El modelo de crecimiento de Solow

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2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES El modelo de crecimieno de Solow Ayudane de Primera Macroeconomía I Abril de 2009

3 El modelo de crecimieno de Solow El modelo de crecimieno de Solow Ayudane de Primera Macroeconomía I Faculad de Ciencias Económicas y Sociales Universidad Nacional de Mar del Plaa Abril de 2009 El modelo de crecimieno de Solow es neamene neoclásico. Fue publicado en 1956 por Rober Solow en el arículo A conribuion o he Theory of Economic Growh en el Quarerly Journal of Economics, en febrero de 1956, páginas 65 a 94, y analiza la ineracción enre el crecimieno del sock de capial, el crecimieno de la población y los avances de la ecnología, a la vez que esudia la influencia de aquellos sobre el nivel de producción, desde una perspeciva neoclásica. En el modelo de Solow los planes de ahorro e inversión se cumplen en forma simulánea y los mercados se vacían siempre, resulando insignificane el desempleo keynesiano. La ofera de bienes depende del nivel de producción, que es función del sock de capial (K) y del rabajo (L), habiendo susiuibilidad enre ambos facores. Además, se supone que dicha función de producción cumple con las condiciones de Inada 1, por lo que eniendo rendimienos consanes a escala, la producción por rabajador sólo depende de la canidad de capial por rabajador, lo cual puede expresarse de la siguiene manera: Y/L = F(K/L) o y = f(k) 2 La pendiene de esa función es el produco marginal del capial (PMgK) e indica el incremeno en la producción por rabajador al adicionar una unidad de capial por rabajador, es decir: PMgK = f(k+1) f(k) La forma de la función de producción, que puede observarse en la Figura a, da cuena de la producividad marginal decreciene del capial, por cuano la pendiene de la función es decreciene, lo cual se supondrá para el reso de los facores. 1 Eso es: a) para odo nivel posiivo de capial y de rabajo, los producos marginales de ambos facores serán posiivos y decrecienes; b) la función de producción iene rendimienos consanes a escala y c) el produco marginal de cada facor se aproxima a infinio a medida que iende a cero el volumen de uilización del mismo y se aproxima a cero a medida que el volumen de uilización del mismo se acerca a infinio. 2 Denoaremos con leras minúsculas las variables per cápia. 2

4 El modelo de crecimieno de Solow Figura a Analizada la ofera de bienes y servicios, pasaremos ahora a ver el lado de la demanda. Solow supone una economía cerrada donde la demanda esá dada por el consumo y la inversión, que en érminos per cápia puede expresarse de la siguiene manera: y = c + i Eso es así porque bajo los supuesos del modelo de que no hay mercados ni empresas, la economía esá inegrada sólo por familias producoras, propiearias de los facores de producción, que deciden qué pare de la producción consumen y qué pare ahorran e invieren. Siendo que no hay oro bien en la economía, la pare del produco que no consumen, se ransforma insanáneamene en capial. Sabiendo que la inversión debe ser igual al ahorro en el equilibrio de una economía de las caracerísicas descripas, resula que: i = (1-PMgC )y = sy = s f(k) Así, s no sólo es la asa de ahorro, sino ambién la proporción de la producción que se dedica a la inversión. Ahora bien, siendo que la producción depende básicamene del nivel de capial por rabajador, corresponde analizar las causas que influyen sobre el nivel de capial, es decir, la inversión y la depreciación. Por un lado, el sock de capial aumena cuando las familias producoras invieren, mienras que por oro lado, el sock de capial disminuye por su propio desgase, es decir, por la depreciación. Así, la variación del sock de capial por 3

