Funciones de agregación para la toma de decisiones multicriterio. Vicenç Torra 1. Octubre, 2014

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1 Jaén Funciones de agregación para la toma de decisiones multicriterio Vicenç Torra 1 Octubre, Institut d Investigació en Intel ligència Artificial (IIIA-CSIC); Universidad de Skövde (HiS, Suecia) - a partir de noviembre 2014 Torra, Narukawa (2007) Modeling decisions, Springer; Torra (2015) Matemáticas en las urnas, RBA

2 Índice Toma de decisiones Toma de decisiones multicriterio Funciones de agregación: una introducción Agregación de funciones de utilidad (numéricas) De la media ponderada a las integrales difusas Modelos jerárquicos Agregación de relaciones de preferencia Resumen de temas relacionados Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 1 / 97

3 Introducción Toma de decisiones Escoger entre varias alternativas Un ejemplo: Queremos comprar un coche y hay varios modelos Alternativas: {Peugeot308,FordT.,...} Otros ejemplos: el problema del prisionero, movimiento escoger en juegos, etc. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 2 / 97

4 Introducción Marco general de la toma de decisiones Características del problema Varias alternativas {Peugeot308,FordT.,...} Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 3 / 97

5 Introducción Marco general de la toma de decisiones Dificultades del problema Criterios en contradicción Incertidumbre y el riesgo Adversario Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 4 / 97

6 Introducción Marco general de la toma de decisiones Dificultad: Criterios en contradicción No es posible encontrar una alternativa que satisfaga todos los criterios Un coche barato y asequible pero no tan confortable Precio vs. seguridad y confort Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 5 / 97

7 Introducción Marco general de la toma de decisiones Dificultad: Incertidumbre y riesgo Conocemos o no el efecto de nuestra acción Cuando escogemos un coche sabemos su precio y la capacidad del maletero Cuando compramos un boleto de loteria, no sabemos si ganaremos Cuando el médico propone un tratamiento, no está seguro su efecto Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 6 / 97

8 Introducción Marco general de la toma de decisiones Dificultad: Decisiones con adversario Nuestra decisión debe confrontarse con la de e.g. oponentes Los juegos con adversario: a nuestro movimiento le sigue el del adversario Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 7 / 97

9 Introducción Algunas notas sobre el marco general de la toma de decisiones Incertidumbre vs. riesgo: conceptos diferentes Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 8 / 97

10 Introducción Algunas notas sobre el marco general de la toma de decisiones Incertidumbre vs. riesgo: conceptos diferentes Decisión bajo riesgo: Cada acción conduce a varios estados con probabilidades conocidas Caso de la loteria Caso de los juegos (con dados) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 8 / 97

11 Introducción Algunas notas sobre el marco general de la toma de decisiones Incertidumbre vs. riesgo: conceptos diferentes Decisión bajo riesgo: Cada acción conduce a varios estados con probabilidades conocidas Caso de la loteria Caso de los juegos (con dados) Decisión bajo incertidumbre: Las probabilidades son desconocidas o no comparables Caso del médico No únicamente probabilidades, información vaga o imprecisa. Un poco de fiebre: alrededor de 38? Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 8 / 97

12 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (I) Toma de decisiones con certidumbre Toma de decisiones con incertidumbre y riesgo Toma de decisiones con adversario Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 9 / 97

13 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (II) Toma de decisiones con certidumbre Toma de decisiones: Varias alternativas, cada una de ellas evaluada de acuerdo con varios criterios. Efectos de la decisión sin incertidumbre. Ejemplo. Alternativas (coches) y criterios (precio, confort, etc.) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 10 / 97

14 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (II) Toma de decisiones con certidumbre Toma de decisiones: Varias alternativas, cada una de ellas evaluada de acuerdo con varios criterios. Efectos de la decisión sin incertidumbre. Ejemplo. Alternativas (coches) y criterios (precio, confort, etc.) Número finito de alternativas: toma de decisión multicriterio Número infinito de alternativas: toma de decisión multiobjetivo Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 10 / 97

15 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (II) Toma de decisiones con certidumbre Toma de decisiones: Varias alternativas, cada una de ellas evaluada de acuerdo con varios criterios. Efectos de la decisión sin incertidumbre. Ejemplo. Alternativas (coches) y criterios (precio, confort, etc.) Número finito de alternativas: toma de decisión multicriterio Número infinito de alternativas: toma de decisión multiobjetivo MCDA: Herramientas para capturar, entender y analizar las diferencias (punto de vista constructivo) MCDM: Herramientas para describir el proceso de decisión. Se supone que el proceso se puede formalizar. (punto de vista descriptivo) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 10 / 97

