XVII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "XVII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid"

Transcripción

1 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). Las edades de arlos, Hugo y Elvira vienen dadas por números enteros. Hugo tiene 65 años y la suma de las edades de arlos y Elvira es 00 años. Hace 9 años la edad de Elvira era un número múltiplo de 7 que, además, no era primo con el número de la edad actual de Hugo. uál es la edad actual de arlos?. Los números = y = , de cifras cada uno, están formados sólo por sietes y ochos. uál es su máximo común divisor?. El perímetro del rectángulo es de 0 cm. ibujamos otros tres rectángulos cuyos centros son los vértices, y y sus lados paralelos a los del rectángulo, como muestra la figura que no está hecha a escala. Si la suma de los perímetros de estos tres rectángulos es 0 cm, cuál es el perímetro del polígono cuyos lados están marcados con línea gruesa?

2 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). En la figura adjunta se observan tres circunferencias tangentes entre sí y también tangentes a una recta. Si los radios de las circunferencias mayores miden 6 y 9, cuánto mide el radio de la pequeña?. En el rectángulo de la figura, = y = 0. El segmento E es perpendicular a la diagonal y el punto F la intersección de ambos segmentos. uál es la longitud del segmento EF? E F. uántos números de cinco cifras, que empiecen por 7, verifican que tanto [7abc], como [7bca] y [7cab] son múltiplos de 7? Por ejemplo: 796, 796 y 769 son tres de ellos. Nota. La expresión [7abc] representa al número cuyas cifras son, 7, a, b, c.

3 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS achillerato. (5 minutos). En la figura se observan dos semicircunferencias de centros y y radios y respectivamente. Otra semicircunferencia de diámetro, tangente exterior a ambas semicircunferencias y una circunferencia de centro P que es tangente a las tres semicircunferencias anteriores. uál es el radio de esta circunferencia de centro P? P. Sean x e y números reales tales que x y y que verifican las ecuaciones alcular x y.. eterminar el valor de x + y sabiendo que: x x y y y,8 x 8, Nota. a es la parte entera de a, es decir, el mayor entero menor o igual que a. x y x y. x y

4 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r?. Escribimos en una lista todos los números enteros desde el hasta el 07. Si suprimimos todos los cuadrados perfectos y también todos los cubos perfectos, cuántos números nos quedarán en esa lista?. Se considera el pentágono E de la figura en el que se indican las longitudes de sus lados. on centro en cada uno de sus vértices, dibujamos cinco circunferencias de forma que las que tienen por centro dos vértices del mismo lado son tangentes entre sí. uál es el centro de la mayor que hemos dibujado y cuál es su radio? 7 E 6. Las nueve casillas del cuadrado mágico de la figura están ocupadas por los nueve divisores de 00. (El producto de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es el mismo). Si el 0 y el ocupan las casillas que muestra la figura, qué número ocupará la casilla sombreada? 0

5 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos) 8 de noviembre de 07. Hay algún triángulo en el que las medidas de sus ángulos, en grados sexagesimales, vengan dadas por números enteros y que verifiquen que la suma de la medida de uno de ellos más el producto de las medidas de los otros dos sea 07? Indicación. Te puede ayudar saber que 99 es un número primo.. En el triángulo rectángulo, de catetos = y =, inscribimos dos circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. alcula el radio de las circunferencias.. En un trayecto en tren entre dos ciudades, una hora después de la salida, el tren se detuvo por un pequeño fallo mecánico que se solucionó en media hora pero que hizo que el tren continuara su viaje a la mitad de la velocidad normal. Por esta circunstancia llegó a su destino con dos horas de retraso. Expertos consultados aseguraron que si la avería se hubiera producido 00 km más adelante, la demora habría sido de sólo una hora. uál es la distancia que separa a estas dos ciudades? Nota. Suponemos que el tren circula siempre a velocidad constante.. alcula el área del cuadrado de la figura. 6

6 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid PRUE INIVIUL achillerato (90 minutos) 8 de noviembre de 07. Los números x, y, z, son enteros. uántas soluciones tiene el siguiente sistema? x xy y z x 6yz z x xy 8z 00. Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x, y) tales que x y 65.. En el triángulo rectángulo, de catetos =, =, inscribimos n circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. Para qué valor de n se verifica que el radio de cada una de ellas es? 07. El número! Tiene más de divisores (positivos). Si elegimos al azar uno de ellos, cuál es la probabilidad de que sea impar?

7 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 º y º de ESO.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- El peso total de un frasco y su contenido, que son 0 pastillas idénticas, es 80 gramos. uando el frasco contiene 5 pastillas vemos que el peso total es 65 gramos. uántos gramos pesa el frasco? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato).- Sea "T" la respuesta del problema Los números m, n, p y q son enteros positivos y diferentes. Si además satisfacen la ecuación 7 m7 n7 p7 q T, cuál es el valor de su suma? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato).- Sea "T" la respuesta del problema. T En el último examen de Matemáticas de mi clase la nota media ha sido 5. Si la nota media de 00 las chicas fue de 6 y la de los chicos de 5, cuántos estudiantes hay en mi clase si no puede haber más de 0? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema)

8 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 º y º de ESO.-..- Sea "T" la respuesta del problema. PRUE POR RELEVOS (60 minutos) En la figura adjunta se observa un semicírculo de radio T, y tres semicírculos iguales de radio T. uál es el área de la zona sombreada?. (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema).- En un cajón hay calcetines blancos, negros y 5 rojos. Sin mirar dentro del cajón, cuál es el número mínimo de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que sacamos dos del mismo color? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO).- Sea "T" la respuesta del problema. T os trenes viajan a velocidad constante. El más lento recorre en 5 minutos km menos que el más 7 rápido y tarda 5 segundos más que el más rápido en recorrer km. uál es, en km/h, la velocidad del tren más rápido? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO)

9 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 achillerato.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura se observa un triángulo equilátero y un cuadrado de perímetro T que tiene un vértice común con el triángulo y otros dos en lados del triángulo. Si escribimos el perímetro del triángulo como a b con a y b enteros positivos, calcula el número b a? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO).- Sea "T" la respuesta del problema. T Los puntos, 9; 7, 76 y 9, 8 son los centros de tres círculos de radio. Una recta que pasa por el punto corta a los tres círculos de forma que la suma de las áreas de los trozos de círculo que deja a cada lado es la misma. uál es la pendiente de la recta? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema).- El producto de las edades de un padre y sus dos hijos es 08. Si actualmente el padre tiene menos de 5 años, qué edad tenía cuando nació el hijo mayor? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO)

