SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS LETRAS
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- Mario Jiménez Alvarado
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1 SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS LETRAS Obligatoria. Julio Calcula el valor del determinante a a + 1 a + ( ) ( ) a a + 1 a +.- Determina el valor de a y b para que la función F(x, y) = x + y adquiera su valor máximo en el punto (3, ) de la región definida por las inecuaciones: x 0 ; y 0, x + 3y a ; x + y b 3.- Esboce la gráfica de fx () = cos x y calcule el área encerrada por dicha gráfica en el intervalo [ 0, ] y el eje de abscisas. 4.- Los pesos en miligramos de 0 recién nacidos son: 3.686, 3.74, 3.547,.539, 4.04, 3.959, 3.519, 3.180, 3.401,.54, 3.515, 3.46, 3.436, 3.146,.891, 3.191,.565, 1.764, 3.948,.945 a) Construir una tabla de distribución de frecuencias cuyo primer intervalo sea ( 1.600,.00) y todos los intervalos tengan la misma amplitud. b) Determinar gráficamente entre qué pesos estará el 90% de la muestra, considerados excluidos el 5% con peso mas bajo y el 5% con peso mas alto. 5.- Para elegir a un jurado se dispone de cinco mujeres y de diez hombres. Se tiene que seleccionar al azar a seis personas. Se pide: a) Probabilidad de que halla cinco mujeres y un hombre en el jurado b) Probabilidad de que halla al menos una mujer. 1.- Disponemos de un dado cargado en el que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. Se pide: a) Probabilidad de que al lanzarlo salga un número par b) Probabilidad de que el número sea mayor de 3.- Determinar el área del recinto situado encima de la parábola y = x y debajo de la recta y = En cinco alumnos se observaron dos variables: X = puntuación obtenida en un determinado test, e Y = nota alcanzada en un examen de matemáticas. Los resultados se indican en la tabla siguiente: X Y a) Hallar la recta de regresión. b) Sabiendo que un alumno obtuvo un 100 en el test, pero no realizó el examen de matemáticas, predecir, si es posible, la nota que hubiera obtenido. 4.- Cuál de los siguientes sistemas tiene solución? Cuántas soluciones tiene? Resuélvalo: x + y + z = 1 x + y + z = x + y + z = x + y + z = 10 3x + 3y + 3z = 4 3x + 3y + 3z = El tiempo necesario para determinado examen sigue una distribución normal con media 60 minutos y desviación estándar 10 minutos. Se pide: a) Cuánto debe durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen? b) Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos? Optativa. Julio 1995
2 1.- Calcular el valor del determinante a b c d e f g h i sabiendo que - a - b - c - d - e - f - g - h - i = Dibujar la región definida por las siguientes desigualdades y determinar en ella el punto en el que la función - x + 9y 0 5x + y 47 F (x, y) = 6x + y toma el valor máximo: x + y x Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = cos x - sen x en el intervalo [ 0, ] y esbozar su gráfica. 4.- En un exámenes formulan 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se aprueba si se contestan correctamente al menos 0 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir la respuesta de cada pregunta, calcular la probabilidad de aprobar el examen. 5.- La suma de unos datos es de 5 unidades y la de sus cuadrados es de 50 unidades cuadradas. Si la media y la desviación estándar coinciden, calcular: a) Media de los datos b) Varianza de los datos 1.- Consideremos las matrices B = sumarle C resulte A. C = Hallar una matriz A tal que al mutiplicarla por B y.- Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos O = ( 0, 0 ), A ( 0, 4 ), B ( 4, 0 ), C( 3, 3 ) 3.- Calcular 1 x e 1 x dx 4.- Juan propone a Luis el siguiente juego: Lanzar una moneda 10 veces; si sale 4, 5 o 6 caras gana Luis, y en caso contrario, gana Juan. Cuál es la probabilidad de que gane Juan? 5.- Se sabe que las notas de determinado examen siguen una distribución normal. El % tiene una nota superior a 7 puntos y el % tiene nota inferior a 5 puntos. Calcular: a) Porcentaje de alumnos cuya nota está entre 5 y 7 puntos b) Nota media del examen. Obligatoria. Septiembre Dada la función y = x + 1 x 4 Determinar su dominio y asíntotas y esbozar su gráfica..- Una conservera dispone diariamente de 350 Kg de mejillones que debe envasar en latas de dos tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de mejillones y suponen un beneficio de 30 pesetas por lata. Las de tamaño familiar llevan 440 gr de mejillones y su beneficio es de 100 pesetas por lata. Por razones de
3 producción, al menos el 70 % de las latas deben ser de tamaño familiar. Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo? 3.- Se lanzan tres monedas: la primera de 5 pesetas, la segunda de 5 y la tercera de 100. Se consideran los siguientes sucesos: A = aparecen dos caras, B = aparece cara en la moneda de 100, C = aparecen caras en las monedas de 5 y de 5. Se pide: a) P ( A / B ) b) Son independientes B y C? 4.- Determinar el valor de a que anula el siguiente determinante: 3a + 1 a a 6a + a + 1 a 3a + 1 a a Un grupo de alumnos realizan dos pruebas deportivas A y B, destinadas a conocer las aptitudes de los alumnos en dos deportes concretos. La puntuación media obtenida por el grupo en la prueba A fue 45, con una desviación estándar de 5 6. La puntuación media obtenida por el grupo en la prueba B fue 36, con una desviación estándar de 3. Si un alumno X obtiene en la prueba A una puntuación de 50 y en B una puntuación de 45, y otro alumno Y obtiene 48 en las dos pruebas: a) Qué deporte se recomendaría a cada uno? b) Qué alumno está, de forma global, mas capacitado para el deporte? 1.- Con la variable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la siguiente tabla de frecuencias: Edad en años 10<x<30 30<x<50 50<x<70 70<x<90 frecuencia acumulada a) Completar la tabla de frecuencias b) Calcular la media y la desviación estándar usando la tabla.- Hallar en cuánto aumenta el área de un circulo cuyo radio mide 1 metro si éste aumenta su longitud en un 15%. 3.- Sabiendo que el determinante de la matriz A = 3 + x 8 + y 4 + z /3 4/3 x y z es igual a 1, calcular el determinante de la matriz 4.- Una cadena metálica está compuesta por 4 eslabones. La probabilidad de ruptura de cada eslabón a un peso de 100 Kilos es de 0 6. Se somete la cadena a un peso de 100 Kilos y se pide: a) Probabilidad de que no se rompa la cadena. b) Si se quiere que la probabilidad de que no se rompa la cadena sea de 0 81, cuál debe ser la probabilidad de rotura de cada eslabón? 5.- Dada la distribución de frecuencias de la tabla X Calcular: a) El coeficiente de correlación. b) El diagrama de dispersión Optativa. Septiembre 1995
