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6 ANÁLISIS DE LA VARIANZA Es coocdo que ua varable aleatora Y se puede cosderar como suma de ua costate μ de ua varable aleatora ε, que represeta el error aleatoro: μ ε Este modelo se adapta be a datos de dsttas cecas (astroomía, geodesa, etc.), pero e problemas ambetales, bológcos, dustrales es demasado smple. Ua geeralzacó atural que se adapta be a muchos feómeos ambetales es el modelo leal. Supogamos ua varable Y e dode presummos saber que flue ua sere de factores o causas asgables (a, b, c, d,..., ). E esta líea, s Y es el redmeto de ua varable de trgo, las causas asgables puede ser el grado de la humedad del suelo, la temperatura, los fertlzates, etc. E ua prmera aproxmacó podemos admtr que todos estos factores (a, b, c,..., ) so adtvos, podemos escrbr: Y a b c... ε sedo ε el efecto llamado causas o asgables o de azar. S los factores (a, b, c, d,..., ) se matee costates las meddas de Y represetará varacoes que podrá atrburse a u gra úmero de pequeñas causas o dstgubles etre sí, que es lo que coocemos como varacó aleatora o el azar. E deftva, s dspoemos de u expermeto e que medmos Y a veles dferetes de uo o más factores, el couto de meddas obtedas o será homogéeo, so que estará formado por dos o más grupos. Roald Fsher (9) troduo ua técca, coocda como Aálss de la Varaza, para cotrastar esta heterogeedad, para ver s tales factores provoca la varacó que se trata de estudar, o be, se debe atrbur dcha varacó al efecto del azar. E otras palabras, la técca del Aálss de la Varaza trata de separar las compoetes de la varacó que aparece e u couto de datos estadístcos VARIANZA DE UNA MUESTRA HETEROGÉNA Supogamos dos muestras de dos poblacoes dsttas co dsttas medas, pero co la msma varaza. Parece fáclmete compresble que s se mezcla las muestras la varaza aumeta cosderablemete - << Sea dos muestras de extesó, la prmera formada por (9, ) la seguda por (9, ), cuas medas respectvas so 0 0, sedo las varazas. S tomamos ua muestra co todos los valores (9,, 9, ), la meda es 5 la varaza 6 (mu superor a ) >> -. Esta smple observacó es el puto de partda del método coocdo como Aálss de la Varaza, utlzado para cotrastar la hpótess: "varas poblacoes ormales de la msma varaza tee dsttas medas".

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9 μ la respuesta meda del tratameto T La hpótess ula H 0 : μ μ... μ K (La respuesta meda es la msma e los tratametos). La hpótess alteratva H a : μ μ para algú μ la respuesta meda del tratameto T

10 PRINCIPIOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Realzar u expermeto es varar las codcoes que afecta a las udades expermetales obteer ua varable de respuesta. Cada medcó de la varable de respuesta será ua observacó expermetal, su úmero total es el tamaño del expermeto. Llamamos tratametos o factores a aquellas codcoes expermetales que aplcamos a dsttos veles, que produce valores de la varable de respuesta, a pror, dsttos. El expermeto se efectúa para comprobar s los tratametos tee efectos. Llamaremos udades expermetales a la catdad míma de materal expermetal susceptble de recbr u tratameto a u vel cualquera. E deftva, e u expermeto se aplca uo o varos tratametos o factores a dsttos veles a certas udades expermetales. El resultado de cada observacó elemetal es u valor de la varable de respuesta. ELECCIÓN DE LOS 'I' NIVELES DE LA VARIABLE EXPLICATIVA Nveles Fos, cuado los dsttos tratameto o poblacoes so seleccoados por el expermetador. Por eemplo, se trata de estudar el efecto sobre la prologacó de la vda de dsttos medcametos. Los medcametos so elegdos por el expermetador. Nveles Aleatoros, cuado los dsttos tratameto o poblacoes so seleccoados al azar etre todos los posbles. Por eemplo, cuado se trata de estudar el efecto de u cotamate sobre dsttas razas de perros. Podemos seleccoar al azar los perros de toda la poblacó clasfcar luego por las razas que, al azar, ha aparecdo. E las propedades estadístcas del Aálss de la Varaza ufactoral o ha dfereca etre la seleccó fa o aleatora de los veles.

