Modelos Estocásticos para los Sistemas Pensionales de Prestación Definida y de Ahorro Individual Día 1 : Rentas Vitalicias.

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1 Modelos Estocásticos para los Sistemas Pensionales de Prestación Definida y de Ahorro Individual Día 1 : Rentas Vitalicias. Minicurso para el IX Coloquio Internacional de Estadística Métodos Estadísticos Aplicados a Finanzas y Salud Medelĺın, Junio 29 - Julio 2, 2012 Norman Giraldo Escuela de Estadística Universidad Nacional de Colombia 1 /32

2 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

3 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

4 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

5 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

6 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

7 Contenido del Minicurso 1. Día Supervivencia Actuarial. 1.2 Sistemas de Amortización. 1.3 Rentas Vitalicias. 2. Día 2: Sistemas Pensionales de Prestación Definida. 3. Día 3: Modelo Actuarial para el Sistema de Retiro Programado. 2 /32

8 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuír a esclarecer la difícil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayoría de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32

9 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuír a esclarecer la difícil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayoría de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32

10 Objetivos del Cursillo 1. Introducir algunos elementos actuariales, matemáticos, etc. que puedan contribuír a esclarecer la difícil discusión en torno a la viabilidad ó nó del sistema público pensional y a si el sistema RAIS es realmente un sistema que puede proveer una pensión digna para la mayoría de los jubilados. 2. Definir los elementos de los sistemas públicos de pensiones para compararlos con las nuevas figuras pensionales, con base en inversiones en el mercado de renta variables. 3. Buscamos señalar algunos desarrollos recientes, sin entrar en detalles, como por ejemplo, el uso de técnicas de control óptimo para administración de fondos pensionales, que puedan servir como criterios para establecer la viabilidad de estos sistemas. 3 /32

11 Introducción: Día 1 1. El objetivo de este capítulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehículos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32

12 Introducción: Día 1 1. El objetivo de este capítulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehículos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32

13 Introducción: Día 1 1. El objetivo de este capítulo consistes en definir qué es una renta vitalicia, desde el punto de vista financiero y desde el punto de vista actuarial. 2. Elementos básicos: las distribuciones de supervivencia, sistemas de amortización de un crédito y vehículos de financiamiento de las anualidades. 3. Ingredientes: ec. dif. + ing.fin. + prob. 4 /32

14 Distribuciones de Supervivencia Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725), Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) ( 1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, /32

15 Distribuciones de Supervivencia Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725), Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) ( 1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, /32

16 Distribuciones de Supervivencia Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725), Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) ( 1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, /32

17 Distribuciones de Supervivencia Para valorar una renta vitalicia es necesario determinar la probabilidad de supervivencia de una vida de edad x. Tal probabilidad depende del modelo de mortalidad humana que se adopte. Modelos para la mortalidad humana: tablas de mortalidad. Distribuciones de superviencia: DeMoivre (1725), Gompertz-Makeham (1825,1860), Lee-Carter (1992) ( 1 ) 1 Lee, R.D., Carter, L.R. (1992) Modelling and Forecasting U.S. Mortality. JASA 87, /32

18 Vida remanente Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T(x) = X x X > x. Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P(T(x) t) = P(X x+t X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := f(x+t) 1 F(x) (2) 6 /32

19 Vida remanente Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T(x) = X x X > x. Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P(T(x) t) = P(X x+t X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := f(x+t) 1 F(x) (2) 6 /32

20 Vida remanente Denotamos por X una variable aleatoria continua que represente el tiempo en años que habrá de vivir una persona recién nacida. La vida remanente de una persona de edad x se define como la variable T(x) = X x X > x. Su función de distribución acumulada está dada por: G(t) := P(T(x) t) = P(X x+t X > x) (1) Y su función de densidad está dada por: g(t) := f(x+t) 1 F(x) (2) 6 /32

21 La notación actuarial La notación actuarial es tq x = G(t), (3) tp x = 1 t q x = P(T(x) t). (4) Además, 0 q x = G(0) = 0 y 0 p x = 1. La función t p x es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10q 23 = = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años 5p 30 = = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32

