FUNCIÓN EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA

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1 INTRODUCCIÓN FUNCIÓN EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA Eiste una multitud de fenómenos naturales que pueden ser regidos por la función eponencial y su inversa, la denominada función logarítmica; estas funciones también se aplican en la Química, en la Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc. En la figura se muestra un árbol en el cual la formación de sus ramas se realiza de manera eponencial, es decir, de cada rama se genera dos ramas, de cada una de estas dos ramas se genera otras dos ramas y así sucesivamente. Así, también presentan comportamiento eponencial la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radioactiva, algunos crecimientos demográficos, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, la ley que rige el enfriamiento de un objeto en un ambiente con menor temperatura, etc. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL El número de cabinas de Internet en el Perú se ha multiplicado y la competencia entre ellas ha hecho que las tarifas (el costo por una hora de servicio) sean más accesibles a las grandes mayorías. Debido a esto, el número de usuarios de Internet se ha incrementado significativamente. Analicemos la siguiente situación: El número de usuarios de Internet en el distrito de Independencia se duplica cada año. En este momento, 1 usuarios utilizan la red. Si continúa produciéndose este fenómeno, cuántos usuarios habrá dentro de tres años? Sean: : el tiempo en años. y: la cantidad de personas que utilizan los servicios de Internet en el distrito de Independencia. Tenemos: El año que viene habrá: (1 ).2 = (1 ).2 1 = 2 usuarios El año siguiente: (2 ).2 = (1 ).2 2 = 4 usuarios Dentro de tres años: (4 ).2 = (1 ).2 3 = 8 usuarios. Y así sucesivamente. Por lo tanto, el número de usuarios se puede epresar en función del tiempo mediante la fórmula y = (1 ).2 Este tipo de funciones en las que la variable es un eponente, se llaman funciones eponenciales. Profesor: Javier Trigoso Página 1

2 Definición Sea a R ; a 1; se llama función eponencial de base a, a la función f : R R / f() a Ejemplo Analicemos las gráficas de las funciones f() 2 y g() 1 / 2 Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las representamos gráficamente: a > 1 f() -2 1/4-1 1/ < a < 1 g() /2 2 1/4 f() = 2 X Como podemos observar, las representaciones gráficas de f() y g() son simétricas entre sí con respecto al eje Y. La curva siempre se mantiene por encima del eje X, ya que las funciones eponenciales siempre toman valores positivos. Y 1 g() = (½) X X El número e Una función eponencial especialmente importante es base es el número e = 2, Este número irracional se obtiene dando valores muy grandes a n en la epresión n 1 1. Luego, cuando la base de la función n eponencial es e, se tiene: f : R R / f() e f() e, cuya Llamada función eponencial natural. Profesor: Javier Trigoso Página 2

3 Logarítmos Si la base es e = 2,718281, entonces log e N se escribe lnn, llamado logaritmo natural de N. Volvamos al ejemplo sobre los usuarios del internet en el distrito de Independencia; si queremos saber, por ejemplo, en qué tiempo se alcanzará la cifra de 6 usuarios, tenemos que resolver la ecuación: (1 ).2 = 6 Es equivalente a resolver: 2 = 6 La frase: es el eponente al que hay que elevar la base 2 para obtener el número 6, se traduce al lenguaje matemático mediante la epresión: es el logaritmo en base 2 de 6, que se escribe abreviadamente = log 2 6 ( log2 6 2,58 años aproimadamente). Luego, 6 usuarios visitan Internet durante 2 años, 6 meses y 29 días. Definición Sean a,n R ; a ; entonces el logaritmo de N en base a denotado por loga N, es el eponente al que hay que elevar la base a, para obtener N. Simbólicamente: log N a N a 2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función logarítmica es la inversa de la función eponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc. Definición Sea a R ; a 1; se llama función logarítmica de base a, a la función f : R R / f() log Cuando la base es el número de Euler e, a la función f : R R / f() ln se le llama función logaritmo natural. a Si la base es 1, entonces log 1 N se escribe log N, llamado logaritmo decimal de N. Profesor: Javier Trigoso Página 3