11 DISEÑO DE EXPERIMENTOS - Las varables explcatvas so cualtatvas - ANÁLISIS DE LA VARIANZA UNIFACTORIAL.- Aalza compara el comportameto de ua varable cotua Y e dsttos veles (poblacoes o grupos o tratametos) de u factor (varable explcatva). Eemplo: La produccó de u cultvo e parcelas guales co dsttos fertlzates. ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES.- Aalza compara el comportameto de ua varable cotua Y e dsttos veles de varos factores (varables explcatvas) las posbles teraccoes etre ellos. Eemplo: Altura de ua espece de árboles e dsttas regoes dsttos clmas. MUESTRA ALEATORIA Sea Y el resultado que obtedremos e la -ésma observacó detro del -ésmo vel del factor explcatvo:,,...,,,...,, sedo el tamaño de la muestra e el vel - ésmo Cuado todas las muestras tee el msmo tamaño el dseño se llama EQUILIBRADO o BALANCEADO. las observacoes se realzará al azar e depedetemete uas de otras. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS S I. C dode Sr (. ) I ( ) r μ. ± t ( ) α I ; ( ) ( I) σ S χ( I) ; α ( I) r Sr ; χ( I) ;[ ( α ) ] I. C dode S ( ) r I.

12 ANÁLISIS DE LA VARIANZA: CLASIFICACIÓN SIMPLE DE OBSERVACIONES Sea '' grupos de observacoes, dode represeta al grupo represeta el orde detro del grupo El modelo es ua poblacó ( ) μ ε, e dode ε es N( 0, σ), o, lo que es lo msmo, se supoe que las observacoes de la clase E procede de N μ, σ e que σ o depede de, tratádose de cotrastar la hpótess ula H o: H o: Las medas μ so guales, es decr, que o ha dfereca sgfcatva etre los dsttos grupos o clases. Sería el caso, por eemplo, de ver s ha dfereca etre las pezas producdas por '' máquas dsttas, o por ua máqua e dsttas épocas, o los redmetos de dsttas varedades de trgo, o los de ua msma varedad sometda a tratametos dsttos, etc. Clases muéstrales T T.. T.. T Medas muéstrales Medas poblacoales.... μ μ.. μ.. μ

13 El orge del ombre Aálss de la Varaza está e que se puede cosderar la varaza total descompuesta de la sguete forma: ( ) ( ) ( ) a ( ) [( ) ( )] 44 desvacoes tra grupos 44 desvacoes etre grupos a ( ) ( ) ( ) SCT SUMA DE CUADRADOS TOTAL (Varabldad de todos los datos): ( ) SCT SCR a SUMA DE CUADRADOS EXPLICADOS (Etre-Grupos): SCE ( ) varabldad debda a que ha dsttos veles del factor SCR SUMA DE CUADRADOS RESIDUAL (Itra-Grupos): ( ) Varabldad tera detro de cada vel SCE TEST ANOVA La Idea del Test ANOVA es comparar la varabldad etre las medas co la varabldad e el expermeto (varabldad detro de cada grupo) H o : Las respuestas medas so guales e todos los grupos Ho : μ μ... μ H a : Las respuestas medas so dsttas e al meos dos grupos Ha : μ μ para algú,

