Anova un factor y Kruskal-Wallis

Transcripción

1 Aova u facto y Kuskal-Wallis Itoducció El aálisis de la vaiaza (Aova) se debe al estadístico-geético Si oald Ayle Fishe (890-96), auto del libo "Statistics Methods fo eseach Wokes" publicado e 95 y pioeo de la aplicació de étodos estadísticos e el diseño de expeietos, itoduciedo el cocepto de aleatoizació. El Aova se puede utiliza e las situacioes e las que os iteesa aaliza ua espuesta cuatitativa, llaada habitualete vaiable depediete, edida bao cietas codicioes expeietales idetificadas po ua o ás vaiables categóicas (po eeplo tataieto, sexo), llaadas vaiables idepedietes. Cuado hay ua sola vaiable que popocioa codicioes expeietales distitas, el aálisis ecibe el obe de Aova de u facto. Ete las puebas de copaació últiples a posteioi, que se utiliza a cotiuació de las técicas del Aova, se ecueta la pueba HSD de Tukey. Joh Tukey es, asíiso, coocido po itoduci la tasfoació ápida de Fouie, auque tabaó e uchas áeas icluyedo sobe todo la filosofía de. A. Fishe Joh Tukey la estadística. Cuado el aálisis de la vaiaza o es aplicable debido a icupliietos de las suposicioes del odelo, es ecesaio aplica la pueba de Kuskal-Wallis paa el cotaste de k ediaas. Esta pueba es ua apliació de la pueba de Ma-Whitey-Wilcoxo paa dos ediaas. La pueba de Kuskal-Wallis fue popuesta po Willia Hey Kuskal (99- ) y W. Alle Wallis (9-998) e el atículo "Use of aks i oe-citeio vaiace aalysis" publicado e el Joual of Willia H. Kuskal W. Alle Wallis Aeica Statistics Associatio e 95.

2 Fóulas básicas E el aálisis de la vaiaza, la vaiació e la espuesta se divide e la vaiació ete los difeetes iveles del facto (los difeetes tataietos) y la vaiació ete idividuos deto de cada ivel. Supoiedo que las edias de los gupos so iguales, la vaiació ete gupos es copaable a la vaiació ete idividuos. Si la piea es ucho ayo que la seguda, puede idica que las edias e ealidad o so iguales. El obetivo picipal del Aova es cotasta si existe difeecias ete las difeetes edias de los iveles de las vaiables (factoes). Cuado sólo hay dos edias, el Aova es equivalete a la pueba t- Studet paa el cotaste de dos edias. La vaiació obsevada e la espuesta se asue que es debida al efecto de las vaiables categóicas, auque tabié se asue que existe cieto eo aleatoio idepediete que explica la vaiació esidual. Se asue tabié que dicho eo aleatoio sigue ua distibució oal co edia 0 y vaiaza costate. Estas asucioes so aálogas a las exigidas paa la pueba t-studet paa cotasta la igualdad de dos edias, dode se asuía oalidad de la espuesta e cada gupo e igualdad de vaiazas (cotastada ediate la F-Sedeco). Paa estudia la validez del odelo es ecesaio cofia estas hipótesis ediate el estudio de los esiduos (valoes pedichos - valoes obsevados): oalidad, tedecias, etc. y la ealizació de u cotaste de hoocedasticidad (hoogeeidad de vaiazas ete los gupos). Paa el estudio de la oalidad de los eoes, se puede ecui al estudio de la oalidad de cada gupo (al igual que e la pueba t-studet) peo o es ecoedable, debido a que puede equei u ga úeo de puebas. La solució utilizada habitualete es el estudio del gáfico de dispesió ete los esiduos y los valoes pedichos. Este gáfico peite estudia la sietía, si existe patoes de copotaieto, la idepedecia ete obsevacioes y tedecias e geeal. Si se obseva algú copotaieto de los ecioados, el odelo o es válido y se debe cabia de odelo, de técica estadística o tasfoa las vaiables. Uo de los posibles cotastes paa la hoocedasticidad es la pueba de Balett popuesta po Balett e 97. Esta pueba pesupoe que los datos poviee de vaiables co distibució oal. Ota alteativa eos sesible a la falta de oalidad y po este otivo ecoedada po divesos autoes es la pueba de Levee popuesta po Levee e 960. E geeal, el Aova es u pocediieto uy obusto que ofece bueas apoxiacioes e el caso que las peisas del odelo o se cupla iguosaete. Muchas veces iteesa sabe qué edias difiee ete sí después de ealiza el Aova. Paa ealiza cotastes a posteio es ecesaio austa el eo alfa, y paa este obetivo existe difeetes étodos, siedo la coecció de Tukey popuesta po el ateático Joh Tukey (95-000) la ás habitual de todas ellas. Los cotastes de copaacioes últiples (o copaacioes a posteioi) popocioa ifoació detallada sobe las difeecias ete las edias dos a dos. Paa este obetivo ua piea ituició os llevaía a ealiza los coespodietes puebas t-studet (o puebas de Ma-Whitey-Wilcoxo paa ediaas) ete todas las posibles paeas de gupos. El poblea eside e la epetició de últiples cotastes. Si se tiee 5 edias, se ecesitaía ealiza 0 copaacioes a y cada ua de ellas tedía u eo alfa o de tipo I (pobabilidad de echaza la hipótesis ula cuado e ealidad es