4 Propiedades: Como podemos observar, las representaciones gráficas de f() y g() son simétricas entre sí con respecto al eje X 3. APLICACIONES La función eponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. A continuación se ven tres aplicaciones: Crecimiento de poblaciones. Interés del dinero acumulado. Desintegración radioactiva. Ejemplo Analicemos las gráficas de las funciones f() log2 y g() log1/2 Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las representamos gráficamente: a > 1 f(),25-2, < a < 1 g(),25 2, Y f() = log 2 X 4 X X g() = log 1/2 CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley eponencial. Siendo P la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley eponencial: P(t) P.e Donde: P: Número de individuos en el momento t. P : número de individuos en el momento inicial. k: constante de crecimiento. t: Tiempo kt Profesor: Javier Trigoso Página 4

5 Ejemplo 1 En el año 2 la población del pueblo de San Juan de Chota era de 7 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, cuál fue la población aproimada en el 2 6? Datos: P = 7 ; k = 5%; t = t = 6 años P(6) = 7 e,5(6) P(6) = 9 449,12 Luego, en el 2 6 la población de San Juan de Chota será de habitantes aproimadamente. Ejemplo 2 La población de la tierra crece aproimadamente al 2% anual (crecimiento continuo). Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? Como la población crece eponencialmente, entonces P(t) P.e Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo t. Como r = 2% =,2 y P(t) = 2.P, entonces: rt rt ln2 2P P.e e 2 ln 2 rt t r, 693 t 34, 65, 2 Entonces, tardará aproimadamente 35 años. Ejemplo 3 La población de Chulucanas era de 3 habitantes en el año y en el 2 4 fue de 4 2. Si el crecimiento se dio con una tasa relativa constante, determina dicha tasa. rt Datos: t = Þ t = 6 años ; P = 3; P(6) = 42 k(6) 6k 6k P(6) 3.e 42 3.e 7 5.e Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: 6k ln 7 ln 5.e ln 7 ln5 6k 1, , 6943 k, Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproimadamente. CRECIMIENTO NO INHIBIDO La mitosis, o división celular, es un proceso universal indispensable en el crecimiento de los organismos vivos como las amibas, plantas, células humanas y muchas otras. Con base en una situación ideal donde no mueren células ni hay efectos colaterales, el número de células presentes en un instante dado obedece a la ley del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de cierto tiempo el crecimiento en forma eponencial cesa debido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera eacta las primeras etapas del proceso de la mitosis. Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo después de transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: N(t) N.e kt Profesor: Javier Trigoso Página 5

6 Donde N y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante de crecimiento. Ejemplo 4 Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto cultivo ha reunido los siguientes datos: Tiempo (min) Cantidad de bacterias Emplea estos datos para hallar una función eponencial de la forma Q(t) Q.e kt que eprese el número de bacterias Q del cultivo como una función del tiempo en minutos. Cuál será el número de bacterias después de una hora? Según los datos de la tabla k() Q() 6 Q.e 6 Q 6 y k(2) Q(2) 9 6.e e Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: 3 ln 2k 2, ln 3 ln e ln 3 2k k k k, Por lo tanto:,2273.t Q(t) 6.e Además, el número de bacterias después de una hora, resulta, Q(6) 6.e 2 25 Después de una hora, habrá 2 25 bacterias. 2k Ejemplo 5 La Escherichia coli es una bacteria común que se encuentra en el intestino humano. La tasa de crecimiento de una población de esta bacteria es proporcional a su tamaño. En condiciones ideales de laboratorio, la cantidad de especímenes en un cultivo se duplica aproimadamente cada 2 minutos. a. Si la población inicial es de 8, determina una fórmula P(t) que eprese el crecimiento eponencial de la cantidad de bacterias como función del tiempo t (en minutos). b. Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 8 especímenes llegue a un millón? a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población, el crecimiento es eponencial, luego, P(t) es de la forma: P(t) P.e (1) Como la población se duplica cada 2 minutos, utilizando (1), con P = 8, obtenemos: 2k P(2) e 2 e Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: 2k 2k ln 2 ln 2 ln e ln 2 2k k k, Por lo tanto, la fórmula es:,34567t P(t) 8.e b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1. Utilizamos el modelo eponencial hallado en (a) y tenemos:,34567t,34567t 8.e 1 e 125 Tomando logaritmos: kt Profesor: Javier Trigoso Página 6

