SOBRE WAVELETS E IMÁGENES

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1 SOBRE WAVELETS E IMÁGENES Ing. Walter J. D. Cova - Ing. Rodolfo A. Cavallero Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Córdoba Centro Universitario de Desarrollos en Automación y Robótica Compilado: Agosto de 2006 Primera revisión: Noviembre de 2006

2 Sobre Wavelets e Imágenes i Primera Revisión: comentarios. Con gran sorpresa por parte de quienes llevamos a término esta compilación que fuera originalmente concebida como un trabajo de difusión en lenguaje nacional para graduados, se le ha brindado difusión a través de la Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional, que realizó su publicación en la página a partir del mes de Septiembre de La realimentación por parte de nuestros lectores, posibilitada por la difusión a través de internet, nos lleva hoy a corregir una imperdonable omisión en nuestras referencias bibliográficas originada en un deficiente análisis de antecedentes por nuestra parte. Tal como expresamos en las notas introductorias de la versión original y a continuación repetimos: estas notas son el resultado de una compilación de materiales disponibles en Internet; y muy lamentablemente omitimos advertir que una de las fuentes subyacentes, como muy adecuadamente nos hiciera constatar un atento lector, es el texto de K. R. Castleman Digital Image Processing, editado en 1996 por Prentice Hall el que, a partir de esta Revisión, ha sido incluido en la sección de Referencias y Enlaces, junto con otras referencias. Vaya nuestro reconocimiento a los lectores por su eficaz colaboración, que nos permite preservar nuestra honestidad intelectual por una parte, mientras que en otro aspecto posibilita ofrecer a todos los interesados una información bibliográfica más completa. Agradeceremos cordialmente las observaciones que los lectores nos hagan llegar al correo cyc.wavelets@gmail.com y que nos ayuden a mejorar el contenido de esta publicación. Walter J. D. Cova + Rodolfo A. Cavallero UTN FRC - CUDAR Noviembre de 2006.

3 Sobre Wavelets e Imágenes ii Ex umbra in solem. A modo de presentación. Nuestra civilización tecnológica enfrenta permanentemente el desafío de reducir el volumen ocupado por la información que ella misma ha generado y genera, sin por ello afectar la calidad de su contenido. En su momento, la microfilmación constituyó un importante avance en la compactación de documentos sobre soporte de papel. La posterior universalización del empleo de soportes informáticos ha conducido al desarrollo de técnicas algorítmicas de compresión de la información digitalizada, llevando al redescubrimiento de métodos matemáticos originalmente concebidos para otras aplicaciones. La aplicación de la teoría de wavelets a la compresión de datos uni y pluridimensionales constituye un ejemplo de lo apuntado. El trabajo precursor de Haar (alrededor de 1909) referido a bases no condicionadas en espacios funcionales clásicos poseyó un neto cariz matemático y fue continuado por Goupillard, Grossman y Morlet con la formulación (1982) de lo que hoy se conoce como transformación wavelet continua (CWT) para el análisis de ondas sísmicas en la prospección petrolífera. La introducción de las wavelets discretas (DWT) es debida a Strömberg (1983), siendo importantísimo el aporte teórico y práctico de la belga Ingrid Daubechies con sus wavelets ortogonales de soporte compacto. La estructuración del análisis multiresolución por parte de Mallat Jean Baptiste J. Fourier (1989), y la interpretación tiempo-frecuencia de la CWT debida a Delprat (1991), constituyen sucesivos hitos de un terreno que continúa siendo fecundado por la intensa labor de Coifman, Graps, Meyer y Aboufadel, entre otros investigadores. Alfréd Haar Werner Heisenberg La transformada wavelet discreta (DWT) es comúnmente utilizada en ingeniería y ciencias de la computación para la codificación de señales, mientras que la transformada wavelet continua (CWT) es empleada en investigación científica para el análisis de señales. Las transformadas wavelet han sido adoptadas como herramientas para un vasto número de aplicaciones de naturaleza diversa, reemplazando a menudo a la transformada de Fourier convencional. Muchas áreas de la física han testimoniado este cambio de paradigma, incluyendo dinámica molecular, astrofísica, geofísica sísmica, óptica, mecánica de turbulencia y mecánica cuántica. Otras áreas que han experimentado este cambio son: procesamiento de imágenes, análisis de señales médicas, análisis de proteínas y de ADN, climatología, topografía y geografía, reconocimiento del habla, gráficos computacionales, procesamiento de señales y análisis multifractal. Uno de los usos principales de las wavelets es la compresión de datos. Al igual que otras transformaciones, la transformada wave-