14 Fuete de varacó Explcada (etre grupos) Resdual (detro de los grupos) Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad SCE ( - ) SCR ( - ) Total SCT ( - ) ˆ S e Ŝ r ˆ S Varaza SCE SCR SCT Test F de Fsher- Sedecor F ˆS ˆS e r R Coefcete de Determacó R SCE SCT ˆ Para realzar el cotraste de hpótess bastará teer e cueta que el cocete Se ˆS r grados de lbertad para u vel de sgfcacó fado α. De esta forma, podremos coclur: Se acepta H o cuado F ˆ S e S ˆ r Fα, ( ),( ) Se rechaza H o cuado F ˆ S e S ˆ r > Fα, ( ),( ) F sgue ua α,( ),( ) de ( - ) ( - ) El p-valor asocado al cotraste se defe como el mímo vel de sgfcacó co el que la hpótess ula sería rechazada e favor de la alteratva. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Ŝ r o srve (porque depede de las udades de medda) para explcar la varabldad e la respuesta. Para ello se utlza el coefcete de determacó ( SCE ) R, proporcó de la varabldad observada e los datos que queda explcada por el modelo SCT

15 COMPARACIONES MÚLTIPLES Cuado al aplcar el test ANOVA se rechaza que las medas so guales, se trata de ecotrar qué grupos so dsttos etre sí hacedo COMPARACIONES MÚLTIPLES ( Pruebas Post hoc) dos a dos. Para ello, exste varas opcoes, sedo la CORRECCIÓN DE BONFERRONI la que más se utlza. Cuado exste evdeca para rechazar la hpótess ula, cabe pregutarse s so guales los veles medos de los grupos (, ). H 0 : μ μ Ha : μ μ co u vel de sgfcacó α Se rechaza la hpótess ula cuado ( α ), ( ) I C Ŝ R ( μ μ ) ( ) ± t ( α ), ( ) Ŝ r > t La varaza se estma co los datos de los DOS grupos de los otros grupos, se utlza la varaza resdual. S ha evdeca para rechazar la hpótess ula deseamos ecotrar qué grupos se dfereca etre sí, habrá que realzar tests para comprobar todos los pares de medas.

16 PRUEBAS Post hoc: TEST DE BONFERRONI Para comparar los grupos dos a dos, aplcamos el test de Boferro, utlzado los tervalos de cofaza I C ( μ μ ) ( ) ± t α, ( ) c Ŝ r a ( μ μ ) ε ( ) ± t Ŝ ( ) α r, c El test múltple de Boferro fado u vel de sgfcacó total tests α c que ha que realzar para comparar todos los pares de medas:, dode c úmero de cotrastes, est decr, el úmero de c Señalar que puede ocurrr que se rechace la hpótess ula H 0 e ANOVA o se ecuetre dferecas etre gú par de medas aplcado el test de Boferro. El test de Boferro es mu coservador, especalmete cuado 'c' es grade. Puede aplcarse otros cotrastes múltples: Test de Tue (cuado el dseño es equlbrado), test de Scheffé (cuado los tamaños muestrales so dferetes, cocde sempre co ANOVA), test de Duett (cuado ha u grupo cotrol), test de Duca,..., etc. Al aplcar el Test de Boferro, ( ) ( ) ( ) μ μ ± I C t Ŝ α r, cuado el CERO o se ecuetra e, c el tervalo, rechazamos la hpótess de que las medas so guales.

17 DISPOSICIÓN DE LOS CÁLCULOS: Famla úmero Observacoes.,...,,,...,, ,...,,. El cálculo de las desvacoes cuadrátcas se abreva co el artfco coocdo: [ SCT SCE SCR ]

18 SUMA DE CUADRADOS TOTAL (Varabldad de todos los datos): SCT ( ) ( ) Por tato, SCT ( ) ( ) suma de cuadrados total SUMA DE CUADRADOS EXPLICADOS (Etre-Grupos): SCE ( ) ( ) ( ) Por tato, SCE ( ) suma de cuadrados explcados (Etre-Grupos)