4 1.- Sea una matriz 3 3 tal que A = A. Calcular A cuando A 0 y dar alguna solución con A= 0.- Un automovil de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y las horas de la madrugada, viene dada por: v = ( - x ) e x donde x es el tiempo en horas y v la velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en qué momento del intervalo [ 0, ] circulo a velocidad máxima y calcular dicha velocidad. En qué periodos ganó velocidad y en cuáles redujo? Se detuvo alguna vez? 3.- Considérese la función definida por f(x) = función sea continua en x = 3 x - 9 x - 5x + 6 si x y x 3. Hallar el valor de f(3) para que dicha 4.- En una caja de golosinas hay seis caramelos y cuatro chocolatinas. Un niño toma al azar cuatro golosinas. Determinar: a) Probabilidad de que sólo coja chocolatinas b) Probabilidad de que coja dos caramelos y dos chocolatinas. Hay algún punto de inflexión? 5.- Las alturas en centímetros, de 0 personas son: 165, 171, 154, 165, 149, 159, 151, 171, 191, 163, 173, 193, 176, 15, 188, 169, 171, 184, 15, 183 a) Construya una tabla de distribución de frecuencias agrupando por intervalos de amplitud 10 desde 140 hasta 00 y calcule la media de las alturas utilizando dicha distribución. b) Calcule la media directamente con los datos. Si el valor medio obtenido con los dos procedimientos es distinto, explíquese por que. 1.- Una empresa produce dos artículos A y B y tiene dos fabricas. En la primera, producir una unidad del articulo A cuesta 6 dias-operario y una del B dias-operario, estando limitada la producción total a 300 dias-operario. En la segunda fabrica, producir una unidad del A cuesta dias-operario y una del B también dias-operario, estando limitada la producción a 140 dias-operario. Sabiendo que el beneficio por unidad del articulo A es de 600 pesetas y del B de 300 pesetas por unidad, calcular la producción de A y B para obtener un beneficio máximo..- Hallar los máximos y mínimos de la función f(x) = 3 x x - 1 Hay algún punto de inflexión? 3.- En su camino al trabajo una persona pasa por tres semáforos cada mañana. Los semáforos operan independientemente. La probabilidad de una luz roja es de 0 4, 0 8 y 0 5, respectivamente, para cada uno de los tres semáforos. Se pide: a) Probabilidad de que la persona encuentre los tres semáforos en rojo. b) Probabilidad de que encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde. 4.- Se tomaron las medidas de la presión sistólica de cinco personas diferentes. Los resultados fueron los siguientes: X : edad en años Y: presión en mm de Hg a) Dibujar un diagrama de dispersión para los datos. b) Determinar la recta de regresión 5.- Dados los estadísticos media, desviación típica, varianza, mediana, moda y recorrido, y siendo x una observación cualquiera, qué efecto tendría sobre los estadísticos anteriores realizar la operación x para todas las observaciones? Obligatoria. Junio 1996
5 a 1.- Sea A = c b d e I = 1 0. Hallar una matriz A - Y tal que A + A + I = O, siendo O = Calcular los puntos del recinto soluciones hay? x + y 0 x - y 0 0 y 0 que hacen mínima o máxima la función z = x + y. Cuántas 3.- Esbozar la gráfica de y = x + 1 x decrecimiento. calculando asintotas, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y 4.- En un juego contra un adversario igual, tal que el juego no puede acabar en empate, qué es mas probable, ganar exactamente 3 juegos de 6 o exactamente 5 de 10? 5.- Se han obtenido las pulsaciones de un equipo de atletas después de una carrera. Los datos obtenidos son los siguientes: Pulsaciones Número de atletas Se pide: a) Las marcas de clase b) El intervalo mediano c) El coeficiente de variación, es decir, el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media. 1.- Sean A y B matrices de tres filas y tres columnas. Indicar cuándo es cierta la igualdad ( A + B ) ( A - B ) = A - B y dar un ejemplo en que dicha igualdad sea falsa..- Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 0 litros de vino tinto se obtiene un vino de 10 grados ( 10 por 100 de alcohol ). Si, por el contrario se mezclan 0 litros de blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 grados. Qué tendrá una mezcla de 40 litros de blanco con 40 litros de tinto? 3.- Hallar el área comprendido entre las curvas 4 y = x + 1 ; y = - x Se lanza al aire cuatro veces una moneda equilibrada. Hallar la probabilidad de que: a) Salga alguna cara b) Salga un número impar de caras. 5.- Las puntuaciones obtenidas en un test por 11 alumnos son: 1, 36, 19, 3, 3, 5, 8, 0, 34, 33, 31 Se pide: a) Determinar la mediana. b) Qué porcentaje de alumnos tiene puntuación menor que 3? Optativa. Junio Resolver el siguiente sistema:
6 x + y + 3z = 4 5x + 6y + 7z = 8 9x + 10y + 11z = 1.- Calcular los puntos del recinto 4x + y 10 x + y 0 x 0 y 0 que hacen mínima o máxima la función z = x + y. Cuántas soluciones hay? 3.- En un concurso nos ha correspondido un campo rectángular. Sus dimensiones debes fijarlas nosotros con la condición de que su perímetro sea de 400 metros. Qué dimensiones debe tener el campo para obtener el máximo de superficie? 4.- Una universidad afirma que el 75% de sus graduados obtiene empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada universidad al azar. Se pide: a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo en el primer año. b) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo en el primer año. 5.- El número de días que faltaron al colegio los niños de una clase se recoge en la siguiente tabla: Número de dias frecuencia a) Calcular la media y la desviación típica b) Calcular el tercer cuartil. 1.- Calcular los valores de para los que la matriz A tiene inversa, siendo A = Hallar la posición relativa de los planos 1: x + y - z = 1, : 5x + 10y - 5z = 0, 3 : 4x - y + z = La función y = x - ax + 4x + b Hallar a y b. corta al eje de abscisa en x = 3 y tiene un punto de inflexión en x = / La urna A contiene 5 bolas blancas y 3 negras y la urna B tiene 3 bolas blancas y negras. Se toma al azar una bola de A y, sin mirarla, se introduce en B. A continuación se extrae con reemplazamiento dos bolas de B. Hallar la probabilidad de que sean de distinto color. 5.- Se ha medido el contenido en oxigeno Y ( en mg/litro) de un lago a una profundidad de X metros, obteniéndose los siguientes datos: X Y 6'5 5'6 5'4 6 4'6 1'4 0'1 La recta de regresión es y - 4' = - 38'59 ( x - 40'71 ) Se pide: 360'5 a) Coeficiente de correlación y conclusión estadística b) Para una profundidad de 55 metros, qué contenido en oxigeno se podría predecir? Obligatoria. Septiembre Se dice que dos matrices conmutan si AB = BA. Encontrar todas las matrices que conmutan con B = 0 1 0
7 .- Dada la función g (x, y ) = x + y con las restricciones 0 x - 3y x + y 1 x - y 0 x + y - 5 Hallar: a) Los pares ( x, y ) para los que la función g( x, y ) toma sus valores máximo y mínimo. b) Determinar los valores máximo y mínimo de g ( x, y ). 3.- Hallar el area de la región finita del plano limitada por el eje de abscisas y la curva y = x 3 - x Esbozar la curva. 4.- Un estudio ha demostrado que en un determinado barrio de una gran ciudad, el 60% de los hogares tiene al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio y se pide: a) Cuál es la probabilidad de que al menos 0 de los de los citados hogares tengan al menos dos televisores? b) Cuál es la probabilidad de que entre 30 y 40 hogares tengan al menos dos televisores? 5.- La media de un conjunto de datos es 7 y la Varianza es 4. a) En qué unidades se tendrá que expresar la media y la varianza si los datos están dados en metros? b) Se modifican la media y la varianza si los datos están dados en centímetros? Justificar las respuestas. 1.- Determinar el valor o los valores de k para los que el sistema x + y = 3 6x + ky = 6 no tiene solución. Resuélvalo para k = 5.- Una cooperativa debe construir al menos metros cuadrados de viviendas. Debe construir viviendas de dos tipos. Las de tipo A son de 150 metros cuadrados y su coste es de 10 millones de pesetas. Las de tipo B tiene una superficie de 50 metros cuadrados y su coste es de 0 millones de pesetas. En total no pueden construirse mas de 50 viviendas, y las del tipo B se hará, a lo mas, el doble que las del tipo A. Cuántas deben edificarse de cada tipo para que el coste sea mínimo? 3.- Representar gráficamente f(x) = x - 1 y calcular el área encerrada entre x = - 1 y x = De una baraja de 40 cartas con cuatro palos ( de 10 cartas cada uno ) se extraen cuatro cartas. Calcular la probabilidad de que: a) Las cuatro sean del mismo palo ( no importa el palo ) b) Las cuatro sean copas. 5.- Los valores de la variable talla, medida en centímetros, en una muestra de 50 estudiantes se recogen en la tabla: Talla Número de estudiantes a) Calcular la media y la desviación típica b) Cuál es la clase que contiene a la mediana? Optativa. Septiembre Dadas las matrices A = resultados no son idénticos? B = Calcular ( A + B ) y A + AB + B. Por qué los