4 Sobre Wavelets e Imágenes iii let puede ser utilizada para convertir señales en bruto (por ejemplo imágenes) y codificar los datos transformados obteniendo una compresión efectiva. Así han sido empleadas en la compresión de archivos de imágenes de huellas digitales por el FBI (alcanzando una relación de compresión de 26:1), y han sido incorporadas en la norma de compresión de imágenes JPEG 2000 reemplazando a la transformada discreta de coseno (DCT) utilizada en versiones precedentes, obteniendo no tan sólo una mejora de las performances de compresión y edición, sino logrando también la incorporación de capacidades de escalabilidad. Con referencia a la compresión de imágenes de video, esta área del procesamiento de señales se encuentra a la fecha (Agosto de 2006), en un estado que podríamos llamar de ebullición tecnológica manifestando una clara tendencia a la incorporación de las transformadas wavelet en la codificación de este tipo de señales. Así, entre los desarrollos que incluyen wavelets podemos mencionar a Dirac, que es un algoritmo prototipo para la codificación y decodificación de video en bruto; su objetivo es lograr la compresión/decompresión de señales PAL-TV standard. Snow es un codec experimental basado en wavelets que permite, en apariencia, alcanzar muy buenas resoluciones a bajas velocidades de transferencia (bits/s). Pixlet es un codec de video cuyo objetivo es posibilitar la proyección en tiempo real de películas HD de alta resolución a velocidades de transferencia similares a las de video digital (DV); de acuerdo a sus creadores, Pixlet alcanza relaciones de compresión de 20-25:1. Tarin (llamado así por uno de los héroes de la película La guerra de las Galaxias), es un desarrollo aún incompleto que intenta la compresión de video por wavelets en tres dimensiones (dos dimensiones espaciales y una temporal), en fuerte contraste con otros métodos basados en la codificación bidimensional por cuadros, con ulterior compensación de movimientos. Mladen Victor Wicerhauser Ingrid Daubechies Ronald Coifman Presentado así el panorama de las aplicaciones de las wavelets, pasemos a referirnos brevemente al contenido de las presentes notas. Siendo las wavelets de ascendencia matemática resulta natural concebir que su presentación debiera estar acompañada de toda la parafernarlia asociada al análisis funcional y salpicada de teoremas de existencia y unicidad. Sin negar la importancia del rigor demostrativo, ni menospreciar a quienes lo practican, hemos decidido presentar un enfoque de las transformadas wavelet basado en la plausibilidad: un enfoque a nivel de ingeniería, apto para Stéphane Mallat la vertebración escueta de las características esenciales de estos instrumentos y una introducción a sus aplicaciones en la compresión de señales uni y bidimensionales. Aunque el contenido es elemental, presupone de los lectores un conocimiento a nivel de grado de álgebra lineal, de las aplicaciones de la series

5 Sobre Wavelets e Imágenes iv y transformadas de Fourier, como asimismo conocimientos de análisis y diseño de filtros digitales. Los conceptos básicos se encuentran sintetizados en el Apéndice y quizás resultaría recomendable comenzar la lectura del texto justamente por el Apéndice. Estas notas son el resultado de una compilación de materiales disponibles en Internet. En rigor de honestidad debemos declarar que somos deudores del Politécnico de Milán por una buena parte del contenido y, entre otros, de los departamentos de matemáticas de las universidades de Princeton, Yale y la Grand Valley State University. Por último (y sin que ello le reste importancia) debemos expresar nuestro reconocimiento a Wiimedia Foundation Inc. por la cantidad de datos básicos, enlaces útiles y referencias bibliográficas disponibles en Amara Lynn Graps Si luego de recorrer la treintena de páginas subsiguientes, alguno de nuestros lectores decide continuar profundizando en el tema tratado, podremos entonces afirmar que la finalidad de estas notas se habrá visto cumplimentada. Walter J. D. Cova + Rodolfo A. Cavallero UTN FRC - CUDAR Agosto de 2006.

6 Sobre Wavelets e Imágenes 1 Contenido 1 INTRODUCCIÓN PORQUÉ SE PREFIEREN LAS WAVELETS? Funciones base con soporte compacto Forma de las funciones base Análisis tiempo-frecuencia TIPOS DE TRANSFORMACIONES Transformada de Fourier Transformada wavelet TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET Definiciones CWT bidimensional Interpretación por analogía con un banco de filtros Banco de filtros bidimensionales EXPANSIÓN EN SERIE DE WAVELETS Wavelets diádicas Definiciones Wavelets diádicas compactas Transformada de Haar TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET Teoría del banco de filtros Multiresolución Codificación por sub-bandas Algoritmo de transformada rápida wavelet Diseño de una transformada discreta wavelet Transformada discreta wavelet bidimensional Transformadas wavelet biortogonales SELECCIÓN DE WAVELETS APLICACIONES Compresión de imágenes Mejora de imágenes Fusión de imágenes APÉNDICE...38 REFERENCIAS Y ENLACES...40