3 cieta) del 5%. Se puede copoba que al ealiza 0 cotastes al 5%, la pobabilidad de echaza al eos ua de las hipótesis ulas es apoxiadaete del 40%. De aea que co u 40% de pobabilidades se llegaía a algua coclusió falsa. Existe divesos étodos paa austa este tipo de eo y cosegui que efectivaete el eo couto o sea supeio al 5%. La piea apoxiació es debida a Fishe, quie popuso que sólo se ha de copaa las difeecias ete edias a si el pecedete Aova ha esultado sigificativo. Estas copaacioes a posteioi se ealiza si coecció algua. Este étodo es coocido cóo LSD ( Least Sigificat Diffeece ). El étodo de Bofeoi es exteadaete cosevado peo o depede de la uesta, sólo del úeo de copaacioes. Cosiste e substitui el eo alfa po α/c siedo c el úeo de copaacioes. E el étodo de Sidak se sustituye α po - ( - α) /c, siedo uo de los ás utilizados cuado sólo os iteesa cotasta si alguas de las difeecias so sigificativas. Existe otos étodos paa cotola el eo de cada copaació debidos a Scheffé (95) y el étodo HSD ( Hoestly Sigifficat Diffeece ) de Tukey (95). Cuado todas las difeecias que se quiee estudia so cota u iso gupo cotol, es habitual ealiza el auste de Duett (955). Tabié existe étodos de copaació de gupos de edias que peite detecta gupos hoogéeos de edias cóo el auste de Duca y el de SNK ( Studet-Newa-Keuls ), que so adecuados cuado los gupos so balaceados y el iteés eside e obtee ua copaació global. E geeal, el étodo ás coveiete es: después de ealiza u Aova ealiza el auste de Tukey y si se quiee cotasta todos los gupos co u cotol ealiza el de Duett. Cuado ua copaació a posteioi o es sigificativa, la coclusió es: o ha sido posible echaza la hipótesis ula, o que sea cieta. Po este otivo, es posible ecota u odelo Aova sigificativo y que al iso tiepo o haya difeecias ete edias dos a dos. Muchas veces esta situació es debida a taaños de uesta educidos. E el caso de que o se cupla las suposicioes del aálisis de la vaiaza, es ecesaio aplica la pueba de Kuskal-Wallis paa el cotaste de k ediaas, que geealiza a la pueba de Ma- Whitey-Wilcoxo paa dos ediaas. Cuado se copaa ediaas a tavés de la pueba de Kuskal-Wallis, las copaacioes a o suele esta ipleetadas e los paquetes estadísticos, auque se puede utiliza el étodo de Du po su secillez de aplicació. Aova de u facto La pueba Aova os peite copaa las edias de gupos, siedo ayo o igual a. El odelo Aova pesupoe que las vaiazas de los gupos so iguales y que los esiduos o eoes so aleatoios, idepedietes e idéticaete distibuidos siguiedo ua ley oal co edia 0 y desviació costate. La hipótesis ula de la pueba Aova de u facto es: H 0 : Las edias de los k gupos so todas iguales H : Al eos ua de las edias es difeete Esta pueba se basa e la copaació de las suas de cuadados edias debidas a la vaiabilidad ete gupos y la debida a la vaiabilidad ita gupos (deto de los gupos). Abas suas so estiacioes idepedietes de la vaiabilidad global, de aea que, si el cociete ete la piea y la seguda es gade, se tedá ayo pobabilidad de echaza la hipótesis ula. Este cociete sigue ua distibució F co - y - gados de libetad.

