Álgebra En esta unidad usted aprenderá a: Al aprender lo anterior usted podrá:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Álgebra En esta unidad usted aprenderá a: Al aprender lo anterior usted podrá:"

Transcripción

1 Álgebra IVEn Unidad IV esta unidad usted aprenderá a: Aplicar el concepto de igualdad en una ecuación. Plantear ecuaciones con una o varias incógnitas. Conocer las características de algunos cuerpos geométricos o figuras. Manejar los principales elementos del álgebra. Al aprender lo anterior usted podrá: Utilizar letras que representen datos en los problemas o los resultados. Formular ecuaciones que sirvan para resolver problemas en los que se desconoce una o varias incógnitas. Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4 Más o menos igual Ecuaciones numéricas Planteamiento de ecuaciones Términos algebraicos

2 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 1 Más o menos igual L os hijos de Lourdes se admiran que en un sube y baja los tres de un lado no le ganan a su mamá que se encuentra en el otro extremo. Si Laura, Moni y Juan pesan 19 kg, 17 kg y 16 kg, respectivamente, y su mamá, Lourdes, pesa 62 kg, por qué el lado de Lourdes (la mamá) siempre está más abajo? Para analizar porqué siempre gana Lourdes, se puede hacer un diagrama como el siguiente: Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Lourdes 62 kg 150

3 ÁLGEBRA Como se puede observar, del lado de los niños, hay 19 kg + 17 kg + 16 kg = 52 kg. Laura 19 kg Moni 17 kg Juan Lourdes 16 kg 62 kg Lado de los niños = 52 kg Lado de Lourdes = 62 kg Analicemos el lado de los niños. Ahora, el lado de Lourdes. 62 kg Para que el sube y baja quede equilibrado, el peso sumado de los tres niños que están sentados al lado izquierdo debería ser igual al de Lourdes, quien está sentada en el lado derecho. Para que lo anterior suceda, entre los tres niños deberían aumentar el peso 10 kg, porque 52 kg + 10 kg = 62 kg (peso de Lourdes). Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Piedra 10 kg Lourdes 62 kg 19 kg + 17 kg + 16 kg + 10 kg = 62 kg 62 kg 151

4 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA También podría ser que Lourdes adelgace 10 kg y con ello el sube y baja queda equilibrado. Laura 19 kg Moni 17 kg Juan 16 kg Lourdes flaca 52 kg 19 kg + 17 kg + 16 kg = 52 kg 52 kg Cuando el peso de un lado se iguala al del otro lado, el sube y baja se encuentra en equilibrio porque ambos pesos son iguales. Peso de los niños más la piedra 52 kg + 10 kg 62 kg = = = Peso de Lourdes 62 kg 62 kg También podría ser que Lourdes adelgace. Peso de los niños 52 kg 52 kg = = = Peso de Lourdes menos lo que adelgazó 62 kg - 10 kg 52 kg Cuando los niños no cargan la piedra de 10 kg o si Lourdes no adelgaza, el sube y baja estará desigual, o sea, con un lado más pesado que otro, lo que genera que el lado más pesado baje más que el ligero. Esto se expresa de la siguiente manera: 52 kg 62 kg 152 Se dice que hay una desigualdad.

5 ÁLGEBRA Cuando en los dos lados del sube y baja hay el mismo peso (62 kg ó 52 kg), se dice que hay una igualdad y se expresa de la siguiente manera. Lado izquierdo: peso de los niños + piedra = Lado derecho: peso de Lourdes 62 kg = 62 kg Lado izquierdo: peso de los niños = Lado derecho: peso de Lourdes flaca 52 kg = 52 kg En ambos casos, el sube y baja estará en equilibrio (ni sube ni baja). Para que una igualdad (62 kg = 62 kg) se mantenga como tal, si se agrega o quita algo de un lado, también se debe agregar o quitar del otro. s 40 = 40 igualdad = = 30 también es igualdad 52 = 52 igualdad = = 42 también es igualdad 153

6 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA De la misma manera, para que se conserve la igualdad, si en uno de sus lados (también llamado miembro) se multiplica o divide, también se debe multiplicar o dividir por la misma cantidad. s 52 = 52 igualdad Si se multiplica por 2, se tiene: 52 x 2 = 52 x = 104 también es igualdad 52 = 52 igualdad Si se divide entre 2, se tiene: 52 2 = = 26 también es igualdad Observe que para que una igualdad se conserve como tal, lo que se agregue o se quite en un miembro se debe agregar o quitar en el otro. s 25 = 25 igualdad 25 + (5 x 3) = 25 + ( ) 25 + (15) = 25 + (15) 40 = = 18 igualdad ( ) = 18 - (3 x 1) = =

7 ÁLGEBRA Ejercicios 1. Coloque usted el número que falta para que las siguientes igualdades se mantengan como tales. a) = 52 + i) 15 = 5 + (2 x ) b) 14 - (4 + 3) = j) = 8 c) 18 + (11) = k) 16 = 8 x d) (6 x 2) + = l) 12 = x 0.5 e) 13 + (3 + ) = m) = 12-4 f) 16 - ( x 3) = 16-6 n) = 8 g) 16 - ( x 3) = o) = 5 x 2 h) 8 = 4 + ( ) 155

8 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 2 Ecuaciones numéricas L as igualdades también se llaman ecuaciones; siempre están compuestas de dos lados o miembros y entre ambos existe un signo de igualdad. Elementos del primer miembro Signo de igualdad Elementos del segundo miembro 3 x 6 = Primer miembro Segundo miembro ( 6 2 ) x 3 = ( 3 x 3 ) 1 Primer miembro Segundo miembro 156 A los elementos que componen un miembro, se les llama términos. Cuando no se conoce uno de los términos o elementos de los miembros de una ecuación, a éste se le conoce como incógnita y se puede representar por una letra (por ejemplo, la x ).

9 ÁLGEBRA Recuerde que para que la x no se confunda con el signo de multiplicación (x) en lugar de éste se usa un punto o se ponen las cantidades entre paréntesis. 3 x 6 = x En esta igualdad hay una incógnita, la que representamos como x. Para conocer una incógnita x, se recomienda realizar primero todas las operaciones posibles en la ecuación para hacerla lo más simple posible. Observe cómo se puede obtener el valor de x en la ecuación anterior. Para que el signo de multiplicación (x) no se confunda con la incógnita, se usará a partir de ahora un punto ( ) o paréntesis como signo de multiplicar. Cuánto vale x? 3 6 = x (3) (6) = x 18 = 16 + x Para dejar sola a la x en el segundo miembro de la ecuación, debo quitarle (restar) 16, porque al valor de la x se le está sumando 16. segundo término: 16 + x - 16 Como resté 16 en el segundo miembro, para que se conserve la igualdad, también debo restar en el primero: = 16 + x - 16 Vuelvo a realizar las operaciones: = x 2 = 0 + x 2 = x Por lo tanto, la incógnita x es igual a

10 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA No olvide que para conservar una igualdad, lo que suma o resta en un miembro de la ecuación lo debe sumar o restar en el otro. Cuál es el valor de la incógnita en la siguiente ecuación? Ecuación original: = x Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación = x 35 = 25 + x Paso 2 Se deja sola a la incógnita. En este caso, para que quede sola, hay que restarle 25 en el 2º miembro y para que la igualdad se mantenga, también se deben restar en el primer miembro = 25 + x - 25 Paso 3 Se vuelve a simplificar la ecuación al máximo = x 10 = 0 + x 10 = x El valor de x es igual a Para comprobar que no hay equivocaciones, podemos poner el valor de x, que obtuvimos, en la ecuación original. Ecuación original: = x Se sustituye a la x (la incógnita) por el valor que se encontró (10) = (10) Se resuelven las operaciones indicadas. 35 = 35 Se comprueba que, cuando x tiene el valor de 10, la ecuación se satisface.