7 Sobre Wavelets e Imágenes 2 1 Introducción. La transformada wavelet 1 es una de las técnicas más recientes propuestas para resolver problemas de compresión de imágenes, relevamiento de bordes y análisis de texturas. El interés por este nuevo instrumento matemático nace de la posibilidad que el mismo ofrece de superar algunas de las limitaciones que se enfrentan al emplear otras transformaciones, entre las que se destaca la muy conocida transformación de Fourier. El objeto de estas notas es una rápida introducción de los conceptos básicos para comprender la definición y las aplicaciones más ventajosas de la transformada wavelet. En primer lugar se ilustrará de qué manera sus prestaciones pueden superar a las de la transformada de Fourier. Se pasará posteriormente a definir tres tipos de transformadas wavelet, destacando las similitudes existentes con respecto de otras técnicas ya consolidadas. Por razones de simplicidad, cada concepto se presentará inicialmente referencido al caso monodimensional extendiéndolo posteriormente a dos dimensiones, dado nuestro interés particularmente orientado al campo de las imágenes. 2 Porqué se prefieren las wavelets? 2.1 Funciones base con soporte compacto. La transformada de Fourier emplea como funciones base ortonormales 2 ondas senoidales del tipo e j2πft en el caso continuo y e j2πfn en el discreto. Dichas funciones no poseen un soporte compacto en el sentido que son no nulas sobre su entero dominio. Las componentes de señales transitorias por el contrario, asumen valores diferentes de cero solamente durante un breve intervalo: muchas características importantes de una imagen, como por ejemplo los bordes, poseen una muy fuerte localización espacial. Ninguna de estas componentes se asemeja a una función base de la transformada de Fourier, por lo que no puede ser representada de una manera compacta por sus coeficientes: para crear una función nula sobre una gran parte de su intervalo de definición es necesario materializar una oportuna interferencia destructiva entre ondas senoidales. Para superar esta ineficiencia se emplea otra aproximación fundada en transformaciones con funciones base de duración limitada: las wavelets. Dichas funciones base se hacen variar, posteriormente, tanto en frecuencia como en amplitud. La Fig. 1 ilustra las diferencias entre ondas senoidales y wavelets. 1 Por razones de inclinación personal y de fidelidad a la nomenclatura encontrada en la literatura internacional, en estas notas hemos preferido la designación wavelet a la castellanización ondita. 2 Ver Apéndice.

8 Sobre Wavelets e Imágenes 3 Fig. 1. Ondas senoidales (arriba) y wavelets (abajo). 2.2 Forma de las funciones base. Los coeficientes de cualquier transformación son el resultado de un producto interno 3 entre la función de la que se quiere evaluar la transformada (función de entrada) y una función base. Este valor representa de cierta manera el grado de similitud entre las dos funciones. Si éstas son ortogonales el resultado es un coeficiente nulo, mientras que si la señal o la imagen está constituida por componentes que son similares a una o más funciones base, entonces los coeficientes correspondientes poseerán un valor relativamente grande. De la misma manera, la transformación inversa puede ser concebida como la suma de las funciones base ponderada por los coeficientes correspondientes: la sumatoria poseerá tantos más términos de amplitud elevada, cuanto más parecidas sean las componentes de la señal o de la imagen a las funciones base. En el caso en que muchos de estos términos puedan ser despreciados se obtiene el efecto ventajoso de una representación más compacta. Adicionalmente, si una componente no deseada, por ejemplo debida al ruido, es similar a una o a unas pocas funciones base, resulta fácilmente individualizable y por ende eliminable en el dominio de la transformada, reduciendo o anulando los coeficientes pertinentes. De lo expuesto, aparecen claramente las ventajas que pueden ser obtenidas empleando funciones base similares a las componentes esperadas de una señal o de una imagen. Resulta además evidente que no puede encontrarse una similitud o parecido entre componentes transitorias y las funciones base de la transformada de Fourier o de cualquier otra transformación basada en ondas continuas. 2.3 Análisis tiempo-frecuencia. El análisis tiempo-frecuencia es una técnica de elaboración de señales basada en el empleo de un espacio bidimensional: el plano tiempo-frecuencia. A pesar que este análisis preceda históricamente a la transformación wavelet, en la actualidad las dos técnicas pertenecen al mismo campo de investigación. El resultado del análisis tiempo-frecuencia es el mapeo de una componente transitoria de una señal sobre un punto del plano que corresponde a su instante de ocurrencia y a su componente de frecuencia predominante. La resolución de tiempo y de frecuencia está sujeta, al igual que cualquier fenómeno físico, al principio de indeterminación de Heisenberg por 3 Ver Apéndice.

9 Sobre Wavelets e Imágenes 4 lo que, dada una señal no es posible conocer exactamente cuál frecuencia existe en un determinado instante de tiempo, conociéndose tan solo cuál banda de frecuencias existe en un cierto intervalo finito. La Fig. 2 ejemplifica lo expresado. amplitud tiempo amplitud frecuencia tiempo Fig. 2. Espacio tiempo-frecuencia: (a) señal: (b) representación. En el análisis de imágenes, el espacio deviene tridimensional (dos dimensiones espaciales más una correspondiente a la frecuencia) y puede ser visualizado como una pila. Una componente localizada aparecerá principalmente en correspondencia con el nivel de la pila representativo de la frecuencia dominante. En la Fig. 3 se muestran dos filtros que permiten separar las componentes del ejemplo. Fig. 3. Análisis tiempo-frecuencia de una imagen: (a) señal; (b) representación.