8 .- Una empresa tiene dos centros de producción que fabrican tres tipos de productos: A; B y C. Sus compromisos comerciales les obligan a entregar semanalmente al menos 18 unidades del tipo A, 16 del tipo B y 6 del tipo C. El primer centro de producción le cuesta diariamente pesetas y produce, también diariamente, las siguientes unidades: 9 de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro de producción le cuesta diariamente pesetas y produce 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Cuántos días por semana debe trabajar cada centro de producción para que, cumpliendo sus compromisos comerciales, se reduzcan al mínimo los costes de producción? 3.- Sea f(x) = x3-3x + 3x - 1 salvo en los puntos x = 1, x = -. Determinar el valor que hay que asignar a f(1) x + x - para que dicha función sea continua en x = Sea A el suceso: El aspirante a una póliza de vida supera el examen médico. B el suceso: El aspirante puede pagar las primas y C el suceso: La compañía de seguros autoriza la póliza. Describir las probabilidades expresadas por: a) P(C / A) ; b) P(C /B c ) ; c) P[ C / (A B) ] ; d) P [(C A) / B c ] ( B c indica suceso contrario de B ) 5.- Los alumnos de un centro obtuvieron las siguientes notas finales en el examen de Selectividad: 5 4, 5 6, 5 6, 5 7, 5 7, 5 7, 5 8, 5 9, 5 9, 6 0, 6, 6 4, 6 6, 6 7, 7 1, 7 8, 8 3, 9 4, 9 5 a) Dibujar el histograma correspondiente a las notas agrupadas en cinco intervalos de la misma amplitud. b) Utilizar la distribución anterior para calcular un parámetro que refleje la dispersión de la muestra. 1.- Dada la matriz A = Calcular An, donde n es un número natural arbitrario Minimizar la función z = 3x + 4y, sujeta a las siguientes restricciones: x + 3y 36 x + y 8 8x + y 3 x + y La virulencia de una bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por t - 9 t + t 3, donde t es el tiempo ( en horas) transcurrido desde que comenzó el estudio ( t = 0 ). Indicar los instantes de máxima y de mínima virulencia en las seis primeras horas y los intervalos en que ésta crece o decrece. 4.- Un psicólogo hace dos pruebas a un niño de primer curso de EGB. De anteriores experiencias en niños de la misma edad y colegio ha estimado que la probabilidad de resolver con éxito la primera prueba es 0 4 y la probabilidad de resolver con éxito la segunda prueba habiendo pasado la primera es de 0 6. Cuál es la probabilidad de pasar con éxito las dos pruebas? 5.- Al medir el crecimiento en centímetros, de una muestra de niños en el periodo de un año se obtuvieron los siguientes datos: Crecimiento Frecuencia a) Representar gráficamente los datos mediante un polígono de frecuencias acumuladas. b) Calcular la media y la mediana. Cuál de las dos es mas representativa en ese conjunto de datos? Justificar la respuesta. Obligatoria Junio Hallar el área finita encerrada por el eje de abscisas y la gráfica de y = (x - 1 ) (x - 4 ).- Hallar las matrices A = a 0 a 1 - a que verifican A = A 3.- Una compañía posee dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad; la mina B produce cada día toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita, al menos, 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de mineral de calidad media y 00 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de pesetas en cada mina, cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?
9 4.- La línea de regresión del gasto anual de alimentos Y (en miles de pesetas) por familia, en función de los ingresos anuales X (en miles de pesetas) viene dada por Y = X. a) Cuál es el gasto anual en alimentos en familias con ingresos anuales de un millón de pesetas? b) Sabiendo que el ingreso medio es de pesetas, hallar el gasto medio anual en alimentos. 5.- Al realizar una medida se pueden cometer errores por exceso o por defecto y la probabilidad de error por exceso es de /3. Si se realizan cuatro medidas hallar el número de errores por exceso que tiene mayor probabilidad. 1.- Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo su número de acuerdo con la ecuación 4t P(t) = t donde t se mide en horas. Calcular la tasa de crecimiento del número de bacterias en dicho cultivo a las dos horas. A qué hora la tasa de crecimiento es máxima? a b c x z 3y.- Si x y z = 5, calcular p r 3q p q r a c 3b 3.- Hallar la posición relativa de los planos 1 : x + y + z = 1, : x + 3y + 3z = 3, 3: x + y + z = En un colegio hay 40, 160, 00 y 10 alumnos de COU de las opciones A, B, C y D respectivamente. Calcular: a) Representar gráficamente estos datos mediante un diagrama de sectores. b) Representar mediante un diagrama de barras el porcentaje de alumnos que tendría cada opción si el colegio decide: incrementar en un 5% el número de alumnos matriculados en la opción A, mantener el número de alumnos en las opciones B y C y disminuir el número de matriculados en la opción D, de manera que no se modifique el número total de alumnos. 5.- Supongamos una distribución normal de media µ = 50 en la que la probabilidad de obtener un valor por encima de 70 es de Cuál es la desviación típica??cuál será la probabilidad de los valores por debajo de 45? Optativa Junio Hallar a, b, c para que f(x) = ax + bx + c tenga un máximo relativo en (5, 8 ) y corte al eje OY en (0, 3). t 1 t.- Dada la matriz A = t 1 hallar los valores de t para los que existe A - 1. Calcular si es posible, A - 1 para t = Dos pinturas A y B tienen ambos tipos de pigmentos y ; A está compuesto de un 30 por ciento de y un 40 por ciento de, B está compuesto de un 50 por ciento de y un 0 por ciento de siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor de 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a) Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento? b) Qué mezcla hace mínimo? 4.- Una persona está realizando un régimen de adelgazar. Su tabla de pesos desde que empezó el régimen es: Semanas Peso en Kg a) Explicar si existe correlación lineal positiva, negativa o nula entre semanas y peso b) Indicar cuál de las dos rectas y = x , y = 1 7 x es la recta de regresión. 5.- En una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media µ y de varianza 1, cuánto vale el recorrido intercuartílico? a 1.- Calcular (sen ax) (cos ax) dx 0.- Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos: F 1 y F. Los del tipo F 1 cuestan pesetas cada uno y los del tipo F pesetas cada uno. Sólo tiene espacio para almacenar 0 frigoríficos y dispone de pesetas para hacer la compra. Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo, teniendo en cuenta que debe comprar necesariamente de los dos tipos, para obtener beneficios máximos con la venta posterior, y sabiendo que en cada frigorífico gana un 30% del precio de compra? Existe más de una solución?
