x i x io V no V n+1 ; y no x = x io x V n+1. Por tanto x i x V n+1 + V n+1 V n,

Transcripción

1 COMPLETITUD La noción de completitud que vamos a definir, es una generalización de la conocida en espacios métricos. Como en este caso, el hecho de saber que un cierto conjunto de un e.v.t. es completo suele ser de gran utilidad, pues permite conocer a priori las redes convergentes, sin tener que determinar previamente el candidato a límite. 1 Definición. a) Una red (x i ) i I en un e.v.t. E se llama de Cauchy si para cada entorno V de 0, existe un i o = i o (V ) I tal que si i, j i o, se cumple que x i x j V. b) Un filtro G en un e.v.t. E es de Cauchy si para entorno V de 0, existe un A G tal que A A V. Notemos que la definición anterior, a diferencia de la definición de sucesión de Cauchy en un espacio métrico, depende sólo de la topología de E y, por tanto, basta comprobar la condición para una base de entornos de 0. En particular, si E es un e.v.t. metrizable y d es una distancia que define su topología, en general las sucesiones d-cauchy y las sucesiones de Cauchy como e.v.t. no coinciden. Obviamente, si d es invariante por traslaciones, ambas nociones coinciden. Razonado como en el caso de sucesiones en espacios métricos, se comprueban fácilmente los siguientes hechos: 1.- Toda red (resp., filtro) convergente en un e.v.t., es de Cauchy. 2.- Si una red (resp., filtro) de Cauchy en el e.v.t. E posee una subred (resp., filtro más fino) convergente a un elemento x E, ella misma (resp., él mismo) es convergente a x. 3.- Toda sucesión de Cauchy es acotada. 2 Definición. Un subconjunto A del e.v.t. E se dice completo si toda red (o filtro) de Cauchy en A converge a un punto de A. 3 Observación. Si (E, d) es un e.v.t. metrizable, puede suceder que E sea completo como e.v.t y no lo sea el espacio métrico (E, d). Por ejemplo, R con la distancia usual es un e.v.t. completo. Sin embargo, si consideramos la distancia d(x, y) = Artg(x) Artg(y), sabemos 1

2 que el espacio métrico (R, d) (homeomorfo a (R,. )) no es completo (la sucesión (n) n N es d-cauchy y no converge.) Un resultado de V. Klee prueba que un e.v.t. metrizable (E, d) completo como espacio métrico, lo es como e.v.t. (cfr. p. ej., [G. Köthe: Topological Vector Spaces I]) 4 Propiedades. a) todo subconjunto completo de un e.v.t. separado, es cerrado. b) Todo subconjunto cerrado de un conjunto completo, es completo. c) Si E y F son e.v.t. y T L(E, F ), T transforma redes de Cauchy en E en redes de Cauchy en F. d) Si E y F son e.v.t. topológicamente isomorfos y uno de ellos es completo, el otro también lo es. e) Todo subconjunto compacto de un e.v.t., es completo. f) Una red en un producto de e.v.t. es de Cauchy, si y sólo si cada proyección lo es. En consecuencia, el producto de una familia no vacía de e.v.t. completos, es completo. Demostración. (a), (b) y (c) son de comprobación inmediata. (d) resulta inmediatamente de (c). (e) resulta de que toda red en un compacto posee una subred convergente y de la observación (2) anterior. En cuanto a (f), es consecuencia directa de la definición de la topología producto.. Hasta ahora no sabemos siquiera si un espacio de Banach es completo, de acuerdo con la definición que hemos dado. El siguiente resultado nos da una respuesta afirmativa: 5 Proposición. Un e.v.t. E que cumpla el I A.N. es completo si y sólo si toda sucesión de Cauchy en E converge. Demostración. Para probar la implicación no trivial, sea (V n ) una base decreciente numerable de entornos de 0 en E, que cumpla V n+1 + V n+1 V n, n, y supongamos que (x i ) i I es una red de Cauchy en E. Por inducción, podemos construir una sucesión de índices (i n ) I, tales que i n i n+1 y si i, j i n se cumpla que x i x j V n. La sucesión y n = x in es claramente de Cauchy, luego por hipótesis converge a un cierto x E. Veamos que lim i I x i = x. En efecto, dado V n elijamos n o > n de modo que si m n o se tenga y m x V n+1. Sea i o = i no. Si i i o, resulta x i x io V no V n+1 ; y no x = x io x V n+1. Por tanto x i x V n+1 + V n+1 V n, 2