11 ÁLGEBRA Ecuación original 15 - (3 2) = 3 x Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean factibles (3 2) = 3 x 15-6 = 3 x 9 = 3 x Paso 2 Se deja sola a la incógnita. Esto se llama despejar a la incógnita. 9 = 3 x En este caso, para despejar a la incógnita, se debe dividir al segundo miembro entre tres, y para que la igualdad se mantenga, también el primer miembro se debe dividir entre tres. Paso 3 Se resuelven las operaciones para obtener el valor de la incógnita = x = x 3 Recuerde que cualquier número multiplicado por 1 resulta el número original. 3 = 1 x 3 = x Observe que no es necesario poner el número 1 antes de una letra. El valor de x es 3. Para comprobar si el valor obtenido de la incógnita es adecuado, se sustituye éste en la ecuación original (3 2) = 3 x 15 - (3 2) = 3 (3) 15-6 = 9 9 = 9 La igualdad se comprueba, por lo que la solución es adecuada. 159

12 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ecuación original: (20-4) = x 2 Paso 1 Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean posibles. (Primero se resuelven las operaciones de los números que están dentro del paréntesis.) (20-4) = = + 2 = x 2 x 2 x 2 Paso 2 Dejar sola a la incógnita. En este caso, como la x está dividida entre 2, para que quede sola ésta se debe multiplicar por dos. Y para que la igualdad no se altere, se debe también multiplicar al primer miembro por dos. 2 2 = x 2 2 Paso 3 Se ejecutan las operaciones. 2 2 = 4 = x 1 4 = x x El valor de x en la ecuación es 4 ó, lo que es lo mismo, la ecuación se resuelve cuando x tiene el valor de 4. Para comprobar que lo anterior es verdadero, se sustituye el valor obtenido en lugar de la incógnita y se realizan las operaciones (20-4) = = 2 2 = 2 Se cumple la igualdad.

13 ÁLGEBRA Ecuación original: 5 - (x - 1) = 10 Paso 1 Se resuelve en lo posible la ecuación, ejecutando las operaciones. 5 - (x - 1) = 10 Observe que para ejecutar las operaciones, es necesario quitar el paréntesis que está precedido por un signo negativo, lo que significa que cada uno de los signos de los componentes del paréntesis deben ser multiplicados por (-). Como la x no tiene un signo escrito quiere decir que tiene signo positivo (+) y como (-) por (+) da menos, entonces, al eliminar el paréntesis, la x queda con signo negativo. Aún falta sacar del paréntesis al -1; como el signo que está fuera del paréntesis es (-) y el del 1 es también (-), entonces (-) por (-) es igual a (+) por lo que el uno tendrá signo positivo. 5 - x + 1 = 10 - x + 6 = 10 Paso 2 Se despeja la x. Para ello se resta el 6 en los dos miembros de la ecuación, quedando así: x = x = 4 Paso 3 Se realizan las operaciones. Como la x tiene signo (-), la ecuación no se altera si multiplicamos los dos miembros por (-1), quedando así: Para comprobar que la ecuación se resuelve bien con el valor obtenido, se puede sustituir al -4 en lugar de la x en la ecuación original. 5 - (-4-1) = 10 (-x) (-1) = 4 (-1) como (-) (-) = + y (+) (-) = - tendremos x = ( -5 ) = = 10 Lo cual indica que está bien resuelto. 161

14 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Ejercicios 1. Obtenga el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones. a) 13 - (8 + 2) = 2 + x 48 x e) 18 - ( ) = 6 2 b) 18 + ( ) = 30 - x f) 6 ( ) = 4 2 x c) 14 + (2 x 3) = 10 x g) (22) = 15 - x h) 8 - (x - 2) = 20 d) x + 6 = 20 Las ecuaciones sirven para plantear las soluciones a problemas en los que falta un dato, como se observa a continuación. Marcela compró 5 tazas. Si por ellas pagó 25 pesos, cuánto costó cada taza? Paso 1 Se hace el planteamiento de la ecuación original. Se multiplica el número de tazas (5) por lo que cuesta cada taza (x pesos), y esto es igual a 25 pesos. 5 x pesos = 25 pesos Paso 2 Se simplifica al máximo la ecuación. En este caso, la ecuación está simplificada ya que todas las operaciones ya fueron ejecutadas. 5 x pesos = 25 pesos 162 Tratar de dejar sólo una taza (que es el valor que se busca); para esto, se deben de dividir entre 5 a los dos miembros de la ecuación. 5 x pesos 25 pesos = 5 5 Paso Se ejecutan las operaciones, y se tiene que: = 1 y = x pesos = pesos 1 x pesos = 5 pesos x = Lo que significa que cada taza tiene un valor de 5 pesos.

15 ÁLGEBRA La señora Olivia cobró a un cliente 27 pesos por 5 litros de leche y una barra de mantequilla que vale 3 pesos. Cuánto cuesta cada litro de leche? Lo que le cobró Lo que cuesta un litro de leche 27 = (5 x) litros de leche 3 pesos de una barra de mantequilla Observe que ya no se puso el punto para indicar (5 x). Es importante saber que aun cuando se acepta escribir 5x + 3, en este ejemplo se puso un paréntesis al (5x) para evitar la confusión de si primero se le suma a la x el 3 y luego se multiplica por 5. Lo que es incorrecto, ya que algebraicamente eso se escribiría así: 5 (x+3). Se deja sola a la x. Para quitar el +3, se restan 3 en los dos miembros = (5x) = 5x Luego, para quitar el 5 que está multiplicando a la x, se divide entre 5 a los dos miembros. 24 5x = = 1x De acuerdo a lo anterior, cada litro de leche (x) cuesta 4.80 pesos. Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor de x = 4.80 en la ecuación original. 27 = 5x = (5 4.80) + 3 (Aquí se usó el punto para evitar confusión.) 27 = = 27 Se cumple la igualdad, por lo que la ecuación numérica fue bien resuelta. 163

16 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Humberto vendió 4 toneladas de maíz; después de haber pagado 100 pesos de impuestos, le quedarón 2,500 pesos. En cuánto vendió cada tonelada de maíz? 2,500 = (4x) Lo que cobró 4 por el costo de cada tonelada de maíz Impuestos que pagó Para resolver la ecuación, se deja sola a la x (la que no se conoce). Para eliminar el -100 en el segundo miembro, se suman 100 en los dos miembros. 2, = 4 x Se ejecutan las operaciones y nos queda: 2,600 = 4 x 164 Para quitar el 4 que está multiplicando a la x, se dividen los dos miembros entre 4. 2,600 4 = 650 = x 4x 4 Con lo que se dice que cada tonelada de maíz fue vendida en 650 pesos. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de la x obtenido en la ecuación original. 2,500 = 4 (650) ,500 = 2, ,500 = 2,500 Recuerde que todo número dividido entre sí mismo da la unidad. Como se cumple la igualdad, la ecuación fue bien planteada y resuelta.