10 3.- Supongamos que los siguientes números representan el ingreso anual de siete personas de un pueblo, expresado en miles de pesetas: , 450, 1500, 900, 13000, 850. Comparar la mediana y el ingreso medio. Cuál de los dos es mas representativo? 4.- Un obrero realiza un trabajo en el que los materiales cuestan pesetas y la mano de obra pesetas la hora. El número de horas que tardará en realizar el trabajo es una variable aleatoria X con la siguiente distribución de probabilidad: X Probabilidad 0'1 0'3 0'3 0' 0'1 Calcular: a) Cuál es el costo medio del trabajo? b) Cuál es la varianza del número de horas que tardará en el trabajo? c) Cuál es la varianza del coste? x + 3y - z = Estudiar y resolver el sistema x + y + z = 6 3x + 5y - 3z = 4 Obligatoria Septiembre Hallar el área de la región acotada por y = x, y = x.- Hallar las matrices A = x y cuyo determinante vale 5 y tales que BA - AB = 0, siendo B = 3 1 y 0 z - O = Un cinéfilo dispone de.000 pesetas a la semana para ir al cine. Las salas donde puede ver solamente una película cuestan 400 pesetas, mientras que las que ofrecen dos películas cuestan 300 pesetas. Si desea ir al menos una vez a la semana a las salas mas caras, cómo debe distribuir su asistencia a ambos tipos de locales para poder ver el mayor número de películas a la semana? En tal caso, le sobra dinero? 4.- En una encuesta realizada en un colegio se midió la talla, en centímetros, de cinco niños de la misma edad y se les preguntó el número medio de caramelos que comían cada semana. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla: Número de caramelos Talla a) Representar los datos mediante un diagrama de dispersión. b) Calcular el coeficiente de correlación en esta muestra. 5.- Un examen de opción múltiple está compuesto por 8 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales solo una es la correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar. a) Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 7 preguntas? b) Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna? 1.- El Ministerio de Fomento quiere construir un área de descanso de metros cuadrados, de forma rectángular y cercada en los lados no adyacentes a la carretera. Calcular las dimensiones del rectángulo para que la valla tenga longitud mínima. a b c c b a.- Sabiendo que d e f = 1, calcular k h g g h k f e d 3.- Un galgo persigue a una liebre. Por cada 6 saltos que da el galgo, la liebre da 9. Sabiendo que 3 saltos de galgo equivalen a 7 saltos de liebre, y que el galgo empieza a correr cuando la liebre lleva dados 60 saltos, averiguar los saltos que tiene que dar el galgo para alcanzar a la liebre. Cuántos saltos ha dado en total la liebre al ser alcanzada? 4.- Los valores de la variable talla, medida en centímetros, en una muestra de 50 estudiantes de Sociología se recogen en la siguiente tabla:
11 Talla Frecuencia Calcular: a) Media y desviación típica de la muestra b) Cuál es la talla mínima del 10% de estudiantes más altos de la muestra? 5.- Una lotería está compuesta por todos los números posibles de cinco dígitos. Hallar la probabilidad de que el número premiado a) no contenga el dígito b) contenga los dígitos 0 y 3 OBLIGATORIA JUNIO Dadas las matrices A y B tales que A = ( a ij ) tiene cuatro filas y una columna y el único elemento distinto de 0 es a 1 = 1 A = ( b ij ) tiene una fila y cuatro columnas y el único elemento distinto de 0 es b 1 = 1 Calcular AB y BA.- Hallar el área de la región acotada por la curva y = e x y las rectas y = 1, x = Minimizar la función z = 3x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + 3y 36 x + y 8 8x + y Un examen contiene 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 0 preguntas. Se lanza una moneda equilibrada para decidir la respuesta a cada pregunta. Determinar: a) Probabilidad de aprobar el examen b) Probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté entre 5 y 30, ambas inclusive. 5.- La variable x expresa la calificación obtenida en el primer curso de Bachillerato y la variable y es la nota global de Bachillerato. Se dispone de los siguientes datos correspondientes a nueve alumnos: x 5,4,9 6,8 6,9 5,3 7,4 4,3 5,1 5,5 y 5,8 3,5 4,8 6,4 5,9 7,4 4, 6, 6,1 a) Dibuja el diagrama de dispersión de los datos b) Halla y representar la recta de regresión de y sobre x c) Qué nota final se puede predecir para una persona que ha obtenido 5,9 en el primer curso de Bachillerato? 3x + y = Obtener el valor o valores de k para los que el sistema 6x + k y = k tiene infinitas soluciones. Existe algún valor para el que no tenga solución?.- Sabiendo que una función y = f(x) es continua, que f(0) = 0 y además que su derivada 1 - x si x < 1 f (x) = 1 si x > 1 Calcular f (x) y esbozar su gráfica 3.- Una empresa tiene dos centros de producción en los que se fabrican tres tipos de productos: A, B y C. Sus compromisos comerciales consisten en entregar semanalmente 18 unidades del tipo A, 16 del tipo B y 6 del C. El primer centro de producción le cuesta diariamente 10 6 pesetas y produce cada día 9 unidades de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro le cuesta 8 x 10 5 pesetas y produce cada día 3 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Cuántos días por semana debe trabajar cada centro para que, cumpliendo los compromisos comerciales, los costes de producción sean mínimos? 4.- El número de veces que ha llegado el autobús a una parada durante diecisiete intervalos consecutivos de una hora ha sido: 6, 0, 4, 0, 0, 3, 0, 0,, 0, 3, 0, 0, 1, 1, 3,. a) Calcular la media y la desviación típica del número de veces que llega el autobús en una hora. b) Hallar la mediana de los datos. c) Es simétrica esta distribución? Razonar la respuesta. 5.- El tiempo X de funcionamiento ( en horas ) hasta la primera avería de un fregaplatos, sigue una distribución normal de media 0000 horas. Se sabe que el 0% de los friegaplatos tiene como mínimo una duración de 1680 horas. Se pide: a) Calcular P( X < 000 ).