22 La notación actuarial La notación actuarial es tq x = G(t), (3) tp x = 1 t q x = P(T(x) t). (4) Además, 0 q x = G(0) = 0 y 0 p x = 1. La función t p x es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10q 23 = = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años 5p 30 = = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32

23 La notación actuarial La notación actuarial es tq x = G(t), (3) tp x = 1 t q x = P(T(x) t). (4) Además, 0 q x = G(0) = 0 y 0 p x = 1. La función t p x es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10q 23 = = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años 5p 30 = = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32

24 La notación actuarial La notación actuarial es tq x = G(t), (3) tp x = 1 t q x = P(T(x) t). (4) Además, 0 q x = G(0) = 0 y 0 p x = 1. La función t p x es clave para el cálculo de las rentas vitalicias. 10q 23 = = probabilidad de (23) no sobreviva 10 años 5p 30 = = probabilidad de (30) sobreviva 5 años 7 /32

25 Intensidad ó Fuerza de Mortalidad La intensidad de mortalidad se define como: P(t T(x) < t+h T(x) > t) µ x+t = lim h 0+ h (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t,t+h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. Relaciones básicas µ x+t = d dt ln( tp x ), (6) tp x = e t 0 µ x+sds (7) La función µ x+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32

26 Intensidad ó Fuerza de Mortalidad La intensidad de mortalidad se define como: P(t T(x) < t+h T(x) > t) µ x+t = lim h 0+ h (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t,t+h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. Relaciones básicas µ x+t = d dt ln( tp x ), (6) tp x = e t 0 µ x+sds (7) La función µ x+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32

27 Intensidad ó Fuerza de Mortalidad La intensidad de mortalidad se define como: P(t T(x) < t+h T(x) > t) µ x+t = lim h 0+ h (5) mide el riesgo de fallecer en un intervalo de tiempo muy pequeño [t,t+h), para una vida (x), dado que se sobrevive t años. Relaciones básicas µ x+t = d dt ln( tp x ), (6) tp x = e t 0 µ x+sds (7) La función µ x+t es la base para los modelos paramétricos, para: hombre, mujer, inválidos, válidos. 8 /32

28 La Distribución Gompertz-Makeham La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando con a > 0, a+b > 0 y c > 1 µ x+t = a+bc x+t, (8) El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término bc x+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: tp x = e t 0 µ x+sds = s x g cx (c t 1) (9) donde s = e a, g = exp( b/ln(c)). 9 /32

29 La Distribución Gompertz-Makeham La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando con a > 0, a+b > 0 y c > 1 µ x+t = a+bc x+t, (8) El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término bc x+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: tp x = e t 0 µ x+sds = s x g cx (c t 1) (9) donde s = e a, g = exp( b/ln(c)). 9 /32

30 La Distribución Gompertz-Makeham La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando con a > 0, a+b > 0 y c > 1 µ x+t = a+bc x+t, (8) El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término bc x+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: tp x = e t 0 µ x+sds = s x g cx (c t 1) (9) donde s = e a, g = exp( b/ln(c)). 9 /32

31 La Distribución Gompertz-Makeham La distribución Gompertz-Makeham se define a partir de la fuerza de mortalidad colocando con a > 0, a+b > 0 y c > 1 µ x+t = a+bc x+t, (8) El parámetro a mide la fuerza constante de mortalidad por riesgo de accidente El término bc x+t es la fuerza de mortalidad por envejecimiento. La probabilidad de (x) sobrevivir hasta la edad x+t es: tp x = e t 0 µ x+sds = s x g cx (c t 1) (9) donde s = e a, g = exp( b/ln(c)). 9 /32