17 ÁLGEBRA Lucrecia tiene 2 hijos. La suma de sus edades es 12 años. Si el más grande tiene 8 años, cuántos años tendrá el menor? Planteamiento de la ecuación: La suma de las edades es 12 y uno de los dos hijos tiene 8 años. 8 años + x años = 12 años Edad del hijo mayor Edad desconocida Suma de las dos edades Se despeja a la x (edad desconocida); para ello se debe eliminar al 8 que tiene signo positivo, lo que se logra restando 8 en ambos miembros x = 12-8 x = 4 Lo que nos indica que la edad del hijo pequeño de Lucrecia es de 4 años. Para comprobar si la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de x obtenido en la ecuación original. 8 + (4) = = 12 Como la igualdad se cumple, la ecuación está bien resuelta. 165

18 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Un camión cargado pesa 9,485 kg. Si el camión sin carga pesa 1,430 kg, cuál es el peso de la carga del camión? Como el peso total del camión con carga debe ser igual al peso del camión más el peso de la carga, se puede plantear la siguiente ecuación: 9,485 kg = 1,430 kg + x Peso total del camión con carga Peso del camión sin carga Peso de la carga 166 Para dejar sola a la incógnita x (lo que no se conoce), los 1,430 kg que se están sumando en el segundo miembro se eliminan al restarles 1,430 kg; pero para que la ecuación no se altere, se deben restar también en el primer miembro. 9,485 kg - 1,430 kg = 1,430 kg - 1,430 kg + x Al realizar las operaciones se tiene que: 8,055 kg = x Por lo que se puede afirmar que la carga del camión es de 8,055 kg. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor obtenido de x en la ecuación original. 9,485 kg = 1,430 kg + (8,055 kg) 9,485 kg = 9,485 kg Como la igualdad se comprueba, la ecuación fue bien resuelta.

19 Martín compró un automóvil a crédito, por el que va a pagar en total 87,000 pesos. Si de enganche pagó 26,280 pesos y le quedan letras de 2,530 pesos mensuales, en cuántos meses terminará de pagar su auto? Como lo que cuesta el automóvil menos el enganche debe ser igual a lo que va a pagar al mes por el número de meses, se puede plantear la siguiente ecuación: 87,000-26,280 = 2,530 M ÁLGEBRA Costo total del automóvil El enganche que dio Lo que va a pagar al mes Número de meses que va a pagar Se resuelven las operaciones de la ecuación. 60,720 = 2,530 M Se despeja la incógnita. En este caso, es el número de meses (M) en los que pagará lo que quedó a deber. Para quitar los 2,530 pesos que están multiplicando a M en el segundo miembro, se divide entre 2,530, pero para que no se altere la ecuación, el primer miembro también debe ser dividido entre 2, ,720 2,530 2,530 = M 2,530 Haciendo las operaciones se tiene: 24 = M Lo anterior indica que Martín pagará su deuda en 24 meses. Para saber si se resolvió bien la ecuación, se sustituye el valor de M (24) en la ecuación original. 87,000-26,280 = 2,530 (24) 60,720 = 60,720 La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación está bien resuelta. 167

20 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA El terreno de la casa de Matías es rectangular. Si de superficie mide 162 m 2 y uno de sus lados tiene 9 m, cuánto mide el otro lado? Planteamiento de la ecuación: Se sabe que el área de un rectángulo es el producto de sus lados. L 2 Por lo tanto, se tiene que multiplicar el lado 1 (9 m) por el lado 2 (L 2 ) y esto es igual al área del terreno. La ecuación queda como la siguiente: 9 m L 2 = 162 m 2 9 m Lado uno Lado dos Área del terreno Para despejar L 2 (la incógnita), se dividen los dos miembros entre L 2 = 162 m L 2 = 18 m Se obtiene que el otro lado del terreno de la casa de Matías mide 18 m. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de L 2 obtenido en la ecuación original. 9 m L 2 = 162 m 2 9 m 18 m = 162 m m 2 = 162 m 2 Como la igualdad se comprueba, la ecuación está bien resuelta.

21 ÁLGEBRA Si al número 12 se le agrega 3 veces un número y el resultado es el número 24, cuál es el número que se agregó? Planteamiento de la ecuación: Número inicial que se tiene Resultado 12 + ( 3 x ) = 24 Número que se agrega 3 veces Para quitar los 12 que están sumando, se restan 12 en ambos miembros (3x) = x = 12 Para dejar sola a la x, se dividen ambos miembros entre 3. 3 x = 3 x = El número buscado es 4. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el 4 en la ecuación original x = (4) = = 24 La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación fue bien resuelta. 169

22 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA El ancho y largo de una caja son 0.5 m y 0.8 m, respectivamente. Si su capacidad es de 0.4 m 3, cuál es la medida del fondo de la caja? Como la capacidad de un paralelepípedo es el producto de sus tres lados, se puede plantear la ecuación siguiente: Ancho Alto x = 0.4 Largo Capacidad 170 Para dejar sola a la incógnita, primero se resuelven las operaciones de la ecuación. 0.5 m 0.8 m x m = 0.4 m Se dividen ambos miembros entre 0.4 y se obtiene: Lo que indica que de fondo la caja tiene un metro. Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original x = (1) = = m x m = 0.4 m x = x = Como la igualdad se confirma, la ecuación estuvo bien resuelta.