12 b) Si se quiere ofrecer un periodo de garantía, expresado en horas, cuál debe ser el máximo valor que se debe dar a éste para tener que reemplazar sólo el 5% de los aparatos? OPTATIVA JUNIO Sea un número A de tres cifras. La suma de las tres cifras de A es 18. La diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades es 1. La suma de la cifra de las unidades de A y la cifra de las centenas de A es el doble que la cifra de sus decenas. a) Plantear un sistema de ecuaciones que permita determinar el número A. b) Determinar el número A.- Hallar el área de la región acotada por y = x, y = Las compras semanales de comida de una familia correspondientes a los apartados carne, verdura y frutas están en las proporciones 6/5/3. En un cierto periodo de tiempo los precios de los apartados anteriores subieron un 1%, 17% y 14% respectivamente. Se pide: a) En qué porcentaje ha aumentado el gasto semanal en comida? b) Cuál sería el porcentaje de aumento si las proporciones de los apartados correspondientes a carne, verdura y frutas fuesen las mismas? 4.- Se tiene un dado cargado en el que las caras con número par tienen triple probabilidad que las caras numeradas con número impar. Si se lanza el dado dos veces, se pide: a) Probabilidad de que las dos veces aparezca el mismo número. b) Probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea menor o igual a cinco. 5.- Encuestados 100 matrimonios, se considera la variable de respuesta X = número de hijos, y se obtuvo la siguiente información: X n a) Construir las tablas de distribución de frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b) Calcular la media, la mediana y la desviación típica de esta variable. 1.- Una empresa está construyendo una urbanización y desea subcontratar la instalación eléctrica de las viviendas, por lo cual pide ofertas a dos empresas de electricidad: La primera hace la siguiente oferta: pesetas fijas más 300 pesetas por cada punto de luz. La oferta de la segunda es: pesetas fijas por cualquier número de puntos de luz que sea inferior o igual a 500 y cada punto de luz que exceda esa cantidad a 5 pesetas. En ambas ofertas no se ha incluido el 16% de IVA. a) Obtener las expresiones matemáticas que nos indican las cantidades que hay que pagar en cada caso. b) En función del número de puntos de luz, indicar a qué oferta la interesa acogerse..- Hallar f(x) sabiendo que su derivada es f (x) = 3x + 1 y que su gráfica pasa por el punto (, 6) 3.- Dados tres sucesos independientes A, B y C con P(A) = 0 3, P(B) = 0 4, P(C) = 0,5, a) Calcular P ( A/(B C)) c c c c b) Calcular P ( A / (B C )). ( X es el suceso contrario o complementario al X) 4.- El peso medio de una muestra de 00 hombres es 77 kilogramos, con una desviación típica de 6 kilogramos y el peso medio de una muestra de 100 mujeres es de 55 kilogramos y una desviación típica de 4 kilogramos. a) Obtener el peso medio de una muestra conjunta de 300 personas. b) Cuál de las dos poblaciones puede considerarse más variable? c) Si un hombre pesa 79 kilogramos y una mujer 60, cuál de los dos es más pesado en su muestra? 5.- En una distribución de normal de media 0 y varianza 9, se consideran valores extremos a todos aquellos superiores a 30 y los que son inferiores a 11. Se pide: a) Cuáles son las probabilidades de los valores extremos? b) Calcular P( X - 0 < 4) siendo X la variable aleatoria que representa la distribución. OBLIGATORIA SEPTIEMBRE 1998
13 Hallar la matriz inversa de la matriz: Un fabricante produce receptores de radio con un coste de 000 pesetas cada uno. Sise venden a x pesetas cada uno, se venderán 1000 x receptores al mes. Calcular el precio de venta para el que el beneficio es mayor. 3.- Un fabricante de salchichas utiliza tres ingredientes de los que posee las siguientes cantidades: 500 Kg de carne de ternera, 300 Kg de carne de cerdo y 400 Kg de relleno. La receta para hacer salchichas de ternera requiere 1 Kg de carne de ternera por paquete. La receta para hacer salchichas normales necesita medio kilogramo de carne de cerdo, un cuarto de kilo de carne de ternera y un cuarto de kilo de relleno. El beneficio que se obtiene con las salchichas normales es de 70 pta por cada paquete vendido y con salchichas de ternera de 80 pta. Cuántos paquetes de cada clase deberá fabricar para obtener el mayor beneficio posible? 4.- Se lanza una moneda equilibrada. Si sale cara, se sigue el juego sacando una bola de una bolsa que contiene seis bolas numeradas del uno al seis y si sale cruz, se saca una bola de otra bolsa que contiene cuatro bolas numeradas del uno al cuatro. a) Describir el espacio muestral que expresa todos los posibles resultados de lanzar la moneda y sacar la bola. b) Hallar la probabilidad de que en la bola salga un número mayor o igual que tres. 5.- Una persona cambia pta en dólares en tres cajas de cambio, ( pta en cada una ). En la primera el cambio está a pta por dólar, en la segunda a pta y en la tercera a 161 pta. Las comisiones fijas por el cambio son 1000, 750, 500 pta respectivamente. Se pide: a) Cuál es el cambio medio que ha realizado la persona sin tener en cuenta las comisiones? b) Si al cambio del dólar sube un 0 787% en la segunda caja de cambio, manteniendo constante la comisión fija. Cuántos dólares menos comprará con las pta? x + y`+ z = Estudiar y resolver el sistema: z - y = 0 x - y - z = El banco A cobra 00 pesetas al mes por el mantenimiento de una cuentea corriente y 5 pesetas por cada talón presentado. El banco B cobra 100 pesetas por mantenimiento y 9 pesetas por cada talón. Indicar el banco mas ventajoso en función del número de talones que se presenten al mes. 3.- Un almacén de confección que dispone de 70 camisetas, 10 camisas y 110 pantalones, hace una liquidación de existencias. Quiere ponerlas a la venta en dos tipos de lotes: el lote A formado por dos camisetas, un pantalon u una camiseta, se venderá a 600 pesetas cada uno; el lote B formado por una camisa, dos pantalones y una camiseta, se venderá por 700 pesetas cada uno. Calcular cuantos lotes convienen que se haga de cada clase para obtener el máximo de ganancias y cuanto dinero ingresarán por su venta. 4.- En un estudio sobre niveles de emisión de sustancias contaminadas, la variable X, representa la cantidad de óxido de nitrógeno emitida. Se sabe que, para los vehículos de cierto tipo, X tiene una distribución normal con media 1 6 y desviación típica 0 4. a) Calcular la probabilidad de que la cantidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 1 8. b) Hallar la probabilidad de que X esté entre 1 y 1 4. c) Obtener un valor de contaminación c tal que la probabilidad de que un vehículo emita una cantidad menor que c sea igual a Los datos siguientes corresponden al tiempo de secado de cierta pintura y la concentración de cierto disolvente en la misma: X concentración Y tiempo de secado Se pide: a) Representa gráficamente los datos. Muestran tendencia lineal? b) Obten el coeficiente de correlación lineal. Interpreta el resultado. OBLIGATORIA JUNIO Resuelve el sistema x + y + z = 10 3x + y + z = 14 7x + 4y + 6z = 34