10 Sobre Wavelets e Imágenes 5 3 Tipos de transformaciones. 3.1 Transformada de Fourier. Existen tres posibles transformaciones de Fourier: la transformación continua, el desarrollo en serie y la transformada discreta (DFT). La primera asocia dos funciones continuas: una señal y su espectro. En el caso monodimensional las fórmulas de transformación directa e inversa se expresan como: = (1) + j 2 π ( x f ) U ( f ) u( x) e dx = (2) + j 2 π ( x f ) u( x) U ( f ) e df La expansión en serie de Fourier representa una función periódica (o una función transitoria que pueda considerarse como un ciclo de una señal periódica) como una secuencia finita o infinita de coeficientes. Las relaciones directa e inversa se obtienen discretizando f=n f L = ( ) = ( ) (3) j2 π ( xn f ) Un U n f u x e dx 0 = n j2 ( xn f ) (4) n= 0 u( x) f U e π donde L es el período y f = 1/L. La DFT representa una función muestreada mediante un espectro muestreado, donde el número de muestras independientes (o grados de libertad) es el mismo en ambos dominios. La expresión de la transformada se obtiene haciendo x=i x variable discreta. Si la señal g(x) posee un ancho banda limitado y es muestreada correctamente de acuerdo al teorema de muestreo, entonces es g i =g(i x) y resulta G N 1 i 1 j 2π = g N i e (5) N i= 0 g i N 1 1 j 2π i = G N e (6) N = 0 In cada una de las transformadas que hemos descripto, las funciones base (senos y cosenos de frecuencias distintas) forman un conjunto de funciones ortonormales. Los coeficientes de cada una de las transformadas son calculados mediante un producto interno, que en el caso particular de la DFT es discreto como asimismo son discretas las correspondientes funciones base.

11 Sobre Wavelets e Imágenes Transformada wavelet. Análogamente a la transformación de Fourier, también para las transformadas wavelet existen tres tipos posibles: transformada continua wavelet (CWT), expansión en serie wavelet y transformada discreta wavelet (DWT). Las funciones base de la transformada wavelet puede o no ser ortonormales, a diferencia de las otras transformadas normalmente tratadas. Esto conduce a que la situación posea un tratamiento ligeramente más complicado, ya que es posible que una función de ancho de banda limitado sea representada por una expansión en serie de wavelet de infinitos términos. Puede además presentarse el caso que una transformada discreta wavelet necesite un número de coeficientes superior al número de muestras de la función de entrada. La clase de funciones que se intentará representar mediante una transformada wavelet se limitará aquí al conjunto de funciones cuyo módulo cuadrado es integrable a lo largo de todo el eje real. Esta clase particular de funciones será denotada mediante la notación 2 L R significando ( ) + 2 u ( x ) dx <, (7) es decir: señales de potencia finita. En las transformadas wavelet, el conjunto de funciones base es generado a partir de una única función prototipo llamada wavelet madre, que se indica con ψ(x), mediante translaciones y cambios de escala. Generalmente se trata de una función oscilatoria centrada en el 2 ψ ( x) L R. origen que decrece rápidamente a cero para x. Por ello ( ) 4 Transformada continua wavelet. 4.1 Definiciones. Si ψ(x) es una función real cuyo espectro de Fourier Ψ(f) satisface el siguiente criterio de admisibilidad C ψ 2 + Ψ( f ) = df < (8) f entonces ψ(x) se denomina wavelet madre. Nótese que dado que la variable f está presente en el denominador del integrando, se hace necesario que + ψ Ψ (0) = 0 ( x) dx = 0 (9) Además, como Ψ( )=0, puede observarse que el espectro de una función que satisface el criterio de admisibilidad se asemeja a la función de transferencia de un filtro pasabanda. De hecho, cualquier filtro pasabanda con respuesta impulsiva media nula, que tienda a cero con suficiente rapidez para frecuencias crecientes, puede emplearse como función wavelet madre.

12 Sobre Wavelets e Imágenes 7 Un conjunto de bases wavelet {ψ a,b (x)}, se genera mediante translaciones y cambios de escala de la wavelet madre ψ(x) de acuerdo a la expresión ψ a, b 1 x b = ψ a a (10) donde a>0 y b son número reales. La variable a determina la escala de la función base, mientras que b especifica su posición sobre el eje de las x. La transformada wavelet continua de u(x) respecto de la wavelet madre ψ(x) se expresa mediante: W ( a, b) = u( x), ψ ( x) = u( x) ψ ( x) dx (11) u a, b a, b Los coeficientes de la transformada son, una vez más, el resultado de un producto interno 4 entre la función a transformar y la función base considerada. La expresión de la transformada wavelet continua inversa es: da u( x) W (, ) 0 u a b ψ a, b( x) db 2 C a ψ + = (12) El factor de escala presente en la Ec.(10) asegura la igualdad de las normas de las funciones base. En efecto: 2 u x b + u x b = dx = a u ( x ) a. (13) a Por medio del ejemplo siguiente puede observarse el comportamiento de la CWT. Considérese la señal no estacionaria de la Fig. 4: está compuesta por cuatro componentes de frecuencias 30 Hz, 20 Hz, 10 Hz y 5 Hz. Fig. 4. Señal no estacionaria. 4 La notación <.,.> indica producto interno. Más detalles en el Apéndice.

13 Sobre Wavelets e Imágenes 8 La Fig. 5 es la transformada wavelet continua de la señal que acabamos de describir. Nótese que los ejes del gráfico son la translación y la escala, y no el tiempo y la frecuencia. De todas maneras es fácil convencerse que la translación está estrechamente ligada al tiempo, por cuanto indica dóde se encuentra localizada la wavelet madre. La escala por su parte puede ser reconducida a la recíproca de la frecuencia, por lo que las escalas más pequeñas corresponden a las frecuencias mayores y la frecuencia disminuye con el aumento de escala. La Fig. 6 muestra la misma WT que la Fig. 5 desde una perspectiva diferente para ilustrar las propiedades de resolución. Fig. 5. Transformada wavelet continua de la señal de Fig. 4. Fig. 6. Otra vista de la CWT de Fig. 5.