7 ln125, 34567t ln125 t t 272,1928, Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben transcurrir 272,1928 minutos. Ejemplo 6 El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 a 15 en 1 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, I. Calcula el número de bacterias al cabo de 2 horas. II. Cuánto llegará a 5 el número de bacterias? Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, entonces N(t) N e kt Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las bacterias en el tiempo t. Como N() = 5 es la población inicial, entonces: y como N(1) = 15, entonces: t kt ln e k N(t) 5.(3) 1 I. Al cabo de 2 horas habrá II. Resolvemos la ecuación: t kt N(t) 5.e 2 N(2) 5 (3) 45 bacterias 1ln1 5 5 (3) 1 t 2,96 ln3 Así la población llegará a 5 bacterias en 2,96 horas. DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden a disminuir hasta agotarse completamente conforme transcurre el tiempo. Si t representa al tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del elemento radioactivo, entonces kt N(t) N.e representa la ley de decrecimiento eponencial del elemento radioactivo según transcurre el tiempo, donde N es la cantidad inicial, K es la constante de decrecimiento. Ejemplo 7 Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función eponencial. La cantidad inicial es de 1 gramos, pero después de 2 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que hubo después de 1 años. Como la sustancia se desintegra eponencialmente y desde los 1 gramos, entonces: Además C(t) 1.e kt 2k 1 2k 2k C(2) 2 1.e e 5 e ln 5 2k 5 ln 5 1, k k k, Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración radioactiva: C(t) 1.e,84.t Nos piden C(1),84.1,84 C(1) 1.e C(1) 1.e C(1) 1., , 475 Profesor: Javier Trigoso Página 7

8 Luego, la cantidad que hubo después de 1 años fue de 4,48 gramos aproimadamente. Ejemplo 8 Supongamos que hay 2 g de radio disponibles inicialmente, Qué porcentaje de los 2 g se habrá desintegrado después de 1 años. Como la sustancia se desintegra eponencialmente y desde los 2 gramos, entonces: C(t) 2.e kt, siendo k =,418 Nos piden C(1),418.(1),418 C(1) 2.e C(1) 2.e C(1) 19,1812 El resto es: 2 19,1812 =,8188 El porcentaje es:, , 94 2 Se ha desintegrado aproimadamente el 4,1% PARA LA CASA 1. Después que la televisión se introdujo en cierto país, la proporción de familias que poseían televisor t años después se encontró que estaba dado por la fórmula,1t T 1 e Encuentra el crecimiento de T entre t = 3 y t = 6,19 2. El crecimiento de la población de un cultivo de protozoarios está dado por el modelo,4t P(t) P.e Donde P es la población inicial. Si en el instante t = 2 horas hay una población de 1 protozoarios determina P 18,32 3. En 1 98 la población de estados Unidos era aproimadamente 227 millones y ha ido creciendo a una razón de,7% por año. La población N(t), t años más tarde, se podría aproimar mediante: N(t) 227e,7t. A. Si continuara a este patrón de crecimiento, cuál será la población de Estados Unidos para el año 2? 261 millones apro. B. y el año 2 7? 274 millones apro. 4. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 1 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por t A(t) 1 *,8 A. Calcula la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial. 1,68 mg B. Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora? 2% 5. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos hembras erstá relacionado con la edad t (en años) mediante: 3 W(t) 26 1,5e,75t A. Cuánto pesa un elefante recién nacido? 325 kg B. Suponiendo que la hembra adulta pesa 1 8 kg, estima su edad. 2 años 6. Si el crecimiento de una colonia de abejas (en meses) está determinado por la ecuación: 23 P(t),37t 1 56,5e a. Cuántas abejas había inicialmente? 4 b. En cuánto tiempo las abejas llegarán a ser una población de 15? 12 meses Profesor: Javier Trigoso Página 8