14 .- Calcular las rectas tangentes a la gráfica de la función y = x 3 que sean paralelas a la recta y = 3x. Determinar los puntos de tangencia. 3.- Una empresa de automóviles tiene dos plantas P y Q de montaje de vehículos en las que produce tres modelos A, B y C. De la planta P salen semanalmente 10 unidades del modelo A, 30 del B y 15 del C. De la planta Q salen semanalmente 0 unidades del modelo A, 0 del B y 70 del C. La firma necesita al menos 800 unidades de A, 1600 de B y 1800 de C. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, determina el número de semanas que ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo. 4.- Se lanza una moneda trucada en la que la probabilidad de cara es de 0 4. Sea X el número de veces que se lanza la moneda hasta que aparece una cara. Se pide: a) P(X = ). b) P(X > 4). 5.- La media de una variable aleatoria X con distribución normal es 5 veces la desviación típica. Además verifica PX ( 6) = 0'8413. Calcula la media y la desviación típica de la variable aleatoria X Calcular los valores de para los que no tiene inversa la matriz Una superficie en forma de sector circular tiene su perímetro igual a 8 metros. Calcula el radio del sector para que la superficie sea máxima. Determinar el ángulo en radianes que corresponde a dicho sector. 3.- Halla el máximo y el mínimo de la función f(x, y) = x - y sujetos a las siguientes restricciones: 3x - y 1 ; x - y - 6 ; x 0 ; y 0. Indicar los puntos donde la función f alcanza dichos valores máximo y mínimo. 4.- Las cinco bolas blancas y las siete negras de una urna tienen la misma probabilidad de ser extraídas. Se sacan cuatro bolas sucesivamente y con reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que las cuatro sean del mismo color. 5.- Los siguientes pares de datos corresponden a la variable x (producto interior bruto en decenas de billones de pesetas) e y (tasa de inflación): x 3'4 4'6 5' 3' y 8 3 1'5 '1 5'8 a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos b) Decidir razonadamente cuál de las siguientes rectas es la de regresión de y sobre x: y = 16'6 + '88x ; y = 16'6 - '88x c) Calcular el valor esperado de la tasa de inflación que corresponde a un producto interior bruto de 4 3 decenas de billones de pesetas. OPTATIVA JUNIO Determinar la parábola y = a + bx + cx que pasa por los puntos ( -, 4), (, 6), (4, 19). 3.- Determina el punto de la gráfica y = - x + 6x - 7x + 5 en que la pendiente de la tangente es máxima. 3.- Una fabrica produce mesas y sillas. Cada mesa da un beneficio de 1000 pesetas y cada silla 400 pesetas. Cada mesa requiere 3 Kilos de madera y cada silla 1 Kilo. La fabrica dispone de 1 toneladas de madera por semana. Sabiendo que por cada cuatro sillas se debe fabricar al menos una mesa, determinar la producción semanal de mesas y sillas que da lugar al beneficio máximo. Calcula dicho beneficio. 4.- La variable x expresa la calificación obtenida en el primer examen parcial de cierta asignatura y la variable y es la nota final de la asignatura. Se dispone de los siguientes datos correspondientes a siete alumnos: x 5' '8 6'9 5'9 5'3 7'3 4'1 y 5'6 3'3 4'8 6' 5'8 7'8 4' a) Dibujar el diagrama de dispersión de los datos b) Indicar cuál de las siguientes rectas es la de regresión: y = x, y = c) Determinar la nota final que se puede predecir para una persona que ha obtenido 5 7 en el primer examen de la asignatura. 5.- Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces. Se pide: a) Construye el espacio muestral. b) Suponiendo que la moneda está cargada y que la probabilidad de cara es 0 7, cuáles son las probabilidadaes de los sucesos elementales?. c) Cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos una cara?
15 1.- Sea la matriz A = 1 siendo y es un número real. y 0 a) Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa. b) Calcula la matriz inversa de A en estos casos..- Un trabajador del turno de noche tiene horario de 0 horas a 8 horas de la mañana y su rendimiento se mide por x - 1x + 7, donde x es el tiempo transcurrido (en horas) desde que empezó el trabajo. Calcular a qué hora tuvo el mínimo rendimiento y los intervalos es que éste disminuyó y en los que aumentó. 3.- Una empresa organiza a su personal en dos categorías: primera y segunda. Cada trabajador de primera fabrica tres objetos diarios y controla la calidad de dos, cobrando pesetas diarias. Cada trabajador de segunda cobra pesetas diarias, fabrica dos objetos diarios y controla la calidad de cuatro objetos cada día. Determinar el coste mínimo del personal necesario para fabricar y controlar un número mínimo de objetos al día. Determinar el personal requerido para ello y su distribución en categorías. 4.- Si A y B son dos sucesos independientes con P(A) = 0 3 y P(B) = 0 7, calcula: a) PA ( c c c c B ) b) P(A B ) siendo X el suceso cotrario o complementario de X 5.- A lo largo de un curso, un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones con las frecuencias que se indican: calificaciones frecuencias a) Calcular la media y la desviación típica c) Calcular la mediana y el primer cuartil. OBLIGATORIA SEPTIEMBRE Determina dos vectores distintos x, y, tales que Ax = Ay 0 siendo A = Calcula el área de la región acotada que está limitada por las siguientes curvas en el primer cuadrante: y =, y x, x == 0 x Una elaboradora industrial de mermelada puede envasar dos tipos de contenedores de mermelada, que denotaremos A y B. Ambos tipos contienen dos ingredientes azúcar y fruta y la elaboradora dispone de 400 kg de azúcar y 900 kg de fruta. Un contenedor de mermelada de tipo A requiere 5 kg de azúcar y 10 kg de fruta, mientras que uno del tipo B requiere 1 kg de azúcar y 15 kg de fruta. Si por cada contenedor de tipo A, la elaboradora gana 000 ptas. y 1000 ptas. por cada uno del tipo B, hallar cuántos debe envasar de cada tipo para conseguir una ganancia máxima. 4.- Se considera una variable normal de media 3 y varianza 9. a) Determina la probabilidad de que la variable está comprendida en el intervalo (0, 6), b) Calcula los cuartiles primero y tercero de la variable. 5.- Se toman tres cartas a la vez de una baraja de cuarenta. Hallar la probabilidad de que las tres sean del mismo número. a b c 1.- Se considera la matriz A = en la que a, b, y c son números reales cuya suma es 7. a) Comprobar que 4 8 el determinante de A es múltiplo de 7. b) Encontrar todos los valores de a, b, y c para los que la matriz A no tiene inversa..- Dado el triángulo limitado por las rectas = ax 3 y, y = 0, x = a, (a>0), comprobar que la curva y = x, lo divide en dos partes de igual área. 3.- Halla el mínimo de la función f(x, y) = 5x 7y sujeto a las siguientes restricciones: x - y 8, x - y - 8, x + y 5, x 0, y 0 Indicar también el punto donde la función alcanza el valor mínimo. 4.- Una moneda trucada tiene probabilidad p de cara. Sabiendo que la probabilidad de obtener cara al menos una vez en cuatro lanzamientos es igual a 0 59, se pide: a) Calcular la probabilidad de obtener cuatro cruces en cuatro lanzamientos. b) Determinar el valor de p. 5.- Para un conjunto de datos bidimensoniales X e Y, se sabe que las rectas de regresión son 3x y = 1, x y = 3 Se pide: a) Halla la media de X e Y. b) Identificar la recta de regresión de Y sobre X. Cuál es el signo del coeficiente de correlación? c) Halla el coeficiente de correlación lineal.