4 Cálculo de la sua de cuadados Las suas de cuadados so u paso pevio paa el cálculo del Aova. Si se deota po al úeo de gupos, po el úeo de idividuos e cada gupo,,, x. la edia de cada gupo y x.. la edia global. La sua de cuadados ete gupos SCE, la sua de cuadados deto de gupos SDE y la sua de cuadados total SCT se calcula del siguiete odo: SCD i SCE ( x. x.. ) ( x i x. ) x i SCT i ( x i x.. ) i x. Utilizado la siguiete igualdad que peite expesa las desviacioes ete los datos obsevados x i y la edia total ( gad ea ) x.. coo sua de las desviacioes de la edia del gupo total ás las desviacioes ete los datos obsevados y la edia del gupo, de foa que: x i x.. ( x. x.. ) + ( x x. ) i x. y la edia se puede deosta que SCT SCE + SCD y po tato la vaiabilidad de los datos (dada po SCT) se expesa coo la sua de la vaiabilidad debida a los gupos (a las edias) o vaiabilidad explicada (dada po SCE) ás la vaiabilidad deto de los gupos (vaiabilidad esidual) o vaiabilidad o explicada (dada po SCD). Cálculo de los gados de libetad Los gados de libetad ete gupos GLE, deto de los gupos GLD y total GLT se calcula de la aea siguiete: Cálculo de los cuadados edios GLE - GLD - GLT - El cuadado edio ete gupos CME y el cuadado edio deto de gupos se calcula de la aea siguiete: Estadístico de cotaste F SCE CME GLE SCD CMD GLD El estadístico de cotaste paa ealiza la pueba Aova se costuye de la foa siguiete: CME F CMD que se distibuye segú ua F-Sedeco co GLE gados de libetad del ueado y GLD gados de libetad del deoiado. 4

5 Cálculo del coeficiete de deteiació Ua edida elativa de la vaiabilidad explicada po los gupos es el cociete: SCE SCT que se deoia coeficiete de deteiació, este coeficiete estaá ete ceo y uo. Queda clao que cuato ás póxio esté de uo, ás vaiabilidad explica el odelo, y po tato eos vaiabilidad o explicada o esidual. Tabla del Aova La ifoació ateio se suele dispoe e foa de tabla: Sua de Cuadados G.L. Cuadado Medio F-valo p-valo Ete Gupos SCE GLE CME F p Deto Gupos SCD GLD CMD Total SCT GLT Kuskal-Wallis La pueba de Kuskal-Wallis es el étodo ás adecuado paa copaa poblacioes cuyas distibucioes o so oales. Icluso cuado las poblacioes so oales, este cotaste fucioa uy bie. Tabié es adecuado cuado las desviacioes típicas de los difeetes gupos o so iguales ete sí, si ebago, el Aova de u facto es uy obusto y sólo se ve afectado cuado las desviacioes típicas difiee e ga agitud. La hipótesis ula de la pueba de Kuskal-Wallis es: H 0 : Las k ediaas so todas iguales H : Al eos ua de las ediaas es difeete Cálculo de los agos paa cada obsevació Paa cada obsevació se le asiga el ago segú el ode que ocupa la obsevació e el couto total de los datos, asigado el ago edio e caso de epates. Cálculo de la sua de agos Paa cada gupo,,, siedo el úeo de gupos, se defie coo la sua de agos de cada gupo Cálculo del valo edio de los agos E[ ] y de los agos edios El valo edio de los agos E[ ] se calcula coo: y el ago edio coo: E [ ] ( + ) Estadístico de cotaste H El estadístico de cotaste de Kuskal-Wallis H se calcula coo: 5

6 6 ( ) [ ] [ ] ( ) d d E H' k + siedo d el úeo de epates e,,k siedo k el úeo de valoes distitos de la vaiable espuesta, que sigue ua distibució Chi-Cuadado co - gados de libetad.

