = 360 x + 7 d) = 21 3 h = 5 m t = 3.33 h ó t = 3 h 20 min Sugerencias Si usted respondió 4 preguntas correctamente, se le sugiere que continúe estudiando la siguiente unidad. Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad para reafirmar los temas. Recuerde Una vez que haya resuelto su ejercicio, registre su avance en el cuadro al final del módulo. 195

48