XVII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid
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- María del Pilar Prado Saavedra
- hace 5 años
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1 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). Las edades de arlos, Hugo y Elvira vienen dadas por números enteros. Hugo tiene 65 años y la suma de las edades de arlos y Elvira es 00 años. Hace 9 años la edad de Elvira era un número múltiplo de 7 que, además, no era primo con el número de la edad actual de Hugo. uál es la edad actual de arlos?. Los números = y = , de cifras cada uno, están formados sólo por sietes y ochos. uál es su máximo común divisor?. El perímetro del rectángulo es de 0 cm. ibujamos otros tres rectángulos cuyos centros son los vértices, y y sus lados paralelos a los del rectángulo, como muestra la figura que no está hecha a escala. Si la suma de los perímetros de estos tres rectángulos es 0 cm, cuál es el perímetro del polígono cuyos lados están marcados con línea gruesa?
2 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). En la figura adjunta se observan tres circunferencias tangentes entre sí y también tangentes a una recta. Si los radios de las circunferencias mayores miden 6 y 9, cuánto mide el radio de la pequeña?. En el rectángulo de la figura, = y = 0. El segmento E es perpendicular a la diagonal y el punto F la intersección de ambos segmentos. uál es la longitud del segmento EF? E F. uántos números de cinco cifras, que empiecen por 7, verifican que tanto [7abc], como [7bca] y [7cab] son múltiplos de 7? Por ejemplo: 796, 796 y 769 son tres de ellos. Nota. La expresión [7abc] representa al número cuyas cifras son, 7, a, b, c.
3 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS achillerato. (5 minutos). En la figura se observan dos semicircunferencias de centros y y radios y respectivamente. Otra semicircunferencia de diámetro, tangente exterior a ambas semicircunferencias y una circunferencia de centro P que es tangente a las tres semicircunferencias anteriores. uál es el radio de esta circunferencia de centro P? P. Sean x e y números reales tales que x y y que verifican las ecuaciones alcular x y.. eterminar el valor de x + y sabiendo que: x x y y y,8 x 8, Nota. a es la parte entera de a, es decir, el mayor entero menor o igual que a. x y x y. x y
4 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r?. Escribimos en una lista todos los números enteros desde el hasta el 07. Si suprimimos todos los cuadrados perfectos y también todos los cubos perfectos, cuántos números nos quedarán en esa lista?. Se considera el pentágono E de la figura en el que se indican las longitudes de sus lados. on centro en cada uno de sus vértices, dibujamos cinco circunferencias de forma que las que tienen por centro dos vértices del mismo lado son tangentes entre sí. uál es el centro de la mayor que hemos dibujado y cuál es su radio? 7 E 6. Las nueve casillas del cuadrado mágico de la figura están ocupadas por los nueve divisores de 00. (El producto de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es el mismo). Si el 0 y el ocupan las casillas que muestra la figura, qué número ocupará la casilla sombreada? 0
5 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos) 8 de noviembre de 07. Hay algún triángulo en el que las medidas de sus ángulos, en grados sexagesimales, vengan dadas por números enteros y que verifiquen que la suma de la medida de uno de ellos más el producto de las medidas de los otros dos sea 07? Indicación. Te puede ayudar saber que 99 es un número primo.. En el triángulo rectángulo, de catetos = y =, inscribimos dos circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. alcula el radio de las circunferencias.. En un trayecto en tren entre dos ciudades, una hora después de la salida, el tren se detuvo por un pequeño fallo mecánico que se solucionó en media hora pero que hizo que el tren continuara su viaje a la mitad de la velocidad normal. Por esta circunstancia llegó a su destino con dos horas de retraso. Expertos consultados aseguraron que si la avería se hubiera producido 00 km más adelante, la demora habría sido de sólo una hora. uál es la distancia que separa a estas dos ciudades? Nota. Suponemos que el tren circula siempre a velocidad constante.. alcula el área del cuadrado de la figura. 6
6 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid PRUE INIVIUL achillerato (90 minutos) 8 de noviembre de 07. Los números x, y, z, son enteros. uántas soluciones tiene el siguiente sistema? x xy y z x 6yz z x xy 8z 00. Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x, y) tales que x y 65.. En el triángulo rectángulo, de catetos =, =, inscribimos n circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. Para qué valor de n se verifica que el radio de cada una de ellas es? 07. El número! Tiene más de divisores (positivos). Si elegimos al azar uno de ellos, cuál es la probabilidad de que sea impar?