16 REPERTORIO OPTATIVA SEPTIEMBRE Calcula la inversa de la matriz y comprobar el resultado A = x.- Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = x e, el eje OX y las rectas verticales x = 0, x = Considérese la región del plano definida por las condiciones: y - x 1, x - y - 1, x + y 3, x 0, y 0 Se pide: a) Dibuja la región. b) Determina los puntos de dicha región en los que la función f(x, y) = 7x + y alcanza sus valores máximo y mínimo. c) Calcula dichos valores máximo y mínimo. 4.- Se eligen dos bolas sucesivamente y con reemplazamiento de una urna que contiene 10 bolas numeradas del uno al diez. a) Halla la probabilidad de que los dos números difieran en tres unidades. b) Calcula la probabilidad de que los números sean distintos. 5.- Los siguientes pares de datos corresponden a las variables x (ingreso anual en millones de pesetas) e y (gasto anual en millones de pesetas): x 3'5 '8 3'9 4'9 5'3 y '6 '3 '8 3'5 4'5 a) Dibuja el diagrama de dispersión de los datos. b) Calcula la media y la desviación típica de cada una de las variables. c)halla el coeficiente de correlación entre ambas variables. Interpretar el resultado Discute el siguiente sistema lineal, según los valores del parámetro real a. En los casos en que sea compatible, ax + 3y = resolverlo: 3x + y = a x + ay = 3 x Se considera la función f ( x) = a) Calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b)calcula el valor 3 x - 1 que hay que asignar a f(1) para que f(x) sea continua. 3.- Los precios de venta de dos productos A y B son 3000 ptas. y 000 ptas. por kilo, respectivamente. La producción por día en kilos de A es mayor o igual que la tercera parte de la producción de B y menor o igual que el triple de la de B. La suma de kilos producidos entre ambos productos cada día no puede superar los 1 kilos. Determinar el número de kilos que se han de fabricar cada día de cada producto A y B, para maximizar el beneficio. Calcula dicho beneficio máximo. 4.- Se lanza dos veces un dado equilibrado que tiene seis caras numeradas del uno al seis. Halla la probabilidad de que: a) el menor de los dos resultados sea mayor o igual que dos, b) los dos resultados difieran al menos en dos unidades. 5.- Sea X una variable aleatoria normal tal que: P( X 3) = 0'1587; P(X 9) = 0'08 Determina su media y su desviación típica. OBLIGATORIA JUNIO Determina los valores del parámetro real a para los cuales el siguiente sistema lineal es incompatible. x + y + z =1 ax + (a + 5)y + az =1 Calcula la solución del sistema para a =. Se considera la función y = x - e x. Se pide: a) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hallar los máximos y mínimos. b) Estudia los intervalos de concavidad y convexidad. Esbozar la gráfica. 3. En una consulta médica, una visita rutinaria de un paciente requiere 10 minutos del personal de enfermería, 5 minutos de los médicos y 5 minutos de laboratorio. Una visita exhaustiva requiere 5 minutos del personal de enfermería, 5 minutos de los médicos y 10 minutos de laboratorio. En una semana, el personal de enfermería dispone de 6.50 minutos, los médicos de y el laboratorio de La consulta gana ptas. por cada visita rutinaria y por cada visita exhaustiva. a) Encontrar y dibujar la región factible y decidir razonadamente si la consulta puede realizar 450 visitas rutinarias y 350 exhaustivas cada semana. b) Determinar el número de visitas de cada clase que hace máximo el beneficio 4. Considérense dos sucesos A y B tales que P(A) = 1/3, P(B) = 1/. Determina el valor de PB ( A c ) para cada una de las tres situaciones:
17 a) A y B son disjuntos b) A B c) PB ( A) = 1/8 Nota A c representa el suceso contrario o complementario de A 5. Se considera la siguiente tabla de valores de dos variables: x y a) Encuentra la recta de regresión de x sobre y, así como la de y sobre x b) Con los resultados obtenidos en el apartado anterior, determina el coeficiente de correlación de (x, y) 1. Calcula el determinante a b c a + b b + c c + a b + c c + a a + b en función de a, b, y c, simplificando el resultado. 3. La función f( x) = ax + bx + cx + d tiene un máximo local en el punto (0, 4), un punto de inflexión en el punto (1, ) y un mínimo local en el punto (p, q). Determina (p, q). 3. Considera la región R del plano determinada por las condiciones: x 0 ; y 0 ; - x + 5y 5; - 5x + 3y 15. Se pide: a) Representa gráficamente la región R b) Determina los puntos de la región R en los que alcanza los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x + y c) Calcula dichos valores máximo y mínimo. 4. Un test de respuesta múltiple se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una única respuesta correcta de las cuatro posibles. a) Si el test se supera con 3 o más respuestas correctas cuál es la probabilidad de superarlo respondiendo al azar? b) Cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar? 5. En una empresa hay trescientos empleados que cobran mensualmente pts., doscientos empleados que cobran mensualmente pts. y cien empleados que cobran pts. mensualmente. Se pide: a) Determina el salario medio en la empresa y la desviación típica de los salarios en la empresa, expresados en miles de pesetas. b) Si a los empleados de menor salario se les sube un 5% determinar la variación del salario medio y de la mediana de los salarios. OPTATIVA JUNIO Para cada valor del número real t, se considera la matriz 1 t t At () = a) Encontrar todos los valores de t para los que la matriz A(t) no tiene inversa. b) Halla la inversa de A(t) cuando t = - 1. Calcula la integral: e ( Lx) dx ( Lx representa el logaritmo neperiano) 1 x 3. Halla el máximo de la función f(x, y) = 7x - 5y sujeto a las siguientes restricciones: x - y - ; x - y ; x + y 3 ; x + y 6 Indica el punto donde la función alcanza dicho valor máximo. 4. En una rifa existen 00 papeletas numeradas del 1 al 00 y se otorga 15 premios. Un jugador compra 4 papeletas. Halla la probabilidad de que: a) Dicho jugador obtenga un premio. b) Dicho jugador obtenga dos premios