23 Pancracio ahorra x cantidad de dinero durante un año. El banco en donde tiene su dinero le da el 11% de interés. Si se suman 228 pesos a lo que el banco le dio de interés, se obtienen 580 pesos. Cuánto ahorró Pancracio? Considerando que el 11% equivale a 0.11 de la cantidad ahorrada, ahora se plantea la ecuación: ÁLGEBRA 11% Total de interés (0.11 x) = 580 Lo que ahorró Lo que aumentó Para despejar la incógnita, primero, se restan 228 en ambos miembros. (0.11x) = (0.11x) = 352 Después, se dividen los dos miembros entre (0.11x) (0.11) = x = 3, Con lo anterior se sabe que la cantidad que ahorró Pancracio fue de 3,200 pesos. Para comprobarlo, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original. (0.11) (x) = 580 (0.11) (3,200) = = = 580 Demostrando la igualdad de la ecuación se confirma que estuvo bien resuelta. 171

24 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Si a la mitad de un número se le restan 4 y se obtiene 26, cuál es el número que fue dividido a la mitad? Planteamiento de la ecuación: x ( ) - 4 = 26 2 Para despejar la incógnita, se suman 4 en los dos miembros de la ecuación. x ( ) = x = 30 2 Y para conocer el valor de x, se multiplica por 2 a los dos miembros. 2x 2 x = 60 = 2 30 Con lo que el número buscado es 60; para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye este número en la ecuación original. 60 ( ) - 4 = = 26 Problemas 26 = 26 Se comprueba la igualdad, por lo que la ecuación fue bien resuelta. 1. Si al número 5 se le agrega 3 veces un número y su resultado es el número 20, cuál es el número agregado? 2. Una persona ahorra durante un año una cantidad, por lo que recibe el 14% de interés. Si agrega a lo que recibió de intereses 500 pesos y obtiene 1,200 pesos, cuánto había ahorrado en un año? 3. Se tiene una caja de base rectangular que mide 0.4 m por 0.8 m. Si el volumen de la caja es m 3, cuál será su altura? 172

25 ÁLGEBRA 4. Amaro va a comprar un automóvil a crédito, el que con todo e interés cuesta 72,000 pesos. Si Amaro va a pagar 2,000 pesos durante 12 meses, cuánto debe dar de enganche? 5. Qué edad tiene el hijo de Zacarías si éste dentro de 45 años tendrá el triple que ahora? 6. Cuál es el diámetro (D) de un círculo si su perímetro es de 6.28 m? Recuerde que: Perímetro = p x D y p= Si un triángulo tiene de área 30 m 2 y de base 20 m, cuál será su altura? Recuerde que el área de un triángulo se puede obtener por medio de b x h la fórmula A= ; en la que A = área, b = base y h = altura En la tienda de Rodrigo se obtuvieron en este año 85,450 pesos de ganancias, lo que significó el 28% más de lo que obtuvieron el año pasado. Cuáles fueron las ganancias en la tienda de Rodrigo el año pasado? Recuerde que el 28% de ganancias más que el año pasado se representa por el 1.28 de lo que ganó el año pasado. 173

26 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Tema 3 Planteamiento de ecuaciones A maro tiene tres recipientes con las siguientes dimensiones. Recipiente 1 174

27 ÁLGEBRA Recipiente 2 Recipiente 3 Con qué formula, usando letras, se pueden expresar las operaciones realizadas para obtener las capacidades de los tres recipientes? Para conocer el volumen o capacidad del recipiente 1, se multiplica el lado del frente del recipiente (1.1 m) por el lado de fondo (0.9 m) por el alto (0.9 m); de lo anterior se obtiene lo siguiente: (1.1 m) (0.9 m) (0.9 m) = (0.891 m 3 ) Observe que el signo de multiplicación x (cruz) fue cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis). Además, las cantidades de cada lado se colocaron dentro de un paréntesis, lo que nos indica que la m de metros pertenece al número que acompaña. De la misma manera se puede calcular el recipiente 2: frente (0.8 m) por su fondo (0.7 m) por su alto (0.6 m). (0.8 m) (0.7 m) (0.6 m) = m 3 Recuerde que m m m = m

28 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA También en el tercer recipiente hacemos lo mismo: frente (1 m) por fondo (0.8 m) por alto (0.7 m). (1 m) (0.8 m) (0.7 m) = 0.56 m 3 Recuerde que el signo de multiplicación (x) puede ser cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis). Para conocer el volumen de los tres recipientes, se multiplicó la dimensión del frente por la del fondo y por la de la altura. Si al frente se le llama a, al fondo b y a la altura h, tendremos que el volumen (V) se obtiene de la siguiente manera. Si a los lados de los recipientes se les nombra de la siguiente manera. 176 V = a b h En esta ecuación, las letras a, b y h pueden adquirir cualquier valor del frente, fondo y alto de un recipiente. Por lo que se puede decir que esta fórmula sirve para calcular el volumen de cualquier paralelepípedo regular.

29 ÁLGEBRA A las expresiones como la anterior en donde sus componentes son letras que se suman, restan, multiplican o dividen se les llaman expresiones algebraicas y se utilizan mucho para expresar fórmulas o para indicar las operaciones que debemos seguir para obtener un resultado. s Uso Enunciado Expresión algebraica Área de un rectángulo Área = (base) x (altura) A = b h Área de un triángulo Área = (base) x (altura) 2 A = b h 2 Perímetro de un círculo Perímetro = (p) x (diámetro) P = p D (constante) p= 3.14 Volumen de un cilindro Volumen = (área de la base) x (altura) V = p r 2 h (área de la base) = p x (radio x radio) (constante) p = 3.14 Volumen de un cono Volumen = (área de la base) x 1 3 (área de la base) = p x (radio x radio) (altura) V = p r 2 h 3 (constante) p = 3.14 Presión Presión = (fuerza) (área) P = F A Velocidad Velocidad = (distancia) (tiempo) v = d t Voltaje Voltaje = (resistencia) x (corriente) V = R I 177

30 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Con el álgebra se pueden simplificar las expresiones algebraicas ya que las letras pueden tener cualquier valor. Si se conoce que el área de un rectángulo es el producto de multiplicar su base (b) por su altura (h), tenemos que: A = b h h Si a ese rectángulo le trazamos una línea diagonal y lo dividimos en dos partes, tendremos dos triángulos. b h Con lo anterior, podemos señalar que el área de un triángulo es igual a la de un rectángulo, pero dividido entre dos. Área de un rectángulo Área de un triángulo = 2 Como el área de un rectángulo es igual a multiplicar la base por la altura: A = b h se puede construir una expresión algebraica que nos indique cuál es la fórmula para obtener el área de un triángulo. b A = b h 2 178

31 ÁLGEBRA Con las expresiones algebraicas se pueden plantear ecuaciones numéricas para resolver problemas en la vida cotidiana. s Si el costo de un kilo de plátanos es w pesos, cuál será el costo total y de n kilos de plátanos? Planteamiento de la ecuación: El costo de un kilo de plátanos es igual a w. Si se adquieren n kilos de plátanos, el total y será igual a multiplicar lo que cuesta un kilo (w) por el número de kilos que se adquieran (n). Por lo que la ecuación será la siguiente: Costo de un kilo n w = y En algunas ocasiones, no se coloca el punto para indicar la multiplicación, por lo que la ecuación anterior también podría ser expresada de la siguiente manera: Número de kilos adquiridos Total n w = y Si Malena en el mercado compra n kilos de plátano y el kilo cuesta w pesos, cuánto tendrá que pagar al frutero si éste le debe 8 pesos de cambio? Planteamiento de la ecuación: n kilos de plátano por w pesos que cuesta cada kilo sería el total; pero como le deben a Malena 8 pesos, se debe restar 8 al producto de n por w. Por lo que la ecuación quedará de la siguiente manera: Número de kilos que compró Lo que le debían ( n w ) - 8 = y Lo que le cuesta un kilo Total a pagar 179