10 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). Las edades de arlos, Hugo y Elvira vienen dadas por números enteros. Hugo tiene 65 años y la suma de las edades de arlos y Elvira es 00 años. Hace 9 años la edad de Elvira era un número múltiplo de 7 que, además, no era primo con el número de la edad actual de Hugo. uál es la edad actual de arlos? H = 65 = 5 ; + E = 00; E 9 = 7k. Pero k solamente puede ser 5 ya que k = nos daría una edad de Elvira mayor que 00. Por lo tanto E = 9 y = 6 años.. Los números = y = , de cifras cada uno, están formados sólo por sietes y ochos. uál es su máximo común divisor? = = ; = = ; El mcd(, ) = = El perímetro del rectángulo es de 0 cm. ibujamos otros tres rectángulos cuyos centros son los vértices, y y sus lados paralelos a los del rectángulo, como muestra la figura que no está hecha a escala. Si la suma de los perímetros de estos tres rectángulos es 0 cm, cuál es el perímetro del polígono cuyos lados están marcados con línea gruesa? ada rectángulo pequeño añade al perímetro del rectángulo un trozo que es el triple del que quita. Por lo tanto: 0 0 p 0 0 cm. PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). En la figura adjunta se observan tres circunferencias tangentes entre sí y también tangentes a una recta. Si los radios de las circunferencias mayores miden 6 y 9, cuánto mide el radio de la pequeña? = 6 9 = 7; Q = = 5. Llamando x al radio de la circunferencia pequeña, b = O y a = O se tiene: En O: a 6 x 6 x a x En Q: b b 6 En OPQ: 9 x 9 x b a 6 x x 6 x x 9 x x 6 x 9 6 x x 6 8 x x 6x x x x x 0x 0 La solución es x =. La otra no tiene sentido. x 6 b a O Q P

11 . En el rectángulo de la figura, = y = 0. El segmento E es perpendicular a la diagonal y el punto F la intersección de ambos segmentos. uál es la longitud del segmento EF? iagonal : 0 6 Área de : ( 0) 6 F Triángulo F: S F 0 88 F F F 6. Por semejanza de los E Q triángulos F y FE 0 50 F F 5 EF F EF uántos números de cinco cifras, que empiecen por 7, verifican que tanto [7abc], como [7bca] y [7cab] son múltiplos de 7? Por ejemplo: 796, 796 y 769 son tres de ellos. Nota. La expresión [7abc] representa al número cuyas cifras son, 7, a, b, c. 0 El número [7abc] = [abc] es múltiplo de 7 si y solamente si [abc] lo es. uscamos todos los múltiplos de 7 de tres cifras, incluyendo 000, 07 y , 07, 07,, 8, 85,, 59, 96,, 70, 07,, 8, 58, 555, 59, 69, 666, 70, 70, 777, 8, 85, 888, 95, 96, 999. En total hay 8 y todos cumplen la condición del enunciado. P F PRUE POR EQUIPOS achillerato. (5 minutos). En la figura se observan dos semicircunferencias de centros y y radios y respectivamente. Otra semicircunferencia de diámetro, tangente exterior a ambas semicircunferencias y una circunferencia de centro P que es tangente a las tres semicircunferencias anteriores. uál es el radio de esta circunferencia de centro P? Llamando h a la longitud del segmento PQ, x al radio buscado y teniendo en cuenta que O =, P = + x, OP = x, P = + x, =, O = y que además los triángulos PQ, OPQ y PQ son rectángulos, tenemos: P x h x h x h x x h x h x h x x x h x h x h 9 x h 6 x estas expresiones se obtiene h h 6 8x 0 x. 7 h h x x x x 8 x x. Sean x e y números reales tales que x y y que verifican las ecuaciones x y. alcular x x y x x xy x y y x y y xy y omo x y se deduce que x + y =. x y x y h h x y. x y x y x y x y y restando Por otra parte, x y 0x 0y x yx xy y 0x y x xy y 0 xy 0 y por lo tanto x y = 9. y x y x y 69 x y x. Finalmente, x y x y x y 58 O Q

12 . eterminar el valor de x + y sabiendo que: x x y y y,8 x 8, Nota. a es la parte entera de a, es decir, el mayor entero menor o igual que a. x y y,8 y y 0, 8 (La parte decimal de y es 0,8) x y x 8, x y 0,8 x 8, x y x 7,6 x x 0,6; y 7. x 7 7,8,8 x 9. e donde x = 9,6 y = 7,8 y por lo tanto x + y = 7,.

13 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r? Llamando r al radio, x =, y =, tenemos que x + y = 8, = = r. Entonces E + F = (r x) + (r y) = r (x + y) = r 8 El perímetro es E F arcofe r 8 r r r 8 r, de donde se obtiene que r 8 r 0 r 8 r r 6 E. Escribimos en una lista todos los números enteros desde el hasta el 07. Si suprimimos todos los cuadrados perfectos y también todos los cubos perfectos, cuántos números nos quedarán en esa lista? uadrados perfectos:,,,, En total. ubos perfectos:,,,,. En total. uadrados y cubos perfectos a la vez: 6, 6, 6. En total. uadrados o cubos perfectos: + = 5 Números de la lista que no son ni cuadrados ni cubos perfectos: 07 5 = 96.. Se considera el pentágono E de la figura en el que se indican las longitudes de sus lados. on centro en cada uno de sus vértices, dibujamos cinco circunferencias de forma que las que tienen por centro dos vértices del mismo lado son tangentes entre sí. uál es el centro de la mayor que hemos dibujado y cuál es su radio? r r 6 r r r r 7 Sumando las ecuaciones, y 5 y restando la y, se obtiene r r E E re r r r 0 y de aquí: r 6, r 8, r 9, re El centro de la mayor es y su radio 0.. Las nueve casillas del cuadrado mágico de la figura están ocupadas por los nueve divisores de 00. (El producto de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es el mismo). Si el 0 y el ocupan las casillas que muestra la figura, qué número ocupará la casilla sombreada? 7 6 F Los divisores son:,,, 5, 0, 0, 5, 50 y 00. El producto de todos es: y el producto de los de cada fila, diagonal o 9 9 columna es , luego el 50 ya está claro dónde va. En el cuadro central debe estar el divisor central, es decir, el 0. demás, en la columna central faltan dos divisores cuyo producto sea 000 y de los divisores que quedan solo pueden ser el 0 y el 00. Ya se puede completar de una forma sencilla, obteniendo el en la casilla pedida

