ANÁLISIS DE LA VARIANZA PARTE SEGUNDA

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1 ANÁLISIS DE LA VARIANZA PARTE SEGUNDA Septiembre de 2012

2 Índice general 1. INTRODUCCIÓN FUNDAMENTOS DEL DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIZADOS 1 3. EJEMPLO DE DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIZADOS: EX- PANSIÓN DEL CARBÓN DURANTE LA COQUIZACIÓN FUNDAMENTOS DEL DISEÑO FACTORIAL EJEMPLO DE DISEÑO FACTORIAL: ESTUDIO COMPARA- TIVO DE ENVASES DE CONSERVAS EXTENSIÓN A TRES O MÁS FACTORES DISEÑO FACTORIAL A DOS NIVELES EL MODELO ANOVA Y EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN

3 1. INTRODUCCIÓN En la Parte Primera del Análisis de la Varianza nos centrábamos en el modelo ANOVA Simple que consideraba un único factor como causa de variabilidad. Este modelo estaba ligado al Diseño completamente aleatorizado. Otros factores, posibles fuentes de variabilidad, no estaban incluidos expresamente en el modelo y sus efectos quedaban englobados en la variabilidad residual. En esta Parte Segunda consideraremos más de un factor como causas de variabilidad desarrollando modelos ANOVA ligados a Diseños en Bloques Aleatorizados y a Diseños Factoriales. 2. FUNDAMENTOS DEL DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIZADOS En el diseño en bloques aleatorizados, además del factor de tipo categórico A con p niveles (tratamientos) cuyos efectos queremos cuantificar y comparar, existe otro factor B con q niveles que denominaremos variable bloque. El experimentador no está interesado, en principio, en cuantificar los efectos de la variable bloque pero sabe que ésta ejerce influencia sobre la variable de respuesta y desea eliminarla del análisis reduciendo de esta forma la variabilidad residual o error experimental. Cada uno de los p tratamientos se aplica una vez dentro de cada nivel de la variable bloque con lo que el número total de observaciones será N = p q. Las N observaciones quedan agrupadas en q bloques de forma que, dentro

4 2 Análisis de la varianza de cada bloque, las observaciones son entre si más homogéneas. El diseño en bloques aleatorizados es uno de los diseños utilizados con mayor frecuencia. Se hace evidente que aquellas variables cuya consideración suponga una mayor homogeneidad en las observaciones por afectar a las unidades experimentales o a las condiciones de realización del experimento son potenciales candidatas a su selección como variables bloque. Por ejemplo: lotes de materia prima, tiempo y en la experimentación con animales edad, sexo, estado de salud, etc. Dentro de cada nivel o bloque, podremos comparar mejor los efectos de los diferentes tratamientos que si no hubieramos efectuado la agrupación en bloques. La variabilidad existente en las N observaciones de la respuesta, quedará descompuesta en tres fuentes de variación: Dos de dichas fuentes serán asignables a los tratamientos y a la variable bloque mientras que la tercera será la variabilidad residual o error experimental. Es importante tener en cuenta que los p tratamientos deben ser aplicados aleatoriamente dentro de cada bloque por lo que habrá q aleatorizaciones. Si hubieramos introducido en el modelo una segunda variable bloque con r niveles, los p tratamientos habrían de haber sido aplicados, también, de forma aleatoría en cada nivel de la segunda variable bloque. En el caso de que el diseño considere el factor A y dos variables bloque coincidiendo el número de niveles del factor y los de las variables bloque nos encontramos ante el tipo de diseño denominado Cuadrado latino. En estos diseños los tratamientos se designan con letras latinas: a, b, c... En un cuadrado latino con p niveles el número de observaciones será p 2, los datos se disponen en p filas y p columnas mientras que los tratamientos (a, b, c...) se asignan de forma aleatoria en el cuadrado con las restricciones de que en cada fila y en cada columna se den los p tratamientos y no se repita ninguno. Por ejemplo, para p=5 un diseño en cuadrado latino sería:

5 Análisis de la varianza, parte segunda 3 Diseño en cuadrado latino (p=5) Niveles Bloque 2 Niveles I II III IV V Bloque 1 I b e a c d II d a e b c III e b c d a IV a c d e b V c d b a e Con un factor y tres variables bloques, del mismo número de niveles, tendremos el cuadrado greco-latino. El modelo de Análisis de la Varianza asociado a un Diseño en Bloques Aleatorizados para un factor (A) y una variable bloque (B) es: y ij = µ + τ i + β j + ε ij y ij : Son los valores obtenidos para la variable de respuesta. El subíndice i indica los diferentes niveles del factor A : 1, 2...p. El subíndice j señala los niveles de la variable bloque B :1,2,...q. µ : Valor medio de la variable de respuesta. τ i : Es el efecto correspondiente al nivel i del factor A. Si el nivel i tiene un valor medio µ i, se define el efecto τ i como la diferencia µ i µ. β j : Es el efecto del nivel j de la variable bloque B. Si el nivel j tiene un valor medio µ j, el efecto β j será la diferencia µ j µ. ε ij : Término residual que suponemos conforme a una distribución Normal de media cero y desviación típica σ que representamos por N(0, σ). En este diseño, nuestro interés está centrado en hacer el error experimental lo más pequeño posible eliminando del error experimental la influencia de la variable bloque. La variable bloque, en principio, no interacciona. Si nos consta que existe interacción el modelo no sería aplicable y habría que utilizar el modelo factorial que desarrollaremos en el punto 4.

6 4 Análisis de la varianza Los efectos τ i y β j están sujetos a las restricciones: i=p i=1 τ i = 0; j=q j=1 β j = 0 Para facilitar el desarrollo, las N=pq observaciones de y ij las dispondremos en q niveles o bloques. Bloque Tratamientos 1 2 q 1 y 11 y 12 y 1q 2. y 21. y 22. y 2q. p y p1 y p2 y pq Si sumamos los valores por filas, por columnas o la totalidad tendremos las expresiones: y is = j=q j=1 y ij; y i = y is q = j=q j=1 y ij q y is representa la suma de las observaciones de la fila i. El subíndice s indica suma. y i representa el valor medio de las observaciones de la fila i. y sj = i=p i=1 y ij; y j = y sj p = i=p i=1 p y sj representa la suma de las observaciones de la columna j. y j representa el valor medio de las observaciones de la columna j.