5 El modelo de crecimieno de Solow rabajador ( k) depende de la inversión por rabajador (i) y de la depreciación del capial por rabajador (δk), es decir: k = i - δk = s f(k) - δk Donde δ represena la asa de depreciación del sock de capial. La ecuación anerior se denomina ecuación fundamenal en el modelo, y será luego ampliada a medida que se incorporen más variables al análisis. En la Figura b podemos observar la proporción de la producción que corresponde al consumo por rabajador y la proporción correspondiene a la inversión por rabajador, mienras que en la Figura c vemos las dos variables que influyen sobre el sock de capial, eso es, la inversión y la depreciación. Obviamene, ambas variables se incremenan a medida que lo hace el sock de capial, pero siendo que la inversión presena un comporamieno creciene a asa decreciene y la depreciación creciene linealmene, habrá un sock de capial que deermine igual canidad de incremeno via inversión que de disminución via depreciación. Para ese nivel de capial por rabajador (k*) nos enconraremos en el esado esacionario, que es aquella siuación en la cual las variables relevanes crecen a una asa consane. Es fácil adverir que para niveles de capial inferiores (como k1), la pérdida de valor por depreciaciones será menor al incremeno que producen las inversiones, con lo cual el sock de capial se incremenará. Por ora pare, para niveles de capial superiores al del esado esacionario (k2) observamos una pérdida de valor superior al que la inversión puede añadir, lo cual hace disminuir el sock de capial. Sólo para el esado esacionario ambas magniudes se compensan haciendo que ese sock de capial perdure en el iempo. Figura b 4

6 El modelo de crecimieno de Solow Figura c Ahora bien, un cambio en la asa de ahorro de una economía hará que cambien las fuerzas que incremenan el sock de capial, pero no influye en la asa de depreciación del mismo. Así, y al como puede observarse en la Figura d, el esado esacionario se modificará hacia un nivel de capial por rabajador mayor, si es que la asa de ahorro de incremena, o menor, en caso conrario. En definiiva, según el modelo de Solow, una ala asa de ahorro implica un mayor nivel de capial y de producción. El nivel de crecimieno será mayor en el coro y mediano plazo, pero ésa no se manendrá indefinidamene. Figura d Dado que para cada asa de ahorro y para cada nivel de capial habrá un esado esacionario relacionado, resula de inerés deerminar ese nivel de capial que genera aquel 5

7 El modelo de crecimieno de Solow esado esacionario con mayor nivel de consumo per capia, el cual se lo conoce como la regla de oro. En el esado esacionario la única inversión es la de reposición, y el consumo es la diferencia, enonces, enre la producción y esa inversión, es decir: c* = f(k*) - δk* Donde el signo * denoa que se raa de los valores de cada variable en el esado esacionario. Ahora bien, como nuesra incógnia es qué sock de capial genera el mayor nivel de consumo per capia, debemos considerar que a mayor capial, mayor será la producción, pero ambién mayor será la inversión por reposición. Así, la regla de oro se cumple cuando mayor es la diferencia enre la producción y la inversión, al como se puede observar en la Figura e. Para el nivel de capial k*oro, se define el esado esacionario con un nivel de consumo per capia de c*oro, que será el mayor nivel posible de consumo, dada la función de producción y la asa de depreciación. La inversión per capia para ese esado esacionario será i*oro. Por úlimo, diremos que para la regla de oro se cumple la igualdad enre la producividad marginal del capial (PMgK), represenada por la derivada de la función de producción f(k), y la asa de depreciación δ. Figura e Así, el capial per capia que es conveniene poseer es k*oro. Si el nivel de capial de una economía se encuenra por debajo de ese nivel, habrá que reducir el consumo para que, vía 6

