Transcripción

1 (Chpter hed:)integrles MULTIPLES El concepto de integrl de un función de un sol vrible sobre un intervlo estudido en el Cálculo I, se extiende de mner nturl primero funciones de dos vribles sobre un región pln y después funciones de tres vribles sobre un sólido. Un problem que motiv l "prición" de un integrl es el problem del cálculo de l tempertur medi o el promedio de ls temperturs en un lmbre de longitud dd por el intervlo [; b]. Su resolución muestr un mner "nturl" de psr del cso discreto l cso contínuo. si f(x) = 4x x y x Pr obtener el promedio, debemos sumr los "in nitos" vlores de l tempertur en [0; 4] y dividir entre "1"?. Un criterio "rzonble" es dividir el intervlo [0; 4] en prtes; los intervlos [0; ] y [; 4]. En cd pedzo elegir un vlor representtivo pr es prte del lmbre donde se tiene in- nitos vlores pr l tempertur: por ejemplo, f(1) y f() 1

2 , y scmos el promedio de mbos vlores: f(x) = 4x x f(1) + f() = + = y x con el mismo criterio, dividiendo en 8 pedzos el intervlo [0; 4], se obtiene f( 1 4 ) + f( 4 ) + f(5 4 ) + f(7 4 ) + f(9 4 ) + f(11 4 ) + f(1 4 ) + f(15 4 ) 8 :Pr elegir un "mejor" vlor de l tempertur es nturl dividir el lmbre en un número cd vez más grnde de pedzos y (l ide clve) y relizr un promedio ponderdo con l longitud del pedzo l cul represent l tempertur elegid como representnte. f(1) + f() + = f( 1 4 ) 1 + f( 4 ) 1 + f(5 4 ) 1::: + f(15 4 ) = 4 16 = 4 16 = :6875

3 Y "lo mejor" es que el número de pedzos se cd vez más grnde ( n! 1): lim n!1 f(x 1 )x 1 + f(x )x + f(x )x + :::::::: + f(x n )x n () x 1 + x + :::::: + x n lo que se escribe f(x)dx dx = X i=1 Z 4 0 i=1 f(x i)x i X i=1 i=1 x i (4x x )dx Z 4 El numerdor se denomin " integrl de f(x) en el intervlo [; b] ". El símbolo descrito: 0 dx f(x)dx denot todo el proceso de cómputo 1.() mrcr el intervlo [; b] y dividirlo en n pedzos. (b) evlur en un punto de cd pedzo el vlor de l tempertur f(x): (c) clculr l sum ponderd de los vlores clculdos f(x) ponderdos por l longitud del pedzo l que represent cd vlor f(x): (d) umentr el número de pedzos "inde nidmente" ( n! 1):Esto signi c" determinr el vlor l que se vn proximndo" ls sums medid que n ument.

4 Un resultdo "notble" unque "rzonble" es que se tiene f(x)dx = F (b) F(x) = f(x) F () Entonces Z 4 0 (4x x )dx = 4x = ( 4 4 y emplendo el mismo resultdo Z 4 0 x j4 0 dx = x j 4 0= 4 de donde el promedio de tempertur es 4 = 1 = : NOT.- El resultdo f(x)dx = F (b) F(x) = f(x) 4 ) 0 = F () se puede "mostrr" prtir del hecho - siendo F(x) = f(x) y los x i los puntos extremos en que se divide el intervlo [; b] : siendo el primer punto x 1 = y el último x n = b F (x ) F () t f(x 1 )x 1 F (x ) F (x ) t f(x )x F (x 4 ) F (x ) t f(x )x ::::: F (b = x n+1 ) 4 F (x n ) = f(x n )x n

5 De donde, sumndo miembro miembro F (b) F () t f(x 1 )x 1 +f(x )x +f(x )x +:::+f(x n )x n Y cundo el número de divisiones es más numeroso y sus longitudes tienden 0; se tiene un resultdo cd vez más próximo los que se llm integrl de f(x) en el intervlo [; b]. En resumen: si f (x) es un función de nid en [; b], l integrl de f sobre [; b] se de ne de l siguiente mner: l1 li ln y n x1 xi xn Fig. 6.1 b 1 f x Fig. 6. R Dividmos [; b] en n prtes, de longitudes l 1 ; l ; :::; l n respectivmente. hor, de cd pedzo elijmos rbitrrimente un punto x i y formemos l sum S n = f (x 1 ) l 1 + ::: + f (x n ) l n (1) Si el límite de S n existe, cundo el número de subdivisiones ument (es decir, n! 1) y los pedzos son todos cd vez más pequeños (es decir, mx l i! 0); entonces tl límite se llm integrl de f (x) sobre [; b] y se represent por f (x) dx 5

