rsums Aproxima la integral de f mediante sumas de Riemann y realiza una representación gráfica de los rectángulos.

Transcripción

1 PRÁCTICA INTEGRACIÓN Práctcas Matlab Práctca : Integracón Objetvos o Calcular ntegrales defndas de forma aproxmada, utlzando sumas de Remann. o o o Profundzar en la comprensón del concepto de ntegracón. Manejar los recursos de Matlab para el cálculo de prmtvas y para el cálculo aproxmado y exacto de ntegrales defndas. Dbujar regones del plano, como ayuda para el planteamento de ntegrales. Comandos de Matlab nt Calcula de manera smbólca la ntegral de la funcón f syms x nt(x^/(x^6-8)) rsums Aproxma la ntegral de f medante sumas de Remann y realza una representacón gráfca de los rectángulos. syms x rsums exp(-x^) quad Utlza el método de cuadratura adaptatva de Smpson para calcular la ntegral numérca. quad( funcon,a,b) Utlza como toleranca.e-6 quad( funcon,a,b,tol) aproxma la tnegral de la funcón entre a y b tomando como toleranca tol f=nlne('exp(x.^)'); quad(f,0,)

2 PÁGINA MATLAB: INTEGRACIÓN trapz(x,y) Utlza la regla trapezodal para calcular la ntegral de una funcón trapz(x,y) aproxma el valor de la ntegral de Y con respecto a X. X=0:0.00:; Y=exp(X.^); trapz(x,y) Ejerccos resueltos Cálculo de prmtvas de una funcón Calcular: (a) senaxcos (b) coslog xdx (c) e x dx bx dx Solucón (a) Códgo Matlab syms a b x f=sn(a*x)*cos(b*x); ntegral=dff(f,x); pretty(ntegral) Nota: La ntegral es un proceso dfícl y puede suceder que Matlab no encuentre la prmtva de una funcón. En estos casos devuelve un mensaje del tpo Explct ntegral could not be found como es el caso de la ntegral del apartado (b). Defncón de ntegral defnda: Sumas de Remann TEORÍA.- S f es crecente en ab,, las sumas superor e nferor de Remann para una partcón regular son, respectvamente: n b a b a S f, Pn f a n n n ba ba s f, Pn f a( ) n n S f fuera decrecente las sumas son justo las contraras.

3 MATLAB: INTEGRACIÓN PÁGINA 3 (a) Consderar la funcón ntervalo [0, ]. f x e x. Dbujar su gráfca en el (b) Calcular la expresón de la suma de Remann superor resultado de dvdr el ntervalo [0,] en 0 subntervalos guales. Escrbr después el códgo matlab para obtener su valor. (c) Dbujar los rectángulos cuyo área se corresponde con la suma de Remann del apartado anteror. Crear para ello una funcón externa que depa de la funcón, los extremos del ntervalo y el número de rectángulos. (d) Aproxmar el valor de la ntegral x e dx medante la suma superor de Remann obtenda dvdo el ntervalo 0, en 0 subntervalos guales. 0 Solucón (a) Comandos Matlab x=0:.05:; y=exp(-x.^); plot(x,y,'r','lnewdth',) hold on area(x,y) (b) La suma de Remann será Comandos matlab x x 0 e dx f( c ) x e 0 0 c %De forma smbólca syms n S=symsum((/0)*exp(-(n-)^/00),n,,0); Suma=double(S); %De forma numérca m=:0; am=(/0)*exp(-(m-).^/00); S=sum(am) 0 (c) Para no complcar el códgo se consderará que la funcón f ( x ) es postva en el ntervalo [a, b]. El sguente códgo se nclurá en un fchero de nombre dbujorectangulos.m

4 PÁGINA 4 MATLAB: INTEGRACIÓN functon dbujorectangulos(f,a,b,n) dx=(b-a)/n; for =:n c=a+(-)*dx; h=subs(f,c); %Crea un rectángulo con un vértce en el punto (c,o) de %ancho dx y de alto h f h>0 rectangle('poston',[c 0 dx h],'facecolor',[ ]) hold on ezplot(f,a,b) Para ejecutar esta funcón se escrbrá en la ventana de comandos dbujorectangulos('exp(-x^)',0,,0) (d) Códgo matlab functon area=areaaprox(f,a,b,n) dx=(b-a)/n; area=0; for =:n c=a+(-)*dx; h=subs(f,c); area=area+dx*h; Para ejecutar esta funcón se escrbrá en la ventana de comandos valor=areaaprox('exp(-x^)',0,,0) Área entre dos curvas como límte de sumas de Remann 3 (a) Consderar el área entre las gráfcas de y x, y x en el ntervalo,. Utlzar rectángulos vertcales para aproxmar el área y realzar la representacón de dchos rectángulos junto con las gráfcas de las dos funcones.

5 MATLAB: INTEGRACIÓN PÁGINA 5 (c) Aproxma medante rectángulos vertcales el área entre las dos curvas cuando se consdera el ntervalo, Solucón (a) El área del rectángulo en el ésmo subntervalo de x, x, será,, es decr en el ntervalo

6 PÁGINA 6 MATLAB: INTEGRACIÓN A f x f x x superor nferor es decr, A f x g x x Nota: Por smplcdad en el códgo se consderará que la gráfca de f está por encma de la de g en el ntervalo [a,b] y se deberá tener en cuenta a la hora de llamar a la funcón. Para una versón más completa se puede descargar el fchero areas.m. functon area=areaaproxmada(f,g,a,b,n) dx=(b-a)/n; area=0; hold on for =:n c=a+(-)*dx; h=subs(f,c); h=subs(g,c); h=h-h; area=area+dx*h; %Crea un rectángulo con un vértce en el punto (c,0) de %ancho dx y de alto h f h>0 rectangle('poston',[c 0 dx h],'facecolor',[ ]) xx=a:0.0:b; y=subs(f,xx); y=subs(g,xx); plot(xx,y,'r','lnewdth',3) plot(xx,y,'b','lnewdth',3) Para llamar a la funcón se utlzará areaaproxmada('-x^','x^',0,/sqrt(),40); (b) Podría obtenerse el valor peddo tecleando en la ventana de comandos: areaaproxmada('-x^','x^',0,/sqrt(),3)+areaaproxmada('x^','- x^',/sqrt(),,9) Ejerccos propuestos Repetr el ejercco propuesto tomando a) como altura de cada rectángulo el valor de f ( x) en el extremo derecho de cada uno de ellos. b) tomando como altura de cada rectángulo el valor de f ( x ) en el punto medo de cada uno de ellos.

7 MATLAB: INTEGRACIÓN PÁGINA 7 Utlza rectángulos horzontales para aproxmar el área entre las curvas x y, x y en el nterval [0,]. En este caso el área del rectángulo en el ésmo subntervalo, es decr en y, y, será A f y f y y derecha zquerda