8 El modelo de crecimieno de Solow aumeno del ahorro, se incremene la inversión y, así, el capial. Evenualmene se alcanzará el capial de la regla de oro y el consumo se esabilizará para un nivel mayor al original. Si, por el conrario, el capial de una economía se encuenra por encima del correspondiene a la regla de oro, lo que convendría hacer sería incremenar el consumo para que la inversión se reduzca y la depreciación vaya desgasando el capial exisene. Finalmene se alcanzará un consumo mayor al original, cuando se llegue al esado esacionario de la regla de oro. Nóese que en ambos casos no se alcanza la regla de oro auomáicamene, sino que hay que adecuar las asas de consumo y, así, las de ahorro e inversión, para llegar al nivel ópimo de capial. Así, y siguiendo a BAROSSI-FILHO, GONÇALVES SILVA and MARTINS DINIZ (2005), un país menos capial inensivo que oro enderá a ener mayores asas de rendimieno y, consecuenemene, mayor crecimieno del ingreso. Conrasando las premisas expuesas hasa el momeno del modelo con la evidencia empírica, puede decirse que, dado que el ahorro implica inversión y que ésa genera aumeno de capial, lo cual produce crecimieno económico, es de esperar que al analizar las asas de crecimieno económico de los países y sus respecivas proporciones de produco desinadas a la inversión se observe una relación direca. En la Figura f se muesra esa relación. En dicha figura se grafican las relaciones enre porcenaje del produco desinado a inversión y rena per capia correspondienes al año 2004 de 66 países 3. Puede verse en el gráfico predicho que ane un mayor porcenaje de paricipación de la inversión en el produco de un país, mayor será la rena per capia resulane, al como lo predice el modelo. Por ora pare, el coeficiene de deerminación de la regresión mínimocuadráica realizada es del 69%, lo cual implica que el 31% de las variaciones respeco de la media no resula explicada por el modelo. En érminos esadísicos eso represena un buen grado de 3 Afganisán, Argenina, Ausralia, Ausria, Bahamas, Bélgica, Belice, Boswana, Bulgaria, Burkina Faso, Canadá, Chile, Cosa Rica, República Checa, Dinamarca, Ecuador, Erirea, Esonia, Finlandia, Francia, Gabón, Georgia, Alemania, Grecia, Honduras, Hong Kong, Hungría, Islandia, Indonesia, Irlanda, Israel, Ialia, Japón, Liuania, Madagascar, Malawi, Maldivia, Mali, Mala, México, Moldavia, Holanda, Nueva Zelanda, Nicaragua, Nigeria, Noruega, Pakisan, Filipinas, Polonia, Porugal, Rumania, Singapur, Eslovenia, Somalia, Sudáfrica, España, Suecia, Suiza, Taiwán, Togo, Túnez, Turquía, Reino Unido, Esados Unidos, Uruguay y Venezuela. 7

9 El modelo de crecimieno de Solow explicación del modelo, pero en érminos económicos significa que aún resan invesigaciones por realizar. Relación enre rena y asa de inversión per capia R 2 = 0,6901 Rena per capia Porcenaje del produco desinado a inversión Figura f Fuene: Alan Heson, Rober Summers and Beina Aen, Penn World Table Version 6.2, Cener for Inernaional Comparisons of Producion, Income and Prices a he Universiy of Pennsylvania, Sepember En efeco, el crecimieno económico coninuo no depende exclusivamene de la acumulación de capial, sino que hay oros facores que conribuyen a explicar dicho crecimieno, como por ejemplo el crecimieno de la población y el progreso ecnológico. Al incluir el crecimieno de la población en el modelo, debemos suponer que la misma se produce a una asa consane que denominaremos ν. Así, la variación del capial per capia se incremenará por la inversión, pero se reducirá no sólo por la depreciación, sino ambién por el propio crecimieno de la población, de manera que será: k = i (δ+ν)k = s f(k) (δ+ν)k El segundo érmino del segundo miembro será la inversión de manenimieno, eso es, la inversión necesaria para que el capial por rabajador se manenga consane. Así, dicha inversión de manenimieno compensará el desgase del capial y aporará el capial necesario para permanecer en el esado esacionario, aún cuando la población aumene. Así, 8

10 El modelo de crecimieno de Solow permanece consane el capial por rabajador, pero como la canidad de rabajadores se incremena, ambién lo hará la producción oal, cuesión que se verifica empíricamene. La forma de deerminar el capial per capia de la regla de oro será, ahora, la igualación enre la producividad marginal del capial y la suma de las asas de depreciación y crecimieno poblacional. Oro aspeco ambién explicado por esa inroducción al modelo es el hecho de que aquellos países con mayor crecimieno poblacional presenan menores valores de rena per capia. Eso puede graficarse como lo indica la Figura g. Figura g Por ora pare, en la Figura h puede observarse la relación inversa enre el crecimieno poblacional y la rena per capia. Se omaron los daos de 69 países 4 en cuano a su PBI per capia en el año 2004 y el promedio anual de crecimieno poblacional desde 1950 hasa 2004, obeniéndose una clara relación inversa enre las variables, al como lo predice el modelo de Solow. Sin embargo, hay un ercer facor que explicaría el crecimieno económico, cual es el incremeno de la eficiencia del facor rabajo, generado, básicamene, por el avance 4 Afganisán, Albania, Argenina, Ausralia, Ausria, Barbados, Bélgica, Belice, Boswana, Burkina Faso, Canadá, Chile, China, Congo, Cosa Rica, Cyprus, República Checa, Dinamarca, Ecuador, Erirea, Esonia, Finlandia, Francia, Gabón, Alemania, Grecia, Guinea, Hondura, Hungría, Islandia, Indonesia, Irlanda, Ialia, Japón, Corea, Liuania, Madagascar, Malawi, Maldivia, Mali, Mala, Mauricio, México, Holanda, Nueva Zelanda, Nicaragua, Níger, Nigeria, Noruega, Pakisan, Filipinas, Porugal, San Tomé, Seychelles, Slovenia, Somalia, Sudáfrica, España, Suiza, Suecia, Swaziland, Taiwán, Togo, Tunez, Turquía, Reino Unido, Esados Unidos, Uruguay y Venezuela. 9