16 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (III) Toma de decisiones con certidumbre Multicriteria Decision Aid (MCDA): finito / punto de vista descriptivo / modelización Multicriteria Decision Making (MCDM): finito / punto de vista constructivo Multiobjective Decision Making (MODM): infinito Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 11 / 97

17 Introducción Ejemplo. Multiobjective decision making: número infinito de alternativas Selección de las cantidades de carbón de dos tipos para la generación de electricidad (Dallenbach, 1994, p.314). Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 12 / 97

18 Introducción Ejemplo. Multiobjective decision making: número infinito de alternativas Selección de las cantidades de carbón de dos tipos para la generación de electricidad (Dallenbach, 1994, p.314). Vapor máximo (producción)? Beneficio máximo? Tenemos que tener en cuenta restricciones Cada carbón tiene sus inconvenientes (emisiones diferentes) No pueden generarse emisiones en exceso Formulación/resolución mediante optimización (e.g., Simplex) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 12 / 97

19 Introducción Ejemplo. Multicriteria decision making: número finito de alternativas La compra del coche Alternativas: {Peugeot308,FordT.,...} Puntos de vista/criterios: Precio, calidad, confort representamos nuestras preferencias sobre las alternativas Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 13 / 97

20 Introducción Marco general de la toma de decisiones: clasificación (III) Toma de decisiones con adversario Juegos estáticos: los jugadores actuan a la vez Teoria de juegos (game theory), juegos no cooperativos, juegos cooperativos Juegos dinámicos: los jugadores actuan secuencialmente Algoritmos de juegos (minimax, poda α-β) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 14 / 97

21 MCDM: Multicriteria decision making Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 15 / 97

22 MCDM Representación de preferencias Funciones de utilidad. Una función para cada criterio La función se aplica a cada alternativa El valor de la función es mayor, como mayor es la satisfacción del criterio Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 16 / 97

23 MCDM Representación de preferencias Funciones de utilidad. Una función para cada criterio La función se aplica a cada alternativa El valor de la función es mayor, como mayor es la satisfacción del criterio Relaciones de preferencia (comparación entre varias alterntivas) Relación binaria para cada criterio Cada relación nos ordena las alternativas Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 16 / 97

24 MCDM Representación de preferencias Funciones de utilidad. Una función para cada criterio La función se aplica a cada alternativa El valor de la función es mayor, como mayor es la satisfacción del criterio Relaciones de preferencia (comparación entre varias alterntivas) Relación binaria para cada criterio Cada relación nos ordena las alternativas Funciones de utilidad como descripción matemática de las relaciones de preferencia Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 16 / 97

25 MCDM Representación de preferencias Funciones de utilidad. Ford T: U precio = 0.2, U calidad = 0.8, U confort = 0.3 Peugeot308: U precio = 0.7, U calidad = 0.7, U confort = 0.8 Relaciones de preferencia (comparación entre varias alterntivas) R precio : R precio (P308,FordT), R precio (FordT,P308) R calidad : R calidad (P308,FordT), R calidad (FordT,P308) R confort : R confort (P308,FordT), R confort (FordT,P308) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 17 / 97

26 MCDM Representación de preferencias Ejemplo. Relaciones de preferencia. Número Seguridad Precio Confort Maletero asientos Ford T Seat Simca VW escarabajo Citroën Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 18 / 97

27 MCDM Representación de preferencias Ejemplo. Funciones de utilidad. Número Seguridad Precio Confort Maletero asientos Ford T Seat Simca VW escarabajo Citroën Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 19 / 97

28 MCDM Representación de preferencias: Relaciones de preferencia Formalización: Conjunto de referencia X Propiedades (para todo x, y, z) Relación binaria: I.e., subconjunto de R X X Denotamos x y sii (x,y) R Relación total o completa: x y o y x Relación transitiva: x y, y z entonces x z Relación reflexiva: x x Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 20 / 97

29 MCDM Representación de preferencias: Relaciones de preferencia Formalización: Conjunto de referencia X Propiedades (para todo x, y, z) Relación binaria: I.e., subconjunto de R X X Denotamos x y sii (x,y) R Relación total o completa: x y o y x Relación transitiva: x y, y z entonces x z Relación reflexiva: x x Definición: (en toma de decisiones) Una relación es una relación de preferencia racional si total, transitiva i reflexiva. en matemáticas: preorden total Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 20 / 97