14 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). Hay algún triángulo en el que las medidas de sus ángulos, en grados sexagesimales, vengan dadas por números enteros y que verifiquen que la suma de la medida de uno de ellos más el producto de las medidas de los otros dos sea 07? Indicación. Te puede ayudar saber que 99 es un número primo. Sean x, y, z las medidas de los ángulos, o mejor, x, y, 80 x y. 80 x y xy 07 xy x y 87 x y 87 x y 99. omo 99 es primo solo queda la posibilidad que uno de los factores sea y el otro 99, lo cual es imposible.. En el triángulo rectángulo, de catetos = y =, inscribimos dos circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. alcula el radio de las circunferencias. Trazando el segmento E se obtiene el triángulo E, semejante al, en el que E = r y por lo tanto la razón de semejanza r ( r ) 5( r ) es. Por lo tanto E y. ( r ) Su perímetro es ( r ) y su área r ( r ). ( r ) que también se puede expresar como ( r ). Igualando ambas expresiones se obtiene ( r ) ( r ) r ( r ) ( r ) r r E. En un trayecto en tren entre dos ciudades, una hora después de la salida, el tren se detuvo por un pequeño fallo mecánico que se solucionó en media hora pero que hizo que el tren continuara su viaje a la mitad de la velocidad normal. Por esta circunstancia llegó a su destino con dos horas de retraso. Expertos consultados aseguraron que si la avería se hubiera producido 00 km más adelante, la demora habría sido de sólo una hora. uál es la distancia que separa a estas dos ciudades? Nota. Suponemos que el tren circula siempre a velocidad constante. Sean: v la velocidad habitual del tren t el tiempo que tarda el tren de a cuando está averiado. t el tiempo que tarda el tren de a cuando está averiado. Entonces v t vt 0,5 t v t v horas. t 0,5 t hora. Luego el tiempo que tardó de a, 00 km, fue de horas y por lo tanto v 50 v 00 km/h. omo consecuencia = 00 km/h h = 00 km y = 50 km/h h = 50 km. La distancia entre y es: = 50 km. alcula el área del cuadrado de la figura. l trazar la diagonal se obtienen dos triángulos rectángulos, y E, semejantes en los que la razón de semejanza es k =. 8 Por lo tanto E = y como E = entonces y E. Por Pitágoras 97 y la diagonal será 97. omo en un cuadrado 97 d l 97 l l que es el área del cuadrado. E 6

15 PRUE INIVIUL achillerato (90 minutos). Los números x, y, z, son enteros. uántas soluciones tiene el siguiente sistema? x xy y z x 6yz z x xy 8z 00 Sumando las tres ecuaciones se obtiene, x xy y y 6yz 9z 75 ( x y) ( y z) 75 omo x, y, z son enteros, ( x y) y ( y z) son cuadrados perfectos menores que 75 y uno de ellos mayor o igual a 8 para que la suma sea 75. Probando con 8, 00,, y 69 se observa que sus diferencias con 75 son: 9, 75, 5, y 5, ninguna de ellas es un cuadrado perfecto. Por lo tanto no tiene ninguna solución entera.. Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x, y) tales que x y 65. y y x x 5 y y 65 x x 65 Las combinaciones posibles para esos dos factores son: (65, ); (05, ); (, 5); (, 5). y y y omo x x la única posibilidad de obtener una potencia de dos es + 5 = 8 = 7, de donde se deduce que y = 6 y x = 59. En los demás casos las sumas que se obtienen, 66, 08 y 56, no son potencias de. El par buscado es (59, 6).. En el triángulo rectángulo, de catetos =, =, inscribimos n circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. Para qué valor de n se verifica que el radio de cada una de ellas es? 07 Si nos fijamos tan solo en las proximidades del vértice, y como el triángulo E es semejante al, podemos decir que E = x, E = x, = 5x. Teniendo en cuenta el área del triángulo E podemos escribir: x x 5x (x)(x) r 6x r 6x r x. El lado = E + E = (n )r + r = n n. r r omo r entonces n E r. El número! Tiene más de divisores (positivos). Si elegimos al azar uno de ellos, cuál es la probabilidad de que sea impar? 8 9! El número total de divisores es: y el de impares 0 5, por lo que 0 5 p( I)

16 PRUE POR RELEVOS (60 minutos) RELEVO.-.- El peso total de un frasco y su contenido, que son 0 pastillas idénticas, es 80 gramos. uando el frasco contiene 5 pastillas vemos que el peso total es 65 gramos. uántos gramos pesa el frasco? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) Se deduce que 5 pastillas pesan = 5 gramos. ada pastilla pesa gramos, 0 pastillas 60 gramos, luego el frasco pesa = 0 gramos..- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura se observa un triángulo equilátero y un cuadrado de perímetro T que tiene un vértice común con el triángulo y otros dos en lados del triángulo. Si escribimos el perímetro del triángulo como a b con a y b enteros positivos, calcula el número b a? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) T = 0. El lado del cuadrado es 0. En el triángulo, , el lado = 0 0 por lo que 0 y el lado del triángulo equilátero es 0 0 y su perímetro a 90 b 0.- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura adjunta se observa un semicírculo de radio T, y tres semicírculos iguales de radio T. uál es el área de la zona sombreada? Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T =. En la figura puede observarse, en blanco, dos triángulos equiláteros de lado, dos sectores circulares de radio r y amplitud 0º y otro sector del mismo radio y 60º de amplitud. El área de la zona en blanco es: El área pedida es

17 RELEVO.-.- En un cajón hay calcetines blancos, negros y 5 rojos. Sin mirar dentro del cajón, cuál es el número mínimo de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que sacamos dos del mismo color? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) Si se sacan puede haber uno de cada color pero al sacar uno más es seguro que coincidirá con el color de alguno de los tres primeros. Hay que sacar..- Sea "T" la respuesta del problema Los números m, n, p y q son enteros positivos y diferentes. Si además satisfacen la ecuación 7 m7 n7 p7 q T, cuál es el valor de su suma? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) T = y por tanto los únicos enteros positivos diferentes cuyo producto es son:,, ( ) y ( ). Los números m, n, p, q, tienen que ser 5, 6, 8 y 9, en cualquier orden, y su suma es 8..- Sea "T" la respuesta del problema y k la suma de las cifras de T. T Los puntos, 9; 7, 76 y 9, 8 son los centros de tres círculos de radio. Una recta que pasa por el punto corta a los tres círculos de forma que la suma de las áreas de los trozos de círculo que deja a cada lado es la misma. uál es la pendiente de la recta? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T = 8 y por lo tanto (, 9). Una recta que pasa por el centro del círculo lo divide en dos partes de igual área por lo que los trozos en los que divide a los otros dos han de ser iguales y eso quiere decir que la distancia de esos centros a la recta ha de ser la misma y menor que (para que los corte). La recta es r : ( y 76) m( x 7) mx y 76 7m 0 m m d (, r ) d(, r ) m 9m m m m 6 m 8 8 Las dos posibilidades son: m 6 m 8 m y m 6 m 8 m En el primer caso d (, r ) En el segundo caso d (, r ) La pendiente de la recta es m =. 577

18 RELEVO.-.- El producto de las edades de un padre y sus dos hijos es 08. Si actualmente el padre tiene menos de 5 años, qué edad tenía cuando nació el hijo mayor? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) escomponemos 08 = 7 y se deduce, obviamente, que la edad del padre es y la de los hijos 7 y. uando nació el hijo mayor el padre tenía = 7 años..- Sea "T" la respuesta del problema. T os trenes viajan a velocidad constante. El más lento recorre en 5 minutos km menos que el más 7 rápido y tarda 5 segundos más que el más rápido en recorrer km. uál es, en km/h, la velocidad del tren más rápido? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) T = 7 Si expresamos el tiempo en horas, 5 minutos es hora y por lo tanto la5 segundos es hora. 0 Sea v la velocidad del más lento y v la del más rápido. e la primera observación se deduce que v( km) ( km) v( km) v v ( km/ h) ( v v) 6 e la segunda observación ( h) ( h) ( h) v 0 v v v 0 v v v v 0 Por lo tanto v v 6 0 v( v) 80 v v 80 0 v 60 (la solución negativa no se considera) y v = 6..- Sea "T" la respuesta del problema. T En el último examen de Matemáticas de mi clase la nota media ha sido 5. Si la nota media de las 00 chicas fue de 6 y la de los chicos de 5, cuántos estudiantes hay en mi clase si no puede haber más de 0? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) 6 T = 6, por lo que la media ha sido 5 5, 6 00 Sean: x es el número de chicas, y el número de chicos. x 0,6 6 Entonces 6x + 5y = 5,6(x + y) 0,6x = 0,6y y como la suma (x + y) ha de ser y 0,6 9 menor que 0, la única solución posible es x = 6, y = 9 y por lo tanto x + y = 5.