32 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

33 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

34 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

35 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

36 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

37 Ejemplos de probabilidades con G-M La Superfinanciera en 2010 modificó las Tablas de Vida vigentes, elaboradas con base en la experiencia del ISS para , y las reemplazó por tablas con base en la experiencia de las Aseguradoras durante Se ajustaron distribuciones G-M a estas tablas, para hombres y mujeres, y resultaron 4 distribuciones. Al calcular 33 p 62 con éstas se obtiene los resultados ISS H ISS M Aseg H Aseg M /32

38 Probabilidades de Supervivencia prob supervivencia hombres: ISS hombres: ISS 2010 prob supervivencia mujeres: ISS mujeres: ISS edad edad Figure: Comparación de Probabilidades de Supervivencia 11 /32

39 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

40 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

41 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

42 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

43 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

44 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

45 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

46 Sistemas de Amortización. Método continuo. En lo que sigue se utilizará el cálculo diferencial e integral para plantear los sistemas de amortización y pensiones = Método continuo Un sistema pensional se puede ver como un sistema de amortización de un crédito. Un sistema de amortización de un crédito con capitalización continua, en el período [0, T], requiere las variables. V t = el saldo de la deuda al tiempo t.. δ(t) = la tasa instantánea de capitalización, estocástica ó constante,. t 0 V sδ(s)ds = los intereses más capital generados en [0,t]. B(t) = la tasa de pagos ó tasa de cuotas,. t 0 B(s)ds = total pagado en cuotas en el intervalo [0,t]. 12 /32

47 Ecuaciones de Flujo de Caja El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se describe con una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (10) para 0 t T, con V 0 > 0 dado y V T = 0, la condición de cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V 0 es el monto del crédito. La solución V t de (10) en función de Λ(t) = t 0 δ(s)ds cumple e Λ(t) V t = V 0 t 0 e Λ(s) B(s)ds, (11) 13 /32

48 Ecuaciones de Flujo de Caja El flujo de caja del crédito durante la vida del mismo se describe con una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (10) para 0 t T, con V 0 > 0 dado y V T = 0, la condición de cierre en el caso de δ(t) no aleatorio ó constante. El valor V 0 es el monto del crédito. La solución V t de (10) en función de Λ(t) = t 0 δ(s)ds cumple e Λ(t) V t = V 0 t 0 e Λ(s) B(s)ds, (11) 13 /32

49 Condición de Cierre La solución en t = T cumple T e Λ(T) V T = V 0 e Λ(s) B(s)ds. (12) 0 La condición de cierre es V T = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e Λ(T) V T ) = 0 para aleatoria. Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V 0 = T 0 e Λ(s) B(s)ds. (13) Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32

50 Condición de Cierre La solución en t = T cumple T e Λ(T) V T = V 0 e Λ(s) B(s)ds. (12) 0 La condición de cierre es V T = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e Λ(T) V T ) = 0 para aleatoria. Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V 0 = T 0 e Λ(s) B(s)ds. (13) Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32

51 Condición de Cierre La solución en t = T cumple T e Λ(T) V T = V 0 e Λ(s) B(s)ds. (12) 0 La condición de cierre es V T = 0, para δ(t) no aleatorio, y es E(e Λ(T) V T ) = 0 para aleatoria. Supongamos el caso no aleatorio por el momento. Luego V 0 = T 0 e Λ(s) B(s)ds. (13) Esta condición permite encontrar los parámetros en varias fórmulas para la tasa de pagos B(s). Interpretación: el valor presente de las cuotas iguala el valor del crédito. 14 /32

52 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

53 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

54 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

55 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

56 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

57 Sistemas de Amortización Las fórmulas para la tasa de pagos son los sistemas de amortización de créditos. Un tratamiento completo de los sistemas que se usaron en el país en 1985 está ( 2 ). Dos ejemplos muy conocidos son:. El sistema de cuotas crecientes geométricamente (Ahorramas).. El sistema de cuotas decrecientes linealmente (BCH, sistemas I-V). Se pueden re-interpretar estos sistemas de amortización como formas de pagos de pensiones. E interpretar el sistema de retiro programado introducido en la Ley100/93 como un sistema de amortización, para compararlo con estos sistemas. 2 Gomez Ceballos, J. (1885). Sistemas de Amortización. Tecno Mundo Editores, Ltda, Armenia Colombia 15 /32