9 7. Según un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no puede soportar más de 4 millones de personas, la población mundial (en miles de millones) t años después de 1 96 está dada por una función de la forma: 4 P(t) kt 1 Ce Donde C y k son constantes positivas. Halla la función de esta forma que concuerde con el hecho de que la población mundial era aproimadamente de 3 millones en 1 96 y de 4 millones en Qué predice su modelo con respecto a cuál será la población en el año 2 1? 7, 23 millones 8. El isótopo radiactivo 21 Bi tiene una semivida (o vida media) de 5 días, es decir el número de partículas radiactivas se reducirá a la mitad del número original en 5 días. Si eisten 1 gr de 21 Bi en el instante t =, entonces la cantidad f(t) restante después de t días está dada por,2t f(t) 1 2 A. Qué cantidad resta después de 5 días? 5 gr B. 1 días? 25 gr C. 12,5 días? 17,7 gr 9. Un piscicultor introduce en un estanque mil truchas jóvenes. El dueño estima que tres meses después sólo quedan alrededor de 6. Encuentra una fórmula eponencial kt N(t) N.e que esté de acuerdo con esta información y úsala para estimar el número de truchas después de un año. 1. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima que en un determinado criadero hay 2 truchas. Transcurrido un año, se contabilizan 36 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el crecimiento es eponencial, calcula cuántas truchas habrá cuando transcurran tres años? 1 139, En el 2 2, la población de cierta ciudad era de 25 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual era de 2% a. Detremina una fórmula para estimar la población después de t años. b. Usa la fórmula para estimar la población de la ciudad en el Hace cuatro años que se repobló una zona con 1 ejemplares de una nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la función N(t) A.e Bt, donde A y B son dos constantes. El tiempo t se considera epresado en años desde el momento de la repoblación. Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 2 ejemplares? 13. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote el número de personas infectadas está dado por B una función de la forma f(t), donde B es el número de kt 1 Ce residentes en la comunidad que son propensos a contraer la enfermedad. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al principio y 1/2 de ellos había sido infectado al final de la cuarta semana, qué fracción de residentes propensos a la enfermedad habrá sido infectada al final de la octava semana? 14. Los biólogos han observado que la mayoría de las bacterias, en condiciones ideales, se reproducen mediante modelos de crecimiento eponencial. Si la población inicial de bacterias en cierto cultivo era de 8. Si la tasa relativa de crecimiento es de 3% por hora: a. Cuál será la población estimada de bacterias después de un día? b. Cuál será la población estimada de bacterias después de dos días? 15. Se tiene dos muestras de sustancias radioactivas A y B; luego de t años las masas en mg, de estas muestras son: m A (t) = 12.e -,4t, m B (t) = 16.e -,6t a. Determina la vida media de cada sustancia. b. Cuánto tiempo pasará para que ambas masas sean iguales? Profesor: Javier Trigoso Página 9

10 (Sug. Resolver: m A (t) = m B (t)) 16. El poder radioactivo de una sustancia se va perdiendo a medida que transcurre el tiempo, según la fórmula,5t P(t) 1,5.e, siendo t el tiempo en años. Despúes de cuánto tiempo su poder radiactivo se reducirá a la mitad? 17. Una sustancia radiactiva se desintegra de forma que la cantidad de masa que queda después de t días está dada por la función m(t) 13.e,15.t, donde m(t) se mide en kilogramos. a. Determina la masa en el tiempo t = b. Cuánta masa queda después de 45 días? 18. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desordenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t dias está dada por la función m(t) 6.e,87.t kilogramos. a. Determina la masa en el tiempo t = b. Cuánta masa queda después de 2 días?, donde m(t) se mide en 19. La vida media de un elemento radioactivo se define por el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de ese elemento para transformarse en un nuevo elemento. La vida media es la medida de la estabilidad del elemento, es decir, cuanto más corta sea la vida media, más inestable es el elemento. El modelo matemático para hallar la vida media de un elemento radioactivo está dado por Halla la vida media del radio. C(t) C.e,418.t 2. El trazador (o marcador) radiactivo 51 Cr puede usarse para localizar la posición de la placenta de una mujer embarazada. A menudo se debe pedir esta sustancia a un laboratorio médico. Si se envían A unidades (en microcuries), entonces, debido al decrecimiento radiactivo, el número de unidades A(t) que quedan después de t días está dado por A(t) A.e,249.t a) Si se envian 35 unidades del trazador y este tarda 2 días en llegar, de cuántas unidades se dispone para el análisis? b) Si se necesitan 49 unidades para la prueba, cuántas unidades se deben enviar? OPERACIONES BANCARIAS Cuando realizas una operación bancaria como, por ejemplo, cuando solicitas algún préstamo para solucionar algunas de tus necesidades (gastos médicos, adquirir artefactos, un viaje, paquetes turísticos, etc.) o financiar la compra de bienes y/o servicios (adquirir una vivienda, un automóvil, gastos en educación, etc.) debes cumplir con ciertas condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una vez que obtienes tu préstamo (capital) debes saber cuánto vas a pagar mensualmente, es decir, qué cantidad amortizas del capital mensualmente y cuánto pagas de interés mensual. Esto está en función del capital que recibes y el tiempo en que deseas pagarlo. Interés Compuesto Llamado también proceso de capitalización, es decir, cuando el interés que genera un capital prestado se acumula al capital al final de cada intervalo de tiempo previsto. Analicemos el siguiente ejemplo: Profesor: Javier Trigoso Página 1