32 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Observe que para indicar que primero se multiplica el número de kilos por lo que cuesta un kilo, esto fue encerrado en un paréntesis y, luego, se le restan los 8 pesos que le deben a Malena. Si esto no se hace, puede haber confusiones, porque no se sabría si se le quitan los 8 pesos a la w, lo que es incorrecto porque no es lo mismo multiplicar n por w y al producto quitarle los 8, que quitarle 8 a w y lo que dé multiplicarlo por n. Observe qué pasa si el kilo de plátanos cuesta 4.50 pesos y Malena compra 4 kilos. Con la ecuación bien planteada: (n w) - 8 = y n = 4 kilos (lo que compró) pesos w= 4.50 (lo que cuesta el kilo) kilo y = lo que se debe pagar (4 4.50) - 8 = y (18) - 8 = y 10 = y Malena debe pagar sólo 10 pesos. Con la ecuación mal planteada: n w - 8 = y Aquí no se sabe si primero restar a w 8, o primero multiplicar n por w y, luego, restar. Observe qué pasa si primero a w se restan = y 4 (-3.50) = y -14 = y Lo que es diferente a lo que debe pagar Malena. 180

33 ÁLGEBRA Cuando en una ecuación hay varios términos con los que se hacen productos o divisiones, se agregan o restan cantidades, es muy importante señalar con paréntesis qué se multiplica o divide, qué se resta o suma. s Ernesto va a comprar n litros de pintura vinílica blanca. Como es buen cliente, en el precio de cada litro ( b pesos), le hacen un descuento del 10% (0.1 b). Cuál será la ecuación con la que puede calcular lo que debe pagar si compra diferentes cantidades de pintura de diferentes precios? Pruebe su ecuación para cuando Ernesto compra lo siguiente: a) 5 litros de pintura de a 13 pesos cada litro b) 14 litros de pintura de a 18 pesos cada litro c) 3 litros de pintura de a 7 pesos cada litro Planteamiento de la ecuación: Costo de un litro con descuento: b - (0.1 b) Costo de n litros con descuento: en donde: y = n (b - (0.1 b)) n = número de litros que va a comprar b = precio de cada litro Observe que se asignó la letra y al costo total con el descuento. Podría haber sido cualquier letra. También observe que hay un paréntesis (0.1 b) dentro de otro paréntesis (b - (0.1 b)). 181

34 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA a) Prueba de la ecuación b) Prueba de la ecuación n = 5 litros b = 13 pesos por litro y = n (b - (0.1 b)) Sustituyendo n y b en la ecuación: y = 5 (13 - (0.1 13)) Primero, se multiplica el (0.1 13) para quitar el paréntesis que está dentro del paréntesis: y = 5 (13 -(0.1 13)) y = 5 (13-1.3) Luego, se hacen las operaciones que están en el paréntesis que queda, para ser eliminado. y = Por último, se hace la multiplicación, con lo que se obtiene el resultado. y = Debe pagar pesos. n = 14 litros b = 18 pesos por litro y = n (b - (0.1 b)) Sustituyendo: y = 14 (18 - (0.1 18)) Se hacen las operaciones del paréntesis que está dentro del otro paréntesis para que sea eliminado. y = 14 (18-1.8) Se elimina el paréntesis que queda, haciendo las operaciones de los números que están en él. y = y = Debe pagar pesos. Ejercicios 1. Pruebe usted ahora la ecuación con los datos de n = 3 litros y b = 7 pesos por litro. a) y = n (b - (0.1b)) b) y = ( - (0.1 7)) c) y = 3 ( 7 - ) d) y = 3 e) y = 182

35 ÁLGEBRA La ecuación se diseñó para que Ernesto sepa cuánto pagar con descuento por su pintura: Esto se puede hacer porque los dos términos tienen b. Por lo anterior, se puede simplificar aún más nuestra ecuación, de la siguiente manera: y = (0.9 b) n Para comprobar que esta ecuación es lo mismo que la que antes se había obtenido, la probaremos con los datos: a) n = 5, b = 13 b) n = 14, b = 18 c) n = 3, b = 7 a) Sustituyendo cuando n = 5 y b = 13, se tiene: y = (0.9 b) n y = 0.9 (13 5) y = 0.9 (65) y = 58.5 Cantidad igual a la que se obtuvo con la ecuación anterior. Ejercicios y = n (b b) Pero puede ser simplificada ya que el término (b b) es igual a (0.9 b), porque: + 1 b b b 1. Ahora, usted sustituya cuando n = 14 y b = 18 a) y = (0.9 b) n b) y = 0.9 ( ) c) y = 2. Obtenga el resultado, sustituyendo en la nueva ecuación cuando los valores de n = 3 y b = 7. a) y = 183

36 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Como se puede observar, con las letras se pueden hacer operaciones, con lo que las ecuaciones algebraicas se pueden simplificar y facilitar los cálculos. En la próxima unidad, usted aprenderá a hacer operaciones con las letras y a simplificar las operaciones. Problemas 1. Si un rectángulo tiene L metros de largo y a metros de alto, cómo se puede plantear una ecuación para obtener el área? 2. El costo de un litro de pintura es w pesos. Cómo se puede expresar algebraicamente el costo y de n litros de pintura? 3. Plantee una expresión algebraica para señalar que el precio total de n ladrillos, cuyo costo unitario es p, es igual a y. 4. Cuál será la expresión algebraica que señale que el precio por metro cuadrado p es igual al precio total y entre la superficie n en m 2 del piso? 5. Considerando que n = 175, 200, 250 y 222, cuáles serán los valores de x en la siguiente ecuación? x = 2 n 184

37 ÁLGEBRA 6. Si tiene una figura como la que se muestra en el siguiente dibujo, plantee una ecuación para obtener el área o superficie de la región sombreada (A). A b 2 2 a 7. Si un cubo tiene 6 caras iguales, como se muestra en el dibujo, y cada lado de las caras se le denomina L, encuentre una fórmula para calcular la superficie de un cubo. Recuerde que la superficie de un cuadrado es: A = L x L 8. Aplicando la fórmula obtenida para calcular la superficie de un cubo, cuál será la superficie de un cubo que mide 2 m por lado? 185

38 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA 9. Si la velocidad media (v m ) de un automóvil se encuentra determinada por la distancia que recorre (E) entre el tiempo utilizado (t): a) Plantee una fórmula para la velocidad media con las siguientes literales: v m = velocidad media E = espacio recorrido t = tiempo utilizado para recorrer el espacio b) Cuál será la velocidad media de un automóvil que recorre la distancia (E) de 160 km en (t) 2 h? c) Plantee otra ecuación para las siguientes literales: v x = velocidad media l = espacio recorrido x = tiempo utilizado 10. Si el volumen de una pirámide es igual al producto del área de la base por 1 de su altura, encuentre una fórmula para obtener el volumen de una 3 pirámide como la que se muestra en el dibujo. Base rectángular con lados a y b, la altura se representa por h. 186