7 Análisis de la varianza, parte segunda 5 y ss = i=p j=q i=1 j=1 y ij; y = y ss pq = i=p j=q i=1 j=1 y ij pq y ss representa la suma del conjunto de las observaciones. Las estimaciones de los parámetros del modelo serán las siguientes: ˆµ = y; ˆτ i = y i y; ˆβ j = y j y Se omite la demostración de que estos estimadores son, precisamente, los estimadores minimocuadráticos del modelo. Por otra parte, la variabilidad total en las observaciones vendrá dada por: SC T = i=p j=q i=1 j=1 (y ij y) 2 Las variabilidades del factor A y de la variable bloque B serán: SC A = q i=p i=1 (y i y) 2 ; SC B = p j=q j=1 (y j y) 2 j=q La variabilidad residual SC RESIDUAL = i=p i=1 j=1 (y ij P redicción) 2 Puesto que la prediccion del modelo viene dada por: P redicción = ˆµ + ˆτ i + ˆβ j = y + (y i y) + (y j y) = (y i + y j y) y ij P redicción = y ij y i y j + y; SC RESIDUAL = i=p j=q i=1 j=1 (y ij y i y j + y) 2 Si agrupamos convenientemente el segundo miembro de SC T tendremos: SC T = i=p j=q i=1 j=1 (y ij y) 2 = i=p j=q i=1 j=1 [(y i y) + (y j y) + (y ij y i y j + y)] 2

8 6 Análisis de la varianza Elevando al cuadrado las expresiones del corchete resulta: SC T = i=p j=q i=1 j=1 (y i y) 2 + i=p j=q i=1 j=1 (y j y) 2 + i=p j=q i=1 j=1 (y ij y i y j + y) 2 +2 i=p j=q i=1 j=1 (y i y)(y j y) + 2 i=p j=q i=1 j=1 (y i y)(y ij y i y j + y) +2 i=p j=q i=1 j=1 (y j y)(y ij y i y j + y) Se demuestra, como sucedía en el desarrollo de la SC T del ANOVA simple (pag 5 de Análisis de la Varianza, Parte primera), que los dobles productos se anulan quedando tan sólo los términos elevados al cuadrado que son: SC A, SC B y SC RESIDUAL i=p j=q i=p j=q SC T = (y i y) 2 + (y j y) 2 + (y ij y i y j + y) 2 i=p j=p i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=p SC T = q (y i y) 2 +p (y j y) 2 + (y ij y i y j + y) 2 i=1 } {{ } SCA j=q j=1 } {{ } SCB i=p i=1 j=q j=1 } {{ } SC RESIDUAL De esta forma, queda comprobada la igualdad SC T = SC A + SC B + SC RESIDUAL

9 Análisis de la varianza, parte segunda 7 También se cumple dicha igualdad en cuanto a los g.d.l: ν T OT AL = ν A +ν B +ν RESIDUAL (pq-1) (p-1) (q-1) (p-1)(q-1) ν T OT AL : Los g.d.l. en la SC T OT AL = N 1 = pq 1 ν A : Los g.d.l. en la SC A = p 1 ν B : Los g.d.l. en la SC B = q 1 ν RESIDUAL : Los g.d.l. en la SC RESIDUAL = (p 1)(q 1) Nótese que la SC RESIDUAL puede expresarse según la ecuación: SC RESIDUAL = SC T OT AL SC A SC B Por tanto, los g.d.l. del residual se calcularán restando de los g.d.l. de la SC T OT AL los g.d.l. de SC A y SC B : (pq 1) (p 1) (q 1) = pq 1 p + 1 q + 1 = pq p q + 1 = p(q 1) (q 1) = (p 1)(q 1) Las medias cuadráticas (MC) se calculan a partir de las sumas de cuadrados (SC) dividiéndolas por sus correspondientes g.d.l. (ν). Como hacíamos en el Análisis de la Varianza para un factor (pag 6 de la Parte Primera), aplicamos el concepto estadístico de Esperanza Matemática (E) para obtener los valores esperados de MC A, MC B y MC RESIDUAL que son variables aleatorias. Tras un desarrollo que omitimos, se obtiene: E(MC A ) = σ 2 + q i=p i=1 τ 2 i p 1 E(MC B ) = σ 2 + p j=q j=1 β2 j q 1 E(MC RESIDUAL ) = σ 2

10 8 Análisis de la varianza Hipótesis nulas (H 0 ) En nuestro modelo: y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij la hipótesis nula de interés es la de suponer nulos todos los efectos del factor A: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ p = 0; τ i = 0 Bajo esta hipótesis, E(MC A ) queda reducida a σ 2 por anularse q i=p i=1 τ 2 i p 1. Dado que E(MC RESIDUAL ) = σ 2, ambas medias cuadráticas siguen distribuciones χ 2 (ji cuadrado) y su cociente seguirá una distribución F de Fisher-Snedecor con (p-1) y (p-1)(q-1) g.d.l. Si el ratio F es mayor que el valor crítico correspondiente al nivel de significación α, rechazaremos la hipótesis nula H 0 : τ i = 0. Entonces, alguno de los efectos τ i 0 y E(MC A ) = σ 2 + q i=p i=1 τ i 2 será significativamente p 1 mayor que σ 2. La hipótesis nula H 0 : β j = 0 tiene menor interés. Obsérvese que, si H 0 : β j = 0 se cumple, no hubiera tenido sentido introducir la variable bloque en el modelo. Los valores del ratio F se incluyen en la correspondiente tabla de Análisis de la Varianza que quedará: Fuente de Variación Suma de cuadrados g.d.l. Medias Cuadráticas Ratio F Factor A SC A (p-1) MC A = SC A MC A p 1 Factor B(Bloque) SC B (q-1) MC B = SC B q 1 Residual SC RESIDUAL (p-1)(q-1) MC RESIDUAL = SC RESIDUAL pq 1 MC RESIDUAL Total SC T OT AL pq-1

11 Análisis de la varianza, parte segunda 9 3. EJEMPLO DE DISEÑO EN BLOQUES ALEA- TORIZADOS: EXPANSIÓN DEL CARBÓN DURANTE LA COQUIZACIÓN El estudio * tiene como objeto la comparación del comportamiento de cuatro clases de carbones altos en volátiles respecto de su influencia sobre la expansión que pueden experimentar algunas mezclas de carbones durante el proceso de coquización. Se consideran peligrosas para la seguridad de la instalación aquellas mezclas que tengan expansión. Para predecir la expansión, se realiza un ensayo de laboratorio que simula las condiciones reales del proceso. Se ha optado por realizar la comparación mediante un Diseño Experimental en bloques aleatorizados en el que el factor A es la clase de carbón con cuatro niveles: 1,2,3,4. La variable B (variable de bloque) tiene tres niveles: 1,2,3 que son tres tipos de mezclas en las que se incluyen los cuatro carbones en estudio en distintos porcentajes en cada una de las tres mezclas. En la coquización siempre se usan mezclas de modo que las carencias de un determinado componente sean cubiertas por las propiedades de otros. En cada una de las tres mezclas, los restantes carbones no objeto de estudio, se dosifican en la misma proporción. Discusión de Resultados El modelo ANOVA es: Expansión = µ + τ i + β j + ɛ Siendo µ la media general; τ i los efectos del factor A y β j los efectos de la variable bloque B. El término residual ɛ sigue una distribución Normal (0, σ). El factor A (clase de carbón) tiene 4 niveles. El bloque B (tipo de mezcla) tiene 3 niveles. * NOTA: Los datos resultantes del experimento han sido modificados y adaptados para su utilización en el presente ejemplo.