11 Ejemplo 1: Préstamo Bancario Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 durante 3 años a una tasa de interés del 1 % que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento. Identificamos los datos del problema: C = S/. 4 ; t = 3 años; tasa = 1% Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que a anualmente los intereses se acumulan al capital. Como: M C I M C C.r.t M C(1 r.t) Calculamos los montos después de cada año, es decir: M 1 ; M 2 ; M 3. Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la fórmula M = C (1 + r t) Reemplazando los datos tenemos: Primer año: M 1 = 4 (1+,1 (1)) M 1 = 4 (1,1) M 1 = 4 4 Segundo año: M 2 = M 1 (1+,1 (1)) M 2 = 4 4 (1,1) M 2 = 4 84 Tercer año: M 3 = M 2 (1+,1 (1)) M 3 = 4 84 (1,1) M 3 = Luego, Javier abona un monto de nuevos soles. Monto compuesto anualmente Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final del tiempo previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés compuesto, así: Primer año: M 1 = C.(1 + r) Segundo año: M 2 = M 1 (1 + r) M 2 = C.(1 + r) (1 + r) M 2 = C.(1 + r) 2 Tercer año: M 3 = M 2 (1 + r) M 3 = C.(1 + r) 2.(1 + r) M 3 = C.(1 + r) 3 n-ésimo año: M n = C.(1 + r) n Este es el monto de un capital C impuesto al r % de interés compuesto anual. Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número natural utilizamos la fórmula: M(t) C. 1 r Donde: M(t): monto o capital futuro C : capital inicial r: tasa de interés anual, epresada como número decimal. t: tiempo (en años) t Si r y C permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una función eponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2: Si tienes ahorrado $5 en una entidad bancaria, esta cuenta de ahorro te pagará un interés compuesto. Suponiendo que el banco paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, cuánto dinero recibirás después de cinco años? Profesor: Javier Trigoso Página 11

12 Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por lo tanto, apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C.(1 + r) t Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 5;,6 y 5, respectivamente. M(5) = 5.(1 +.6) 5 Paso 2: Utiliza una calculadora científica para operar: M(5) = 669,11 Luego, al final del quinto año recibes $ 669,11 MONTO COMPUESTO CON PERIODOS FRACCIONARIOS En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos n veces al año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de interés es r/n y, si eisten n.t periodos de composición en t años, el nuevo monto después de t años es: M(t) C. 1 r n Donde: M(t): Monto o capital después de t años. C : Capital inicial. r: Tasa de interés anual epresada como un número decimal. n: Periodos de capitalización (en un año). t: Tiempo (en años). n.t Ejemplo 3: Jaime realiza un depósito de $1 en una entidad bancaria a una tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. Cuánto dinero recibirá Jaime después de dos años? Paso 1: Los datos son C = 1; r =,8; n = 4 (trimestral) y t = 2 Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos:, 8 M(2) r M(t) C. 1 n Paso 3: Utilizando una calculadora científica obtenemos: M(2) = 1.(1,2) 8 M(2) = $ 1 171,66 Después de los dos años de depósito, Jaime recibe dólares americanos. PARA LA CASA 1. Una pareja de novios decide colocar S/.1 al 8% anual. Determina el capital acumulado al cabo de 5 años. S/ , Suponga que se invirtió $1 a una tasa de interés compuesto del 9% mensual, calcula el monto final del capital inicial después de: A. 5 años $1 565,68 A. 1 años $2 451,36 A. 15 años $3 838,4 n.t Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto durante el año. Profesor: Javier Trigoso Página 12