39 ÁLGEBRA Tema 4 Términos algebraicos P ara hacer más fácil el manejo de las operaciones algebraicas, se recomienda conocer algunas definiciones para que al referirse a ellas se entienda siempre lo mismo. A continuación se presentan algunos de los términos comunes utilizados en el álgebra. Coeficiente. Es el número o letra que indica el número de veces que se va a sumar una cantidad. En 2b el número 2 es el coeficiente, indica que se debe considerar dos veces a la b. También un coeficiente puede estar representado por una letra como la n, en donde n indica que se debe considerar n veces la e. Esto se puede representar de la siguiente manera: e + e + e + e +e + e... = n(e) ( n veces la suma de la e ) 187

40 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Fórmula. Es una regla expresada por medio de símbolos que indica las operaciones que se deben efectuar para obtener ciertos resultados. A = b x a, es la fórmula para obtener el área de un rectángulo, multiplicando la base por la altura. Ecuación. Es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado de uno de sus elementos llamado incógnita. 6x = 18 Esta ecuación sólo es cierta para cuando x = 3, siendo x la incógnita. Miembros de una ecuación. Son las partes de una ecuación que se ubican a cada lado del signo de igual. Así, una ecuación siempre tiene dos miembros, al de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la derecha se le conoce como segundo miembro. Cada uno de los miembros de una ecuación puede tener uno o varios términos. 3x + 8 = 25 Primer miembro Segundo miembro Paréntesis. Es un signo de agrupación que permite indicar qué operaciones se realizan primero, o que al resultado de un conjunto de elementos se le va a aplicar el resultado de otro conjunto de elementos. (m + w) - a (m + w) En esta ecuación, a la suma de m y w se le debe restar lo que resulte de la suma de m y w multiplicado por a. 188

41 ÁLGEBRA Un producto de literales se puede escribir de cualquiera de la siguientes maneras: a x b, a b, a b, (a) (b) Sin embargo, cuando se están utilizando literales, se recomienda no utilizar el simbolo de por (x), porque se puede confundir con la letra equis (x). Variable dependiente o función. Es una cantidad que depende de las modificaciones que sufra en una ecuación otra cantidad llamada variable independiente. En la ecuación y = ax 2 - x + 4, la y está en función de x, porque si se modifica la x la y también lo hará. En esta ecuación, la y es la variable dependiente y la x es la variable independiente. Términos semejantes. Son aquellos que sólo difieren en los coeficientes y tienen las mismas literales. 2x y 13x son términos semejantes porque sólo varió el coeficiente. También lo son ax y bx porque lo que varía entre ellos es el coeficiente. Exponente. Es un numerito o cantidad que se coloca arriba y a un lado de otro número o literal que se llama base y significa el número de veces que se debe multiplicar por sí misma a la base para obtener un resultado que se llama potencia. 5 3 (cinco al cubo), el tres pequeño es el exponente y el cinco es la base. Esto significa que el cinco debe ser multiplicado por sí mismo tres veces, con lo que se obtiene el resultado o potencia (125). 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125 También se puede indicar con liteales; por ejemplo, x a en donde x es la base y a el exponente. 189

42 NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA Radicación. Es la operación aritmética que nos permite conocer a la base, cuando se conoce el exponente y la potencia. El número que elevado al cuadrado nos da 49 es 7, porque 49 = 7. El número que elevado al cubo nos da 125 es 5, porque 125 = 5. Grado de un término. Es la suma de los exponentes de las incógnitas o literales. l2x es de primer grado, ax 2 es de segundo grado, xy es de segundo grado (uno de la x y otro de la y ), x 2 y 3 es de quinto grado (dos de la x y tres de la y ). Grado de una expresión algebraica. Es el mismo que el del término con mayor grado. 1 La ecuación x x + 9 = 0 es de segundo grado y la ecuación 6x xy 2-45 = es de tercer grado, debido a que el grado de 12xy 2 es tres. Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Es el nombre que se da a los términos de los miembros de una ecuación de acuerdo al número de partes que están separadas por un signo de más o de menos. Así, cuando tienen un solo elemento se les dice monomios. Si tienen dos, se llaman binomios; con tres, se les conoce como trinomios y a todas las que tienen más de dos se le llama polinomios. Lo anterior se muestra en los siguientes ejemplos. s 3 Cantidad de elementos Nombre Uno Dos Tres Más de dos 2x 2x + 3y 2x + 3y - 2x 2 2x + 3y - 2z + 5w Monomio Binomio Trinomio Polinomio 190

43 ÁLGEBRA La expresión 12s - 14r + 3n + 14w tiene cuatro partes y cada una de ellas es un monomio, pero si se le analiza toda junta, se dice que es un polinomio. En el caso de 3x 2-4x + 12, como se tienen tres partes será un trinomio. Ejercicios 1. Ponga usted el nombre de los términos que se presentan a continuación. a) 56x + 23y = b) 12s - 14 r + 3 n + 14 w = c) 13 x - 2 y = d) n = e) 2b = f) (2c - 3b) (3b - 2c) = g) 1 x x + 15 = h) 123x 2 = i) 7x 4-2x 2 + 9m = j) cd - 8da = 2. Observe la ecuación 3x 5-2yx 4 = 14y - 2xy y conteste las siguientes preguntas. a) Qué términos componen el miembro izquierdo de la ecuación? b) Cuál es el grado del miembro derecho de la ecuación? c) Diga si el miembro derecho de la ecuación es un monomio, binomio o trinomio. d) Cuál es el grado del término 2xy 2? e) Cuál es el exponente del término 3x 5? Binomio f) Señale qué términos son semejantes en el primero y en el segundo miembro de la ecuación. 191

44 Autoevaluación Unidad IV: Álgebra Ahora que terminó la Unidad IV, vamos a recordar los temas que ya estudió: Más o menos igual, Ecuaciones numéricas, Planteamiento de ecuaciones y Términos algebraicos. Para conocer lo que aprendió, es importante que resuelva los siguientes ejercicios; recuerde que puede utilizar todo el material que considere útil. 1. Complete las siguientes igualdades. a) 123 (7 + 7) = 1,522 + b) = c) (75-50) = (75 ) d) (240 5) = 1, Lalo acostumbra nadar 800 metros los miércoles y los viernes, 700 metros. Beto nada 900 metros los lunes y 450 metros los viernes. Cuántos metros más debe nadar Beto para igualar la cantidad que nada Lalo cada semana? 3. El martes, Marcela le cortó el cabello a 15 personas y ganó 375 pesos; Sandra ganó 425 pesos por los cortes de cabello que hizo. a) Cuánto cobraron por el corte de cabello a cada persona? b) A cuántas personas más les cortó el cabello Sandra? 192