14 Sobre Wavelets e Imágenes CWT bidimensional. La transformada continua wavelet W u (a,b) de una función u(x) de una dimensión, es una función de dos variables, una más que la propia u(x). Para cada incremento de una variable, la transformada aumenta su dimensión en una unidad. Entonces, si u(x 1,x 2 ) es una función de dos dimensiones, su transformada continua wavelet se expresará como: + + (14) W ( a, b, b ) = u( x, x ) ψ ( x, x ) dx dx u x1 x2 1 2 a, bx, b x2 donde bx y b 1 x indican las translaciones en las dos dimensiones y 2 ψ 1 x1 bx x 1 2 bx 2 ( x, x ) = ψ, a a a a, bx, b x2 (15) siendo ψ(x 1,x 2 ) es una función wavelet madre bidimensional. La transformación inversa correspondiente es u( x, x ) = W ( a, b, b ) ψ ( x, x ) db db C 1 2 u x1 x2 a, bx, b x x 2 1 x2 3 ψ da a (16) La misma generalización puede ser extendida al caso n-dimensional. 4.3 Interpretación por analogía con un banco de filtros. Es posible producir una interpretación significativa de la transformada continua wavelet por medio de una analogía con un banco de filtros continuos. Para ello se define una función base wavelet de escala a, ψ a (x), ( ) 1 x ψ a x = ψ a a (17) que no es más que la función wavelet madre, ψ (x), con factor de escala a y normalizada por a 1/2 (nótese como, con el crecer de a, las funciones se ensanchan más y más). Sea además: ψ * 1 * x a( x) = ψ a( x) = a ψ a (18) es decir, igual al complejo conjugado de la wavelet madre reflejado sobre el eje de ordenadas. En caso de ser ψ (x) una función real y par, la conjugación y reflexión no tienen efec-

15 Sobre Wavelets e Imágenes 10 tos sobre ella. La transformada wavelet continua (11) puede ser reescrita de la manera siguiente: + Wu ( a, b) = u( x) ψ a( b x) dx = u( x) ψ a( x) (19) Para un valor de a dado, W u (a,b) es el resultado de la convolución de u(x) con la reflexión conjugada de la wavelet base de escala a. Cada valor de a define así un filtro pasabanda diferente y el conjunto de todas las salidas representa la transformada wavelet. La Fig. 7 muestra la transformada wavelet de u(x) como producto de un banco de filtros lineales. Fig. 7. Analogía entre un banco de filtros y la transformada wavelet continua de una señal. La transformación inversa (12) se expresa ahora como da u( x) = [ u( x) ψ ( )] ( ) 0 a x ψ a x b db 2 C a ψ 1 + = a C ψ [ u( x) ψ ( x) ψ ( x) ] a da 2 a (20) lo que implica que, la combinación de las salidas del banco, ulteriormente filtrada por ψ a (x) y escaleada reconstruye la señal u(x). Recordando el teorema del cambio escala de la transformación de Fourier, se demuestra que la frecuencia central del filtro pasabanda decrece, mientras la función de transferencia se hace más y más estrecha a medida que a aumenta. En efecto: de donde: Ψ a 1 f F { u( ax) } = U (21) a a ( f ) { ψ a ( x) } = a Ψ( af ) =F (22)

16 Sobre Wavelets e Imágenes Banco de filtros bidimensionales. La Fig. 8 ilustra el enfoque empleado, donde cada filtro ψ a (x 1,x 2 ) produce a su salida una versión pasabanda de la imagen original u(x 1,x 2 ). La pila de imágenes filtradas constituye la transformada wavelet. El resultado, desde el punto de vista del volumen de información, es el de incrementar la redundancia. En efecto, si la función de transferencia Ψ (f 1,f 2 ), correspondiente a ψ(x 1,x 2 ), fuera doquier no nula a menos del origen, la imagen original podría teóricamente recuperarse a partir de una cualquiera de las salidas mediante una operación de filtrado inverso (deconvolución). Alternativamente, si el ancho de banda de u(x 1,x 2 ) fuera limitado y perteneciera al intervalo cubierto por almenos una de las Ψ (f 1,f 2 ), entonces sería suficiente la salida de este solo filtro para recuperar la imagen original. Fig. 8. Analogía entre un banco de filtros y la CWT de una imagen. Como conclusión, puede decirse que las potencialidades de la transformada wavelet continua posibilitan la descomposición y análisis de señales o imágenes, pero no su representación compacta. Para una mejor ilustración de este aspecto, supóngase que la imagen de la Fig. 8 contuviera objetos circulares de diferentes tamaños y que la función wavelet madre haya sido elegida de modo tal de responder principalmente a formas circulares de radio unitario. El examen de la salida de cada filtro posibilita relevar la posición de tales objetos. En particular, cada objeto aparecerá tan solo en (o será evidenciado más fuertemente por) aquella salida que corresponda a su tamaño. 5 Expansión en serie de wavelets. 5.1 Wavelets diádicas. Al igual que para la transformada wavelet continua, el conjunto de funciones base es generado partiendo de una función prototipo escaleada en amplitud y transladada. La diferencia es que tanto las translaciones como los cambios de escala están especificados por números