19 OSERVIÓN En este problema sería muy interesante preguntar por el área de la zona sombreada puesto que si se halla el radio y después los valores de x y de y, que son y, se obtendría que el área es, 6 7. Se puede dejar para otra ocasión. 5. En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r? Llamando r al radio, x =, y =, tenemos que x + y = 8, = = r. Entonces E + F = (r x) + (r y) = r (x + y) = r 8 El perímetro es E F arcofe r 8 r r r 8 r, de donde se obtiene que r 8 r 0 r 8 r r 6 E F

VIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

VIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUE POR EQUIPOS 1º y º de E.S.O. (45 minutos) 1.- Pedro y Juan eligen ocho números de los nueve que hay escritos en este diagrama, cuatro cada uno; así pues hay un número que no elige ninguno. Pedro observa

Más detalles

VI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUEBA POR EQUIPOS PRUEBA INDIVIDUAL Primer ciclo de E.S.O.

VI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUEBA POR EQUIPOS PRUEBA INDIVIDUAL Primer ciclo de E.S.O. VI oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid PRUE POR EQUIPOS (45 minutos) PRUE INDIVIDUL Primer ciclo de E.S.O. (90 minutos) PRUE INDIVIDUL Segundo ciclo de E.S.O. (90 minutos) PRUE

Más detalles

XIV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XIV Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUE POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1. Si x e y representan cifras distintas de cero, encuentra todos los números de siete cifras de la forma yxyxyxy divisibles por 18 y que verifican que el

Más detalles

XXXI CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 8 de junio de 2013

XXXI CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 8 de junio de 2013 XXXI ONURSO PUIG M E RESOLUIÓN E PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 8 de junio de 013 NIVEL I (3º de E.S.O.) Primera parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. La suma de dos números naturales es

Más detalles

Problemas propuestos en el XXXIV Concurso Puig Adam

Problemas propuestos en el XXXIV Concurso Puig Adam Problemas propuestos en el XXXIV oncurso Puig dam Problema 1 (7 puntos) NIVEL I (3º de E.S.O.) Primera parte (1 hora 30 minutos) Juan efectúa las mil divisiones enteras siguientes: 2016 entre 1, 2016 entre

Más detalles

XVI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XVI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid XVI oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 19 de noviembre de 016 PRUE POR EQUIPOS 1º y º de E.S.O. (45 minutos) 1. El cuadrado de la figura es mágico respecto del producto, es decir,

Más detalles

Guía Nº 12 PSU NM 4: Cuadriláteros + Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha:

Guía Nº 12 PSU NM 4: Cuadriláteros + Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha: 1 entro Educacional San arlos de ragón. Dpto. de Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Guía Nº 1 PSU NM : uadriláteros + ircunferencia Nombre: urso: Fecha: prendizaje Esperado: Determina medidas angulares,

Más detalles

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRU POR QUIPOS 1º y 2º de.s.o. (45 minutos) 1. n el triángulo dibujamos tres paralelas a la base que dividen a la altura sobre dicho lado en cuatro partes iguales. Si el área del trapecio rayado es 35

Más detalles

Lugares geométricos. Áreas y perímetros

Lugares geométricos. Áreas y perímetros Lugares geométricos. Áreas y perímetros CLAVES PARA EMPEZAR A r B r a r a Triángulo equilátero Cuadrado VIDA COTIDIANA Del centro del rectángulo al punto medio de los lados habrá al largo 2 m y al ancho,5

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJEROS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. 6 A 145 15 105 160 130 En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. Ap 180 90 6 8 El ángulo mide 8. En un hexágono,

Más detalles

1. He escrito el No he escrito el He escrito el No he escrito el 4.

1. He escrito el No he escrito el He escrito el No he escrito el 4. º Nivel. El número que está justamente entre 8 y 0 es 80 B) 0 C) 8 E) 80. Halla la suma de todos los primos comprendidos entre y 00 que verifiquen ser múltiplos de más y múltiplos de 5 menos. 8 B) 7 C)

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO 8 GEOMETRÍ DEL PLNO EJERIIOS PR ENTRENRSE Ángulos y triángulos 8.6 Halla la medida del ángulo p en el siguiente triángulo. 6 4 180 6 p 4 p 180 6 4 11 8.7 alcula la suma de los ángulos interiores de un

Más detalles

7 Geometría del plano. Movimientos

7 Geometría del plano. Movimientos Qué tienes que saber? 7 QUÉ tienes que saber? Lugares geométricos ctividades Finales 7 Teorema de Pitágoras. plicaciones Ten en cuenta Dos rectas secantes forman dos ángulos adyacentes si son consecutivos

Más detalles

Primer entrenamiento en Michoacán (abril 2014)

Primer entrenamiento en Michoacán (abril 2014) Primer entrenamiento en Michoacán (abril 2014) 1 En la figura, y EF GH son dos cuadrados iguales El área de la región sombreada es 1 uál es el área del cuadrado? (a) 1 2 (b) 2 3 (c) 3 4 (d) 1 (e) depende

Más detalles

Seminario de problemas Curso Hoja 1

Seminario de problemas Curso Hoja 1 Seminario de problemas urso 2016-17. Hoja 1 1. En el trapecio rectángulo P RS trazamos las diagonales, siendo 5 y 10 las áreas de dos de los triángulos que determinan, como se muestra en la figura. uál

Más detalles

XXX CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 9 de junio de 2012

XXX CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 9 de junio de 2012 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL I (º de E.S.O.) Primera parte ( hora 0 minutos) Problema. Hay enteros consecutivos, como y 5 por ejemplo,

Más detalles

Ensayo 1 -

Ensayo 1 - 1. uántos divisores tiene el número menos veinticuatro? ) 2 ) 6 ) 8 D) 12 E) 16 2. Una ecuación lineal de primer grado corresponde a una línea recta de la forma y = ax + b. Qué valores toma la siguiente

Más detalles

Primer Nivel. Solución: Por los valores de los lados del triángulo, éste debe ser un triángulo rectángulo, y en consecuencia su área es (3 4 ) 6