45 4. Doña Lupe camina de su casa al correo 500 metros y del correo a la iglesia, x metros. Qué distancia hay del correo a la iglesia si doña Lupe caminó en total 1,400 metros y de regreso a su casa volvió a pasar frente al correo? 5. Rocío compró 5 cajas de 24 refrescos cada una y pagó en total 360 pesos. Qué ecuación utilizaría para saber el costo cada de refresco? a) (24x) 5 = 360 b) (24x)5 = x c) = d) (24x) + 5 = Si a un número x se le suman 7 y se divide entre 3, el resultado es 21. Cuál es la ecuación que expresa lo anterior? 21 a) x + 7 = 3 b) x + 7 = c) x + 7 = 21-3 x + 7 d) =

46 7. Cuánto mide la altura del siguiente rectángulo si el área mide 60 metros cuadrados? h Área = 60 m 2 12 m Recuerde: A = bh 8. Memo recorrió en su coche 400 km a una velocidad de 120. En cuánto tiempo h recorrió esa distancia? km Recuerde: v = d t 194

47 Hoja de respuestas Unidad IV: Álgebra Instrucciones Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad. Pregunta 1 Respuesta a) 200 c) 3 b) 15 d) 40 y 10 Nota: La respuesta de la igualdad del d) puede variar, es decir, puede ser 50 y 20, 60 y 30, 70 y 40, etcétera, lo importante es que la igualdad sea m a) 25 b) 2 cortes más que Marcela. 200 m b) (24x)5 = 360 x + 7 d) = 21 3 h = 5 m t = 3.33 h ó t = 3 h 20 min Sugerencias Si usted respondió 4 preguntas correctamente, se le sugiere que continúe estudiando la siguiente unidad. Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad para reafirmar los temas. Recuerde Una vez que haya resuelto su ejercicio, registre su avance en el cuadro al final del módulo. 195

48

Unidad III. Multiplicación. En esta unidad usted aprenderá a: Construir y aplicar las tablas de multiplicar.

Unidad III. Multiplicación. En esta unidad usted aprenderá a: Construir y aplicar las tablas de multiplicar. Multiplicación Unidad III En esta unidad usted aprenderá a: Construir y aplicar las tablas de multiplicar. Aplicar la multiplicación para: Calcular el importe total de una compra de cierta cantidad de

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.

Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Recuerdas qué es? Expresión algebraica Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma Si a, b y c

Más detalles

DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR

DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR a las personas jóvenes y adultas que requieren presentar el examen de OPERACIONES AVANZADAS 1 NÚMEROS CON SIGNO. Los

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

1. HABILIDAD MATEMÁTICA

1. HABILIDAD MATEMÁTICA HABILIDAD MATEMÁTICA SUCESIONES, SERIES Y PATRONES. HABILIDAD MATEMÁTICA Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos.

EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes. a) Tres números consecutivos. b) Tres números pares consecutivos. EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. Múltiplo de 3. Número par. El cuadrado de un número más 3. Un número más 5. El triple de un número más 7. 5 3 3 3 7 4. Escribe

Más detalles

Unidad III. Perímetro, diámetro y área

Unidad III. Perímetro, diámetro y área Perímetro, diámetro y área Unidad III En esta unidad usted aprenderá a: Calcular la longitud del contorno de una figura, lo que se llama perímetro. Medir terrenos y planos. Calcular la cantidad de material

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas

MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas MANEJO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Al finalizar el capítulo el alumno manejará expresiones algebraicas para la solución de problemas 34 Reforma académica 003 MAPA CURRICULAR Matemáticas I Aritmética y Álgebra

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS OBJETIVOS: 1.- Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y literales. 2.- Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos. 3.- Reducir y evaluar expresiones

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. Página 9 PRACTICA Sistemas lineales Comprueba si el par (, ) es solución de alguno de los siguientes sistemas: x + y 5 a) x y x y 5 x + y 8 El par (, ) es solución de un sistema si al sustituir x

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Unidad IX. Razones y proporciones

Unidad IX. Razones y proporciones Razones y proporciones Unidad IX En esta unidad usted aprenderá a: Establecer la relación que existe entre dos cantidades para calcular los ingredientes en comida, postres, bebidas o actividades del hogar.

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA. EJERCICIOS DE REPASO MATEMÁTICAS.- º ESO ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.. Sergio trabaja horas todas las semanas

Más detalles

DESIGUALDADES página 1

DESIGUALDADES página 1 DESIGUALDADES página 1 1.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Una igualdad en Álgebra es aquella relación que establece equivalencia entre dos entes matemáticos. Es una afirmación, a través del signo =, de que dos

Más detalles

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133 PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 =

Más detalles

3º ESO. matemáticas IES Montevil tema 9: lenguaje algebraico, ecuaciones y sistemas curso 2010/2011

3º ESO. matemáticas IES Montevil tema 9: lenguaje algebraico, ecuaciones y sistemas curso 2010/2011 1. Escribe utilizando el lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones El doble de un La mitad de un La décima parte de un Un más su cuarta parte El triple de un más el doble de otro La quinta parte

Más detalles

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

(a+b) (a b)=a 2 b 2 OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Cuando aparecen varias incógnitas en un problema, resulta más sencillo resolverlo planteando más de una ecuación con más de una incógnita. Un sistema de ecuaciones es un conjunto

Más detalles

Resolución de ecuaciones lineales. En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

Resolución de ecuaciones lineales. En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: Resolución de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. Si un paréntesis tiene el signo menos delante,

Más detalles

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es.

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: REGLA DE TRES CON BASE UNITARIA Año escolar: MATEMATICA 1 Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

Más detalles

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ REFUERZO MATEMÁTICAS º ESO CURSO: 009/010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS... POTENCIAS... 6 FRACCIONES... 8 FRACCIONES EQUIVALENTES... 8 SUMA DE FRACCIONES... 9 PRODUCTO

Más detalles

Operatoria algebraica

Operatoria algebraica Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico

Más detalles

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111 página 112 ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS CONCEPTO Se dijo en la página 79 que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas se tengan para que

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

Lenguaje Algebraico Ing. Gerardo Sarmiento

Lenguaje Algebraico Ing. Gerardo Sarmiento Agosto 2009 Unidad 1 LENGUAJE ALGEBRAICO 1.1.1 DEFINICION DE ALGEBRA 1.1.2 SIMBOLOS Y LENGUAJE 1.1.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Lenguaje Común y Lenguaje Algebráico 1.1.4 NOTACION ALGEBRAICA Elementos de

Más detalles

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh 6 Ecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer situaciones que pueden resolverse con ecuaciones Traducir al lenguaje matemático enunciados del lenguaje ordinario. Conocer los elementos

Más detalles

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul del dibujo de la izquierda? b) Tienen algún punto en común las rectas de la

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

5 Expresiones algebraicas

5 Expresiones algebraicas 8948 _ 04-008.qxd /9/07 :0 Página 9 Expresiones algebraicas INTRODUCCIÓN RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguaje algebraico sirve para expresar situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando letras

Más detalles

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas 5 Expresiones algebraicas Objetivos Crear expresiones algebraicas a partir de un enunciado. Hallar el valor numérico de una expresión algebraica. Clasificar una expresión algebraica como monomio, binomio,...