13 3. Si $1 se invierten al 12% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentra el capital al final de: A. 1 mes? $1 1 B. 2 meses? $1 2,1 C. 6 meses? $1 61,52 D. 1 año? $1 126,83 4. Si $1 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentra el capital al final de: A. 1 año? $1 61,68 B. 2 años? $1 127,16 C. 5 años? $1 348,85 D. 1 años? $1 819,4 5. Si $1 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza trimestralmente, encuentra el capital al final de: A. 1 año? $1 61,36 B. 2 años? $1 126,49 C. 5 años? $1 346,86 D. 1 años? $1 418,2 6. Si $1 se invierten al 9% anual y el interés se capitaliza semestralmente, encuentra el tiempo requerido para que el capital eceda a: A. $15 5 años (4,61) B. $2 8 años (7,87) C. $3 12,5 años (12,48) 7. Pepito deposita 5 nuevos soles en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% co mpuesto anual capitalizado semanalmente. Cuánto tendrá en la cuenta luego de 1 año? S/.53,9 8. José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 a un 6% de interés compuesto anual, con una capitalización trimestral. Dos años después, si no se realizan depósitos ni retiros adicionales, cuánto gana o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés compuesto anual, con una capitalización cuatrimestral? S/. 111, La señora Martínez invierte 6 en un depósito financiero al 5% anual durante 3 años. No retira los intereses al finalizar cada año, sino que se añaden al capital y se vuelven a reinvertir. Cuál será el capital de la señora Martínez al finalizar el tercer año? 6 945,75 1. La computadora El padre de Carlitos Peña ha obtenido un préstamo de S/ 1 6 a 3 años con interés del 7 % capitalizable anualmente, para poder comprar una computadora. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento. S/. 1 96,6 11. La guitarra Pedro Morales, un joven músico deposita S/. 1 2 en una cuenta de ahorros que paga el 11% con capitalización anual. Si él desea comprar, en el futuro, una guitarra profesional de S/. 1 5, en qué tiempo se tendrá el monto para hacer la compra? 2 años 12. El cuarto de niños La familia Pérez deposita S/. 15 en una cuenta de ahorros que paga el 8,5 % con capitalización trimestral, para poder construir el dormitorio de los niños, el cual se estima en S/. 18. En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción? 13. El segundo piso La familia Paredes deposita S/. 7 5 en una cuenta de ahorros que paga el 9% con capitalización bimestral para poder construir el segundo piso de la casa, el cual se estima en S/ En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción? 3,77 años Profesor: Javier Trigoso Página 13

14 14. La casa Los Rodríguez planean comprar una casa dentro de cinco años. Si se espera que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 6% compuesto continuamente, durante ese periodo, cuánto tendrán que pagar los Rodríguez por una casa que ahora cuesta S/. 45? 15. El tractor Juan Quispe es un agricultor que ha obtenido un préstamo de S/. 3 a 5 años con interés del 8% capitalizable semestralmente con el fi n de comprar un tractor. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento. S/ ,34 MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta considerablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande), cada periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier cantidad arbitrariamente escogida (es decir, tiende a cero). El interés continuo consiste en acumular el interés al capital, instantáneamente. En este caso, el monto compuesto es: Ejemplo 4: Javier invierte una suma de S/. 5 en 1 años, determina los montos que recibe a: A. La tasa efectiva del 6%. B. La tasa del 6% con capitalización mensual. C. La tasa del 6% instantánea (o continuo). A. Los datos son C = 5; t = 1; r =,6 Reemplazamos los datos en M(t) C.(1 r) M(1) 5.(1, 6) M(1) 8954, 24 El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/ ,24 B. Los datos son C = 5 ; t =1; n = 12; r =,6 Reemplazamos los datos en r M(t) C. 1 n t n.t, 6 M(1) M(1) 996, (1) M(t) C. e r.t El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de S/. 996,98 Donde: M(t): monto en el instante t. C : Capital inicial. r: Tasa instantánea, epresada como número decimal. t: Tiempo (en años) C. Los datos son C = 5 ; t =1; r =,6 Reemplazando en: M(t) C.e r.t M(1) 5.e,6(1) M(1) 911, 6 El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de S/. 911,6 Profesor: Javier Trigoso Página 14