Primer Nivel. Solución: Por los valores de los lados del triángulo, éste debe ser un triángulo rectángulo, y en consecuencia su área es (3 4 ) 6 Primer Nivel Problema 1- Los lados de un cuadrado de área 4cm se han dividido en cuatro partes iguales. Halla el área del cuadrado sombreado. Solución: Trazando los segmentos adicionales indicados en la

Más detalles

Prueba Específica de Matemática

Prueba Específica de Matemática Universidad de San arlos de Guatemala Escuela de iencias Físicas y Matemáticas ódigo de examen: PEM-EFM-2018-01-100 NOV: X X X X X X X X X X X Nota: XXX Nombres: Apellidos: Solo marque una opción: Hombre

Más detalles

Ejercicios de Geometría Plana

Ejercicios de Geometría Plana jercicios de Geometría lana 1. n la (, ),,,, y son puntos de la circunferencia, =. rueba que: y diámetros a) GH es isósceles. b) HG es un trapecio isósceles. c) GH. 2. n la figura y paralelogramos, y puntos

Más detalles

XXXII CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 14 de junio de 2014

XXXII CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 14 de junio de 2014 XXXII ONURSO PUIG M RSOLUIÓN PROLMS Madrid, 1 de junio de 01 NIVL I (3º de.s.o.) Primera parte (1 hora 30 minutos) Problema 1. n la figura adjunta puedes ver una semicircunferencia de centro O y diámetro,

Más detalles

TORNEOS GEOMÉTRICOS Soluciones - Primer Nivel

TORNEOS GEOMÉTRICOS Soluciones - Primer Nivel TORNEOS GEOMÉTRICOS 2014 Soluciones - Primer Nivel Problema 1: Halla las áreas de los cuadrados cuyos vértices son los puntos medios de los lados de otro cuadrado, como indica la figura, sabiendo que el

Más detalles

SOLUCIONES DICIEMBRE 2016

SOLUCIONES DICIEMBRE 2016 Página 1 de 8 SOLUCIONES DICIEMBRE 2016 Soluciones extraídas del libro: XVII CONCURSO DE PRIMAVERA 2013 Obtenible en http://www.concursoprimavera.es#libros Autores: Colectivo Concurso de primavera. Comunidad

Más detalles

NOMBRE Y APELLIDOS: debe medir el tercero para que ese triángulo sea un triángulo rectángulo?

NOMBRE Y APELLIDOS: debe medir el tercero para que ese triángulo sea un triángulo rectángulo? FICHA REFUERZO TEMA 8: TEOREMA DE PITAGORAS. SEMEJANZA. CURSO: 2 FECHA: NOMBRE Y APELLIDOS: Ejercicio nº 1.-Los dos lados menores de un triángulo miden 8 cm y 15 cm. Cuánto debe medir el tercero para que

Más detalles

TEMARIO DEL CURSO UTILIZAS TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. TEOREMA DE PITÁGORAS.

TEMARIO DEL CURSO UTILIZAS TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. TEOREMA DE PITÁGORAS. UNIDAD DE COMPETENCIA I Ángulos: Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) Por la suma de sus medidas. Complementarios Suplementarios Triángulos: Por la medida

Más detalles

XI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XI Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUEBA POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1. Antonio escribe en la pizarra un número N de cinco cifras. Marta copia el número de Antonio y le añade un 1 a la derecha y obtiene un número de seis

Más detalles

TORNEOS GEOMÉTRICOS 2015 Segunda Ronda 5º Grado SOLUCIONES

TORNEOS GEOMÉTRICOS 2015 Segunda Ronda 5º Grado SOLUCIONES TORNEOS GEOMÉTRICOS 015 Segunda Ronda 5º Grado SOLUCIONES Problema 1- Un paralelogramo de 5 cm de área, tiene por vértices al centro de un hexágono regular y a otros tres vértices del hexágono, como muestra

Más detalles

Unidad nº 6 Figuras planas 13

Unidad nº 6 Figuras planas 13 Unidad nº 6 Figuras planas 13 Cuestiones 3 1 Puede ser que la suma de los ángulos de un polígono sea 40º Justifica tu respuesta. Debería cumplirse 180º (n ) = 40º, que no se cumple para ningún valor entero

Más detalles

LIV OME - FASE CERO, COMUNIDAD DE MADRID

LIV OME - FASE CERO, COMUNIDAD DE MADRID LIV OME - FSE ERO, OMUNIDD DE MDRID 24 de noviembre de 2017 1. olocamos cifras en los huecos del número 2, una en cada hueco, para formar un número de tres cifras. De cuántas formas podemos hacerlo para

Más detalles

RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 2º ESO

RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 2º ESO RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE º ESO BLOQUE I. NÚMEROS. * Divisibilidad y números enteros Ejercicio nº 1.- Calcula todos los divisores de 5. Ejercicio nº.- Calcula: a mín.c.m. 0, 60, 90 b máx.c.d.

Más detalles

Tema 2 2 Geometría métrica en el pla no

Tema 2 2 Geometría métrica en el pla no Tema Geometría métrica en el pla no CONCEPTOS BÁSICOS Figuras básicas en el plano: puntos, rectas, semirrectas, segmentos y ángulos Los polígonos y su clasificación según los ángulos internos y según el

Más detalles

Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS

Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS 1.- ÁLGEBRA. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LENGUAJE ALGEBRAICO ÁLGEBRA es la parte de las matemáticas que estudia las expresiones algebraicas. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

LIII OME - SEGUNDA PRUEBA FASE LOCAL, COMUNIDAD DE MADRID =

LIII OME - SEGUNDA PRUEBA FASE LOCAL, COMUNIDAD DE MADRID = LIII OME - SEGUND PUE FSE LOCL, COMUNIDD DE MDID 1 de diciembre de 016 1. El producto de dos números del conjunto {1,, 3,..., 6} es igual a la suma de los restantes. Encuentra dichos números. La suma de

Más detalles

EJERCICIOS PENDIENTES 3º E.S.O. GEOMETRÍA

EJERCICIOS PENDIENTES 3º E.S.O. GEOMETRÍA 3º E.S.O. GEOMETRÍA ) Halla la medida del ángulo Âen el triángulo de la figura. ) En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 6º 4. Calcula el valor de los otros dos ángulos. 3) Halla la medida

Más detalles

Preguntas Propuestas

Preguntas Propuestas reguntas ropuestas 2 ... olígonos 1. alcule la suma de lados de dos polígonos si se sabe que las sumas de las medidas de sus ángulos interiores difieren en 540º y el número de diagonales del polígono de

Más detalles

SEGUNDA OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMÁTICAS

SEGUNDA OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMÁTICAS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA LA ETAPA DE ZONA TERCER GRADO 1. Cuánto mide el área sombreada A entre el área sombreada B en la siguiente figura? Para referenciar las argumentaciones se le inscriben letras

Más detalles

2. (10pts.) Cuál es el producto de los divisores comunes de 99 y 275?