11 El modelo de crecimieno de Solow ecnológico, que denoaremos con la lera A. Supondremos que la eficiencia en el facor rabajo crece a una asa consane y exógena γ. Relación enre crecimieno poblacional y PBI per capia PBI per capial 2004 Crecimieno poblacional promedio anual Figura h Fuene: Alan Heson, Rober Summers and Beina Aen, Penn World Table Version 6.2, Cener for Inernaional Comparisons of Producion, Income and Prices a he Universiy of Pennsylvania, Sepember R 2 = 0,6052 El esado esacionario, considerando el progreso ecnológico y el crecimieno poblacional podrá graficarse, enonces, de la siguiene manera: Figura i 10

12 El modelo de crecimieno de Solow La inroducción del progreso ecnológico en el modelo de crecimieno de Solow permie explicar por qué se puede generar un crecimieno coninuo en el nivel de ingreso per capia, ya que una elevada asa de ahorro sólo jusificaba un incremeno de la producción hasa que se alcanzara el esado esacionario. Cabe pregunarse, a esa alura del análisis, si los países pobres convergen al nivel de vida de los países ricos. Para que eso fuera así, los países pobres deberían crecer a una asa superior que los países ricos. A ese planeo se lo conoce como hipóesis de convergencia, y enre las razones eóricas que pueden avalarla enconramos las siguienes: a) El modelo soloviano predice que los países convergen hacia su esado esacionario, siendo las diferencias enre países en un momeno dado explicadas por esar en disinos ramos del proceso en cuesión, pero que finalmene convergerán odos en un mismo nivel. b) El rendimieno del capial es menor en los países donde mayor abundancia haya de dicho facor de producción, por lo que es esperable que fluya hacia países más pobres. c) Problemas de difusión del conocimieno pueden hacer que los países pobres demoren en uilizar mejores y más nuevas ecnologías. Ahora bien, si consideramos a dos países, uno de los cuales supondremos como pobre (P) y oro como rico (R), inicialmene poseedores de los capiales k(0)p y k(0)r respecivamene, y siendo que la ecnología es inferior en el país pobre, el esado esacionario al que converge ese país será de un sock de capial per capia inferior al del rico, al como puede observarse en la Figura j. La convergencia no se da, enonces, en un senido absoluo, enendiéndose por al concepo a la idea de que los países relaivamene pobres ienden a crecer a una asa per capia más elevada que los países ricos, al como lo expusimos aneriormene. Si, en cambio, el análisis se hace respeco de la siuación de un país en un momeno dado respeco de su propio esado esacionario, esamos frene al concepo de convergencia condicional, donde la conclusión a la que se arriba es que un país crece más rápido cuano más alejado esé de su propio esado esacionario. En cuano a la conrasación empírica acerca de la convergencia de las economías mundiales, BARRO and SALA-I-MARTIN (1991) han demosrado que parecería que cada país 11

13 El modelo de crecimieno de Solow converge a su propio esado esacionario, independiene y disino al de oras economías, y que eso depende de las asas de ahorro, el crecimieno de la población y la educación de la población. Figura j Reomando con nuesro análisis, y siguiendo el razonamieno plasmado en la Figura i, podemos decir que de acuerdo a MANKIW, ROMER and WEIL (1990), el capial por unidad de rabajo eficiene correspondiene al esado esacionario, es decir, k*, será igual a: k = ν + γ + δ * s 1/ ( 1 α ) El modelo neoclásico de crecimieno de Solow, quedaría expresado, enonces, de la siguiene manera: Y = K α 1 ( A L ) α Y siendo que la población crece a una asa exógena ν y la ecnología a la asa γ, será: L ν 0 = L e y A γ 0 = A e, con lo que, susiuyendo la expresión [4] en la función de producción Cobb-Douglas para variables en érminos de unidades eficienes y luego omando logarimos naurales, quedaría: Y A L K = A L α 1 α A L A L Y L = k * α 1 α A 1 12