12 10 Análisis de la varianza Los tratamientos (niveles) del factor A se aplican en cada uno de los 3 niveles de la variable bloque en el orden aleatorio indicado en la pag 16. Se realizan, en consecuencia, tres aleatorizaciones. Estimación de parámetros La estimación de los parámetros (efectos) del modelo, según lo expuesto en la pag 5 y los resultados de la pag 17. ˆµ = y = 18; ˆτ i = y i y; ˆβ j = y j y ˆτ 1 = 22, = 4, 6667 ˆβ 1 = = 12 ˆτ 2 = 20, = 2, 3333 ˆβ 2 = = 13 ˆτ 3 = 11, = 6, 6667 ˆβ3 = = 1 ˆτ 4 = 17, = 0, 3333 σ = 8, = 2, Nótese como los efectos ˆτ i y ˆβ j están sujetos a las restricciones ˆτ i = 0 y ˆβj = 0 Predicción de valores Los valores predichos por el modelo son los recogidos en la pag 19. Por ejemplo, la predicción para el nivel 1 del factor A perteneciente al bloque 1 sera: ŷ 11 = ˆµ + ˆτ 1 + ˆβ 1 ŷ 11 = 18 4, = 34, 6667; el correspondiente residual es: ,6667 = -1,3333

13 Análisis de la varianza, parte segunda 11 Sumas de cuadrados y grados de libertad En la tabla de Análisis de la Varianza de la pag 17 se recogen las sumas de cuadrados, grados de libertad, medias cuadráticas y ratios F. Mediante cálculo podemos también obtener, facilmente, los valores de la tabla: SC A = i=4 i=1 (τ i) 2 = 3[( 4, 6667) 2 + ( 2, 3333) 2 + (6, 6667) 2 + (0, 3333) 2 ] = 215, 333 SC B = j=3 j=1 (β j) 2 = 4[( 12) 2 + (13) 2 + ( 1) 2 ] = 1256, 0 SC T = (y ij y) 2 = (Expansión + 18) 2 = 1522, 0 Si sumamos la columna de residuales de la pag 19 elevados al cuadrado obtendremos. SC RESIDUAL = 50, 6667 Como comprobación vemos que SC T = SC A + SC B + SC RESIDUAL ; 1522, 0 = 215, , , 6667 La tabla de Análisis de la Varianza de la pag 17 nos indica lo siguiente respecto de los grados de libertad (g.d.l.): g.d.l. de la SC A = p 1 = 4 1 = 3. Hay 3 efectos independiantes por existir entre ellos la restricción τ i = 0 ya que -4,6667-2, , ,3333 = 0 g.d.l. de la SC B = q 1 = 3 1 = 2. Hay sólo dos efectos independientes ya que existe la restricción β j = 0 : = 0 g.d.l. en SC T OT AL = pq 1 = 11. De las 12 desviaciones respecto de la media, 11 de ellas son independientes por existir la restricción (yij y) = 0 g.d.l. en SC RESIDUAL = (p 1)(q 1) = (4 1)(3 1) = 6. De los 12 residuales, hay solamente 6 independientes. Se cumple por tanto: g.d.l. de SC T OT AL } {{ } 11 = g.d.l. de SC } {{ A + g.d.l. de SC } } {{ B } g.d.l. de SC RESIDUAL } {{ } 6

14 12 Análisis de la varianza Medias cuadráticas y ratios F Las medias cuadráticas y ratios F de la tabla de Análisis de la Varianza de la pag 17 se calculan según lo siguiente: MC A = SC A g.d.l. = 215, MC B = SC B g.d.l. = 1256, 0 2 = 71, 7778 = 628, 0 MC RESIDUAL = SC RESIDUAL = g.d.l. MC A 71, 7778 F A = = MC RESIDUAL 8, MC B F B = = 628, 0 MC RESIDUAL 8, , = 8, = 8, 50 (g.d.l. numerador=3; g.d.l. denominador=6) = 74, 37 (g.d.l. numerador=2; g.d.l. denominador=6) A la hipótesis nula (H 0 ) de que todos los efectos del factor A son nulos, le corresponde una probabilidad p=0,014 inferior al nivel de significación del 5 %(p=0,05). De ello se deduce que las diferencias entre los niveles del factor (clase de carbón) son significativas respecto de la Expansión. En la tabla inferior de la pag 17 podemos observar como el carbón 3 es significativamente diferente de los restantes. Los contrastes indicados con (*) señalan la presencia de contrastes significativos. Los efectos de la variable bloque también son significativos aunque no estamos directamente interesados en ellos y en sus contrastes. Obsérvese que F=74,37 es muy elevado y su probabilidad p=0,0001 muy baja. Si no hubiéramos considerado la variable bloque, la tabla de Análisis de la Varianza para un solo factor hubiera sido la de la pag 18. La variabilidad de la variable bloque hubiera quedado englobada en el error residual y los efectos del factor A con una F=0,44 y P=0,731 no hubieran aparecido como significativos.

15 Análisis de la varianza, parte segunda 13 Intervalos de confianza y Contrastes. Los intervalos de confianza bilateral para un parámetro θ son: ˆθ ± (error estándar del parámetro).t α 2,ν donde ˆθ es la estima del parámetro, t α 2,ν es el valor de la distribución t de Student para un nivel de significación α y ν g.d.l. del residual. En nuestro caso, para α = 0, 05 y ν = 6; t 0,025, 6 =2,44692 Intervalos para las medias µ i Error estándar = ˆσ 3 = 2, = 1, Intervalo de µ 1 = 22, 6667±1, , = 22, 6667±4, Intervalo de µ 2 = 20, 3333±1, , = 20, 3333±4, Intervalo de µ 3 = 11, 3333±1, , = 11, 3333±4, Intervalo de µ 4 = 17, 6667±1, , = 17, 6667±4, Intervalo de µ 1 : 26, 772 < µ 1 < 18, 5614 Intervalo de µ 2 : 24, 4386 < µ 2 < 16, 228 Intervalo de µ 3 : 15, 4386 < µ 3 < 7, Intervalo de µ 4 : 21, 772 < µ 4 < 13, 5614 Estos valores coinciden con los de la segunda tabla de la pag 17.

16 14 Análisis de la varianza Intervalos de los contrastes (µ i µ j ) (ˆµ i ˆµ j ) ± (Error estándar) t α 2,ν 2 MCRESIDUAL 2 8, error estándar = nº datos en cada nivel = 3 = 2, t α 2,ν = t 0,025, 6 = 2, (ˆµ i ˆµ j ) ± 2, , = (ˆµ i ˆµ j ) ± 5, Contraste µ 1 µ 2 : 2, ± 5, Contraste µ 1 µ 3 : 11, 3333 ± 5, * Contraste µ 1 µ 4 : 5, 0 ± 5, Contraste µ 2 µ 3 : 9, 0 ± 5, * Contraste µ 2 µ 4 : 2, ± 5, Contraste µ 3 µ 4 : 6, ± 5, * Los contrastes cuyos intervalos no contienen el valor cero indican diferencias significativas y se señalan con (*). Todos estos contrastes coinciden con los de la tabla inferior de la pag 17. Gráfico para efectos principales En el gráfico de la pag 18 podemos observar los intervalos de confianza al 95 % de la Expansión de las cuatro clases de carbones. Se hace patente que el carbón 3 tiene un comportamiento diferente de los restantes con una expansión relativamente mayor.

17 Análisis de la varianza, parte segunda 15 Conclusiones La clasificación en cuanto a resultados por orden descendente de calidad en cuanto a Expansión (E) es: Carbón 1 (E=-22,67) Carbón 2 (E=-20,33) Carbón 4 (E=-17,67) Carbón 3 (E=-11,33) Los carbones 1,2 y 4 pueden clasificarse en un grupo homogéneo mientras que el carbón 3 tiene una expansión significativamente más elevada que los restantes.