19 ANÁLISIS ESTADÍSTICO: ANOVA (Cotraste de gualdad de medas) El obetvo es averguar s los tratametos empleados so sgfcatvamete dferetes, esto es, s ha ua dfereca sgfcatva etre los efectos producdos por los tratametos. Para la aplcacó del Aálss de la Varaza co u solo factor (ANOVA I) se tee que verfcar las sguetes hpótess: Que las poblacoes dode procede las muestras sea ormales. Es decr, la varable sgue ua dstrbucó ormal N(μ, σ) para cada. Que las ctadas poblacoes tega la msma varaza (hpótess de homocedastcdad) Lealdad. esto es, que la dfereca de los datos a su meda, e cada vel del factor, se dstrbue alrededor del cero (Gráfco de los Resduos) Que las muestras haa sdo elegdas al azar Se tedrá poblacoes ormales: N(μ, σ), N(μ, σ),..., N(μ, σ) se pretede cotrastar la hpótess ula H o frete a la alteratva H : H o : Las medas poblacoes de dode procede las muestras so guales. Ho μ μ... : μ H a : Las medas poblacoes de dode procede las muestras NO so guales. Ha μ μ : para algú, NOTACIÓN: K úmero de tratametos úmero de elemetos que tee la muestra a la que se aplcó el tratameto. úmero total de elemetos observados valor que toma la varable de respuesta e el elemeto -ésmo de los que se aplcó el tratameto

20 º. Se somete 4 muestras de agua a 4 tratametos de descotamacó dferetes asgados al azar. Para cada muestra se mde u dcador de la caldad del agua (cuato más alto está el dcador, maor es la caldad del agua). E el expermeto, el más efectvo es el tratameto, pero estamos seguros de que los tratametos o so guales?. T T T T Solucó.- E u prcpo, parece ser que el tratameto más efectvo es el. Para aseguraros que los dcadores medos sea realmete dsttos hacemos u test ANOVA. T T T T ŝ, 8,8 6,85,,..., ŝ ( ) ESTIMACIÓN POBLACIONAL DE LOS PARÁMETROS: μ Ŝr ŝ ( ) ( )

21 4 a 4 64 Ŝ r 4 4 [( 4 )(,) ( 6 )( 8) ( 6 )(,8) ( 8 )( 6,85) ] 5,6 a SCR ( ) Ŝ 4 ( ) 4 4, a SCT ( ) ( 4,786087)( 4 ) SCT SCR SCE ( ) ( ) ( ) Advértase que Ŝ SCT Ŝr SCR Ŝe SCE SCE 4 SCE 8 ( ) SCT SCR 40 8 a Ŝ 76 e F Ŝe 76 SCE 8,57 R 0, 67 Ŝ 5,6 SCT 40 r

22 Cálculos: T T T T SCT 4 ( 56) SCT SCR SCE SCR / SCE

23 Fuete de varacó Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza Test F - R Explcada SCE 8 SCE 8 ( - ) Ŝ 76 (etre grupos) e Resdual SCR SCR ( - ) 0 Ŝ 5, 6 (detro de los grupos) r 0 SCT 40 Total SCT 40 ( - ) Ŝ 4, 78 Ŝe 76 F,57 Ŝr 5,6 SCE 8 R 0,67 SCT 40 Se establece la hpótess ula H o : o exste dfereca sgfcatva etre los tratametos. Ŝ Se rechaza H o cuado F e F, ( ), ( ) F,57 F0,05; ; 0, 0984 Ŝ α. Por tato, se rechaza la hpótess ula, r afrmado que o todos los tratametos so guales, co ua fabldad del 95% (vel de cofaza). El porcetae de varabldad explcada es del 67%. Al rechazar la hpótess ula H 0 exste evdeca estadístca de que al meos ua de las μ es dferete de las otras medas. Cabe pregutarse etre que medas ha dfereca sgfcatva. Para comparar los grupos dos a dos, aplcamos el test de Boferro, utlzado el tervalo de cofaza I C ( μ μ ) ( ) ± t Ŝ ( ) α r, c El test múltple de Boferro fa u vel de sgfcacó total α, dode c úmero de cotrastes, es decr, el úmero de c 4 cotrastes que ha que realzar para comparar todos los pares de medas: c 6