30 MCDM Representación de preferencias Ejemplo. Relaciones de preferencia racional Satisfacen completitud, transitividad, reflexividad Número Seguridad Precio Confort Maletero asientos Ford T Seat Simca VW escarabajo Citroën Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 21 / 97

31 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Formalización: Conjunto de referencia X U : X D para un cierto dominio D Representación: Una utilidad u representa una preferencia para todo x,y X cuando x y si y solo si u(x) u(y). Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 22 / 97

32 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Formalización: Conjunto de referencia X U : X D para un cierto dominio D Representación: Una utilidad u representa una preferencia para todo x,y X cuando x y si y solo si u(x) u(y). Ejemplo. En el precio, la utilidad no representa la relación Es cierto u precio (Simca1000) u precio (Seat600) pero es falso Simca 1000 Seat 600 Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 22 / 97

33 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Formalización: Conjunto de referencia X U : X D para un cierto dominio D Representación: Una utilidad u representa una preferencia para todo x,y X cuando x y si y solo si u(x) u(y). Ejemplo. En el precio, la utilidad no representa la relación Es cierto u precio (Simca1000) u precio (Seat600) pero es falso Simca 1000 Seat 600 Relación: Podemos establecer una relación entre las utilidades y las relaciones de preferencia Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 22 / 97

34 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Formalización: Conjunto de referencia X U : X D para un cierto dominio D Representación: Una utilidad u representa una preferencia para todo x,y X cuando x y si y solo si u(x) u(y). Ejemplo. En el precio, la utilidad no representa la relación Es cierto u precio (Simca1000) u precio (Seat600) pero es falso Simca 1000 Seat 600 Relación: Podemos establecer una relación entre las utilidades y las relaciones de preferencia Teorema. Dado un conjunto de alternativas, existe una función de utilidad que representa a la relación de preferencia si y sólo si la relación de preferencia es racional. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 22 / 97

35 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Ejemplo: definición para precio Presupuesto maximo de euros. Menor que 1000 es perfecto. Funcion lineal entre 1000 y u p (x) = 100 if x 1000 (10000 x)/90 if x (1000,10000) 0 if x Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 23 / 97

36 MCDM Representación de preferencias: Funciones de utilidad Ejemplo: definición para capacidad del maletero No siempre hay una relación monótona entre los valores de un criterio y la utilidad El maletero óptimo es de 1 m 3. Ni demasiado pequeño, ni demasiado grande u m (x) = 0 if x x 1 if x (0.8,1.2) 0 if x 1.2 Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 24 / 97

37 MCDM Decisión Modelización del problema: representación de los criterios Agregación Selección de las alternativas Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 25 / 97

38 MCDM Agregación, según la representación de las preferencias Funciones de utilidad Ford T: U precio = 0.2, U calidad = 0.8, U confort = 0.3 Dadas unas utilidades, tenemos que agregarlas Relaciones de preferencia (comparación entre varias alterntivas) R precio : R precio (P308,FordT), R precio (FordT,P308) R calidad : R calidad (P308,FordT), R calidad (FordT,P308) Dadas unas relaciones de preferencia, tenemos que agregarlas Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 26 / 97

39 MCDM Decisión con relaciones de preferencia Modelización, agregación, selección Número Seguridad Precio Confort Maletero Preferencia asientos agregada Ford T Seat Simca VW esc Citr. Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 27 / 97

40 MCDM Decisión con funciones de utilidad Modelización, agregación = AM, selección Número Seguridad Precio Confort Maletero Preferencia asientos agregada Ford T Seat Simca VW Citr. Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 28 / 97

41 Aggregation functions: an introduction Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 29 / 97

42 Aggregation functions Aggregation and information fusion In our case, how to combine information about criteria In general, it is a broad area, with different types of applications Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 30 / 97

43 Aggregation functions Aggregation and information fusion In our case, how to combine information about criteria In general, it is a broad area, with different types of applications Examples of aggregation functions: N i=1 a i/n (AM arithmetic mean) N i=1 p i a i (WM weighted mean) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 30 / 97

44 Aggregation functions Aggregation and information fusion In our case, how to combine information about criteria In general, it is a broad area, with different types of applications Examples of aggregation functions: N i=1 a i/n (AM arithmetic mean) N i=1 p i a i (WM weighted mean) Different functions, lead to different results In our case, different orderings, different selections! Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 30 / 97