18 16 Análisis de la varianza

19 Análisis de la varianza, parte segunda 17

20 18 Análisis de la varianza

21 Análisis de la varianza, parte segunda 19

22 20 Análisis de la varianza 4. FUNDAMENTOS DEL DISEÑO FACTORIAL El caso más sencillo de Diseño Factorial es el que corresponde a dos factores A y B que tienen, respectivamente, p y q niveles fijos cada uno. En el Diseño Factorial, los tratamientos los constituyen todas las combinaciones posibles de los p niveles del factor A con los q niveles del factor B, en total p.q tratamientos. Si para estimar el error experimental repetimos cada tratamiento r veces, tendremos un total de N=p.q.r experimentos elementales a realizar de forma completamente aleatorizada, tanto en el orden de aplicar los tratamientos como en la asignación de cada uno de ellos a las unidades experimentales. La particularidad más notable del Diseño Factorial es la presencia del término de interacción. El modelo de Análisis de la Varianza asociado a un Diseño Factorial con dos factores es: y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk y ijk : Son los valores obtenidos para la variable de respuesta. El subíndice i indica los diferentes niveles del factor A:1,2,...p. El subíndice j señala los niveles del factor B:1,2,...q. Finalmente, el subíndice k se refiere al orden de la repetición: 1,2,...r de cada tratamiento (combinaciones i,j) µ : Valor medio de la variable de respuesta. τ i : Es el efecto del nivel i del factor A. Si el nivel i tiene un valor medio µ i, se define el efecto τ i como la diferencia µ i µ. β j Es el efecto del nivel j del factor B. Si el nivel j tiene un valor medio µ j, el efecto β j será la diferencia µ j µ. τβ ij : Es el efecto correspondiente a la interacción de los niveles i del factor A con los niveles j del factor B. La existencia de interacción supone una falta de aditividad para explicar el efecto combinado de las variables A y B a partir de los efectos individuales de cada una de ellas. ɛ ijk : Término residual que se supone conforme con una distribución Normal de media cero y desviación típica σ que representaremos por N(0, σ).

23 Análisis de la varianza, parte segunda 21 Si comparamos este modelo ANOVA con el modelo ANOVA simple desarrollado en la parte primera (artículo de Feb. 2012) destaca la presencia del término de interacción: (τβ) ij que se añade a los efectos principales τ i, β j originados, respectivamente, por los factores A y B. Como en el caso, del modelo ANOVA simple, veremos que se cumple también la igualdad básica del Análisis de la Varianza. Mediante ella, la variabilidad total (SC T ) se descompone en los siguiente términos: SC T = SC A + SC B + SC AB + SC RESIDUAL SC T : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable de respuesta respecto de la media general. SC A : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores medios de los niveles i del factor A respecto de la media general. SC B : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores medios de los niveles j del factor B respecto de la media general. SC AB : Suma de los cuadrados de los efectos de interacción. SC RESIDUAL : Suma de los cuadrados de las desviaciones residuales. Favorece la exposición disponer las N=pqr observaciones en p filas y q columnas correspondientes, respectivamente, al número de niveles del factor A y al número de niveles del factor B. En cada celda (i,j) se recogen los valores de las r replicaciones: Factor B ( q niveles) Factor A ( p niveles) 1 2 q 1 y 111 y 11r y 121 y 12r y 1q1 y 1qr 2 y 211 y 21r y 221 y 22r y 2q1 y 2qr p y p11 y p1r y p21 y p2r y pq1 y pqr

24 22 Análisis de la varianza Si sumamos los valores de una celda genérica (i,j), los valores de una fila, los de una columna o los de la totalidad de las celdas tendremos las siguientes expresiones: k=r y ijs = y ijk ; y ijk = k=1 k=r k=1 y ijk r y ijs : Representa la suma de las observaciones de la celda (i,j). El subíndice s indica suma. y ij : Indica el valor medio en dicha celda (i,j). j=q k=r y iss = y ijk ; y i = j=1 k=1 j=q k=r j=1 k=1 y ijk qr y iss : Representa la suma de todas las observaciones de la fila i. y i : Señala el valor medio de las observaciones de la fila i. i=p k=r y sjs = y ijk ; y j = i=1 k=1 i=p k=r i=1 k=1 y ijk pr y sjs : Representa la suma de totas las observaciones de la columna j. y j : Indica el valor medio de las observaciones de la columna j. y sss = i=p j=q k=r i=1 j=1 k=1 y ijk; y = i=p j=q k=r i=1 j=1 k=1 y ijk pqr Donde y sss es la suma de las observaciones de todas las celdas mientras que y es la media del conjunto de todas las observaciones.

25 Análisis de la varianza, parte segunda 23 En definitiva, las estimas de los parámetros del modelo serán las siguientes: ˆµ = y ˆτ i = y i y ˆβ j = y j y ( ˆ τβ) ij = y ij ˆµ ˆτ i ˆβ j = y ij y (y i y) (y j y) ( ˆ τβ) ij = y ij y i y j + y Por otra parte, los efectos principales y la interacción están sujetos a las siguientes restricciones: τi = 0; β j = 0; (τβ) ij = 0 La variabilidad total en las observaciones vendrá dada por: SC T = i=p j=q k=ν i=1 j=1 k=1 (y ijk y) 2 Agrupando convenientemente el segundo miembro de la ecuación y teniendo en cuenta que (y ij y i y j + y) es la estimación del efecto de la interacción tendremos: SC T = i=p i=p i=1 j=q j=1 j=q i=1 j=1 k=r k=1 (y ijk y) 2 = k=r k=1 [(y i y) + (y j y) + (y ij y i y j + y) + (y ijk y ij )] 2 SC T = i=p i=p i=1 + i=p i=1 j=q i=1 j=1 j=q k=r j=1 j=q j=1 k=r k=1 (y i y) 2 + i=p j=q k=r i=1 j=1 k=1 (y j y) 2 + k=1 (y ij y i y j + y) 2 k=r k=1 (y ijk y ij ) 2 Hacemos notar que, como sucedía en el desarrollo de la SC T del ANOVA simple (pag 5 de Análisis de la Varianza, Parte Primera), se anulan los dobles productos resultantes del desarrollo del cuadrado del corchete quedando tan sólo los términos elevados al cuadrado que son: SC A, SC B, SC AB y SC RESIDUAL.

26 24 Análisis de la varianza i=p j=q k=r i=1 j=1 k=1 (y i y) 2 = qr i=p i=1 (y i y) 2 que representa la suma de los cuadrados de las desviaciones de los p niveles del factor A respecto de la media general: SC A j=q k=r De la misma forma, i=p i=1 j=1 k=1 (y j y) 2 = pr j=q j=1 (y j y) 2 representará la suma de los cuadrados de las desviaciones de los q niveles del factor B: SC B En cuanto a i=p j=q k=r i=1 j=1 k=1 (y ij y i y j + y) 2 = r i=p j=q i=1 j=1 (y ij y i y j + y) 2 representa la suma de los cuadrados de los efectos de interacción: SC AB j=q i=1 j=1 k=r k=1 (y ijk y ij ) 2 es la suma de cua- Finalmente, el término i=p drados residual: SC RESIDUAL con lo que queda comprobado que se cumple la igualdad: SC T = SC A + SC B + SC AB + SC RESIDUAL También se cumple la igualdad en cuanto a los grados de libertad (g.d.l.): g.d.l. en A: (p-1) g.d.l. en B: (q-1) g.d.l. en AB: (p-1)(q-1) g.d.l. en Residuales: pq (r-1) La Suma de todos ellos es (pqr-1) que coincide con los g.d.l. de SC T : ν T OT AL = ν A +ν B +ν AB +ν RESIDUAL (pqr-1) (p-1) (q-1) (p-1)(q-1) pq(r-1) Las medias cuadráticas (MC) de las distintas fuentes de variación se calculan a partir de las sumas de cuadrados (SC) correspondientes dividiéndolas por sus respectivos grados de libertad (ν) : MC = SC. Según el procedimiento habitual, ya utilizado para el Anova Simple y para el Diseño en ν bloques aleatorizados, todas estas expresiones se recogen en una tabla de Análisis de las Varianza.