2. (10pts.) Cuál es el producto de los divisores comunes de 99 y 275? 3raEtapa (Examen Simultáneo) 1ro de Secundaria 1. (10 pts.) Si son números para los cuales : Hallar a) 20 b) 18 c) 16 d) 11 d) 17 e) Ninguno 2. (10pts.) Cuál es el producto de los divisores comunes de

Más detalles

Soluciones Primer Nivel

Soluciones Primer Nivel Soluciones Primer Nivel Torneos Geométricos 2017 2º Ronda 1. En un papel cuadriculado con cuadrados de un centímetro de lado, se ha dibujado un cuadrilátero con vértices en los nodos del mismo (vértices

Más detalles

2. El menor número que se le debe sumar a 2553 para que desaparezca el dígito 5 es: a) 550 c) 150 e) 50 b) 510 d) 110 f) n.d.l.a.

2. El menor número que se le debe sumar a 2553 para que desaparezca el dígito 5 es: a) 550 c) 150 e) 50 b) 510 d) 110 f) n.d.l.a. XIV OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA SEGUNDA RONDA COLEGIAL - DE AGOSTO DE 00 - NIVEL Nombre y Apellido:... Curso/Grado:...Sección:... Puntaje:... Tienes 80 minutos para resolver los problemas. Escribe

Más detalles

Enunciados de los Problemas

Enunciados de los Problemas Enunciados de los Problemas Presentamos aquí algunos problemas para mostrar el tipo de matemáticas que se manejan en la fase estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. l final encontrarás las soluciones.

Más detalles

Tutorial MT-a1. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Circunferencia y círculo II

Tutorial MT-a1. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Circunferencia y círculo II 134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-a1 Matemática 006 Tutorial Nivel vanzado ircunferencia y círculo II Matemática 006 Tutorial ircunferencia y círculo Marco Teórico 1. lementos de la circunferencia

Más detalles

Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =

Más detalles

El polígono es una porción del plano limitado por una línea poligonal cerrada.

El polígono es una porción del plano limitado por una línea poligonal cerrada. UNIDAD 12: GEOMETRÍA PLANA 12.1. Los polígonos: Elementos El polígono es una porción del plano limitado por una línea poligonal cerrada. Un polígono se nombra con las letras mayúsculas situadas en los

Más detalles

TAREA DE VERANO MATEMÁTICAS REFUERZO 3º ESO

TAREA DE VERANO MATEMÁTICAS REFUERZO 3º ESO TAREA DE VERANO MATEMÁTICAS REFUERZO º ESO Realiza las siguientes operaciones: 7 8 7 0 0 0 8 Calcula el valor de las siguientes epresiones: : Realiza las siguientes operaciones: 7 Un embalse está lleno

Más detalles

SOLUCIONES PRIMER NIVEL

SOLUCIONES PRIMER NIVEL SOLUCIONES PRIMER NIVEL 1. Los cuatro polígonos de la figura son regulares. Halla los valores de los tres ángulos, de vértice A limitados por dos lados de los polígonos dados, indicados en la figura. Solución:

Más detalles

Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =

Más detalles

PSU Matemática NM-4 Guía 18: Circunferencia

PSU Matemática NM-4 Guía 18: Circunferencia 1 entro Educacional San arlos de ragón. Dpto. Matemática. Prof. Ximena Gallegos H. PSU Matemática NM-4 Guía 18: ircunferencia Nombre: urso: Fecha: - ontenido: Geometría. prendizaje Esperado: Utiliza el

Más detalles

Examen de Mitad de Periodo, MM-111

Examen de Mitad de Periodo, MM-111 Examen de Mitad de Periodo, MM-111 arlos ruz October 27, 2015 Nombre: Registro Estudiantil: Instrucciones: Resuelva cada ejercicios de forma clara honesta y ordenada mostrando todo su procedimiento de

Más detalles

TORNEOS GEOMÉTRICOS 2018 Segunda Ronda. Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad. Apellido Nombres. Calle..N Piso.Dpto..CP.. Localidad.Provincia.

TORNEOS GEOMÉTRICOS 2018 Segunda Ronda. Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad. Apellido Nombres. Calle..N Piso.Dpto..CP.. Localidad.Provincia. TORNEOS GEOMÉTRICOS 2018 Segunda Ronda Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Apellido Nombres. DNI.. Tu Escuela. Tu Domicilio Calle..N Piso.Dpto..CP.. Localidad.Provincia. Lee con atención: 1- Es posible

Más detalles

TORNEOS DE LAS CUENCAS - TORNEO DE PRIMAVERA SOLUCIONES

TORNEOS DE LAS CUENCAS - TORNEO DE PRIMAVERA SOLUCIONES TORNEOS DE LAS CUENCAS - TORNEO DE PRIMAVERA 2012 SOLUCIONES PRIMER NIVEL (Primera Prueba) Problema 1-Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, en el triángulo de la figura el

Más detalles

FIGURAS PLANAS EJERCICIOS RESUELTOS - 3º E.S.O. 1 Calcula el valor de x en estos polígonos: 2 Calcula x en cada caso: a) b) a) b) c) 8 m.

FIGURAS PLANAS EJERCICIOS RESUELTOS - 3º E.S.O. 1 Calcula el valor de x en estos polígonos: 2 Calcula x en cada caso: a) b) a) b) c) 8 m. EJERIIOS RESUELTOS - 3º E.S.O. FIGURS PLNS 1 alcula el valor de en estos polígonos: a) b) 8 cm c) d) 10 dm 15 cm dm 8 m a) 6 3 7 5, m 3 m b) 8 + 15 89 17 cm c) 1 dm 5 dm 1 +5 169 13 dm d) 8 +8 18 11,3

Más detalles

EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO. 2ª PARTE

EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO. 2ª PARTE EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO. 2ª PARTE CURSO 2015/2016 NOMBRE: IES ALCARRIA BAJA. MONDÉJAR UNIDAD 5. LENGUAJE ALGEBRAICO 1º) Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

Más detalles

Unidad didáctica 9 Geometría plana

Unidad didáctica 9 Geometría plana Unidad didáctica 9 Geometría plana 1.- Ángulos Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman. El vértice

Más detalles

Seminario de problemas. Curso Hoja 5

Seminario de problemas. Curso Hoja 5 Seminario de problemas. Curso 2014-15. Hoja 5 29. Encuentra los números naturales N que cumplen las siguientes condiciones: sus únicos divisores primos son 2 y 3, y el número de divisores de N 2 es el

Más detalles

FIGURAS PLANAS. Es una figura plana delimitada por una línea poligonal cerrada.

FIGURAS PLANAS. Es una figura plana delimitada por una línea poligonal cerrada. 1.- Qué es un polígono? FIGURAS PLANAS Es una figura plana delimitada por una línea poligonal cerrada. Los elementos de un polígono son: - Lado: Se llama lado a cada segmento que limita un polígono - Vértice:

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 7 Pág. Página 70 PRTI Semejanza de figuras opia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la derecha para que sean semejantes. En un mapa cuya escala es : 500 000, la distancia

Más detalles

Unidad 7 Figuras planas. Polígonos

Unidad 7 Figuras planas. Polígonos Polígonos 1.- Halla la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos convexos. a) Cuadrilátero b) Heptágono c) Octógono.- Halla la medida de los ángulos interiores de: a) Un octógono regular.