45 Aggregation functions Goal of aggregation functions (in general, not restricted to MCDM): To produce a specific datum, and exhaustive, on an entity Datum produced from information supplied by different information sources (or the same source over time) Techniques to reduce noise, increase precision, summarize information, extract information, make decisions, etc. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 31 / 97

46 Aggregation functions Information fusion studies all aspects related to combining information: Goals of data aggregation (goals of the area): Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 32 / 97

47 Aggregation functions Information fusion studies all aspects related to combining information: Goals of data aggregation (goals of the area): Formalization of the aggregation process Definition of new functions Selection of functions (methods to decide which is the most appropriate function in a given context) Parameter determination Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 32 / 97

48 Information fusion studies... Aggregation functions... all aspects related to combining information: Goals of data aggregation (goals of the area): Formalization of the aggregation process Definition of new functions Selection of functions (methods to decide which is the most appropriate function in a given context) Parameter determination Study of existing methods: Caracterization of functions Determination of the modeling capabilities of the functions Relation between operators and parameters (how parameters influence the result: can be achieve dictatorship?, sensitivity to data index). Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 32 / 97

49 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

50 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Aggregation functions: basic properties Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

51 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Aggregation functions: basic properties Unanimity and idempotency: C(a,...,a) = a for all a Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

52 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Aggregation functions: basic properties Unanimity and idempotency: C(a,...,a) = a for all a Monotonicity: C(a 1,...,a N ) C(a 1,...,a N ), if a i a i Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

53 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Aggregation functions: basic properties Unanimity and idempotency: C(a,...,a) = a for all a Monotonicity: C(a 1,...,a N ) C(a 1,...,a N ), if a i a i Symmetry: For all permutation π over {1,...,N} C(a 1,...,a N ) = C(a π(1),...,a π(n) ) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

54 Aggregation functions Terms: Information integration Information fusion: concrete functions / techniques concrete process to combine several data into a single datum. Aggregation functions: C : D N D (C from Consensus) i C with parameters (background knowledge): C P Aggregation functions: basic properties Unanimity and idempotency: C(a,...,a) = a for all a Monotonicity: C(a 1,...,a N ) C(a 1,...,a N ), if a i a i Symmetry: For all permutation π over {1,...,N} C(a 1,...,a N ) = C(a π(1),...,a π(n) ) Unanimity + monotonicity internality: min i a i C(a 1,...,a N ) max i a i Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 33 / 97

55 Aggregation functions Definition of aggregation functions: Definition from properties properties function Heuristic definition properties function Definition from examples examples function Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 34 / 97

56 Aggregation functions Definition from properties properties function Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 35 / 97

57 Aggregation functions Definition from properties properties function Some ways a) Using functional equations Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 35 / 97

58 Aggregation functions Definition from properties Some ways properties function a) Using functional equations b) Aggregation of a 1, a 2,..., a N D, as the datum c which is at a minimum distance from a i : C(a 1,a 2,...,a N ) = argmin c { a i d(c,a i )}, d is a distance over D. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 35 / 97

59 Aggregation functions Example (case (a)): Functional equations Cauchy equation φ(x+y) = φ(x)+φ(y) find φ! Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 36 / 97

60 Aggregation functions Example (case (a)): Functional equations Cauchy equation φ(x+y) = φ(x)+φ(y) find φ! φ(x) = αx for an arbitrary value for α Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 36 / 97

61 Aggregation functions Example (case (a)): Functional equations distribute s euros among m projects according to the opinion of N experts Proj 1 Proj 2 Proj j Proj m E 1 x 1 1 x 1 2 x 1 j x 1 m E 2 x 2 1 x 2 2 x 2 j x 2 m.... E i x i 1. x i 2. x i j. x i m. E N x N 1 x N 2 x N j x N m DM f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) f j (x j ) f m (x m ) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 37 / 97

62 Aggregation functions The general solution of the system (Proposition 3.11) for a given m > 2 f j : [0,s] N R + for j = {1,,m} (1) is given by m j=1 m x j = s implies that f j (x j ) = s (2) j=1 f j (0) = 0 for j = 1,,m (3) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 38 / 97

63 Aggregation functions The general solution of the system (Proposition 3.11) for a given m > 2 f j : [0,s] N R + for j = {1,,m} (1) is given by m j=1 m x j = s implies that f j (x j ) = s (2) j=1 f j (0) = 0 for j = 1,,m (3) f 1 (x) = f 2 (x) = = f m (x) = f((x 1,x 2,...,x N )) = N i=1 α i x i, (4) where α 1,,α N are nonnegative constants satisfying N i=1 α i = 1, but are otherwise arbitrary. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 38 / 97