27 Análisis de la varianza, parte segunda 25 Medias Fuente de Variación Suma de cuadrados (g.d.l.) Cuadráticas Factor A Factor B Interacción AB Residual SC A = qr i=p i=1 (y i y) 2 (p-1) MC A = SC A p 1 SC B = pr j=p j=1 (y j y) 2 (q-1) MC B = SC B SC AB = r i=p j=q i=1 SC RESIDUAL = i=p i=1 q 1 SC AB (p 1)(q 1) j=1 (y ij y i y j + y) 2 (p-1)(q-1) MC AB = j=q k=r j=1 k=1 (y ijk y ij ) 2 pq(r-1) MC RESIDUAL = SC RESIDUAL pq(r 1) Total SC T OT AL = i=p i=1 j=q k=r j=1 k=1 (y ijk y) 2 pqr-1 Las medias cuadráticas MC A, MC B, MC AB y MC RESIDUAL son variables aleatorias. Si aplicamos a todas ellas el concepto estadístico de Esperanza Matemática (E) obtendremos los valores esperados de dichas variables que serán: E(MC A ) = E[ qr i=p i=1 (y i y) 2 ] p 1 E(MC B ) = E[ pr j=q j=1 (y j y) 2 ] q 1 E(MC AB ) = E[ r (y ij y i y j + y) 2 ] (p 1)(q 1) E(MC RESIDUAL ) = E[ i=p i=1 j=q j=1 k=r k=1 (y ijk y ij ) 2 ] pq(r 1) Sustituyendo y ijk por la ecuación del modelo y ijk = µ+τ i +β j +(τβ) ij +ɛ ijk y teniendo en cuenta que E(ɛ 2 ijk ) = σ2 y que E(ɛ ijk ) = 0 resultan, tras un cálculo que omitimos, las siguientes expresiones: E(MC A ) = σ 2 + qr i=p i=1 τ 2 i p 1 E(MC B ) = σ 2 + pr j=q j=1 β2 j q 1

28 26 Análisis de la varianza E(MC AB ) = σ 2 + r (τβ) 2 ij (p 1)(q 1) EMC RESIDUAL = σ 2 Hipótesis nulas (H 0 ) Para nuestro modelo y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ ijk, enunciaremos las siguientes hipotesis nulas (H 0 ): a) Todos los efectos del factor A son nulos: H 0 : τ 1 = τ 2 = τ p = 0; τ i = 0 Bajo esta hipótesis, E(MC A ) queda reducida a σ 2 por anularse qr i=p i=1 τ i 2 p 1 Dado que E(MC RESIDUAL ) = σ 2, ambas medias cuadráticas siguen distribuciones χ 2 (ji-cuadrado) y su cociente se ajustará a una distribución F de Fisher-Snedecor. El cociente de MC A y MC RESIDUAL seguirá, como en el Anova simple, una distribución F de Fisher-Snedecor con (p-1) y pq(r-1) g.d.l. En el caso de que el ratio F sea mayor que el valor crítico correspondiente al nivel de significación de la prueba (α), rechazaremos la hipótesis nula H 0 : τ i = 0. Entonces, alguno de los efectos τ i 0 y la E(MC A ) = σ 2 + qr i=p i=1 τ i 2 sería significativamente mayor que σ 2 p 1 b) Todos los efectos del factor B son nulos: H 0 : β 1 = β 2 = β q = 0; β j = 0 De la misma forma que para A, rechazaremos esta hipótesis cuando el ratio F sea mayor que el valor crítico correspondiente al nivel de significación. α, con (q-1) y pq(r-1) g.d.l..

29 Análisis de la varianza, parte segunda 27 c) Todos los efectos de la interacción AB son nulos: H 0 : (τβ) ij = 0 para cualquier combinación i,j Rechazaremos la hipótesis cuando el ratio F sea mayor que el valor crítico correspondiente al nivel de significación α con (p-1)(q-1) y pq(r-1) g.d.l. Los valores de los ratios F se incluyen, también, en la tabla de Análisis de la Varianza que quedará finalmente: Fuente de Variación Suma de Cuadrados (g.d.l.) Medias cuadráticas Ratios F Factor A SC A p-1 MC A = SCA p 1 Factor B SC B q-1 MC B = SCB q 1 SC AB Interacción AB SC AB (p-1)(q-1) MC AB = (p 1)(q 1) Residual SC RESIDUAL pq(r-1) MC RESIDUAL = SCRESIDUAL pq(r 1) F = F = F = MC A MC RESIDUAL MC B MC RESIDUAL MC AB MC RESIDUAL Total SC T OT AL pqr-1 5. EJEMPLO DE DISEÑO FACTORIAL: ESTUDIO COMPARATIVO DE ENVASES DE CONSERVAS En el ejemplo, * aplicaremos los fundamentos teóricos expuestos a un caso industrial destacando algunos aspectos prácticos de interés. Se quiere comparar el comportamiento de diversos tipos de envases destinados a conservar un determinado producto. El material base está recubierto de dos clases diferentes de recubrimiento metálico. Adicionalmente, se aplica una capa de barniz y se desea estudiar el comportamiento de 6 barnices diferentes. Se decide planificar un Diseño Factorial con dos factores A y B. El factor A tiene dos niveles: p=2 que son las dos clases de recubrimiento metálico * NOTA: Los datos resultantes del experimento han sido modificados y adaptados para su utilización en el presente ejemplo.

30 28 Análisis de la varianza y el factor B tiene q=6 niveles que son los seis tipos de barniz. El citado diseño factorial 2x6 se replica (r=2) en un total de 24 envases, pqr=2x6x2 = 24. Los envases se depositaron durante un año y se procedió a su apertura para analizar el contenido en Fe (metal base) que ha pasado a la conserva. El experimento tiene como objetivo selecionar el recubrimiento y el barniz más convenientes y de cuantificar las diferencias de resultados en sus distintas combinaciones. La variable de respuesta: Fe viene expresada en partes por millón (ppm) y, logicamente, se trata de minimizar su contenido en la conserva. El orden de realización de las aperturas de los envases y la ejecución de los análisis se ha efectuado de forma completamente aleatoria según lo indicado en la pag 37. Los cálculos han sido efectuados con el programa estadístico STATGRAPHICS. La discusión de resultados, conclusiones y cálculos se recogen en las páginas 29 a 42 y la base de datos en las páginas 37,41 y 42. Discusión de Resultados El modelo ANOVA al que se ajustan los resultados es: F e = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ɛ Los parámetros del modelo son: µ que es la media general, τ i son los efectos del factor A, β j son los efectos del factor B, (τβ) ij son los efectos de la interacción y ɛ es el término residual que sigue una distribución Normal (0, σ). El factor A (metal de recubrimiento) tiene dos niveles: 1 y 2 El factor B (tipo de barniz) tiene seís niveles: 1,2, Los 24 experimentos elementales se han realizado en el orden aleatorio indicado en la pag 37.