6 es decir, f (x) dx = lim (f (x 1 ) l 1 + f (x ) l + ::: + f (x n ) l n ) n!1 () Por supuesto, en () el límite se tom demás con mx l i! 0 pero omitimos esto en l notción pr no sobrecrgrl. 1 INTEGRLES DOBLES Un problem que motiv l "prición" de un integrl doble es el problem de clculr l tempertur medi o el promedio de ls temperturs en un lámin rectngulr o rectángulo de nido por el producto de los intervlos [; b] y [c; d]. Su resolución muestr un mner "nturl" de psr del cso discreto l cso contínuo. Si un función z = f (x; y) de R en R de nid en el rectágulo d en cd punto (x; y) l tempertur en dicho punto. Por ejemplo f(x; y) = x y en el rectángulo de nido por [0; 8] y [0; 4] 6

7 b Pr obtener el promedio, debemos sumr los "in nitos" vlores de l tempertur en y dividir entre "1"?. Un criterio "rzonble" es dividir el rectángulo en, digmos 4 rectángulos. En cd pedzo elegir un vlor representtivo pr es prte de l lámin (donde se tiene in nitos vlores pr l tempertur): por ejemplo, f(x 1 ; y 1 ), f(x 1 ; y ), f(x ; y 1 ) y f(x ; y ), y scmos el promedio de dichos vlores: f(x; y) = x y f(x 1 ; y 1 ) + f(x 1 ; y ) + f(x ; y 1 ) + f(x ; y ) = 4 f(; 1) + f(; ) + f(6; 1) + f(6; ) = 40 4 Pr elegir un "mejor" vlor de l tempertur es nturl dividir el lmbre en un número cd vez más grnde de 7

8 pedzos o rectángulos y (l ide clve) y relizr un promedio ponderdo con el áre del pedzo l cul represent l tempertur elegid como representnte. f(; 1) 8 + f(; ) 8 + f(4; 1) 8 + f(4; ) 8 = que nos d el mismo vlor obtenido nteriormente. Y "lo mejor" es que el número de rectángulos se cd vez más grnde ( n; m! 1): Dividiendo el intervlo [; b] en n pedzos y el intervlo [c; d] en m pedzos; obtenemos n m rectángulos f(x 1 ; y 1 )y 1 x 1 + f(x 1 ; y )y x 1 ::: + f(x 1 ; y m )y m x 1 + ::::::: lim n!1; m!1 x 1 + x + :::::: + x n donde el recorrido es por columns ( se puede recorrer tmbién por ls y el resultdo es el mismo pues l sum es conmuttiv) lo que se escribe, pr el cso en que el recorrido es por columns X i=n (X j=m f(x i; y j )y j x i ) i=1 j=1 X i=n (X j=m y jx i ) i=1 j=1 Y cundo n y m umentn cd vez más y existe un vlor o número l que se proxim l sum ponderd, el numerdor se denomin " integrl doble de f(x; y) en el rectángulo f(x; y)dydx Y el denomindor - que siempre tom pr culquier número de rectángulos, el vlor del áre del rectángulo se escribe 8

9 dydx : El símbolo cómputo descrito: f(x; y)dydx denot todo el proceso de 1.() mrcr el rectángulo y dividirlo en n pedzos. (b) evlur en un punto de cd pedzo el vlor de l tempertur f(x; y): (c) clculr l sum ponderd de los vlores clculdos f(x; y) ponderdos por el áre del rectángulo l que represent cd vlor f(x; y): (d) umentr el número de pedzos rectngulres "inde nidmente" ( n; m! 1):Esto signi c" determinr el vlor l que se vn proximndo" ls sums medid que n y m umentn. Un resultdo "notble" unque "rzonble" ( que en relidd es consecuenci del resultdo obtenido pr un lmbre o un vrible) es que se tiene": Z x=b Z y=d f(x; y)dydx = ( f(x; y)dy)dx (*) x= y=c donde en el préntesis x se tom como constnte. Pr el ejemplo: Z x=8 x=0 ( Z y=4 y=0 Z x=8 x=0 x ydy)dx = Z x=8 x=0 (8x )dx = 8 x j8 0= 84 (x y j4 0)dx 9

10 Mientrs que dydx = = Z x=8 x=0 Z x=8 x=0 ( Z y=4 y=0 Y el promedio de temperturs es : 18 = 4: : El resultdo "notble" dy)dx = (4)dx = 4x j 8 0= 8 4 = 18 = 4: f(x; y)dydx = sezpuede Z comprender por lo que sigue: f(x; y)dydx = X i=n n; m! 1 (**) X i=n i=1 (X j=m Z x=8 x=0 (y j 4 0)dx Z x=b x= ( Z y=d y=c i=1 (X j=m j=1 f(x i; y j )y j x i ), con f(x; y)dy)dx, f(x i; y j )y j x i ) = ( X j=m f(x 1; y j )y j x 1 )+ j=1 j=1 ( X j=m f(x ; y j )y j x )+::::::::+( X j=m f(x n; y j )y j x n ) j=1 j=1 Pero cundo m! 1, se tiene por el resultdo pr un vrible: ( Z d c f(x 1 ; y)dy)x 1 +( Y hciendo g(x) = Z d c Z d c f(x ; y)dy)x +::::::::::+( f(x; y)dy Z d = g(x 1 )x 1 +g(x )x +g(x )x +::::::::::::::+g(x n )x n = g(x)dx. De donde f(x; y)dydx = Z x=b x= 10 ( Z y=d y=c f(x; y)dy)dx c f(x n ; y)dy)x n.