24 Los tratametos más efectvos so el el

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27 º. De u certo producto se tomaro muestras lo más parecdas posbles se dvdero e 5 famlas de 4,,,, muestras, que se almacearo bao dferetes codcoes. Se trata de ver co los datos de hdratacó de la tabla aduta s ha dferecas sgfcatvas etre los métodos de almaceae. Método 4 5 8, 7,6 8,4 8, 7,4 7, 8, 6,4 7,9 9,5 0,0 7, Solucó.- Método Cotedo de agua % tamaño muestra 8, , ,69 8, ,5 05,7 05, 7, ,5 06,57 05, 7, ,66 50,5 9, , 50,4 50, , 780, , ,8

28 SCT ,9 769,6, SCT SCR SCE SCR, 7,0 4,0 5 / SCE 776,6 769,6 7, 0 Fuete de varacó Explcada (etre grupos) Resdual (detro de los grupos) Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza SCE 7,0 Ŝe 4 SCR 4,0 Ŝ r 7 SCT, Ŝ SCE 7, 0 ( - ) 4, 75 SCR 4,0 ( - ) 7 0, 6 Total SCT, ( - ), 0 F Test F de Sedecor Ŝ Ŝ e,75 r 0,6,86 Se establece la hpótess ula H o : o exste dfereca sgfcatva e los métodos de almaceae. Ŝ Se acepta H o cuado F e F, ( ), ( ) F,86 F0,05; 4; 7 4, 0 Ŝ α. Por tato, se acepta que o ha dfereca r sgfcatva etre los métodos de almaceae co ua fabldad del 95% (vel de cofaza).

29 º. Quce persoas que se strue e u programa técco so asgadas e forma aleatora a tres tpos dferetes de struccó, todos los cuales se relacoa co el desarrollo de u vel específco de habldad e la lectura de copas helográfcas. La putuacó de las pruebas de redmeto, al coclur la especalzacó, se preseta e la tabla aduta, uto co la putuacó meda de desempeño asocado a cada efoque de struccó. Exste dfereca sgfcatva etre los métodos de struccó empleados?. Método struccó Putuacó de la prueba Putuacó todas las pruebas Putuacó meda de las pruebas A B C Solucó: Método Putuacó prueba tamaño muestra. A B C

30 5 SCT SCT SCR SCE SCR / SCE Fuete de varacó Explcada (etre grupos) Resdual (detro de los grupos) Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza SCE 50 Ŝ r SCR 448 Ŝ SCT SCE 50 ( - ) Ŝe 5 SCR 448 ( - ) 7, Total SCT 698 ( - ) 4 49, 6 F Test F de Sedecor Ŝ Ŝ e 5 r 7,,5 Se establece la hpótess ula H o : o exste dfereca sgfcatva e el método de struccó, es decr, o exste dfereca sgfcatva e las medas muéstrales. Ŝ Se acepta H o cuado F e F, ( ), ( ) F,5 F0,05; ;, 885 Ŝ α. Por tato, se acepta que o ha dfereca r sgfcatva etre las medas muéstrales, co ua fabldad del 95% (vel de cofaza).

31 4º. La tabla aduta represeta el promedo de palabras mecaografadas por muto e dferetes máquas, por dvduos asgados aleatoramete s expereca preva e estas máquas, después del msmo período de struccó. Es sgfcatva la meda de palabras por muto lograda por las tres máquas, co u vel de sgfcacó del 5%?. Máquas Promedo palabras por muto Solucó: Máquas Promedo tamaño muestra palabras/muto ,8 70, , , , 8.. 7, , / SCT , 76, 9