31 Análisis de la varianza, parte segunda 29 Estimación de parámetros Las estimaciones de los parámetros del modelo, según las estimas de la pag 23, son los siguientes: ˆµ = y = 3, ˆτ i = y i y ˆβj = y j y (τβ) ˆ ij = y ij y i y j + y ˆτ 1 = 1, 275 ˆβ1 = 3, (τβ) ˆ 11 = 2, 125 ˆτ 2 = 1, 275 ˆβ2 = 1, (τβ) ˆ 12 = 1, 2 ˆβ 3 = 0, (τβ) ˆ 13 = 0, 9 ˆβ 4 = 1, (τβ) ˆ 14 = 0, 85 ˆβ 5 = 1, (τβ) ˆ 15 = 0, 975 ˆβ 6 = 1, (τβ) ˆ 16 = 0, 6 (τβ) ˆ 21 = 2, 125 (τβ) ˆ 22 = 1, 2 (τβ) ˆ 23 = 0, 9 (τβ) ˆ 24 = 0, 85 (τβ) ˆ 25 = 0, 975 (τβ) ˆ 26 = 0, 6 ˆσ = MC RESIDUAL = 1, = 1, 0859 La estima ˆσ nos permite calcular intervalos de confianza para los diferentes parámetros y para sus contrastes. Obsérvese como los efectos ˆτ i, ˆβj ; ˆτi = 0; ˆβj = 0; (τβ) ˆ ij = 0. ˆ (τβ) ij ; están sujetos a restricciones: Predicción de valores Los valores predichos por el modelo son equivalentes a los valores medios en cada celda(i,j) que según la pag 38 son: y 11 = 10, 65 y 21 = 3, 85 y 12 = 7, 85 y 22 = 2, 9 y 13 = 3, 35 y 23 = 2, 6 y 14 = 2, 95 y 24 = 2, 1 y 15 = 3, 1 y 25 = 2, 5 y 16 = 3, 25 y 26 = 1, 9

32 30 Análisis de la varianza Por ejemplo, la predicción y 14 = 2, 95, media de las observaciones 3,0 y 2,9, es equivalente al valor predicho por el modelo: y 14 = ˆµ + ˆτ 1 + ˆβ 4 + ˆ (τβ) 14 y 14 = 3, , 275 1, , 85 = 2, 95 Sumas de cuadrados y grados de libertad En la tabla de Análisis de la Varianza (pag 38) se recogen las Sumas de cuadrados, grados de libertad, medias cuadráticas y ratios F. Estos valores coinciden con los que se pueden obtener por cálculo: SC A = (ˆτ i ) 2 = 24 (1, 275) 2 = 39, 015 SC B = ˆβ2 j = 4 [3, , ( 0, 94167) 2 +( 1, 39167) 2 + ( 1, 11667) 2 + ( 1, 34167) 2 ] SC B = 4 19, = 76, 4333 SC AB = (τβ) ˆ ij = 4 [2, , ( 0, 9) 2 + ( 0, 85) 2 + ( 0, 975) 2 + ( 0, 6) 2 ] SC AB = 4 8, = 35, 195 SC T OT AL = (y ijk y) 2 = (F e 3, 91667) 2 = 164, 793 Finalmente, si sumamos la columna de residuales de la pag 41 elevada al cuadrado obtenemos: SC RESIDUAL = 14, 15 Como comprobación, tenemos: SC T OT AL = SC A + SC B + SC AB + SC RESIDUAL 164,793 = 39,015+76, ,195+14,15 En cuanto a los grados de libertad (g.d.l.), la tabla de Análisis de la Varianza de la pag 25 nos indica lo siguiente: g.d.l. de la SC A : p 1 = 2 1 = 1 Solamente hay un efecto independiente ya que existe la restricción τi = 0; 1, 275 1, 275 = 0

33 Análisis de la varianza, parte segunda 31 g.d.l. de la SC B : q 1 = 6 1 = 5. Hay cinco efectos independientes ya que β j = 0; 3, , , , , , = 0 g.d.l. de la interación AB:(p-1)(q-1)=(6-1)(2-1)=5 De los doce efectos de interacción, tan sólo cinco son independientes por estar sujetos a 7 restricciones del tipo (τβ) ˆ ij = 0 con lo que los g.d.l. resultan 12-7=5 g.d.l. en SC T OT AL : pqr 1 = = 23. De las 24 desviaciones hay 23 independientes ya que existe la restricción (y ijk y) = 0 g.d.l. de la SC RESIDUAL = pq(r 1) = = 12. Se cumple por tanto: g.d.l. de SC } {{ T OT AL = g.d.l. de SC } A +g.d.l. desc } {{ } B +g.d.l. desc } {{ } AB +g.d.l. del Residual; } {{ } } {{ } Obsérvese que sin replicación no habría habido g.d.l. para calcular el error residual y proseguir el análisis. Medias cuadráticas y ratios F Las medias cuadráticas y los ratios F de la tabla de Análisis de la Varianza (pag 38) coinciden con: MC A = SC A 39, 015 = = 39, 015 g.d.l. 1 MC B = SC B 76, 4333 = = 15, 2867 g.d.l. 5 MC AB = SC AB g.d.l. = 35, = 7, 039 MC RESIDUAL = SC RESIDUAL g.d.l. = 14, = 1, F A = F B = F AB = MC A MC RESIDUAL = 39, 015 = 33, 09 (g.d.l. numerador =1; g.d.l. denominador=12) 1, MC B 15, 2867 = = 12, 96 (g.d.l. numerador = 5; g.d.l. denominador=12) MC RESIDUAL 1, MC AB MC RESIDUAL = 7, 039 = 5, 97 (g.d.l. numerador = 5; g.d.l. denominador=12) 1, 17917

34 32 Análisis de la varianza A los tres ratios F, bajo la hipótesis nula (H 0 ) de que todos los efectos son nulos, les corresponden, respectivamente, unas probabilidades P A : 0, 001; P B = 0, 0002; P AB = 0, 0053 muy inferiores al nivel de significación del 5 %(p=0,05). De ello se deduce que los dos efectos principales y la interacción son significativos. En la pag 39 se presentan las tablas y contrastes entre los diferentes niveles de los factores A y B. Los contrastes marcados con (*) indican diferencias estadísticamente significativas. Intervalos de confianza Desviación típica del modelo: ˆσ = 1, 0859 Error estándar de la media total: Error estándar de las medias µ i = ˆσ 24 = 0, ˆσ 12 = 0, Error estándar de las medias µ j = ˆσ 4 = 0, Error estándar de las predicciones µ ij = ˆσ 2 = 0, Todos estos errores estándar coinciden con los indicados en la tabla de la parte inferior de la pag 38 Los intervalos de confianza bilateral de un parámetro θ con un nivel de confianza (1 α), siendo α el nivel de significación, se determinan según la expresión: ˆθ ± (Error estándar del parámetro) t α 2,ν Donde: ˆθ : Es la estimación del parámetro.