64 Aggregation functions Example (case (b)): Consider the following expression C(a 1,a 2,...,a N ) = argmin c { a i d(c,a i )}, where a i are numbers from R and d is a distance on D. Then, Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 39 / 97

65 Aggregation functions Example (case (b)): Consider the following expression C(a 1,a 2,...,a N ) = argmin c { a i d(c,a i )}, where a i are numbers from R and d is a distance on D. Then, 1. When d(a,b) = (a b) 2, C is the arithmetic mean I.e., C(a 1,a 2,...,a N ) = N i=1 a i/n. 2. When d(a,b) = a b, C is the median I.e., the median of a 1,a 2,...,a N is the element which occupies the central position when we order a i. 3. When d(a,b) = 1 iff a = b, C is the plurality rule (mode or voting). I.e., C(a 1,a 2,...,a N ) selects the element of R with a largest frequency among elements in (a 1,a 2,...,a N ). Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 39 / 97

66 Aggregation for (numerical) utility functions Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 40 / 97

67 Aggregation for (numerical) utility functions Decisión con funciones de utilidad Modelización, agregación = C, selección Seats Security Price Comfort trunk C = AM Ford T Seat Simca VW Citr. Acadiane Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 41 / 97

68 Aggregation for (numerical) utility functions MCDM: Aggregation to deal with contradictory criteria Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 42 / 97

69 Aggregation for (numerical) utility functions MCDM: Aggregation to deal with contradictory criteria But there are occasions in which ordering is clear E.g., when a i b i it is clear that a b Seats Security Price Comfort trunk C = AM Seat Simca Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 42 / 97

70 Aggregation for (numerical) utility functions MCDM: Aggregation to deal with contradictory criteria But there are occasions in which ordering is clear E.g., when a i b i it is clear that a b Seats Security Price Comfort trunk C = AM Seat Simca Pareto dominance: Given two vectors a = (a 1,...,a n ) and b = (b 1,...,b n ), we say that b dominates a when a i b i for all i and there is at least one k such that a k < b k. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 42 / 97

71 Aggregation for (numerical) utility functions Pareto set, Pareto frontier, or non dominance set: Seats Security Price Comfort trunk C = AM Simca VW Citr. Acadiane Each one wins at least in one criteria Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 43 / 97

72 Aggregation for (numerical) utility functions Pareto set, Pareto frontier, or non dominance set: Given a set of alternatives U represented by vectors u = (u 1,...,u n ), the Pareto frontier is the set u U such that there is no other v U such that v dominates u. PF = {u there is no v s.t. v dominates u} Pareto optimal: an element u of the Pareto set f 2 f 2 (x 2 ) x 2 f 2 (x 1 ) x 1 f 1 (x 2 ) f 1 (x 1 ) f 1 Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 44 / 97

73 Aggregation for (numerical) utility functions MCDM: we aggregate utility, and order according to utility The function of aggregation functions Different aggregations lead to different orders Aggregation establishes which points are equivalent Different aggregations, establish different curves of points (level curves) Criteria Satisfaction on: f 2 alt Price Quality Comfort alt Consensus alt Ranking FordT FordT FordT f 2 (x 2 ) x f 2 (x 1 ) x 1 f 1 (x 2 ) f 1 (x 1 ) f 1 Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 45 / 97

74 Aggregation for (numerical) utility functions Why alternatives de to the arithmetic mean? Not all criteria are equally important (security and comfort) There are mandatory requirements (price below a threshold) Compensation among criteria Interactions among criteria Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 46 / 97

75 Aggregation: from the weighted mean to fuzzy integrals Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 47 / 97

76 Aggregation: from the weighted mean to fuzzy integrals An example Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 48 / 97

77 Aggregation: example Example. A and B teaching a tutorial+training course w/ constraints The total number of sessions is six. Professor A will give the tutorial, which should consist of about three sessions; three is the optimal number of sessions; a difference in the number of sessions greater than two is unacceptable. Professor B will give the training part, consisting of about two sessions. Both professors should give more or less the same number of sessions. A difference of one or two is half acceptable; a difference of three is unacceptable. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 49 / 97