58 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mínimo anual, ó por algún porcentaje pactado. Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ. La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ce δ t (14) donde t es la función parte entera. El total pagado por cuotas durante el crédito es T 0 B(s)ds. Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) δ, y además que δ = δ r +δ, donde δ r es la tasa real. 16 /32

59 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mínimo anual, ó por algún porcentaje pactado. Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ. La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ce δ t (14) donde t es la función parte entera. El total pagado por cuotas durante el crédito es T 0 B(s)ds. Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) δ, y además que δ = δ r +δ, donde δ r es la tasa real. 16 /32

60 Sistemas de cuotas crecientes geométricamente En este sistema las cuotas aumentan anualmente por el IPC ó por el incremento legal para el salario mínimo anual, ó por algún porcentaje pactado. Este porcentaje se indica por la tasa continua efectiva anual δ. La expresión para la tasa de pagos es B(t) = Ce δ t (14) donde t es la función parte entera. El total pagado por cuotas durante el crédito es T 0 B(s)ds. Suponemos que las tasas son constantes: δ(t) δ, y además que δ = δ r +δ, donde δ r es la tasa real. 16 /32

61 Notación Actuarial El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un período [0,T] cumple V t = δv t 1. El valor presente de los pagos V 0 es ā T δ := V 0 = T 0 e δs ds = 1 e δt δ. (15) El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a la tasa e δ 1, se denota T 1 ä T δ := e δj = 1 e δt. (16) 1 e δ j=0 17 /32

62 Notación Actuarial El saldo de un crédito con tasa de pagos B(t) = 1, durante un período [0,T] cumple V t = δv t 1. El valor presente de los pagos V 0 es ā T δ := V 0 = T 0 e δs ds = 1 e δt δ. (15) El valor presente de anterior, pero con T pagos anticipados, a la tasa e δ 1, se denota T 1 ä T δ := e δj = 1 e δt. (16) 1 e δ j=0 17 /32

63 Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente La condición de cierre es V 0 = T La tasa de pagos es Y por tanto 0 e δx B(s)ds = C T 0 e δs e δ s ds. (17) B(t) = Ce δ t = V 0e δ t ā 1 δ ä T δr (18) 1 V 0 T 0 B(s)ds = eδ (T 1)ä T δ ā 1 δ ä T δr = total pagos valor del crédito (19) 18 /32

64 Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente La condición de cierre es V 0 = T La tasa de pagos es Y por tanto 0 e δx B(s)ds = C T 0 e δs e δ s ds. (17) B(t) = Ce δ t = V 0e δ t ā 1 δ ä T δr (18) 1 V 0 T 0 B(s)ds = eδ (T 1)ä T δ ā 1 δ ä T δr = total pagos valor del crédito (19) 18 /32

65 Solución del Sistema con cuotas crecientes geométricamente La condición de cierre es V 0 = T La tasa de pagos es Y por tanto 0 e δx B(s)ds = C T 0 e δs e δ s ds. (17) B(t) = Ce δ t = V 0e δ t ā 1 δ ä T δr (18) 1 V 0 T 0 B(s)ds = eδ (T 1)ä T δ ā 1 δ ä T δr = total pagos valor del crédito (19) 18 /32

66 Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V 0 dado, es T T ( V 0 = e δx B(s)ds = e δs C C s ) ds 0 0 T ( ) = C ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt. La tasa de pagos es Y por tanto B(t) = V 0 (1 t /T) ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt (20) 1 T V 0 0 B(s)ds = 19 /32 (T +1)/2 ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt = total pagos valor del crédito (21)

67 Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V 0 dado, es T T ( V 0 = e δx B(s)ds = e δs C C s ) ds 0 0 T ( ) = C ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt. La tasa de pagos es Y por tanto B(t) = V 0 (1 t /T) ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt (20) 1 T V 0 0 B(s)ds = 19 /32 (T +1)/2 ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt = total pagos valor del crédito (21)