32 SCE 667,8 6064, 0, 7 SCT SCR SCE SCR 76,9 0,7 7, Fuete de varacó Explcada (etre grupos) Resdual (detro de los grupos) Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza SCE 0,7 Ŝ r SCR 7, 9 4, Ŝ SCT , SCE 0,7 ( - ) Ŝe 5, 85 SCR 7, ( - ) 9 47 Total SCT 76,9 ( - ) 7 F Ŝ Ŝ Test F de Sedecor e 5,85 r 4, Se establece la hpótess ula H o : o exste dfereca sgfcatva etre las tres máquas. Ŝ Se acepta H o cuado F e F, ( ), ( ) F 0,7 F0,05; ; 9 4, 565 Ŝ α. Por tato, se acepta que o ha dfereca r sgfcatva etre las tres máquas e térmos de velocdad de mecaografía, co ua fabldad del 95% (vel de sgfcacó del 5%). E realdad, debdo a que la varaza explcada (etre grupos, marca de la máqua) es meor que la varaza resdual (detro de los grupos, error de muestreo), podemos observar que la varabldad etre las tres máquas es meor que la varabldad esperada, dado que o exste dferecas etre las marcas de las máquas.

33 COMPARACIÓN DE POBLACIONES El Test ANOVA trata de comparar la varabldad etre las medas co la varabldad e el expermeto (varabldad detro de cada grupo). 5º. G G G F F F Medas Grupo muestra ( ) G ( ) G ( ) 4 4 G ( ) SCE ( )

34 Grupo muestra G G G ( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) SCT SCR SCE SCT 4444 SCR SCE SCT SCE ( ) ( ) ( ) / SCR SCT SCE ( 64)

35 ( ) ( ) ( ) SCT SCR SCE SCT ( ) (0 ) (9 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) (4 ) ( ) (5 ) 6 SCR ( ) (0 0) (9 0) (0 0) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 4) (4 4) ( 4) (5 4) 4 SCE ( ) ( ) 4. (0 ) 4. ( ) 4. (4 )

36 Test ANOVA Fuete de varacó Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza Explcada SCE SCE - Ŝ 6 (etre grupos) e Resdual SCR 4 SCR 4-9 Ŝ 0, 444 (detro de los grupos) r 9 SCT 6 Total SCT 6 - Ŝ, 7 F Test F de Fsher- Sedecor R Coefcete de Determacó Ŝe 6 SCE 6 R 0, 89 Ŝ 0,444 SCT 6 ; 9 r Sea la hpótess ula H 0 : Las respuestas medas so guales e los tres grupos. Ŝ e Co ua fabldad del α 0,95 (95%) se acepta H o cuado F( ), ( ) F α, ( ), ( ), etoces: Ŝ r F 9 r Ŝe 6 ; 9 6 > F 0,05; ; Ŝ 0,444 4,565 Se rechaza la hpótess ula, afrmado co ua fabldad del 95% que las respuestas medas so dsttas e al meos dos grupos. El porcetae de varabldad explcada por el modelo es del 89%. Aálogamete, el aálss e el otro grupo:

37 Grupo muestra ( ) F ( ) F ( ) 4 4 F ( ) SCE ( ) Grupo muestra F F F a 64 a

38 ( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) SCT SCR SCE SCT 4444 SCR SCE SCE ( ) ( ) 5840 SCT ( ) SCR SCT SCE Test ANOVA Fuete de varacó Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza Explcada SCE SCE - Ŝ 6 (etre grupos) e Resdual SCR 85 SCR 85-9 Ŝ 6, 9 (detro de los grupos) r 9 SCT 6 Total SCT Ŝ, 7 F Test F de Fsher- Sedecor R Coefcete de Determacó Ŝe 6 SCE 0,05 R 0, 0 Ŝ 6,9 SCT 884 ; 9 r

39 Sea la hpótess ula H 0 : Las respuestas medas so guales e los tres grupos. Ŝ e Co ua fabldad del α 0,95 (95%) se acepta H o cuado F( ), ( ) F α, ( ), ( ), etoces: Ŝ r F 9 r Ŝe 6 ; 9 0,05 F 0,05; ; Ŝ 6,9 4,565 Se acepta la hpótess ula, afrmado co ua fabldad del 95% que las respuestas medas so dsttas e al meos dos grupos. El porcetae de varabldad explcada por el modelo es del %.