7 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 º y º de ESO.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- El peso total de un frasco y su contenido, que son 0 pastillas idénticas, es 80 gramos. uando el frasco contiene 5 pastillas vemos que el peso total es 65 gramos. uántos gramos pesa el frasco? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato).- Sea "T" la respuesta del problema Los números m, n, p y q son enteros positivos y diferentes. Si además satisfacen la ecuación 7 m7 n7 p7 q T, cuál es el valor de su suma? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato).- Sea "T" la respuesta del problema. T En el último examen de Matemáticas de mi clase la nota media ha sido 5. Si la nota media de 00 las chicas fue de 6 y la de los chicos de 5, cuántos estudiantes hay en mi clase si no puede haber más de 0? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema)
8 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 º y º de ESO.-..- Sea "T" la respuesta del problema. PRUE POR RELEVOS (60 minutos) En la figura adjunta se observa un semicírculo de radio T, y tres semicírculos iguales de radio T. uál es el área de la zona sombreada?. (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema).- En un cajón hay calcetines blancos, negros y 5 rojos. Sin mirar dentro del cajón, cuál es el número mínimo de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que sacamos dos del mismo color? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO).- Sea "T" la respuesta del problema. T os trenes viajan a velocidad constante. El más lento recorre en 5 minutos km menos que el más 7 rápido y tarda 5 segundos más que el más rápido en recorrer km. uál es, en km/h, la velocidad del tren más rápido? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO)
9 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 achillerato.- PRUE POR RELEVOS (60 minutos).- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura se observa un triángulo equilátero y un cuadrado de perímetro T que tiene un vértice común con el triángulo y otros dos en lados del triángulo. Si escribimos el perímetro del triángulo como a b con a y b enteros positivos, calcula el número b a? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO).- Sea "T" la respuesta del problema. T Los puntos, 9; 7, 76 y 9, 8 son los centros de tres círculos de radio. Una recta que pasa por el punto corta a los tres círculos de forma que la suma de las áreas de los trozos de círculo que deja a cada lado es la misma. uál es la pendiente de la recta? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema).- El producto de las edades de un padre y sus dos hijos es 08. Si actualmente el padre tiene menos de 5 años, qué edad tenía cuando nació el hijo mayor? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO)
10 XVII oncurso Intercentros de Matemáticas de la omunidad de Madrid 8 de noviembre de 07 PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). Las edades de arlos, Hugo y Elvira vienen dadas por números enteros. Hugo tiene 65 años y la suma de las edades de arlos y Elvira es 00 años. Hace 9 años la edad de Elvira era un número múltiplo de 7 que, además, no era primo con el número de la edad actual de Hugo. uál es la edad actual de arlos? H = 65 = 5 ; + E = 00; E 9 = 7k. Pero k solamente puede ser 5 ya que k = nos daría una edad de Elvira mayor que 00. Por lo tanto E = 9 y = 6 años.. Los números = y = , de cifras cada uno, están formados sólo por sietes y ochos. uál es su máximo común divisor? = = ; = = ; El mcd(, ) = = El perímetro del rectángulo es de 0 cm. ibujamos otros tres rectángulos cuyos centros son los vértices, y y sus lados paralelos a los del rectángulo, como muestra la figura que no está hecha a escala. Si la suma de los perímetros de estos tres rectángulos es 0 cm, cuál es el perímetro del polígono cuyos lados están marcados con línea gruesa? ada rectángulo pequeño añade al perímetro del rectángulo un trozo que es el triple del que quita. Por lo tanto: 0 0 p 0 0 cm. PRUE POR EQUIPOS º y º de E.S.O. (5 minutos). En la figura adjunta se observan tres circunferencias tangentes entre sí y también tangentes a una recta. Si los radios de las circunferencias mayores miden 6 y 9, cuánto mide el radio de la pequeña? = 6 9 = 7; Q = = 5. Llamando x al radio de la circunferencia pequeña, b = O y a = O se tiene: En O: a 6 x 6 x a x En Q: b b 6 En OPQ: 9 x 9 x b a 6 x x 6 x x 9 x x 6 x 9 6 x x 6 8 x x 6x x x x x 0x 0 La solución es x =. La otra no tiene sentido. x 6 b a O Q P
11 . En el rectángulo de la figura, = y = 0. El segmento E es perpendicular a la diagonal y el punto F la intersección de ambos segmentos. uál es la longitud del segmento EF? iagonal : 0 6 Área de : ( 0) 6 F Triángulo F: S F 0 88 F F F 6. Por semejanza de los E Q triángulos F y FE 0 50 F F 5 EF F EF uántos números de cinco cifras, que empiecen por 7, verifican que tanto [7abc], como [7bca] y [7cab] son múltiplos de 7? Por ejemplo: 796, 796 y 769 son tres de ellos. Nota. La expresión [7abc] representa al número cuyas cifras son, 7, a, b, c. 0 El número [7abc] = [abc] es múltiplo de 7 si y solamente si [abc] lo es. uscamos todos los múltiplos de 7 de tres cifras, incluyendo 000, 07 y , 07, 07,, 8, 85,, 59, 96,, 70, 07,, 8, 58, 555, 59, 69, 666, 70, 70, 777, 8, 85, 888, 95, 96, 999. En total hay 8 y todos cumplen la condición del enunciado. P F PRUE POR EQUIPOS achillerato. (5 minutos). En la figura se observan dos semicircunferencias de centros y y radios y respectivamente. Otra semicircunferencia de diámetro, tangente exterior a ambas semicircunferencias y una circunferencia de centro P que es tangente a las tres semicircunferencias anteriores. uál es el radio de esta circunferencia de centro P? Llamando h a la longitud del segmento PQ, x al radio buscado y teniendo en cuenta que O =, P = + x, OP = x, P = + x, =, O = y que además los triángulos PQ, OPQ y PQ son rectángulos, tenemos: P x h x h x h x x h x h x h x x x h x h x h 9 x h 6 x estas expresiones se obtiene h h 6 8x 0 x. 7 h h x x x x 8 x x. Sean x e y números reales tales que x y y que verifican las ecuaciones x y. alcular x x y x x xy x y y x y y xy y omo x y se deduce que x + y =. x y x y h h x y. x y x y x y x y y restando Por otra parte, x y 0x 0y x yx xy y 0x y x xy y 0 xy 0 y por lo tanto x y = 9. y x y x y 69 x y x. Finalmente, x y x y x y 58 O Q
12 . eterminar el valor de x + y sabiendo que: x x y y y,8 x 8, Nota. a es la parte entera de a, es decir, el mayor entero menor o igual que a. x y y,8 y y 0, 8 (La parte decimal de y es 0,8) x y x 8, x y 0,8 x 8, x y x 7,6 x x 0,6; y 7. x 7 7,8,8 x 9. e donde x = 9,6 y = 7,8 y por lo tanto x + y = 7,.