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

ALUMNOS DE CUARTO DE ESO CON MATEMÁTICAS DE TERCERO PENDIENTES

ALUMNOS DE CUARTO DE ESO CON MATEMÁTICAS DE TERCERO PENDIENTES ALUMNOS DE CUARTO DE ESO CON MATEMÁTICAS DE TERCERO PENDIENTES La materia se estructurará en dos partes. Los alumnos que tengan en la primera evaluación menos de un cuatro deberán hacer el martes de Febrero

Más detalles

PAUTA ACTIVIDADES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y BALANZAS

PAUTA ACTIVIDADES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y BALANZAS PAUTA ACTIVIDADES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y BALANZAS Ejercicio 1: Observa la siguiente imagen que muestra una balanza desequilibrada. En esta balanza, cada cilindro pesa 10 kg y cada

Más detalles

Unidad I. Los porcentajes. Al estudiar esta unidad usted aprenderá a calcular: El tanto por ciento Los descuentos Los intereses

Unidad I. Los porcentajes. Al estudiar esta unidad usted aprenderá a calcular: El tanto por ciento Los descuentos Los intereses Los porcentajes Unidad I Al estudiar esta unidad usted aprenderá a calcular: El tanto por ciento. Los descuentos. Los intereses. El IVA (Impuesto al Valor Agregado). Al aprender lo anterior usted podrá:

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Resuelve problemas PÁGINA 75

Resuelve problemas PÁGINA 75 PÁGINA 7 Pág. 1 Resuelve problemas 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 10 por días y 400 km, y otro pagó 17 por días y 00 km. Averigua cuánto

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Mucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de

Más detalles

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PLAN DE TRABAJO PARA RECUPERAR LAS MATEMÁTICAS DE º ESO El profesor/a de la asignatura se encargará de ir evaluando al alumno/a con la asignatura pendiente en la forma que le indique: realización de exámenes,

Más detalles

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2.

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2. FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Sistemas de Ecuaciones Lineales UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales... 8 Introducción... 8.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 8..- Resolución

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer y segundo grado El fin del mundo En octubre de la cárcel de Wittenberg acogió una curiosa reunión: allí estaba Lutero visitando a su íntimo amigo Michael Stifel. Este, aplicando a

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los

Más detalles

UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez

UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez UNIDAD I OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1 ESQUEMA ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD Álgebra (Concepstos básicos) Suma Resta Multiplicación División OPERACIONES

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente

Más detalles

Unidad IV. Volumen. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos.

Unidad IV. Volumen. Le servirá para: Calcular el volumen o capacidad de diferentes recipientes o artefactos. Volumen Unidad IV En esta unidad usted aprenderá a: Calcular el volumen o capacidad de recipientes. Convertir unidades de volumen. Usar la medida del volumen o capacidad, para describir un objeto. Le servirá

Más detalles

Proporcionalidad. 1. Calcula:

Proporcionalidad. 1. Calcula: Proporcionalidad 1. Calcula:. Resuelve los siguientes problemas: a. Tres kilos de naranjas cuestan,4. Cuánto cuestan dos kilos? b. Seis obreros descargan un camión en tres horas. Cuánto tardarán cuatro

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS

ACTIVIDADES INICIALES. y 2 7, y 0,12. b) 0,12v 1 1 55 EJERCICIOS PROPUESTOS Solucionario 5 Inecuaciones ACTIVIDADES INICIALES 5.I. rdena de menor a mayor los siguientes números. a), 6 8, 4 y 7 b) 0,v,, y 0, 4 5 5 0 90 5 a) 75 ; 6 8 7 ; 4 80 y 7 70 7 6 8 4 4 00 5 00 5 00 0 00 0

Más detalles

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO MATEMÁTICAS PENDIENTES º ESO Operaciones combinadas con enteros Calcula + ( (+ 0 ) ) + 0 + ( + ) ( (+ 8 + 9 )) 0 + + + + 6 68 + 6+ 9 6 ( + 6+ ( + 6)) + 0 (( + 8 ) + (+ ) + ) + + 8 + ( + + 6+ ) 66 ( + 6

Más detalles

10Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196

10Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196 0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 96 Pág. E presiones algebraicas Llamando a un número indeterminado, asocia cada enunciado con la epresión que le corresponde: a) El doble del número. b)

Más detalles

PROPORCIONALIDAD - teoría

PROPORCIONALIDAD - teoría PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Unidad Didáctica 4 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Objetivos 1. Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un problema y expresarlas mediante el lenguaje algebraico.

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

Unidad IV. Volumen y capacidad

Unidad IV. Volumen y capacidad Volumen y capacidad Unidad IV En esta unidad usted aprenderá a: Calcular el volumen o capacidad de recipientes. Convertir unidades de volumen. Usar la medida del volumen o capacidad, para describir un

Más detalles

1. Lenguaje algebraico. 2. Generalización. 3. Valores numéricos. 4. Ecuaciones. 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones

1. Lenguaje algebraico. 2. Generalización. 3. Valores numéricos. 4. Ecuaciones. 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 3. Ecuaciones Taller de Matemáticas 2º ESO 1. Lenguaje algebraico 2. Generalización 3. Valores numéricos 4. Ecuaciones 5. Resolución de problemas mediante ecuaciones 2 Ecuaciones 1. Lenguaje algebraico

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado 8985 _ 009-08.qd /9/07 5:7 Página 09 Ecuaciones de. er y. o grado INTRODUCCIÓN La unidad comienza diferenciando entre ecuaciones e identidades, para pasar luego a la eposición de los conceptos asociados

Más detalles

Nº 3 NÚMEROS Y LETRAS: LA CLAVE PARA RESOLVER PROBLEMAS COTIDIANOS

Nº 3 NÚMEROS Y LETRAS: LA CLAVE PARA RESOLVER PROBLEMAS COTIDIANOS Guía de Aprendizaje Nº 3 NÚMEROS Y LETRAS: LA CLAVE PARA RESOLVER PROBLEMAS COTIDIANOS Educación Matemática Primer nivel o ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes y Adultas DE_6004.indd

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato. Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada

Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato. Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Alejandro Vázquez

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25 2 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a 9 500 metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 C bajo

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución

Más detalles

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES.

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES. IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles UNIDAD. LOS NÚMEROS RACIONALES. Unidad : Los números racionales Al final deberás haber aprendido... Usar y operar con fracciones

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Unidad VII. Geometría, trigonometría y series

Unidad VII. Geometría, trigonometría y series Geometría, trigonometría y series Unidad VII En esta unidad usted aprenderá a: Conocer y utilizar la semejanza de los triángulos. Utilizar algunos elementos de la trigonometría. Aplicar el teorema de Pitágoras.

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que

Más detalles

4 ECUACIONES E INECUACIONES

4 ECUACIONES E INECUACIONES 4 ECUACIONES E INECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Expresa estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es 17. b) Un número más su tercera parte es 16. c) Tres números

Más detalles