11 Si el límite (**) existe se dice que f (x; y) es integrble sobre. No tods ls funciones son integrbles; sin embrgo, ls funciones que son continus en son integrbles sobre. El cálculo de l integrl doble prtir de su de nición es tremendmente moroso. Sin embrgo, notemos que siempre podemos hllr el vlor de l integrl doble por lo menos proximdmente. Pr el cso, donde l lámin y no es un rectángulo sino un región limitd por curvs: b Se de ne l tempertur en todo el rectángulo que contiene l región limitd por curvs: Se mntiene el vlor -como debe ser - dentro de l región ; pero en l zon fuer de y dentro del rectángulo se de ne l tempertur como 0: y = y 1 (x) es l curv inferior de l región : y = y (x) es l curv superior de l región :Y el intervlo [; b] es l proyección de l región sobre el eje X: En este cso: f(x; y)dydx, cundo m! 1, se tiene por el resultdo pr un vrible: ( Z y (x 1 ) y 1 (x 1 ) f(x 1 ; y)dy)x 1 +( Z y (x ) y 1 (x ) f(x ; y)dy)x +::::::::::+ 11

12 ( Z y (x n ) y 1 (x n ) f(x n ; y)dy)x n. Y hciendo g(x) = Z y (x) y 1 (x) f(x; y)dy = g(x 1 )x 1 +g(x )x +g(x )x +::::::::::::::+g(x n )x n = g(x)dx. De donde f(x; y)dydx = Z x=b x= ( Z y (x) y 1 (x) f(x; y)dy)dx De l mism mner se puede clculr l integrl sumndo los vlores ponderdos por ls, y no columns. Cundo l región está limitd por rects, se puede proceder como el cso rectngulr pero los pedzos pueden tomr otrs forms. Exmple 1 Clculr proximdmente l integrl doble de f (x; y) = x + y sobre el triángulo de vértices (0; 0), (4; 0), (0; 4). 4 x (1,) Fig (1,1) (,1) 4 x Tomemos n =. Dividmos el triángulo en prtes 1,, y elijmos un punto de cd prte tl como se muestr en l gur. Ls áres 1, y se clculn fácilmente: 1

13 1 = 4, =, =. Por tnto, (x + y) d ' f (x 1 ; y 1 ) 1 + f (x ; y ) + f (x ; y ) = f (1; 1) 4 + f (; 1) + f (1; ) = (1 + 1) 4 + ( + 1) + (1 + ) = 4 (como n = no es muy grnde, es de esperr que l proximción no se muy buen). 1.1 Cálculo de ls integrles dobles En resumen el cálculo de ls integrles dobles de csi tods ls funciones que trtmos se reduce, fortundmente, l cálculo consecutivo o iterdo de dos integrles simples que, como sbemos, su vez se clculn fácilmente por medio del Teorem Fundmentl del Cálculo un vrible. El teorem que estblece l mner en que de un integrl doble se ps un integrl iterd, ( veces un integrl simple) con tod rzón, recibe un nombre que señl su importnci. Teorem 6.1. (Teorem Fundmentl de ls Integrles Dobles) Si f (x; y) es integrble sobre un región pln, y: ) L región es limitd inferiormente por ls curvs y = y 1 (x) y superiormente por y = y (x). Entonces Z x=b Z y=y Z y f (x; y) d = f (x; y) dy dx = f (x; y) dydx x= y=y 1 () donde el intervlo [; b] es l proyección de sobre el eje X. b) Si l región es limitd por l izquierd por l curv y 1 1

14 x = x 1 (y) y por l derech por x = x (y). Entonces Z y=d Z x=x f (x; y) d = f (x; y) dx dy = y=c x=x 1 Z d Z x (y) c x 1 (y) (4) donde el intervlo [c; d] es l proyección de sobre el eje Y. f (x; y) dxdy y y=y (x) y Fig. 6.4 x=x 1(y) x=x (y) Fig. 6.4b y=y 1(x) x x Exercise Clculr ls temperturs medis pr ls regiones dds y l función tempertur dd. En cd cso dividir l región en pedzos de longitud enter, en lo posible. i) relizr un promedio discreto. b) un promedio ponderdo. c) empler el cálculo integrl 1. [; 10], f(x) = x. [ ; 6], f(x) = x. [0; ], f(x) = sin x 4. [1; 4], f(x) = 1 x 5. [0; 6] [; 6], f(x; y) = x + y 6. L región limitd inferiormente por y = x, superiormente por y = 16, f(x; y) = x + y 7. L región limitd por ls prábols y = 4 x, y = 4 4x, f(x; y) = xy 14

15 8. L región del primer cudrnte limitd por l hipérbol xy = 16 y ls rects y = x, y = 0, x = 8 15