13 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r? Llamando r al radio, x =, y =, tenemos que x + y = 8, = = r. Entonces E + F = (r x) + (r y) = r (x + y) = r 8 El perímetro es E F arcofe r 8 r r r 8 r, de donde se obtiene que r 8 r 0 r 8 r r 6 E. Escribimos en una lista todos los números enteros desde el hasta el 07. Si suprimimos todos los cuadrados perfectos y también todos los cubos perfectos, cuántos números nos quedarán en esa lista? uadrados perfectos:,,,, En total. ubos perfectos:,,,,. En total. uadrados y cubos perfectos a la vez: 6, 6, 6. En total. uadrados o cubos perfectos: + = 5 Números de la lista que no son ni cuadrados ni cubos perfectos: 07 5 = 96.. Se considera el pentágono E de la figura en el que se indican las longitudes de sus lados. on centro en cada uno de sus vértices, dibujamos cinco circunferencias de forma que las que tienen por centro dos vértices del mismo lado son tangentes entre sí. uál es el centro de la mayor que hemos dibujado y cuál es su radio? r r 6 r r r r 7 Sumando las ecuaciones, y 5 y restando la y, se obtiene r r E E re r r r 0 y de aquí: r 6, r 8, r 9, re El centro de la mayor es y su radio 0.. Las nueve casillas del cuadrado mágico de la figura están ocupadas por los nueve divisores de 00. (El producto de los números de cada fila, cada columna y cada diagonal es el mismo). Si el 0 y el ocupan las casillas que muestra la figura, qué número ocupará la casilla sombreada? 7 6 F Los divisores son:,,, 5, 0, 0, 5, 50 y 00. El producto de todos es: y el producto de los de cada fila, diagonal o 9 9 columna es , luego el 50 ya está claro dónde va. En el cuadro central debe estar el divisor central, es decir, el 0. demás, en la columna central faltan dos divisores cuyo producto sea 000 y de los divisores que quedan solo pueden ser el 0 y el 00. Ya se puede completar de una forma sencilla, obteniendo el en la casilla pedida
14 PRUE INIVIUL º y º de E.S.O. (90 minutos). Hay algún triángulo en el que las medidas de sus ángulos, en grados sexagesimales, vengan dadas por números enteros y que verifiquen que la suma de la medida de uno de ellos más el producto de las medidas de los otros dos sea 07? Indicación. Te puede ayudar saber que 99 es un número primo. Sean x, y, z las medidas de los ángulos, o mejor, x, y, 80 x y. 80 x y xy 07 xy x y 87 x y 87 x y 99. omo 99 es primo solo queda la posibilidad que uno de los factores sea y el otro 99, lo cual es imposible.. En el triángulo rectángulo, de catetos = y =, inscribimos dos circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. alcula el radio de las circunferencias. Trazando el segmento E se obtiene el triángulo E, semejante al, en el que E = r y por lo tanto la razón de semejanza r ( r ) 5( r ) es. Por lo tanto E y. ( r ) Su perímetro es ( r ) y su área r ( r ). ( r ) que también se puede expresar como ( r ). Igualando ambas expresiones se obtiene ( r ) ( r ) r ( r ) ( r ) r r E. En un trayecto en tren entre dos ciudades, una hora después de la salida, el tren se detuvo por un pequeño fallo mecánico que se solucionó en media hora pero que hizo que el tren continuara su viaje a la mitad de la velocidad normal. Por esta circunstancia llegó a su destino con dos horas de retraso. Expertos consultados aseguraron que si la avería se hubiera producido 00 km más adelante, la demora habría sido de sólo una hora. uál es la distancia que separa a estas dos ciudades? Nota. Suponemos que el tren circula siempre a velocidad constante. Sean: v la velocidad habitual del tren t el tiempo que tarda el tren de a cuando está averiado. t el tiempo que tarda el tren de a cuando está averiado. Entonces v t vt 0,5 t v t v horas. t 0,5 t hora. Luego el tiempo que tardó de a, 00 km, fue de horas y por lo tanto v 50 v 00 km/h. omo consecuencia = 00 km/h h = 00 km y = 50 km/h h = 50 km. La distancia entre y es: = 50 km. alcula el área del cuadrado de la figura. l trazar la diagonal se obtienen dos triángulos rectángulos, y E, semejantes en los que la razón de semejanza es k =. 8 Por lo tanto E = y como E = entonces y E. Por Pitágoras 97 y la diagonal será 97. omo en un cuadrado 97 d l 97 l l que es el área del cuadrado. E 6