40 ESTADÍSTICA Tercer Curso de CC. Ambetales (Uversdad Autóoma de Madrd) MODELOS DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS (ANOVA DE UN FACTOR). E u expermeto realzado para comparar la capacdad pulmoar e ños, adultos acaos, se ha obtedo los sguetes resultados: Hacer u estudo completo. Nños 8,4 7,6 7,9 8,0 8, Adultos 8,7 8, 8,5 8, 8,0 Acaos 7,4 7,8 7, 7,6 8,0. Las precptacoes caídas e u país ha dsmudo de maera preocupate durate el últmo año. Ates de tomar gua medda se decde hacer u estudo prevo para saber el desceso de las lluvas se produo de forma homogéea e todo el país. Para ello se seleccoa aleatoramete cco estacoes meteorológcas e cada ua de las cuatro regoes del país, obteédose los sguetes porcetaes de dsmucó de las precptacoes e cada ua de ellas: Regó Este Regó Norte Regó Oeste Regó Sur 0,4,8,,9,8 4, 9,8 4, 5,6 6, 0,7,8 9, 0, 6, 5,0 8,7,0,4,7 (a) Propoer u modelo para comparar los porcetaes de dsmucó de las precptacoes e las 4 regoes. (b) Represetar los datos gráfcamete medate dagramas de putos caas. Se verfca las hpótess?. (c) E qué zoa parece haber dsmudo más las precptacoes?. (d) Obteer la tabla ANOVA.

41 (e) Cotrastar la hpótess ula de que las medas de dsmucó del porcetae de lluvas e el país fuero las msmas e las cuatro regoes (tomar α 0,0). (f) Efectuar comparacoes etre las medas de las dferetes regoes co u vel de cofaza global del 90%.. E u estudo sobre la efectvdad de los métodos para dear de fumar se quere saber cuádo la reduccó meda e el úmero de cgarrllos daros dfere de u método a otro etre hombres fumadores. Para ello se hace u expermeto co fumadores que cosumía 60 cgarrllos daros. Se aplca cada uo de los métodos a 4 de ellos seleccoados aleatoramete. El úmero de cgarrllos que dea de fumar cada dvduo es: Método I Método II Método III (a) Cotrastar medate el aálss de la varaza que la reduccó meda e el úmero de cgarrllos es gual para los tres veles co u vel de sgfcacó α 0,05 (b) Costrur los tervalos de cofaza para la dfereca etre las medas co u vel de cofaza couto de 0,95. Qué coclusoes se puede obteer?. 4. A cotuacó se muestra los datos recogdos por las speccoes e cuatro gasoleras elegdas aleatoramete. Los valores de la tabla reflea los mlímetros que falta para completar u ltro e dsttas medcoes sobre el msmo surtdor de cada gasolera. Gasol. C 7,80 8,00 7,98 8,0 8,00 7,99 8,0 7,90 Gasol. R 8,0 7,75 8,00 7,77 8,0 8,0 8, 8,0 Gasol. S 8,0 7,9 8,0 7,88 8,0 8, 8,56 8,0 Gasol. V 8,05 8,0 7,94 8, 8,0 8,00 7,84 8, Cotrastar la hpótess ula de que la catdad de gasola que se srve por ltro o depede de la gasolera.