68 Solución del Sistema con cuotas decrecientes linealmente La condición de cierre, para C > 0 la cuota en el primer año, y V 0 dado, es T T ( V 0 = e δx B(s)ds = e δs C C s ) ds 0 0 T ( ) = C ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt. La tasa de pagos es Y por tanto B(t) = V 0 (1 t /T) ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt (20) 1 T V 0 0 B(s)ds = 19 /32 (T +1)/2 ā T δ + e δt δ eδ ä T δ δt = total pagos valor del crédito (21)

69 Ejemplos de Pagos Geométricos y Lineales cuotas t Figure: Negro = Geométrico, Rojo = Lineal decreciente Para δ r = 0.04, δ = 0.06, T = 30, total pagos valor del crédito = { cuotas geométricas cuotas lineales decrecientes 20 /32

70 Rentas Vitalicias (1) Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (22) tal que 0 t T(x), y V 0 es el precio de la anualidad. La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). El pago al titular durante un período [t 1,t 2 ] está dado por t 2 t 1 B(s)ds. 21 /32

71 Rentas Vitalicias (1) Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (22) tal que 0 t T(x), y V 0 es el precio de la anualidad. La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). El pago al titular durante un período [t 1,t 2 ] está dado por t 2 t 1 B(s)ds. 21 /32

72 Rentas Vitalicias (1) Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (22) tal que 0 t T(x), y V 0 es el precio de la anualidad. La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). El pago al titular durante un período [t 1,t 2 ] está dado por t 2 t 1 B(s)ds. 21 /32

73 Rentas Vitalicias (1) Supuesto: Una Renta Vitalicia ó Anualidad de Vida es un contrato entre dos partes, similar a un Crédito ó a un Bono. En su figura básica, una de las partes (el Emisor) se compromete a realizar pagos periódicos, de acuerdo a una fórmula bien definida y la otra (el titular) aporta un capital en un solo contado ó en varios, como pago de una prima. Supuesto: Una renta vitalicia puede describirse mediante un flujo de caja similar al de un crédito, por una ecuación diferencial lineal V t = δ(t)v t B(t), (22) tal que 0 t T(x), y V 0 es el precio de la anualidad. La tasa de pago anual de la renta vitalicia es B(t). El pago al titular durante un período [t 1,t 2 ] está dado por t 2 t 1 B(s)ds. 21 /32

74 Rentas Vitalicias (2) El período del contrato es aleatorio, 0 t T(x). En el caso δ(t) δ = δ r +δ, y B(t) 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es ā x δr := 110 x 0 e δrs sp x ds. (23) Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M , la renta vitalicia anual de 12 salarios mínimos $ , si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $ Y vale $ usando G-M /32

75 Rentas Vitalicias (2) El período del contrato es aleatorio, 0 t T(x). En el caso δ(t) δ = δ r +δ, y B(t) 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es ā x δr := 110 x 0 e δrs sp x ds. (23) Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M , la renta vitalicia anual de 12 salarios mínimos $ , si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $ Y vale $ usando G-M /32

76 Rentas Vitalicias (2) El período del contrato es aleatorio, 0 t T(x). En el caso δ(t) δ = δ r +δ, y B(t) 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es ā x δr := 110 x 0 e δrs sp x ds. (23) Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M , la renta vitalicia anual de 12 salarios mínimos $ , si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $ Y vale $ usando G-M /32

77 Rentas Vitalicias (2) El período del contrato es aleatorio, 0 t T(x). En el caso δ(t) δ = δ r +δ, y B(t) 1, el precio de la anualidad que paga una unidad en pesos corrientes, actualizados continuamente por costo de vida, es ā x δr := 110 x 0 e δrs sp x ds. (23) Ejemplo. Para x=60, mujer, Ley G-M , la renta vitalicia anual de 12 salarios mínimos $ , si se pacta una tasa real = 4.0% y una tasa inflación = 8%, anual, vale $ Y vale $ usando G-M /32