Más detalles

SGUICES023MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Generalidades y Ángulos en la Circunferencia

SGUICES023MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Generalidades y Ángulos en la Circunferencia SGUIES03MT-16V1 SLUINRI Generalidades y Ángulos en la 1 TL E RREIÓN GUÍ PRÁTI GENERLIES Y ÁNGULS EN L IRUNFERENI Ítem lternativa 1 SE E SE 3 4 5 6 7 omprensión 8 9 10 11 omprensión 1 13 14 15 E 16 17 18

Más detalles

Problemas propuestos en el XXXIII Concurso S E V E N E I G H T

Problemas propuestos en el XXXIII Concurso S E V E N E I G H T Problemas propuestos en el XXXIII Concurso NIVEL I (3º de E.S.O.) Primera parte ( hora 30 minutos) Problema (7 puntos) En la siguiente posible suma cada letra representa un dígito (0,,,, 9), letras diferentes

Más detalles

PSU Matemática NM-4 Guía 19: Circunferencia

PSU Matemática NM-4 Guía 19: Circunferencia 1 entro Educacional San arlos de ragón. pto. Matemática. Nivel: NM 4 Prof. Ximena Gallegos H. PSU Matemática NM-4 Guía 19: ircunferencia Nombre: urso: Fecha: - ontenido: Geometría. prendizaje Esperado:

Más detalles

PROBLEMAS DE MATEMÁTICA I

PROBLEMAS DE MATEMÁTICA I Academia Sabatina OMPR 2009 14 de febrero de 2009 PROBLEMAS DE MATEMÁTICA I 1 En un pueblo, la plaza tiene la forma de un cuadrilátero irregular como el de la figura. En sus esquinas hay cuatro parterres

Más detalles

Repaso NÚMEROS. Busca los números primos comprendidos entre 100 y 120. Los números primos entre 100 y 120 son: 101, 103, 107, 109 y 113.

Repaso NÚMEROS. Busca los números primos comprendidos entre 100 y 120. Los números primos entre 100 y 120 son: 101, 103, 107, 109 y 113. Repaso NÚMEROS Halla seis múltiplos de cada número. a) 5 b) c) 5 d) 72 e) f) 45 g) 6 h) 723 a), 5, 2, 25, 3, 35 b) 2, 3, 4, 5, 6, 7 c), 5, 2, 25, 3, 35 d) 44, 26, 288, 36, 432, 54 e) 2, 3, 4, 5, 6, 7 f)

Más detalles

FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS

FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS UNIDAD 9 FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS Objetivo General Al terminar esta Unidad entenderás y aplicaras los conceptos generales de las figuras geométricas planas, y resolverás ejercicios y problemas con figuras

Más detalles

5.5 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

5.5 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS 5.5 LÍNES TRIGONOMÉTRIS Sea (O, ) una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O(0, 0) radio la unidad. Si se construe un ángulo con vértice en el origen sentido positivo podemos obtener las

Más detalles

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 José Vasconcelos Calderón

Dirección General del Bachillerato Centro de Estudios de Bachillerato 5/3 José Vasconcelos Calderón 1 Problema 1. os piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72cm de perímetro y

Más detalles

GUIA PSU DE CIRCUNFERENCIA III MEDIO

GUIA PSU DE CIRCUNFERENCIA III MEDIO GUI SU IRUNRNI III MI 1. n la circunferencia de centro y diámetro. Si =10, entonces =? a) 1,5 b) 5 d) 50 e) 60.- n la figura m, es punto medio del arco. ntonces, arco m =? a),7 b) 54 c) 17,5 d) 7 3.- n

Más detalles

Tema 10: Problemas métricos en el plano

Tema 10: Problemas métricos en el plano Tema 10: Problemas métricos en el plano 10.1 Relaciones angulares Construye un polígono de cinco lados, divídelo en triángulos para averiguar la suma de los ángulos interiores del pentágono. Nuestro pentágono

Más detalles

Geometría. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

Geometría. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Geometría Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Ángulos Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas con el origen común. Lados Vértice Clasificación de los ángulos

Más detalles

Geometría. Ángulos. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid

Geometría. Ángulos. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Geometría Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Ángulos Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas con el origen común. Lados Vértice Clasificación de los ángulos

Más detalles

A 2 TEMA 10. POLÍGONOS ÁREAS Y PERÍMETROS TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS POLÍGONOS REGULARES CIRCUNFERENCIA CÍRCULO TEOREMA DE PITÁGORAS:

A 2 TEMA 10. POLÍGONOS ÁREAS Y PERÍMETROS TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS POLÍGONOS REGULARES CIRCUNFERENCIA CÍRCULO TEOREMA DE PITÁGORAS: TEMA 10. POLÍGONOS ÁREAS Y PERÍMETROS ELEMENTOS CLASIFICACIÓN TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS POLÍGONOS REGULARES CIRCUNFERENCIA CÍRCULO A b h A b a A perímetro apotema A r TEOREMA DE PITÁGORAS: a b c 1 POLÍGONOS

Más detalles

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:

Más detalles

Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría. 1. Por un punto fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta.

Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría. 1. Por un punto fuera de una recta pasa una única paralela a esa recta. Geometría Conceptos básicos Elementos de Geometría Debido a que los conceptos de Geometría están siempre presente en Matemáticas, Física e Ingeniería, se hará un repaso de estas materias y se presentará

Más detalles

EJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 3º ESO

EJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 3º ESO EJERCICIOS DE VERANO MATEMÁTICAS 3º ESO Página 1 de 14 Entregar el día del examen de recuperación de matemáticas. Será condición indispensable para aprobar la asignatura. 1. Calcula: NUMEROS ENTEROS. FRACCIONES.

Más detalles

ÁNGULOS EN POLÍGONOS. Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : Ejercicio nº 2.-

ÁNGULOS EN POLÍGONOS. Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : Ejercicio nº 2.- ÁNGULOS EN POLÍGONOS Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : a b c Ejercicio nº.- Halla el valor del ángulo en cada uno de estos casos: a b c Ejercicio nº 3.- Halla el

Más detalles

Soluciones Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad

Soluciones Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Problema 1. La diagonal del cuadrado mide cm. El cuadrado se descompone en cuatro triángulos rectángulos cuyos catetos miden 1cm. Las áreas de estos triángulos miden

Más detalles

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N 6

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N 6 MTEMÁTIS-FSÍMIL N 6 1. Si el conjunto universo es (los números complejos), entonces a cuál(es) de las siguientes opciones pertenece el complemento del conjunto de los números imaginarios? I) QUQ* II) )

Más detalles

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2013 CANGURO MATEMÁTICO CUARTO AÑO

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2013 CANGURO MATEMÁTICO CUARTO AÑO OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2013 CANGURO MATEMÁTICO CUARTO AÑO RESPONDE LA PRUEBA EN LA HOJA DE RESPUESTA ANEXA 1. El número 200013 2013 no es divisible entre A 2; B 3; C 5; D 7; E 11. 2. María dibujó

Más detalles

Ángulos 1º = 60' = 3600'' 1' = 60''

Ángulos 1º = 60' = 3600'' 1' = 60'' Ángulos Definición de ángulo Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. Medida de ángulos Para

Más detalles

PSU Nº h y k son dos números reales tales que hk > 0 y h < 0. Cuál de las siguientes expresiones representa un número negativo?