35 Análisis de la varianza, parte segunda 33 t α 2,ν : Es el valor de la distribución t de Student para ν g.d.l. y nivel de significación α. El valor ν corresponde a los g.d.l. del residual del modelo ajustado que en nuestro caso es pq(r 1) = = 12 a) Intervalos para µ i (factor A): ˆµ i ± 0, t 0,025, 12 t 0,025, 12 = 2, Intervalo µ 1 : 5, ± 0, , 17882; 4, < µ 1 < 5, Intervalo µ 2 : 2, ± 0, , 17882; 1, < µ 2 < 3, b) Intervalo para µ j (factor B): ˆµ j ± 0, , = ˆµ j ± 1, Intervalo µ 1 : 7, 250 ± 1, 18298; 6, < µ 1 < 8, Intervalo µ 2 : 5, 375 ± 1, 18298; 4, < µ 2 < 6, Intervalo µ 3 : 2, 975 ± 1, 18298; 1, < µ 3 < 4, Intervalo µ 4 : 2, 525 ± 1, 18298; 1, < µ 4 < 3, Intervalo µ 5 : 2, 800 ± 1, 18298; 1, < µ 5 < 3, Intervalo µ 6 : 2, 575 ± 1, 18298; 1, < µ 6 < 3, c) Intervalo para la predicción µ ij : µ ˆ ij ± 0, , = ˆµ ij ± 1, Intervalo µ 11 = Intervalo µ 12 = Intervalo µ 13 = Intervalo µ 14 = Intervalo µ 15 = Intervalo µ 16 = µ ˆ 11 ± 1, = 10, 65 ± 1, ; 8, < µ 11 < 12, 3223 µ ˆ 12 ± 1, = 7, 85 ± 1, ; 6, < µ 12 < 9, µ ˆ 13 ± 1, = 3, 35 ± 1, ; 1, < µ 13 < 5, µ ˆ 14 ± 1, = 2, 95 ± 1, ; 1, < µ 14 < 4, µ ˆ 15 ± 1, = 3, 10 ± 1, ; 1, < µ 15 < 4, µ ˆ 16 ± 1, = 3, 25 ± 1, ; 1, < µ 16 < 4, De la misma forma se obtienen las restantes 6 predicciones. Todos estos intervalos coinciden con los indicados al final de la pag 38

36 34 Análisis de la varianza d) Intervalos para los contrastes µ i µ j : (ˆµ i ˆµ j ) ± Error estándar. t α 2,ν 2 MCRESIDUAL Error estándar = nº datos en cada nivel 2 1, Factor A: Error estándar= = 0, ; t 12 α 2,ν=2,17882 (ˆµ 1 ˆµ j ) ± 0, , 17882; (ˆµ i ˆµ j ) ± 0, Intervalo µ 1 µ 2 = (5, , 64167) ± 0, = 2, 55 ± 0, , < (µ 1 µ 2 ) < 3, ; Al no contener el intervalo el valor cero, la diferencia entre los dos niveles es significativa. 2 1, Factor B: Error estándar= = 0, ; t 4 α 2,ν=2,17882 (ˆµ i ˆµ j ) ± 0, , 17882; (ˆµ i ˆµ j ) ± 1, Intervalo µ 1 µ 2 = (7, 25 5, 375) ± 1, = 1, 875 ± 1, Intervalo µ 1 µ 3 = (7, 25 2, 975) ± 1, = 4, 275 ± 1, Intervalo µ 1 µ 4 = (7, 25 2, 525) ± 1, = 4, 725 ± 1, Intervalo µ 1 µ 5 = (7, 25 2, 800) ± 1, = 4, 450 ± 1, Intervalo µ 1 µ 6 = (7, 25 2, 575) ± 1, = 4, 675 ± 1, Intervalo µ 5 µ 6 = (2, 80 2, 575) ± 1, = 0, 225 ± 1, Los intervalos que no contienen el valor cero indican diferencias significativas entre niveles. De las misma forma, se pueden calcular los restantes contrastes según figuran al final de la pag 39. Las diferencias marcadas con (*) indican valores significativos.

37 Análisis de la varianza, parte segunda 35 Intervalos para contrastes de predicciones (µ ij µ kl ) (ˆµ ij ˆµ kl ) ± Error estándar t α 2,ν ; 2MCRESIDUAL 2 1, Error estándar = nº datos en cada casilla = 2 = 1, 0859 t α 2,ν = t 0,025, 12 = 2, Contraste µ 11 µ 12 : (10, 65 7, 85) ± 2, = 2, 30 ± 2, Contraste µ 11 µ 13 : (10, 65 3, 35) ± 2, = 7, 30 ± 2, * Contraste µ 11 µ 14 : (10, 65 2, 95) ± 2, = 7, 70 ± 2, * Contraste µ 11 µ 15 : (10, 65 3, 10) ± 2, = 7, 55 ± 2, * Contraste µ 11 µ 16 : (10, 65 3, 25) ± 2, = 7, 40 ± 2, * Contraste µ 11 µ 21 : (10, 65 3, 85) ± 2, = 6, 80 ± 2, * Contraste µ 11 µ 22 : (10, 65 2, 90) ± 2, = 7, 75 ± 2, * Contraste µ 11 µ 23 : (10, 65 2, 60) ± 2, = 8, 05 ± 2, * Contraste µ 11 µ 24 : (10, 65 2, 10) ± 2, = 8, 55 ± 2, * Contraste µ 11 µ 25 : (10, 65 2, 50) ± 2, = 8, 15 ± 2, * Contraste µ 11 µ 26 : (10, 65 1, 90) ± 2, = 8, 75 ± 2, * Contraste µ 25 µ 26 : (2, 50 1, 90) ± 2, = 0, 40 ± 2, Serán significativas aquellas diferencias para las que el cero no esté dentro del intervalo. Las diferencias significativas se señalan con asterisco (*).

38 36 Análisis de la varianza Gráficos para efectos principales e interacciones En la pag 40 se recogen gráficos en los que se pueden apreciar las magnitudes relativas de los niveles de los factores y las de la interacción. Se pone de manifiesto la diferencia significativa entre los niveles 1 y 2 del factor A así como la de los niveles 1 y 2 respecto de los restantes niveles del factor B. En cuanto a la interacción, destaca la elevada respuesta de las combinaciones A=1, B=1 y A=1, B=2. Conclusiones De las dos alternativas de recubrimiento metálico (factor A), es significativamente mejor el resultado del tipo 2 con un contenido en Fe de 2,64ppm frente a 5,19ppm del tipo 1. De las seís clases de barnices (factor B) los resultados obtenidos por los tipos 1 y 2, con unos contenidos en Fe de, respectivamente, 7,25 y 5,37 p.p.m son significativamente peores que los restantes tipos de barniz cuyos resultados son, a su vez, equiparables entre si. Son fuertemente desfavorables las combinaciones del nivel 1 del factor A con el nivel 1 del factor B al resultar un contenido en Fe de 10,65 ppm así como las del nivel 1 del factor A con el nivel 2 del factor B y un contenido en Fe de 7,85 ppm.