17 Sobre Wavelets e Imágenes 12 enteros y no por valores reales. Se restringirá la definición de este tipo de transformada al caso de funciones base obtenidas mediante cambios de escala binarios del tipo 2 j y traslaciones diádicas de la wavelet madre ψ(x). Una translación diádica corresponde a un desplazamiento de valor /2 j igual a un múltiplo entero del factor de escala binario y por consiguiente del tamaño de la wavelet. La Fig. 9 muestra un conjunto de wavelets diádicas. Fig. 9. Cambios de escala binarios y translaciones diádicas de una wavelet. 5.2 Definiciones. Una función ψ(x) es una wavelet ortonormal, si el conjunto de funciones {ψ j, (x)} definido por: j / 2 j ψ j, ( x) = 2 ψ (2 x ) donde j, (, + ) son enteros (23) 2 forma bases ortonormales en L ( ) R. El entero j define la dilatación, mientras que especifica la translación. El conjunto de wavelets constituye bases ortonormales si se satisfacen dos propiedades: 1) ψ, ψ = δ δ (24) j, l, m j, l, m donde l y m son enteros y δ j, es el símbolo de Kronecer 5 ; 2 u( x) L R puede ser escrita como 2) Toda función ( ) + + = j, j,, (25) j = = u( x) c ψ ( x) donde nuevamente los coeficientes de la transformada están dados por un producto interno: + j / 2 j c j, = u( x), ψ j, ( x) = 2 u( x) ψ (2 x ) dx. (26) 5 Ver el Apéndice.

18 Sobre Wavelets e Imágenes 13 Las Ecs. (25) y (26) definen la expansión en serie de wavelets de u(x) con respecto de la wavelet madre ψ(x). Nótese que una función continua queda representada por una secuencia doblemente infinita de términos. El general el volumen de información de la transformada es sobreabundante. Eligiendo apropiadamente ψ(x), es posible truncar la serie sin incurrir en una grosera aproximación. Si, por ejemplo, u(x) posee duración finita y la función wavelet base está bien localizada (es decir tiende a cero rápidamente a medida que se aleja del origen), entonces muchos de los coeficientes con elevado (índice asociado con las translaciones) serán despreciables. De la misma manera, los coeficientes con valores elevados de j (índice correspondiente al cambio de escala) resultarán insignificantes por cuanto las funciones base correspondientes se hacen o bien extremadamente estrechas o excesivamente extendidas. 5.3 Wavelets diádicas compactas. Si ulteriormente se impone a las funciones u(x) y a las bases wavelet la condición de ser nulas en el exterior del intervalo [0,1], entonces la familia de funciones base ortonormales puede ser especificada por un único índice, n. Así resulta, donde j y son funciones del único índice n de acuerdo a: ψ / 2 ( x ) = j j n 2 ψ (2 x ) (27) j j n = 2 + para j = 0,1, = 0,1,,(2 1). (28) Cualquiera sea n, j es el mayor entero tal que 2 j n y = n 2 j. La transformada inversa está dada por: + u( x) = c ψ ( x) (29) n= 0 donde se supone que ψ 0 (x)=1. Los coeficientes de la transformada surgen del producto interno: cn = u x x = u x x dx. (30) + j / 2 j ( ), ψ n( ) 2 ( ) ψ (2 ) Una función continua queda entonces expresada mediante una secuencia simplemente infinita de términos, al igual que en la representación en serie de Fourier. Una vez más: si una o más de las ψ n (x) son semejantes a u(x) (o a sus componentes fundamentales), entonces es posible truncar la serie en pocos términos sin cometer excesivo error en la aproximación. Más aún, si u(i x) es una función discreta muestreada con N puntos, donde N es una potencia de dos, y si ψ(x) es una wavelet diádica compacta, entonces se puede calcular una transformada wavelet discreta empleando una versión discretizada de las Ecs. (29) y (30). Ambas ecuaciones se convierten en sumatorias de N términos. La transformada de Haar es un ejemplo demostrativo de lo que se acaba de expresar. n n

19 Sobre Wavelets e Imágenes Transformada de Haar. La transformada de Haar constituye un primer ejemplo de lo que hemos definido como transformada wavelet ortonormal, diádica y compacta. La Fig. 10 muestra un conjunto de funciones base de Haar. Ellas se obtienen a partir de la wavelet madre (n=0) reduciendo progresivamente la escala en potencias de dos. Cada wavelet más pequeña es posteriormente transladada en incrementos iguales a su extensión, de modo tal que el conjunto de bases de una escala dada cubra todo el intervalo. Para mantener la ortonormalidad para cada reducción de escala en una potencia de dos, la amplitud se multiplica por un factor 2. Fig. 10. Funciones base de la transformada de Haar. 6 Transformada discreta wavelet. En los tres puntos sucesivos se describirán algunas de las técnicas que han conducido a la introducción de la transformada discreta wavelet (DWT): Teoría del banco de filtros, Multiresolución, Codificación por sub-bandas. 6.1 Teoría del banco de filtros. Sean una señal compuesta por dos sinusoides de breve duración a las que se superpone ruido de fondo aleatorio y supongamos desear llevar a cabo el análisis de esta señal para determinar el número, frecuencia y posición de las sinusoides truncas (ver Fig. 11a). La transformación de Fourier representa indudablemente el contenido completo de la señal, pero de una manera que no se presta a una fácil interpretación (Fig. 11b). La información acerca de la posición, por ejemplo, queda escondida en el espectro de fase de una manera