PSU Nº h y k son dos números reales tales que hk > 0 y h < 0. Cuál de las siguientes expresiones representa un número negativo? PSU Nº. h y k son dos números reales tales que hk > 0 y h < 0. uál de las siguientes expresiones representa un número negativo? k -h -(h + k) (h - k) Ninguna de las anteriores. uál de las siguientes expresiones

Más detalles

SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL A

SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL A XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL A 01 7 3 9 7 13 1. El resultado de la operación + 1 1 16 3 40 16 a) 319 30 b) 319 90

Más detalles

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N Si m hombres hacen un trabajo en n días, entonces (m + t) hombres pueden hacer el mismo trabajo en:

MATEMÁTICAS-FACSÍMIL N Si m hombres hacen un trabajo en n días, entonces (m + t) hombres pueden hacer el mismo trabajo en: MTEMÁTIS-FSÍMIL N 7 1. Si m hombres hacen un trabajo en n días, entonces (m + t) hombres pueden hacer el mismo trabajo en: ) (m + t) días ) (m - t) días ) mn m + t D) E) m + t mt n (m + t) t. Si m contiene

Más detalles

unidad 9 Problemas métricos en el plano

unidad 9 Problemas métricos en el plano unidad 9 Problemas métricos en el plano Propiedades de los ángulo en los polígonos Página 1 Los ángulos de un triángulo suman 180. Los ángulos de un polígono de n lados suman 180 (n 2), pues se puede descomponer

Más detalles

TORNEO DE PRIMAVERA CUENCA DEL PLATA PRIMER NIVEL Primera Prueba

TORNEO DE PRIMAVERA CUENCA DEL PLATA PRIMER NIVEL Primera Prueba TORNEO DE PRIMAVERA 2012 CUENCA DEL PLATA PRIMER NIVEL Primera Prueba Lee con atención: 1- Es posible consultar libros o apuntes y usar calculadora. 2- Solamente se pueden usar los elementos propios. 3-

Más detalles

Nivel: A partir de 4ESO. Solución: La relación entre la apotema y el lado del hexágono es la misma que entre la altura y

Nivel: A partir de 4ESO. Solución: La relación entre la apotema y el lado del hexágono es la misma que entre la altura y Página 1 de 9 SOLUCIONES MAYO 2017 Soluciones extraídas de los libros: XVI CONCURSO DE PRIMAVERA 2012 XVII CONCURSO DE PRIMAVERA 2013 Obtenibles en http://www.concursoprimavera.es#libros AUTORES: Colectivo

Más detalles

Guía Nº 11PSU NM 4: Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha:

Guía Nº 11PSU NM 4: Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha: entro Educacional San arlos de ragón. pto. de Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Guía Nº PSU NM 4: ircunferencia Nombre: urso: Fecha: prendizaje Esperado: etermina medidas angulares, utilizando propiedades

Más detalles

Guía Nº 11PSU NM 4: Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha:

Guía Nº 11PSU NM 4: Circunferencia. Nombre: Curso: Fecha: entro Educacional San arlos de ragón. pto. de Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Guía Nº PSU NM 4: ircunferencia Nombre: urso: Fecha: prendizaje Esperado: etermina medidas angulares, utilizando propiedades

Más detalles

27.- La diferencia entre el lado de un triangulo equilátero y su altura es 12 cm. Cuanto mide el perímetro del triangulo?

27.- La diferencia entre el lado de un triangulo equilátero y su altura es 12 cm. Cuanto mide el perímetro del triangulo? EJERCICIOS 1.- Calcular la altura a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. 5 2.- En un triángulo rectángulo, un cateto mide 15 cm., y la proyección del otro sobre la hipotenusa

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

3. Si la diferencia de volúmenes de los cilindros A) 2 3 B) En el gráfico se tiene un tronco de cilindro. A) 196p B) 200p C) 250p

3. Si la diferencia de volúmenes de los cilindros A) 2 3 B) En el gráfico se tiene un tronco de cilindro. A) 196p B) 200p C) 250p ilindro y tronco de cilindro 1. En el gráfico se muestra un cilindro recto de base circular, además, T es punto de contacto de la recta PT en la superficie cilíndrica. Si PT=15 y P=8, calcule la distancia

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 Página 160 PRCTIC Ángulos 1 Calcula la medida de X en cada figura: a) 180 139 40' b) 180 17 a) b) ^ 40 0' X^ ^ ^ X^ ^ 53 Calcula la medida de X en cada caso: a) ^ ^ 140 ^ 150 b) ^ X^ ^ c) ^ 33 ^

Más detalles

Matemáticas, opción A

Matemáticas, opción A 1 de 9 14/09/2015 1:07 Educación Secundaria 4 Matemáticas, opción A Opción F Evaluación:...Fecha:... Ejercicio nº 1.- a) Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales: b)

Más detalles

n Por ejemplo, en un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del pentágono son 108º.

n Por ejemplo, en un pentágono tenemos que saber que sus ángulos suman 540º y cada ángulo del pentágono son 108º. MATEMÁTICAS 3º ESO TEMA 10 PROBLEMAS MÉTRICOS EM EL PLANO- 1. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS La suma de los ángulos de un polígono de n lados es: 180º (n-2) 180º(n - 2) La medida de cada ángulo de un polígono

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O.

MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O. MATEMÁTICAS 1º DE E.S.O. 1 REFUERZO EDUCATIVO DE MATEMÁTICAS DE 1º DE E.S.O. TEMA 1 DIVISIBILIDAD. - Concepto de múltiplo. - Concepto de divisor. - Concepto de número primo y compuesto. - Criterios de

Más detalles

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2010 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR QUINTO AÑO

OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2010 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR QUINTO AÑO OLIMPÍADA JUVENIL DE MATEMÁTICA 2010 CANGURO MATEMÁTICO PRUEBA PRELIMINAR QUINTO AÑO RESPONDE LA PRUEBA EN LA HOJA DE RESPUESTA ANEXA 1. Examinando la figura se puede concluir que 1+3+5+7 = 4 4. Cuál es

Más detalles

Ensayo 2:

Ensayo 2: 1. Si (x -2) + (x - 3) = 1, entonces el valor de x es: ) -5 ) 6/5 ) 5 D) -6 E) 3 2. Dados los siguientes números racionales, tres quintos y siete novenos, ordenados de menor a mayor, cuál de los siguientes

Más detalles