3 c.q.d.. En general no es suficiente que toda sucesión de Cauchy converja para que un e.v.t. sea completo, como muestra el siguiente 6 Ejemplo. Sea E = R (0,1) con la topología producto, que es un e.v.t. separado y completo por la propiedad (f). Consideremos F = {f E : f se anula fuera de un conjunto a lo más numerable de (0, 1)}. F es un s.v. de E y si (f n ) F converge a f E, claramente f F. Por tanto, toda sucesión de Cauchy en F converge a un elemento de F. Sin embargo, F no es completo, pues no es cerrado en E, ya que F E y es denso. En efecto, si f E y V = {g E : g(t i ) f(t i ) < ɛ, 1 i n} es un entorno básico de f, la función h(t) = f(t i ) si t = t i, 1 i n; 0 si t t i está en V F. De manera más explícita: la red (χ A ), donde A recorre los subconjuntos finitos de [0,1], ordenados por inclusión, es de Cauchy en F (de hecho, converge a la función 1), pero no converge en F. El ejemplo anterior justifica la siguiente definición: 7 Definición. Un e.v.t. E se dice secuencialmente completo si toda sucesión de Cauchy en E converge. Se dice que E es casi-completo si todo conjunto cerrado y acotado de E es completo. Teniendo en cuenta que toda sucesión de Cauchy es acotada (véase p. ej., la sección siguiente), es claro que completo casi-completo secuencialmente completo y que los tres conceptos coinciden en el caso de espacios con I A.N. En general, las tres nociones son distintas. 8 Ejemplos. 1.- Todo espacio de Banach es un e.v.t. completo. 2.- Los espacios l p y L p (0 < p < 1) son e.v.t. completos. (Basta tener en cuenta que son e.v.t. metrizables completos y que la métrica usual es invariante por traslaciones.) 3.- Sea X un espacio topológico completamente regular y E = C(X) con la topología compacta-abierta. Entonces son equivalentes a) X es un espacio K R. b) E es completo. c) E es casi-completo. En efecto, sea (f i ) i I una red de Cauchy en E. Para cada compacto K X, las restricciones (f i K ) forman una red de Cauchy en C(K) y, por tanto, convergen a una 3

4 f K C(K). Si K 1 K 2 son compactos de X, es claro que f K2 K1 = f K1. Por tanto, existe f : X K tal que f K = f K para todo compacto K de X. Si X es un espacio K R resulta entonces que f es continua y como, obviamente, (f i ) converge a f uniformemente sobre cada compacto, lim i I f i = f en E. Esto prueba que (a) (b). Claramente (b) (c). Finalmente, para ver que (c) (a), sea f : X R tal que la restricción a cada compacto K de X es continua. Debemos deducir que f es continua. Supongamos en primer lugar f acotada y sea A = {g C b (X) : g f }. A es un conjunto cerrado y acotado en E, luego completo por hipótesis. Para cada compacto K X, la restricción f K admite una extensión g K A. Si consideramos el conjunto K de los compactos de X ordenado por inclusión, la red (g K ) K K es claramente de Cauchy en A, luego por (c), converge a una g E. Pero para cada x X se tiene f(x) = lim K K g K (x) = g(x), luego f A E es continua. Si f no es acotada, definamos f n = inf(f, n). Cada f n es acotada y tiene restricción continua a cada compacto de X, luego por lo visto antes, f n E. Por otro lado, (f n ) es una sucesión de Cauchy en E, luego por hipótesis converge a un elemento de E. Pero para cada x X es claro que f(x) = lim n f n (x), luego f E, c.q.d.. Recordemos que todo espacio metrizable y todo espacio localmente compacto es un espacio K R. 4.- Sea Ω un abierto no vacío de R n, 0 m < y E = E m (Ω) (que según sabemos verifica el I A.N.). Si (f k ) k N es una sucesión de Cauchy en E, para cada α N n, α m resulta que (D α f k ) k N es una red de Cauchy en C(Ω) = E o (Ω). Por el ejemplo anterior, existe g α C(Ω) tal que (D α f k ) converge uniformemente sobre cada compacto a g α. Si se prueba que g α = D α g 0, resultará que g 0 E y lim k f k = g 0 en E, lo que probará que E es completo por la proposición 6.5.Por inducción, es obvio que basta probar que si α < m y e r = (0,..., 1, r..., 0), entonces D e r g α = g α+er. Sea pues a Ω y U una bola compacta de centro a contenida en Ω. Por lo dicho antes, lim k D α+e r f k (x) = g α+er (x), lim k D α f k (x) = g α (x), uniformemente en x U. Por un resultado clásico, resulta entonces que g α tiene derivada respecto a x r en U y D e r g α (x) = g α+er (x), x U, c.q.d Argumentando como en el ejemplo anterior se prueba que E(Ω) = E (Ω) es completo. 6.- El teorema de Weierstrass muestra que si Ω es un abierto no vacío de C n, E = H(Ω) es un subespacio cerrado de C(Ω) y, por tanto, completo. 7.- Si (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finito, E = (L 0 (µ), τ µ ) es completo: Sea (f n ) una sucesión de Cauchy en E. Elijamos una subsucesión n 1 < n 2 < de modo que si 4

5 n n k se cumpla que f n f nk V 1 2 k, 1 3 k, e.d. µ {ω Ω : f n (ω) f nk (ω) 12 } k < 1 3 k. Si A k := {ω : f nk+1 (ω) f nk (ω) 1 2 k } y A := n=1 m n A m, como µ( m n A m ) m n µ(a m ) m n 1 3 m n 0, resulta que µ(a) = 0. Si ω / A, la serie f n1 (ω) + [f nk+1 (ω) f nk (ω)] k=1 converge (absolutamente), luego existe lim k f nk (ω) := f(ω). Así pues, la subsucesión (f nk ) converge en casi todo punto y, por consiguiente, en medida, y lo mismo sucede con la (f n ), por ser de Cauchy. 5