78 Aggregation: example Example. Formalization Variables x A : Number of sessions taught by Professor A x B : Number of sessions taught by Professor B Constraints the constraints are translated into C 1 : x A +x B should be about 6 C 2 : x A should be about 3 C 3 : x B should be about 2 C 4 : x A x B should be about 0 using fuzzy sets, the constraints are described... Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 50 / 97

79 Aggregation: example Example. Formalization Constraints if fuzzy set µ 6 expresses about 6, then, we evaluate x A +x B should be about 6 by µ 6 (x A +x B ). given µ 6, µ 3, µ 2, µ 0, Then, given a solution pair (x A,x B ), the degrees of satisfaction: µ 6 (x A +x B ) µ 3 (x A ) µ 2 (x B ) µ 0 ( x A x B ) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 51 / 97

80 Aggregation: example Example. Formalization Membership functions for constraints µ 0 µ 2 µ 3 µ Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 52 / 97

81 Aggregation: example Example. Application alternative Satisfaction degrees Satisfaction degrees (x A,x B ) (µ 6 (x A +x B ), µ 3 (x A ), C 1 C 2 C 3 C 4 µ 2 (x B ), µ 0 ( x A x B )) (2,2) (µ 6 (4), µ 3 (2), µ 2 (2), µ 0 (0)) (2,3) (µ 6 (5), µ 3 (2), µ 2 (3), µ 0 (1)) (2,4) (µ 6 (6), µ 3 (2), µ 2 (4), µ 0 (2)) (3.5,2.5) (µ 6 (6), µ 3 (3.5), µ 2 (2.5), µ 0 (1)) (3,2) (µ 6 (5), µ 3 (3), µ 2 (2), µ 0 (1)) (3,3) (µ 6 (6), µ 3 (3), µ 2 (3), µ 0 (0)) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 53 / 97

82 Aggregation: from the weighted mean to fuzzy integrals WM, OWA, and WOWA operators Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 54 / 97

83 Aggregation: WM, OWA, and WOWA operators Operators Weighting vector (dimension N): v = (v 1...v N ) iff v i [0,1] and i v i = 1 Arithmetic mean (AM :R N R): AM(a 1,...,a N ) = (1/N) N i=1 a i Weighted mean (WM: R N R): WM p (a 1,...,a N ) = N i=1 p ia i (p a weighting vector of dimension N) Ordered Weighting Averaging operator (OWA: R N R): OWA w (a 1,...,a N ) = N i=1 w i a σ(i), where {σ(1),...,σ(n)} is a permutation of {1,...,N} s. t. a σ(i 1) a σ(i), and w a weighting vector. Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 55 / 97

84 Aggregation: WM, OWA, and WOWA operators Example. Application Let us consider the following situation: Professor A is more important than Professor B Thenumberofsessionsequaltosixisthemostimportantconstraint (not a crisp requirement) The difference in the number of sessions taught by the two professors is the least important constraint WM with p = (p 1,p 2,p 3,p 4 ) = (0.5,0.3,0.15,0.05). Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 56 / 97

85 Aggregation: WM, OWA, and WOWA operators Example. Application WM with p = (p 1,p 2,p 3,p 4 ) = (0.5,0.3,0.15,0.05). alternative Aggregation of the Satisfaction degrees WM (x A,x B ) WM p (C 1,C 2,C 3,C 4 ) (2,2) WM p (0,0.5,1,1) 0.35 (2,3) WM p (0.5,0.5,0.5,0.5) 0.5 (2,4) WM p (1,0.5,0,0.5) (3.5,2.5) WM p (1,0.5,0.5,0.5) 0.75 (3,2) WM p (0.5,1,1,0.5) (3,3) WM p (1,1,0.5,1) Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 57 / 97

86 Aggregation: WM, OWA, and WOWA operators Example. Application Compensation: how many values can have a bad evaluation One bad value does not matter: OWA with w = (1/3,1/3,1/3,0) (lowest value discarded) alternative Aggregation of the Satisfaction degrees OWA (x A,x B ) OWA w (C 1,C 2,C 3,C 4 ) (2,2) OWA w (0,0.5,1,1) (2,3) OWA w (0.5,0.5,0.5,0.5) 0.5 (2,4) OWA w (1,0.5,0,0.5) (3.5,2.5) OWA w (1,0.5,0.5,0.5) (3,2) OWA w (0.5,1,1,0.5) (3,3) OWA w (1,1,0.5,1) 1.0 Vicenç Torra; Modeling decisions Jaén 58 / 97

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