78 Rentas Vitalicias (3) Supuesto La reserva V t está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. Las Compañías de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por títulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32

79 Rentas Vitalicias (3) Supuesto La reserva V t está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. Las Compañías de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por títulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32

80 Rentas Vitalicias (3) Supuesto La reserva V t está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. Las Compañías de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por títulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32

81 Rentas Vitalicias (3) Supuesto La reserva V t está invertida en un portafolio y sometida a riesgo de tasa, en el sentido de que δ(t) ahora es aleatoria, y puede tomar valores negativos. Este supuesto no es estándar. Hay que explicar por qué tiene validez. Las Compañías de Seguros venden Rentas Vitalicias y los portafolios en donde invierten las primas son portafolios de renta fija, conformados por títulos TES de deuda pública. Posiblemente tendrán inversiones con riesgo pero muy consevadoras. Se utilizaba una técnica conocida como Inmunización, que consiste en conformar portafolios de renta fija con igual duración y convexidad que los portafolios de las anualidades. 23 /32

82 Rentas Vitalicias (4) Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los títulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar títulos TES?. La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés Investment-linked retirement-income programmes. Una traducción al castellano podría ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquí como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32

83 Rentas Vitalicias (4) Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los títulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar títulos TES?. La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés Investment-linked retirement-income programmes. Una traducción al castellano podría ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquí como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32

84 Rentas Vitalicias (4) Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los títulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar títulos TES?. La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés Investment-linked retirement-income programmes. Una traducción al castellano podría ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquí como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32

85 Rentas Vitalicias (4) Pero la demanda creciente de rentas vitalicias ha hecho que los títulos se encarezcan. Sucedió en el Reino Unido a principios de A su vez, las rentas vitalicias se encarezcen. Pregunta: se puede financiar una renta vitalicia con el mercado accionario en lugar de utilizar títulos TES?. La respuesta se dió en el Reino Unido a principios de 1990: aparecieron unos nuevos productos financieros denominados en inglés Investment-linked retirement-income programmes. Una traducción al castellano podría ser: retiros programados atados a fondos de inversiones, ó RPAFI. La figura del Retiro Programado, introducida en el art. 81 de la Ley 100/93, la interpretamos aquí como un RPAFI. Es una anualidad financiada con riesgo de mercado. 24 /32

86 Lo que dice la Ley (1) ARTÍCULO 81. RETIRO PROGRAMADO. El retiro programado es la modalidad de pensión en la cual el afiliado o los beneficiarios obtienen su pensión de la sociedad administradora, con cargo a su cuenta individual de ahorro pensional y al bono pensional a que hubiera lugar. Para estos efectos, se calcula cada año una anualidad en unidades de valor constante, igual al resultado de dividir el saldo de su cuenta de ahorro y bono pensional, por el capital necesario para financiar una unidad de renta vitalicia para el afiliado y sus beneficiarios. La pensión mensual corresponderá a la doceava parte de dicha anualidad. 25 /32

87 Lo que dice la Ley (2) La condición de paso a una anualidad : El saldo de la cuenta de ahorro pensional, mientras el afiliado disfruta de una pensión por retiro programado, no podrá ser inferior al capital requerido para financiar al afiliado y sus beneficiarios una renta vitalicia de un salario mínimo legal mensual vigente. 26 /32

88 Lo que dice la Ley (3) En 1996, el Decreto 832 del MHyCP estableció, en el artículo 12, la opción de paso a la renta vitalicia como un mecanismo para evitar la pérdida de la pensión, debido a efectos adversos en los rendimientos. El artículo 12 se titula Control de Saldos en el Pago de Pensiones bajo la Modalidad de RP. En todo caso deberá incorporarse en el contrato de retiro programado o en el reglamento respectivo, una cláusula que aluda al artículo 81 de la Ley 100 de indicando que por tal razón, en el momento en que el saldo deje de ser suficiente, deberá adquirirse una póliza de Renta Vitalicia. por valor de un salario mínimo mensual legal vigente. 27 /32