14 El modelo de crecimieno de Solow Y ln L s = ln ν + γ + δ α 1 α + ln( A ) Y α α ln = s ν + γ + δ + A + γ L ln( ) ln( ) ln( 0 ) 1 α 1 α A parir de esa úlima expresión, pueden enconrarse las elasicidades del ingreso per capia respeco de la asa de ahorro s y de la asa de inversión de reposición (ν+γ+δ). Será de α en el primer caso y de 1 α α en el segundo. 1 α Por ora pare, cabe mencionar que si bien γ y δ se espera que no varíen enre países, no sucede lo mismo con A0, por cuano depende de los recursos naurales, insiucionales, climáicos, ec. de cada país, por lo que se espera que difiera, siendo enonces ln(a0) = a + ε, donde a es una consane y ε represena el shock específico de cada país, con lo que la expresión [5], para el momeno 0, quedaría expresada de la siguiene manera: Y ln L 0 0 α α = ln( s) ln( ν + γ + δ ) + a + ε 1 α 1 α Es indudable que el modelo neoclásico soloviano posee originalidad y represena un avance muy imporane en el análisis del crecimieno económico, sin embargo, no esá exeno de críicas y limiaciones. Así, siguiendo a BAROSSI-FILHO, GONÇALVES SILVA and MARTINS DINIZ (2005), podemos mencionar dos que nos parecen de mayor relevancia. En primer lugar, uno de los supuesos del modelo es que se raa de una economía cerrada, lo cual obviamene no suele suceder en la realidad. BARRO, MANKIW and SALA-I- MARTIN (1990) han inenado resolver esa cuesión proponiendo un modelo con economía abiera. Y en segundo lugar, LUCAS (1988) demosró que se consiguen predicciones más compaibles con la realidad si se considera al capial no sólo al físico sino ambién al humano. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA ACKLEY, Gardner. (1965). Teoría Macroeconómica. 1º edición. México. UTEHA. ARGANDOÑA RAMIZ, Anonio; Consuelo GAMEZ AMIAN y Francisco MOCHON MORCILLO. (1996). Macroeconomía Avanzada II. 1º edición. Madrid. Mc Graw Hill. 13

15 El modelo de crecimieno de Solow BAROSSI-FILHO, Milon, Ricardo GONÇALVES SILVA and Eliezer MARTINS DINIZ. (2005). The empirics of he Solow Growh Model: long-erm evidence. Journal of Applied Economics, Vol. VIII, No. 1. May 2005, BARRO, Rober J. and Xavier SALA-I-MARTIN. (1991). Convergence across Saes and Regions. Brooking Papers on Economic Aciviy. No. 1, BARRO, Rober J., N. Gregory MANKIW and Xavier SALA-I-MARTIN. (1995). Capial Mobiliy in Neoclassical Models of Growh. American Economic Review, Vol. 85, BLANCHARD, Olivier y Daniel PÉREZ ENRRI. (2000). Macroeconomía. 1º edición. Buenos Aires. Prenice Hall. CONESA, Eduardo R. (2002). Macroeconomía y Políica Macroeconómica. 1º edición. Buenos Aires. Macchi. LUCAS, Rober E. (1988). On he mecanics of Economic Developmen. Journal of Moneary Economics, Vol. 22, MANKIW, N. Gregory (1997). Macroeconomía. 3º edición. Barcelona. Anoni Bosch. MANKIW, N. Gregory; David ROMER and David D. WEIL. (1990). A conribuion o he empirics of economic growh. Naional Bureau of Economic Research. Working Paper No December VAN LEEUWEN, Bas. (2007). Human Capial and Economic Growh in India, Indonesia and Japan. A quaniaive analysis, Urech. Disponible en hp://igiurarchive.library.uu.nl/disseraions/ /index.hm. Fecha de consula: 10 de marzo de