15 Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua. 1. Se invierte una suma de 1 dólares a una tasa de interés de 4% anual. Encuentra el tiempo para que la cantidad crezca a 4, si el interés se capitaliza de forma continua. 34,66 años 2. Una persona pide prestada la cantidad de $8. Cinco años después devuelve $1 2. Determina la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es: A. Simple 5,5% B. Capitalizado anualmente 4,979% C. Capitalizado trimestralmente 4,889%, D. Compuesto mensualmente 4,869% 3. Un pagaré por $1 vence dentro de un mes. Calcula su valor presente al 8% compuesto continuamente. $993,36 4. La herencia Al recibir una significativa herencia, los padres de Jacky quieren establecer un fondo para la educación superior de su hija. Si necesitan un estimado de S/. 9 dentro de 1 años, cuánto dinero deben separar si lo invierten a 8,5% compuesto continuamente? S/ , La casa Los Martínez planean comprar una casa dentro de cuatro años. Los epertos de su área han estimado que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 5% compuesto continuamente; durante ese periodo, cuánto tendrán que pagar los Martínez por una casa que ahora cuesta S/. 65? S/.79 41, Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de $5. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del depósito en dos partes: una de 3/1 para el hijo y el resto para la hija. Qué cantidad tendrá cada uno cuando cumplan 21 años? 5.879,48 y 2.28, La máquina Una máquina se compra en S/.1 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula V(t) 1.e,2.t Determina el valor de la máquina después de 8 años. S/.2 18, La mejor opción Don Jacinto quiere invertir una cantidad de dinero; en el Banco de la Familia le ofrecen una tasa de 7,5% compuesto anualmente y en el Banco del Progreso le ofrecen una tasa de 7,2 % compuesto semestralmente. Cuál es la mejor opción para don Jacinto? 24. Los Confeccionistas Juan y Pedro son dos confeccionistas de prendas de vestir y tienen sus talleres en la Av. Gamarra. En una ocasión, Juan le dice a Pedro: Mi banco ofrece una tasa de 8% compuesto bimestralmente, a lo que Pedro responde: el mío ofrece una tasa del 7,5 % compuesto semestralmente. Quién recibe más por su dinero en un año? Juan 25. Compañía de seguros Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $1. El Profesor: Javier Trigoso Página 15

16 interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años, qué cantidad ha de recibir cada una? ,11 CRÉDITOS HIPOTECARIOS Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios? Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una vivienda, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de Ahorros y hacer una hipoteca de la casa que compra. El préstamo hipotecario tiene como característica específica que toma como garantía real la vivienda (casa, apartamento, edificio, terreno, etc.) a favor de la entidad financiera que presta el dinero. Es decir, en caso de no cumplir las condiciones acordadas en la concesión del préstamo (por ejemplo: impago de los recibos de amortización, de plazos, etc.), el inmueble pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto, usted hipoteca su casa en favor de la entidad financiera, hasta que le haya devuelto la totalidad del préstamo. Esta garantía, la propia vivienda, es lo que eplica que el tipo de interés sea más bajo que los préstamos generales o personales eistentes en el mercado. Usted hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en la propia vivienda hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de interés. Amortización de préstamos Amortización es el proceso financiero mediante el cual se puede etinguir una deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario, gradualmente, por medio de un flujo de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los intereses y reducir el saldo insoluto. Fórmula de amortización El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará durante n periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por: R(n) P.i 1 (1 i) El denominador es una función eponencial si se considera a n como variable. Ejemplo 5 La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 6 de un banco para financiar la compra de una casa. El banco cobra intereses con una tasa de 9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se calculan al final de cada mes. La familia está de acuerdo en pagar el préstamo mediante mensualidades iguales durante 2 años. A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar al final del término? Datos: P = 6 ; i =,9/12 =,75; n = 2(12) = 24 Para calcular el pago periódico utilizamos: Pi R(n) n 1 (1 i) Reemplazamos los datos: n Profesor: Javier Trigoso Página 16