20 Sobre Wavelets e Imágenes 15 complicada. El espectro de amplitudes puede mostrar picos individualizables correspondientes a la la componentes transitorias de la señal, pero esta determinación resulta confiable solamente para aquellas componentes que posean una amplitud y duración de tamaño suficiente como para dominar el espectro. Espectro de Amplitud Espectro de Fase Fig. 11. Señal formada por dos fragmentos de sinusoide con ruido superpuesto: a) Las tres componentes; b) Espectros de amplitud y fase Filtro pasabanda ideal. Supongamos que se ha particionado el eje de las frecuencias en un conjunto disjunto de intervalos adyacentes y que se ha empleado esta subdivisión para definir un conjunto de funciones de transferencia pasabanda ideales como se muestra en la Fig. 12b. Fig. 12. Partición del eje de frecuencias para generar una serie de filtros pasabanda: (a) Respuestas impulsivas; (b) Funciones de transferencia.

21 Sobre Wavelets e Imágenes 16 Fig. 13. Implementación de un banco de filtros pasabanda. De acuerdo al esquema de la Fig. 13, la señal de entrada se aplica simultáneamente sobre todos los filtros, siendo g i (x) la salida genérica. Las funciones de transferencia H i (f) están definidas de manera tal que su suma sea igual a uno para todas las frecuencias, de manera que se tendrá: + + H ( f ) = 1 gi( x) = u( x) (31) i i= 1 i= 1 Fig. 14. Salidas del banco de filtros. En la Fig. 14, que representa la salida de los filtros pasabanda, se puede observar que los dos tonos de sinusoide emergen de filtros separados y que su localización respecto del eje de tiempo resulta evidente en cada salida. Este sistema representa entonces una aproximación útil para descomponer una señal e identificar sus componentes de interés. Cada salida de los filtros pasabanda está dada por la convolución + gi( x) = u( t) hi ( x t) dt (32)

22 Sobre Wavelets e Imágenes 17 Dado que H i (f) es real y par, también lo será h i (x), por lo que puede tomarse su reflejo en la integral de convolución y reescribir la salida del filtro como + gi ( x) = u( t) hi ( t x) dt = u( t), hi ( t x) ; (33) por consiguiente cada punto x 0 de g i (x) es el resultado del producto interno entre u(t) y la versión de h i (t) transladada el valor x 0. Podemos además concebir a {g i (x)} (que es un conjunto bidimensional cuyos índices son i y x) como un conjunto de coeficientes de una transformada wavelet donde {h i (x)} es el conjunto de las wavelets. Adicionalmente, {g i (x)} resulta suficiente para reconstruir u(x), como se deduce de la Ec.(31) Filtros pasabanda con transiciones suaves. Una de las características que debe poseer una buena función wavelet, es la de encontrarse bien localizada, es decir tender rápidamente a cero por fuera de su región central. Como consecuencia h i (x x 0 ) no debería responder a componentes fuertes ubicadas lejos del punto x 0. Diseñar las funciones H i (f) con transiciones suaves reduce el ancho de h i (x). Dado que la suma de las H i (f) debe ser la unidad, las funciones de transferencia pasabanda resultantes tendrán superpuestas sus zonas de transición. Fig. 15. Filtros pasabanda con transiciones suaves: (a) Respuestas impulsivas; (b) Funciones de transferencia.

23 Sobre Wavelets e Imágenes 18 Un ejemplo de lo dicho se ha representado en la Fig. 15, donde las transiciones han sido suavizadas empleando un semiciclo de coseno. La Fig. 16 muestra las salidas del banco de filtros de la Fig. 15 en respuesta a una entrada igual a la señal de la Fig. 11. El mejoramiento de la localización resulta evidente. Queda también evidenciado que conceptualmente estamos moviéndonos en la dirección del análisis tiempo-frecuencia (o posición-frecuencia) de una señal compuesta. Fig. 16. Salidas del banco de filtros. 6.2 Multiresolución. Puede observarse que los objetos de una imagen resultan identificables empleando diferentes escalas de ampliación. En general, una aproximación multiresolucional aplicada a la representación o al análisis de una imagen intenta aplicar este concepto. Un ejemplo muy ilustrativo podemos encontrarlo en la cartografía. La escala de un mapa está dada por la relación entre la dimensión real del territorio y su representación sobre el papel. Para escalas elevadas, solamente resultan visibles las características más macroscópicas, mientras que los detalles solamente pueden emerger para escalas más bajas. En las wavelets este aspecto se realiza dilatando y contrayendo la wavelet madre para crear el conjunto de las funciones base. La wavelet madre ψ(x) se escalea como ψ(x/a): para a elevados la función base queda dilatada para detectar características extensas, para valores de a pequeños se analizan los detalles de la señal Algoritmo piramidal. Supongamos generar a partir de una imagen de pixels, 10 imágenes adicionales obtenidas partiendo sucesivamente bloques de 2 2 pixels. Si ahora se aplica un operador de 3 3 para determinar bordes o contornos, se encontrarán pequeños contornos en la imagen inicial, algo más extendido en las imágenes de y y contornos sucesivamente más amplios en las imágenes más pequeñas. Todos los contornos, grandes y pequeños, se encuentran presentes en la imagen original y no se requiere de ningún cambio de resolución para localizarlos. El problema está en la determinación de contornos amplios empleando operadores convencionales. Podría escalearse el operador, pero resulta más