39 Análisis de la varianza, parte segunda 37

40 38 Análisis de la varianza

41 Análisis de la varianza, parte segunda 39

42 40 Análisis de la varianza

43 Análisis de la varianza, parte segunda 41

44 42 Análisis de la varianza

45 Análisis de la varianza, parte segunda EXTENSIÓN A TRES O MÁS FACTORES La construcción de un modelo de Análisis de la Varianza asociado a un diseño con tres o más factores se realiza de forma análoga al modelo con dos factores. Sin embargo, el número de efectos principales e interacciones a estimar aumentará, rapidamente, con el número de factores considerados. Por ejemplo, en un modelo de Análisis de la Varianza para cuatro factores con tres niveles cada uno, existirán seís términos (C 2 4 = 6) de interacción doble, cuatro términos (C 3 4 = 4) de interacción triple y un término de interacción de cuarto orden (C 4 4 = 1). El número de g.d.l. necesarios para calcular las sumas de cuadrados y las medias cuadráticas sería 80: g.d.l. para los factores principales: 4(3-1) = 8 g.d.l. para las interacciones de segundo orden: 6(3-1)(3-1) = 24 g.d.l. para las interacciones de tercer orden: 4(3-1)(3-1)(3-1) = 32 g.d.l. para las interacciones de cuarto orden: (3-1)(3-1)(3-1)(3-1) = 16 Total 80 g.d.l. Los g.d.l. disponibles, si el diseño no se replica, será también de 80 dado que las combinaciones posibles de los tres niveles de los cuatro factores resultan N = = 81 y los correspondientes g.d.l: N-1=80 g.d.l. En consecuencia, al igual que sucedía para el caso de dos factores, es preciso replicar al menos una vez el diseño con lo que tendremos (con una réplica) un total de N = 2 81 = 162 observaciones y N 1 = 161 g.d.l. De los 161 g.d.l. disponibles, 80 se utilizarán en el cálculo de las sumas de cuadrados y medias cuadráticas y los 81 restantes en la estimación del error experimental σ que nos permitirá calcular los ratios F y efectuar los oportunos contrastes de hipótesis. Ciertamente, parece excesivo destinar 81 g.d.l. para calcular el error experimental. Se hace patente que un diseño factorial completo con varios factores con 4/5 niveles cada uno puede alcanzar una dimensión muy considerable. No obstante, dado que en muchas ocasiones no suelen ser de interés algunas de las interaciones de orden superior al segundo, los g.d.l. correspondientes pueden utilizarse para estimar el error experimimental y obviar la replicación.

46 44 Análisis de la varianza Supongamos, por ejemplo, un diseño factorial completo sin replicación de tres factores a tres niveles cada uno. Los datos de la variable dependiente (var1) correspondientes a los 27 tratamientos se recogen en la pag 45 mientras que en la parte superior de la pag 46 se presenta la correspondiente tabla de Análisis de la Varianza. Observamos que los 26 g.d.l. disponibles se han utilizado para calcular las medias cuadráticas y no se puede estimar el error residual. Suponiendo que la interacción de tercer orden es despreciable optamos por eliminarla del modelo. La nueva tabla de Análisis de la Varianza recogida en la parte inferior de la pag 46 nos muestra que los 8 g.d.l. de la interacción ABC se han utilizado para estimar el error residual, ˆσ = 0, = 0, 802, calcular los ratios F y establecer que los factores principales A y B tienen efectos de influencia significativa (p<0,05).

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49 Análisis de la varianza, parte segunda DISEÑO FACTORIAL A DOS NIVELES Los diseños factoriales a dos niveles se utilizan con frecuencia como diseños de cribado en un estudio previo sobre un número elevado de factores de potencial influencia sobre la variable de respuesta. Para un número k de factores tendremos 2 k tratamientos diferentes. Una vez observada la presencia de factores con influencia significativa, podemos estudiarla de una forma más exhaustiva aumentando, en un nuevo diseño, el número de niveles de dichos factores. En un diseño factorial completo preparado para un número elevado de factores, crece rapidamente el número de experimentos elementales necesarios. Por ejemplo, para diez factores a dos niveles tendríamos 2 10 = 1024 tratamientos diferentes. Por otra parte, suele suceder que sólo alguno de los factores e interacciones resultan significativos mientras que los efectos de otros se confunden con el ruido de fondo producido por el error experimental. De ahí surge el fundamento de los diseños fraccionales en los que, desde el principio, se diseña solamente una fracción del diseño factorial completo: 1 2, 1 4, 1 8 etc, con lo que dedicaremos, preferentemente, los g.d.l. disponibles a la estimación de efectos de factores principales e interacciones de orden inferior mientras que otros efectos quedarán englobados en el término residual. Los diseños factoriales a dos niveles, tanto completos como fraccionales, serán estudiados con detalle en un próximo artículo. 8. EL MODELO ANOVA Y EL ANÁLISIS DE RE- GRESIÓN En un próximo capítulo veremos que los modelos ANOVA, ANCOVA, MA- NOVA y el modelo de Regresión Múltiple pueden englobarse en los llamados Modelos Generales de Regresión Lineal que estudian una o más variables dependientes de tipo continuo en función de varias variables independientes continuas y/o categóricas. En estos modelos, las variables dependientes se expresan en una ecuación cuyo segundo miembro contiene las sumas ponderadas de las variables independientes y el error residual. Como introducción, vamos a desarrollar un método que permite el estudio del modelo ANOVA mediante el modelo de Regresión lineal Múltiple. El lector interesado puede encontrar en nuestra web el artículo de fecha sobre Regresión

50 48 Análisis de la varianza lineal Múltiple. Ilustraremos el método aplicándolo al ejemplo del Estudio Comparativo de Envases de Conserva estudiado en el punto nº4 mediante un modelo ANOVA para dos factores y su interacción. El método consiste en la sustitución de cada variable categórica por tantas variables indicadoras (también llamadas variables mudas ) como g.d.l, equivalentes al número de niveles menos uno, tenga el factor. En nuestro caso, los factores A y B con 2 y 6 niveles, serán sustituidos respectivamente, por 2-1=1 y 6-1=5 variables mudas según lo siguiente: Variable muda Variables mudas Factor A x 1 Factor B x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 nivel 1 1 nivel nivel 2-1 nivel nivel nivel nivel nivel Entre otras posibles alternativas, hemos escogido la de asignar a las variables mudas los valores 1-1 y 0 según lo indicado en los cuadros. En definitiva, el factor A (a dos niveles) es sustituido por una variable muda (x 1 ) mientras que el factor B lo es por cinco variables mudas : x 2, x 3, x 4, x 5 y x 6. El término de interacción queda sustituido por otras cinco variables mudas : x 7, x 8, x 9, x 10 y x 11 resultantes de multiplicar los valores de x 1 por los de x 2, x 3, x 4, x 5 y x 6. Obsérvese como el número de variables mudas coincide con los g.d.l. del modelo ANOVA recogidos en la tabla de Análisis de la Varianza de la pag 38. En la pag 51 se recoje la base de datos con los niveles de los factores A y B junto con los valores de las 11 variables mudas correspondientes. En la pag 50 se presenta el modelo de regresión resultante. Nótese que la media cuadrática residual: σ 2 = 1, (pag 50) es idéntica a la del modelo ANOVA (pag 38) así como las correspondientes predicciones y residuos (pags 41 y 51). Además, las estimas del valor medio y de los efectos del modelo ANOVA calculados en la pag 29 coinciden con los coeficientes de la ecuación de regresión múltiple de la pag 50.

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