42 5. Completar la sguete tabla ANOVA correspodete a la comparacó de 4 grupos co 4 observacoes por grupo: Fuete de varacó Suma cuadrados Grados lbertad Varazas Test F p-valor Etre Grupos 5,9 Resdual 54 Total 6. E u bosque próxmo a ua ceradora los árboles o crece co ormaldad. Se pesa que uos uevos aboos amercaos australaos puede ser la solucó. Para ver s es efectva esta medda se utlza el aboo amercao e u terco de los árboles, el aboo australao e otro terco para el terco restate o se utlza gú aboo. Después de meses se ha obtedo los sguetes resultados sobre el crecmeto e cetímetros de 60 árboles e total: Aboo amercao 6, 57 s 0, 70 Aboo australao 5, 0 s 0, 65 S aboo, 0 s 0, 50 A u vel de sgfcacó α 0,0 Se puede afrmar que se obtee dferecas e los resultados?. E caso ecesaro, efectuar ua comparacó de los crecmetos medos, co u vel de sgfcacó couto de 0,5. 7. E u estudo sobre la cdeca del cácer e la gargata se va a aalzar los resultados obtedos e 0 cudades de más de habtates, e otras 0 cudades de meos de habtates, e 0 pueblos. E cada poblacó se regstra la varable Y 'Número de casos detectados por cada habtates'. Los resultados obtedos se resume a cotuacó: s Cudades grades 0 05, Cudades pequeñas 0 95, Pueblos

43 (a) Aporta estos datos evdeca estadístca de que el hábtat flue e la cdeca del cácer de gargata?. Dar ua respuesta razoada, co ua cofaza del 90%, dcado el modelo la metodología estadístca empleada?. (b) Supoedo que la varaza es la msma e cada uo de los tpos de poblacó, dar ua estmacó sesgada de dcha varaza?. (c) Hallar tervalos de cofaza para estmar smultáeamete las dferecas etre cdecas medas de la efermedad e los tres tpos de poblacó, co ua cofaza couta del 70%. Qué solucoes estadístcas se puede obteer sobre la cdeca meda e los tres tpos de poblacó?. 8. Se estuda ña flueca de los gresos famlares e la tasa de mortaldad e 60 cudades dsttas. Para esto, cosderamos tres veles de gresos (bao, medo alto) obteemos los sguetes resultados: Nvel Bao 4 866, 4 s 94, 596 Medo 40 95, 785 s 04, 844 Alto 6 970, s 498, 795 (a) Descrbr el modelo a usar e el aálss de los datos las hpótess asumdas. (b) Costrur la tabla ANOVA decdr, a u vel 0,0, s el factor flue e la tasa de mortaldad. (c) A vel de couto α 0,05, etre qué veles del factor se detecta dferecas sgfcatvas?.

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46 CALCULADORA: Total E cada Grupo Nños ŝ 0, Adultos , ŝ 0, 085 Ŝ 0,5495 Acaos ,6 ŝ 0, 08

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48 Test ANOVA Fuete de varacó Explcada (etre grupos) Resdual (detro de los grupos) Suma cuadrados desvacoes grados de lbertad Varaza SCE SCE,6 - Ŝe 0, SCR, Ŝ r 0, 084 SCT Total SCT, Ŝ 0, 5495 F Test F de Fsher- Sedecor R Coefcete de Determacó Ŝe 0,5806 SCE 6,9 R 0, 55 Ŝ 0,084 SCT ; r La proporcó de la varabldad observada que se explca e el modelo es del 5,5%. (R 0,55) Habedo rechazado la hpótess ula, realzamos comparacoes múltples (Pruebas Post hoc) para aalzar s exste dfereca etre algú par de medas. Para ello, se realza el Test de Boferro, fado u vel de sgfcacó total αt α c

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50 I C ( μ μ ) ( ) ± t Ŝ α r I C ( μ μ ) ( ) ± (,055)( 0,898), ( ) c Test de Boferro Varable Depedete: Idcador de Salud Edad () Nños Edad () Dfereca de medas ( ) 6 Error típco Error típco Ŝ r sgatura Itervalo Cofaza Lmte Iferor Error típco Itervalo Cofaza Lmte Superor Nños Adultos - 0,0 0,8 0, ,596 Acaos 0,8 0,8 0,8-0,796 0,996 Adultos Nños 0,0 0,8 0,8-0,596 0,8596 Adultos Acaos 0,68 0,8 0,09 0,04,96 Acaos Nños - 0,8 0,8 0, ,796 Adultos - 0,68 0,8 -,895 -,96-0,04 Acaos

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