15 PRUE INIVIUL achillerato (90 minutos). Los números x, y, z, son enteros. uántas soluciones tiene el siguiente sistema? x xy y z x 6yz z x xy 8z 00 Sumando las tres ecuaciones se obtiene, x xy y y 6yz 9z 75 ( x y) ( y z) 75 omo x, y, z son enteros, ( x y) y ( y z) son cuadrados perfectos menores que 75 y uno de ellos mayor o igual a 8 para que la suma sea 75. Probando con 8, 00,, y 69 se observa que sus diferencias con 75 son: 9, 75, 5, y 5, ninguna de ellas es un cuadrado perfecto. Por lo tanto no tiene ninguna solución entera.. Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x, y) tales que x y 65. y y x x 5 y y 65 x x 65 Las combinaciones posibles para esos dos factores son: (65, ); (05, ); (, 5); (, 5). y y y omo x x la única posibilidad de obtener una potencia de dos es + 5 = 8 = 7, de donde se deduce que y = 6 y x = 59. En los demás casos las sumas que se obtienen, 66, 08 y 56, no son potencias de. El par buscado es (59, 6).. En el triángulo rectángulo, de catetos =, =, inscribimos n circunferencias iguales, tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo como se muestra en la figura. Para qué valor de n se verifica que el radio de cada una de ellas es? 07 Si nos fijamos tan solo en las proximidades del vértice, y como el triángulo E es semejante al, podemos decir que E = x, E = x, = 5x. Teniendo en cuenta el área del triángulo E podemos escribir: x x 5x (x)(x) r 6x r 6x r x. El lado = E + E = (n )r + r = n n. r r omo r entonces n E r. El número! Tiene más de divisores (positivos). Si elegimos al azar uno de ellos, cuál es la probabilidad de que sea impar? 8 9! El número total de divisores es: y el de impares 0 5, por lo que 0 5 p( I)
16 PRUE POR RELEVOS (60 minutos) RELEVO.-.- El peso total de un frasco y su contenido, que son 0 pastillas idénticas, es 80 gramos. uando el frasco contiene 5 pastillas vemos que el peso total es 65 gramos. uántos gramos pesa el frasco? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) Se deduce que 5 pastillas pesan = 5 gramos. ada pastilla pesa gramos, 0 pastillas 60 gramos, luego el frasco pesa = 0 gramos..- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura se observa un triángulo equilátero y un cuadrado de perímetro T que tiene un vértice común con el triángulo y otros dos en lados del triángulo. Si escribimos el perímetro del triángulo como a b con a y b enteros positivos, calcula el número b a? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) T = 0. El lado del cuadrado es 0. En el triángulo, , el lado = 0 0 por lo que 0 y el lado del triángulo equilátero es 0 0 y su perímetro a 90 b 0.- Sea "T" la respuesta del problema. En la figura adjunta se observa un semicírculo de radio T, y tres semicírculos iguales de radio T. uál es el área de la zona sombreada? Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T =. En la figura puede observarse, en blanco, dos triángulos equiláteros de lado, dos sectores circulares de radio r y amplitud 0º y otro sector del mismo radio y 60º de amplitud. El área de la zona en blanco es: El área pedida es