18 5. Los valores de una tabla de frecuencias tienen media 3 y desviación típica 0 5. Calcula la media y la varianza de la distribución que se obtiene al multiplicar los datos de la anterior por 3. Razona la respuesta. 1. a) Encontrar los valores de a y b para los que el siguiente sistema lineal de ecuaciones no tiene solución: 3x + y - bz = 1. x - ay + z = a b) Encuentra todas las soluciones del sistema anterior cuando a = b = 1. La concentración C(t) de un fármaco en el flujo sanguíneo t horas después de ser inyectado es: 3t Ct () = ; t t a) Cuántas horas tarda el fármaco en alcanzar la concentración máxima? b) Esbozar la gráfica de la función C(t) para ( t 0 )determinando previamente sus asíntotas 3. Un fabricante de papel utiliza pulpa de papel usado y madera para hacer dos tipos diferentes de papel. Una tanda de papel de tipo A se hace con 180 kg de pulpa de papel usado y 40 kg de madera, mientras que una tanda de papel de tipo B se hace con 150 kg de pulpa de papel usado y 10 kg de madera. Una tanda de papel del tipo A produce un beneficio de pts., mientras que una del tipo B produce pts. Calcular la cantidad de tandas de cada tipo de papel que deberá fabricarse para obtener el máximo beneficio posible. Determinar dicho beneficio máximo. 4. La probabilidad de que se produzca un fallo un día cualquiera en un nudo de comunicaciones es igual a El nodo comienza cada día funcionando en perfectas condiciones. a) Calcula la probabilidad de que el primer fallo observado en 5 días consecutivos se produzca en el quinto día. b) Calcular la probabilidad de que en cinco días observados haya sólo uno con fallo 5. El 5% de una población Normal cae entre la media 80 y el valor x = Se pide: a) Calcula la desviación típica b) Halla el percentil 67 OBLIGATORIA SEPTIEMBRE Estudia y resuelve el siguiente sistema lineal de ecuaciones: x + y + z = x - y = 0 - y - z = 1. Dibuja la gráfica de la función f ( x) ( x - 1) x += indicando los puntos en que no es derivable. 3. Una compañía aérea dispone de aviones de 100 y 00 plazas. Los aviones de 100 plazas tienen 15 puestos de primera clase y 85 de turista. Los aviones de 00 plazas tienen 5 puestos de primera clase y el resto de turista. Determina la forma de repartir a pasajeros, de los que son de primera clase, en el menor número de aviones posible. 4. Se considera una baraja española de cuarenta cartas y se extraen tres cartas. Se pide: a) Probabilidad de obtener exactamente un as. b) Probabilidad de obtener exactamente dos ases. c) Probabilidad de obtener al menos un as. d) Probabilidad de que las tres sean del mismo palo. 5. Una empresa fabrica sacos de plástico diarios. El peso de cada saco sigue una distribución normal de media 00 gramos y desviación típica 5 gramos. Determina en la producción diaria: a) El número de sacos que pesan más de 15 gramos. b) El número de sacos que pesan entre 190 y 00 gramos. c) El intervalo de pesos que contiene a los.981 sacos más ligeros. 1. Dadas las matrices A = (1,, - 5), 1 B = Se pide a) Calcula A B y B A ; b) B A. Dibuja la región plana acotada limitada por las parábolas : y = (x - 1) ; y (x += 1) y el eje OX. Calcula el área de dicha región. 3. Halla el máximo de la función f(x, y) = x + 5y, sujeto a las siguientes restricciones: x + y 4 ; 3 + yx; 6 x 0 ; y 0
19 Indicar también el punto donde la función alcanza dicho valor máximo 4. Un concesionario de automóviles vende en el mismo día a particulares cinco vehículos idénticos. Supuesto que la probabilidad de este tipo de vehículos esté en rodaje dos años después es igual a 0 8, se pide: a) Probabilidad de que los cinco automóviles estén en servicio dos años más tarde. b) Probabilidad de que los cinco automóviles estén fuera de servicio dos años más tarde. c) Probabilidad de que tres automóviles estén fuera de servicio dos años más tarde. d) Probabilidad de que a lo sumo dos automóviles estén fuera de servicio dos años más tarde. 5. Se sabe que la varible que indica el peso de un colectivo de personas sigue una distribución normal. Sabiendo que el 10% tienen un peso superior a 95 kg y el 5% tiene un peso inferior a 45 kg. Se pide: a) Calcula la medía y la varianza de la distribución. b) Calcula los cuartiles de la distribución. OPTATIVA SEPTIEMBRE Se consideran las matrices a A = ; 1 a B = ; - 1 a) Determina los valores del parámetro real a para los cuales existe inversa de la matriz A. b) Obtener la inversa de A para a = 3. c) Resuelve la ecuación matricial XA = AB cuando a = 3.. Encuentra una función f(x) tal que f(1) = 0 y además verifique la ecuación : x 3 f '( x) + x + = 0 3. Una empresa de transporte se compromete a trasladar como mínimo sacos diarios del centro de producción a su punto de destino. Dispone de 10 camiones que cargan cada uno 100 sacos y de 5 camiones que cargan 10 sacos. Un viaja con los del primer tipo cuesta pesetas y con los del segundo tipo cuesta pesetas. Sabiendo además que sólo cuenta con 10 conductores y que cada conductor solo puede efectuar un viaje diario, determina la cantidad de camiones del primer tipo y del segundo tipo que deben utilizarse para qué el coste sea mínimo. 4. Se lanza dos veces un dado equilibrado de seis caras numerado del uno al seis. Halla la probabilidad de que: a) La diferencia entre el resultado mayor y el menor sea uno o cinco. b) El mínimo de los dos resultados sea menor o igual que dos. 5. La variable X representa la presión arterial en milímetros. Se sabe que X sigue una distribución normal con media 10 mm y desviación típica 10 mm. a) Calcula la probabilidad de que la presión arterial de una persona sea menor que 110 mm. b) Halla la probabilidad de que X está entre 10 mm y 140 mm. c) Obtén un valor x 0 tal que la probabilidad de que una persona tenga presión arterial mayor que x 0 sea igual a Calcula todas las raíces de la siguiente ecuación en la incógnita x: x x = 0-1 x. Calcula el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones: 3 f(x) = x - x - 3x + ; g(x) = x - 3. Halla el máximo de la función f(x, y) = x + 3y, sujeto a las siguientes restricciones: x + 7y 35 ; x + y 0 ; + yx; 63 x 0 ; y 0 Indicar también el punto donde la función alcanza dicho valor máximo. 4. Una máquina produce piezas que se empaquetan en lotes de 5. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0 1. Se escoge un lote al azar. Se pide: a) Probabilidad de que el lote tenga menos de dos piezas defectuosas. b) Probabilidad de que ninguna pieza del lote sea defectuosa. c) Sea X la variable aleatoria que indica el número de piezas defectuosas en el lote. Calcula el valor esperado de X. 5. Las edades de 15 personas de un determinado grupo son: 33, 4, 45, 9, 4, 37, 66, 47, 43, 45, 40, 38, 50, 40, 38 Se pide: a) Obtener la media y la mediana. b) Obtener el recorrido intercuartílico.
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