7 Eeplos Aova de u facto Se tiee los siguietes datos expeietales, coespodietes a 40 idividuos de los que se ha ecogido ifoació de dos vaiables: la vaiable explicativa Status es oial y la vaiable espuesta Fc es cuatitativa. Los datos se peseta de foa que e las filas hay vaios idividuos paa facilita la lectua: Fc Status Fc Status Fc Status Fc Status Calcula la pueba Aova de copaació de edias paa los datos ateioes. Cálculo de la sua de cuadados Las suas de cuadados so u paso pevio paa el cálculo del Aova. Si se deota po al úeo de gupos, po el úeo de idividuos e cada gupo,,, x. la edia de cada gupo y x.. la edia global. La sua de cuadados ete gupos SCE, la sua de cuadados deto de gupos SDE y la sua de cuadados total SCT se calcula del siguiete odo: 7650 SCE ( x. x.. ) 7 ( ) + ( ) ( ) ( x x. ) SCD i x i i i ( ) SCT i ( x x.. ) SCE + SCD i x. + Cálculo de los gados de libetad Los gados de libetad ete gupos GLE, deto de los gupos GLD y total GLT se calcula de la aea siguiete: GLE - GLD GLT

8 Cálculo de los cuadados edios El cuadado edio ete gupos CME y el cuadado edio deto de gupos se calcula de la aea siguiete: Estadístico de cotaste F SCE CME 5.4 GLE SCD CMD.79 GLD El estadístico de cotaste paa ealiza la pueba Aova se costuye de la foa siguiete: CME F.790 CMD que se distibuye segú ua F-Sedeco co GLE gados de libetad del ueado y GLD 7 gados de libetad del deoiado, que tiee asociado u p-valo de Cálculo del coeficiete de deteiació Ua edida elativa de la vaiabilidad explicada po los gupos es el cociete: SCE 9% SCT co lo que se tedía, al igual que e odelos de egesió, que el odelo Aova, o ás específicaete, la vaiable que foa los gupos, explica u 9% de la vaiabilidad de la vaiable espuesta. Kuskal-Wallis Se tiee los siguietes datos expeietales, coespodietes a idividuos de los que se ha ecogido ifoació de dos vaiables: ua vaiable explicativa Exp oial y ota vaiable espuesta ta cuatitativa. Los datos se peseta de foa que e las filas hay vaios idividuos paa facilita la lectua: ta Exp ta Exp Calcula la pueba de Kuskal-Wallis de copaació de ediaas paa los datos ateioes. Cálculo de los agos paa cada obsevació Paa cada obsevació se le asiga el ago segú el ode que ocupa la obsevació e el couto total de los datos, asigado el ago edio e caso de epates: 8

9 ta Exp ago (ta) ta Exp ago (ta) Cálculo de la sua de agos Paa cada gupo,,, siedo el úeo de gupos, se defie coo la sua de agos de cada gupo, que paa los datos del eeplo esulta se: agos gupo agos gupo agos gupo Cálculo del valo edio de los agos E[ ] y de los agos edios El valo edio de los agos E[ ] se calcula coo: y el ago edio coo: E [ ] ( + ) Paa los datos del eeplo esulta se: E E [ ] [ ] E ( + ) 7 ( + ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

10 Estadístico de cotaste H El estadístico de cotaste H se calcula coo: H' ( + ) [ E[ ] ] k ( d d ) siedo d el úeo de epates e,,k siedo k el úeo de valoes distitos de la vaiable espuesta, que paa los datos del eeplo esulta se: co lo que: k ( d d ) ( 4 4) + ( ) + ( 6 6) + ( 4 4) + ( ) + ( ) 48 H' [ ] + [ 0 5] + [ ] 5.98 que sigue ua distibució Chi-Cuadado co gados de libetad, que tiee asociada u p-valo de