17 RELEVO.-.- En un cajón hay calcetines blancos, negros y 5 rojos. Sin mirar dentro del cajón, cuál es el número mínimo de calcetines que hay que sacar para estar seguros de que sacamos dos del mismo color? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) Si se sacan puede haber uno de cada color pero al sacar uno más es seguro que coincidirá con el color de alguno de los tres primeros. Hay que sacar..- Sea "T" la respuesta del problema Los números m, n, p y q son enteros positivos y diferentes. Si además satisfacen la ecuación 7 m7 n7 p7 q T, cuál es el valor de su suma? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de achillerato) T = y por tanto los únicos enteros positivos diferentes cuyo producto es son:,, ( ) y ( ). Los números m, n, p, q, tienen que ser 5, 6, 8 y 9, en cualquier orden, y su suma es 8..- Sea "T" la respuesta del problema y k la suma de las cifras de T. T Los puntos, 9; 7, 76 y 9, 8 son los centros de tres círculos de radio. Una recta que pasa por el punto corta a los tres círculos de forma que la suma de las áreas de los trozos de círculo que deja a cada lado es la misma. uál es la pendiente de la recta? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) T = 8 y por lo tanto (, 9). Una recta que pasa por el centro del círculo lo divide en dos partes de igual área por lo que los trozos en los que divide a los otros dos han de ser iguales y eso quiere decir que la distancia de esos centros a la recta ha de ser la misma y menor que (para que los corte). La recta es r : ( y 76) m( x 7) mx y 76 7m 0 m m d (, r ) d(, r ) m 9m m m m 6 m 8 8 Las dos posibilidades son: m 6 m 8 m y m 6 m 8 m En el primer caso d (, r ) En el segundo caso d (, r ) La pendiente de la recta es m =. 577
18 RELEVO.-.- El producto de las edades de un padre y sus dos hijos es 08. Si actualmente el padre tiene menos de 5 años, qué edad tenía cuando nació el hijo mayor? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) escomponemos 08 = 7 y se deduce, obviamente, que la edad del padre es y la de los hijos 7 y. uando nació el hijo mayor el padre tenía = 7 años..- Sea "T" la respuesta del problema. T os trenes viajan a velocidad constante. El más lento recorre en 5 minutos km menos que el más 7 rápido y tarda 5 segundos más que el más rápido en recorrer km. uál es, en km/h, la velocidad del tren más rápido? (Pasa en la tarjeta la respuesta a tu compañero de º- º de ESO) T = 7 Si expresamos el tiempo en horas, 5 minutos es hora y por lo tanto la5 segundos es hora. 0 Sea v la velocidad del más lento y v la del más rápido. e la primera observación se deduce que v( km) ( km) v( km) v v ( km/ h) ( v v) 6 e la segunda observación ( h) ( h) ( h) v 0 v v v 0 v v v v 0 Por lo tanto v v 6 0 v( v) 80 v v 80 0 v 60 (la solución negativa no se considera) y v = 6..- Sea "T" la respuesta del problema. T En el último examen de Matemáticas de mi clase la nota media ha sido 5. Si la nota media de las 00 chicas fue de 6 y la de los chicos de 5, cuántos estudiantes hay en mi clase si no puede haber más de 0? (Escribe la respuesta final en la tarjeta y entrégala junto con la resolución de este problema) 6 T = 6, por lo que la media ha sido 5 5, 6 00 Sean: x es el número de chicas, y el número de chicos. x 0,6 6 Entonces 6x + 5y = 5,6(x + y) 0,6x = 0,6y y como la suma (x + y) ha de ser y 0,6 9 menor que 0, la única solución posible es x = 6, y = 9 y por lo tanto x + y = 5.
19 OSERVIÓN En este problema sería muy interesante preguntar por el área de la zona sombreada puesto que si se halla el radio y después los valores de x y de y, que son y, se obtendría que el área es, 6 7. Se puede dejar para otra ocasión. 5. En la figura adjunta se observa un cuadrante de circunferencia de centro y radio r y un rectángulo inscrito en el cuadrante. Si el perímetro del rectángulo es 6 y el perímetro de la región sombreada es 0 +, cuál es el valor del radio r? Llamando r al radio, x =, y =, tenemos que x + y = 8, = = r. Entonces E + F = (r x) + (r y) = r (x + y) = r 8 El perímetro es E F arcofe r 8 r r r 8 r, de donde se obtiene que r 8 r 0 r 8 r r 6 E F
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