89 Un Modelo para RP por el método continuo (1) Para terminar esta Día 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. Por ejemplo, calcular el indicador 1 V 0 T 0 B(s)ds = total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martínez y Rodríquez (2005), ( 3 ), y en un documento de Asofondos ( 4 ). 3 El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32

90 Un Modelo para RP por el método continuo (1) Para terminar esta Día 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. Por ejemplo, calcular el indicador 1 V 0 T 0 B(s)ds = total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martínez y Rodríquez (2005), ( 3 ), y en un documento de Asofondos ( 4 ). 3 El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32

91 Un Modelo para RP por el método continuo (1) Para terminar esta Día 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. Por ejemplo, calcular el indicador 1 V 0 T 0 B(s)ds = total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martínez y Rodríquez (2005), ( 3 ), y en un documento de Asofondos ( 4 ). 3 El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32

92 Un Modelo para RP por el método continuo (1) Para terminar esta Día 1, se dan algunos pasos para modelar el RP como un sistema de amortización. El objetivo es llegar a un modelo realista que permita responder inquietudes sobre el desempeño del RP. Por ejemplo, calcular el indicador 1 V 0 T 0 B(s)ds = total pagos capital ahorrado (24) Y compararlo con el correspondiente indicador en el sistema de prima media con prestación definida, del ISS por ley 100/93. Se han realizado estudios en esta última dirección, por ejemplo Osorio, Martínez y Rodríquez (2005), ( 3 ), y en un documento de Asofondos ( 4 ). 3 El Modelo DNPensión v 4.0. DNP, documento Estimación de los Subsidios en el Régimen de Prima Media 28 /32

93 Un Modelo para RP por el método continuo (2) El modelo debe considerar un período [0,T(x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T 0 +1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δ r +δ. Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt+σw(t) (25) con W(t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio r p (t) como se verá en el Día 2 en un ejemplo. La ecuación es para 0 t T(x). V t = δv t B(t), (26) 29 /32

94 Un Modelo para RP por el método continuo (2) El modelo debe considerar un período [0,T(x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T 0 +1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δ r +δ. Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt+σw(t) (25) con W(t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio r p (t) como se verá en el Día 2 en un ejemplo. La ecuación es para 0 t T(x). V t = δv t B(t), (26) 29 /32

95 Un Modelo para RP por el método continuo (2) El modelo debe considerar un período [0,T(x)] aleatorio. Y un tiempo intermedio T 0 +1, también aleatorio, en el cual ocurre lo que plantea el Decreto 832 del MHyCP: el cambio a una anualidad de vida, con pensión indexada por costo de vida. Iniciar con la ecuación básica, asumiendo una tasa constante δ = δ r +δ. Un modelo más avanzado asumirá tasa variable, por ejemplo δ(t) = µt+σw(t) (25) con W(t) un proceso Wiener. O la tasa de rendimiento de un portafolio r p (t) como se verá en el Día 2 en un ejemplo. La ecuación es para 0 t T(x). V t = δv t B(t), (26) 29 /32

96 Un Modelo para RP por el método continuo (3) Se define la tasa de pagos B(t) como V t ā si 0 tleqt x+ t δr 0 +1, B(t) = C 0 e δ t T 0 1 si T 0 +1 < t T(x). donde T 0 +1 es el tiempo en el cual se debe pasar a una anualidad porque el saldo V t ha disminuído talque no alcanza para financiar una pensión mínima anual. 30 /32

97 Un Modelo para RP por el método continuo (4) Cómo se define T 0?. Se empieza por el valor de la pensión mínima anual en t = 0 cuando el pensionado tiene edad x. Suponga que es P min. El capital inicial es V 0. Suponga que permite una pensión anual de m > 1 veces el salario mínimo. Entonces V 0 = mp min ā x (27) Entonces se define T 0 como el mayor j 1 para el cual se cumple V j+1 ā x+j+1 P min e δ (j+1) } (28) 31 /32

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