Algunas distribuciones teóricas continuas

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1 Algunas distribuciones teóricas continuas Dr. Pastore, Juan Ignacio Profesor Adjunto.

2 Algunas Distribuciones Estadísticas Teóricas Distribución Continuas: a) Distribución Uniforme b) Distribución de Exponencial c) Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial. d) Distribución Normal

3 Distribución Uniforme Se dice que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a,b] si su función de densidad de probabilidades (f.d.p) está dada por: 1 f( x) b- a 0 si a x b en otro caso Esperanza Varianza E X V X b a 2 b a 2 12

4 Distribución Uniforme Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [a,b] su función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0 si x < a x a F(x)= si a x b b a 1 si x > b

5 Distribución Uniforme fdp F(x) FDA f(x) 1 b a 1 a b x a b x

6 Distribución Exponencial Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene una distribución exponencial, con parámetro 0, si su fdp está dada por: - x e si x 0 f(x) 0 si x < (en la distribución de Poisson)

7 Distribución Exponencial Esta distribución: suele ser el modelo de aquellos fenómenos aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos. Demostrar las características numéricas de la función exponencial: 1 1 Ex ( ) V(x)= 2

8 Distribución Exponencial Sea X una v.a distribuida exponencialmente, con parámetro función de distribución acumulativa (FDA) está dada por: 0, su La FDA está dada por: F(x) x 1 e si x 0 0 si x<0 F(x) 1 x

9 Propiedad fundamental de la Distribuciones Exponencial La distribución exponencial no tiene memoria : P( x< s + t / x> s ) = P( x< t ) La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. P( s x s t) F( s t) F( s) P( x s t / x s) P( x s) 1 F( s) ( st) s as t s s t 1 e 1 e e e e e ( e 1) s s s 1 (1 e ) e e t 1 e F( t) P( x t)

10 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X una variable de Poisson que mide el número de ocurrencias de un determinado suceso en un período t. Entonces: La probabilidad de que no haya ocurrencias en el período de tiempo t está dado por: P X t 0 t e 0 0! e t La variable T : tiempo transcurrido hasta la primera ocurrencia de Poisson en el período t es una variable exponencial de parámetro λ. Entonces la probabilidad de que la variable aleatoria T exceda el tiempo t está dada por t 0 P T t e P X La v.a X que es igual a la distancia entre conteos sucesivos de un proceso de Poisson con media 0 tiene una distribución exponencial con parámetro : 0

11 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que sean emitidas al menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto? Solución/ X : nº de partìculas en 1min k. e P( X k) k! P ( X 2)01 P ( X 2) 1 P ( X 0) P ( X ,91 0,09

12 Relación entre la Distribuciones de Poisson y Exponencial Sea X el número de partículas emitidas por una fuente radioactiva. Si se sabe que el número esperado de demisiones en una hora es de 30 partículas: Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre emisiones sucesivas sea mayor a 3 minutos? Solución/ T : tiempo (min) hasta que ocurre la prox emision, 30.3 Y : partìculas emitidas en 3min, (1.5). e P( T 3) P( Y 0) !

13 Distribución Normal Pierre Simon de Laplace ( ) Sin duda la distribución de probabilidad continua más importante, por la frecuencia con que se encuentra y por sus aplicaciones teóricas, es la distribución normal, gaussiana o de Laplace - Gauss. Fue publicada por primera vez en 1733 por De Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809), en relación con la teoría de los errores de observación astronómica y física. Karl F. Gauss ( )

14 Distribución Normal Se dice que X que toma todos los valores reales, tiene una distribución normal, si su fdp está dada por: 1x 2 1 f(x) e con - < x < 2 2 La función depende de únicamente de dos parámetros, μ y σ, su media y desviación estándar, respectivamente. Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo. E( x) y V( x) 2

15 Distribución Normal: Principales Características: 1.La función tiene un máximo en x =. 2.La curva es simétrica alrededor del eje vertical x=μ, donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo ). 3.Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores en x=μ ± σ, es cóncava hacia abajo si μ-σ<x< μ+σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto. 4.La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección, es decir Para x tendiendo a, el límite f(x) =0. 5.El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1. 6.Los parámetros μ y σ son realmente la media y la desviación estándar de la distribución normal.

16 Distribución Normal: Principales Características: Puntos de inflexión - =Mo=Me + +

17 Distribución normal con =0 para varios valores p(x)

18 Distribución normal con distintas medias y dispersión

19 N(μ, σ): Interpretación geométrica La media se puede interpretar como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión,

20 Estandarización de la Distribución Normal Dada la dificultad que se encuentra al resolver las integrales de una funciones densidades de probabilidades asociada a una v.a. normal, es necesario contar con una tabulación de las áreas de la curva normal para una referencia rápida. Sin embargo, sería una tarea difícil intentar establecer tablas separadas para cada valor de μ y σ. Afortunadamente, podemos transformar todas las observaciones de cualquier v.a. normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable normal Z con media 0 y desviación estándar 1. x Si X N, Z=, Z N 0,1 2

21 Estandarización de la Distribución Normal Sea X una v.a está dada por: X N 0,1 su función de distribución acumulativa (FDA) t 1 z 2 P Z z z e dt 2 2 P(Z<z)

22 Estandarización de la Distribución Normal x Si X N, y Z= N 0,1 2 Z Pa x b P a x b P a Z b b a

23 Cálculo de la probabilidad de desviación prefijada. P x Si X N, 2 x x x P P P 1 2 1

24 Regla de las tres sigmas Es un caso particular de desviación prefijada. x x x Si = 3 P 3 P 3 3 P ,9974 Esto significa que el suceso x 3 Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario es poco probable y puede considerarse prácticamente imposible.

25 Regla de las tres sigmas: Su esencia. Si una variable aleatoria está distribuida normalmente, entonces la desviación respecto de la esperanza matemática, en valor absoluto, no es mayor que el triple de la dispersión. En la práctica se aplica así: si la distribución de una variable no se conoce, pero se cumple la condición x 3

26 P x 0,6827 P x 2 0,9545 P x 3 0,9974

27 Para ilustrar el uso de las Tablas, calculemos la probabilidad de que Z sea menor que Primero localizamos un valor de z igual a 1.6 en la primera columna (izquierda), después nos movemos a lo largo de la fila hasta encontrar la columna correspondiente a 0.04, donde leemos Por lo tanto P(Z<1.64)=

28 Para encontrar un valor de z que corresponda a una probabilidad dada, el proceso se invierte. Po ejemplo, el valor de z que deja un área de 0.9 bajo la curva a la izquierda de z es de 1.28.

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