17 (6).(, 75) R(2) (1, 75) 1 (1, 75) 1, R(2) 539, Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573 Ejemplo 6 La familia Rojas ha adquirido una casa de $ 5, ellos han pagado una cuota inicial de $ 2 y solicitan una hipoteca con una tasa de interés de 7% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 3 años, cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben pagar los Rojas? Como se ha pagado una cuota inicial de $ 2 la deuda es de $ 3. Datos: P = 3 ; i=,7/12 =,5833; n = 3(12) Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos: Reemplazamos los datos en: Pi R(n) 1 (1 i) (3).(, 5833) R(3) (1, 5833) 1 (1, 5833) 1,12322 R(3) 199, 594 Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de $ 199, 594 n CRÉDITOS PERSONALES Cuando una persona utiliza una tarjeta de crédito debe pagar una cuota mensual fija durante el plazo acordado. Este es un caso particular de amortización de un préstamo donde los periodos son mensuales y en donde intervienen pagos adicionales que se incluyen en la cuota mensual. La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para amortizar la compra de un artículo cuyo costo es P y que se amortizará en n meses a una tasa de interés de i% mensual es: Donde Luego: Ejemplo 7 C.M R portes S.D R: Amortización Portes: pago fijo por gastos administrativos S.D: seguro de desgravamen P.i C.M portes S.D n 1 (1 i) Jorge ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta S/. 8. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el pago por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de S/.,8. a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Jorge si debe liquidar la deuda en 12 meses. b. Calcula el interés total. Profesor: Javier Trigoso Página 17

18 a. Datos: P = 8; i = 3% =,3; n = 12; portes = 7; S. D. =,8 Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula: reemplazando los datos tenemos P.i C.M portes S.D n 1 (1 i) (8).(, 3) C.M 7, 8 8, 37 7, 8 88, (1, 3) La cuota mensual será de 88,17 nuevos soles b. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio utilizamos la fórmula: I = n (C.M.) P I = 12 (88,17) 8 = 258,4 El interés total asciende a 258,4 nuevos soles 1. La hipoteca: La familia Velásquez ha adquirido una casa de $ 35. Ellos han pagado una cuota inicial de $. 17 y solicitan una hipoteca con una tasa de interés de 6% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 2 años, cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben pagar los Velásquez? b. Calcula el interés total que deberá pagar por la máquina. 3. Cámara fotográfica Ángela es una periodista gráfica que desea comprar a plazos una cámara fotográfica digital. Ella tiene las tarjetas de crédito de los centros comerciales Compucentro y Cyberplaza. En Compucentro la cámara cuesta S/. 1 2 y la tasa de interés mensual es de 1,5%; en Cyberplaza la misma cámara cuesta S/. 1 y la tasa de interés es de 2,5%. Considerando que el pago de portes, seguros de desgravamen y el plazo de 1 meses es el mismo en ambos centros comerciales, con cuál tarjeta de crédito Nora comprará la cámara? 4. La Refrigeradora Nora tiene tarjetas de crédito de los centros comerciales Ecónomas y Metroplaza y desea adquirir una refrigeradora. En Ecónomas la refrigeradora cuesta S/. 1 4, la tasa de interés mensual es de 2,5%. En Metroplaza la refrigeradora cuesta S/. 1 3 y la tasa de interés mensual es de 4,2%. Considerando que el pago de porte y seguro de desgravamen, y el plazo de 1 meses es el mismo en ambos centros comerciales, con qué tarjeta de crédito Nora comprará la refrigeradora? Economás 2. Máquina de coser Miryan es una confeccionista de prendas de vestir que desea comprar a plazos una máquina de coser que cuesta S/ Para ello utiliza su tarjeta de crédito del centro comercial Maquicentro, cuya tasa de interés mensual es de 2,7%, el cobro por portes es de S/. 6 y el seguro de desgravamen es de S/.,9. a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para liquidar la deuda en 2 meses. Profesor: Javier Trigoso Página 18