24 Sobre Wavelets e Imágenes 19 eficiente escalear la imagen, ya que el empleo de un operador para contornos extensos sobre una imagen de alta resolución es muy oneroso desde el punto de vista computacional Codificación por pirámide laplaciana. El esquema piramidal de codificación introducido por Burt y Adelson, se basa sobre el uso de una función gaussiana. La imagen se somete a un filtro pasabajos con respuesta impulsiva gaussiana y el resultado se resta de la imagen original. Los detalles de alta frecuencia son conservados en la imagen diferencia, mientras que la imagen filtrada pasabajos puede ser submuestreada sin pérdida de información. El proceso se ilustra en la Fig. 17. Fig. 17. Esquema de codificación por pirámide laplaciana. Sean u 0 (i,j) la imagen original y g(i,j) la respuesta al impulso del filtro pasabajos gaussiano. En cada uno de los pasos del proceso de codificación, la imagen es descompuesta en dos componentes: baja frecuencia con semiresolución y alta frecuencia con resolución completa: u (i,j) y h (i,j). Para el primer paso vale: [ ] [ ] u ( i, j) = u g (2 i,2 j) y h ( i, j) = u ( i, j) u g ( i, j) (34) Este procedimiento se itera cada vez sobre una imagen submuestreada. Luego de n pasos sobre una imagen N N, donde N=2 n, u n (i,j) se reduce a un punto. La codificación piramidal de la imagen consiste en el conjunto de las h (i,j) y la imagen final de baja frecuencia u n (i,j). La decodificación se efectúa siguiendo el orden inverso de las operaciones precedentes. Cada imagen submuestreada u (i,j) a partir de la última, u n (i,j), es sobremuestreada (operación consistente en la intercalación de muestras nulas) y convolucionada con g(i,j). El resultado se suma con la imagen sucesiva u 1 (i,j) y el proceso se repite sobre la imagen resultante. Cada h (i,j) es la diferencia entre dos imágenes obtenidas por la convolución de una imagen con una gaussiana de extensión simple y doble. Ésto equivale a la convolución de la imagen con la diferencia de dos gaussianas (lo que a su vez es una aproximación al valor del laplaciano de una gaussiana), hecho del que se deriva el nombre del algoritmo piramidal descripto. Aunque el algoritmo conduzca al incremento de la cantidad de pixels necesarios para representar una imagen, resulta posible un nivel significativo de compresión. Ello resulta posible en cuanto las imágenes h (i,j) poseen un rango dinámico significativamente reducido

25 Sobre Wavelets e Imágenes 20 al igual que una baja correlación, por lo que se puede aplicar una cuantificación más grosera, pudiéndose también anular algunos pixels. 6.3 Codificación por sub-bandas. La codificación por sub-bandas intenta la descomposición de una imagen o una señal en componentes de banda limitada (filtrado pasabanda), de la que se brinda una representación exenta de redundancia que haga posible reconstruir sin error la señal original. Dada una señal de banda limitada u(x), para la cual se cumple { u( x) } = U ( f ) = 0 para f fmax F (35) resulta posible muestrear la señal con un paso de muestreo uniforme x para formar: = 1 = (36) 2 x u( i x) i 0,1,, N 1 fmax f N donde f N es la frecuencia de Nyquist. Nuestro análisis partirá de la subdivisión del eje de frecuencias en intervalos disjuntos; aunque pudiera emplearse cualquier longitud de intervalo de frecuencias, elegiremos el de magnitud f N / 2, como se muestra en la Fig La sub-banda inferior. Un filtro ideal pasabajos semibanda, h 0 (i x), (Fig. 18b) posee esa denominación porque deja pasar solamente las frecuencias comprendidas en la banda [ f N / 2, f N / 2], que es la mitad inferior del intervalo de frecuencias [ f N, f N ]. La respuesta impulsiva y la función de transferencia de h 0 son respectivamente: h x f = sinc π y H = rect x fn (37) donde la función rectangular rect(x) se define como y 1 x < 1/ 2 rect( x) = 1/ 2 x = 1/ 2 0 x > 1/ 2 (38) sin( x) sinc( x) = x (39) Aplicando este filtro a u(i x) (Fig. 18a) se obtiene la señal g 0 (i x) (Fig. 18c) que se encuentra limitada a la banda f = f N / 2. Esta última es una versión de baja resolución de u(i x)

26 Sobre Wavelets e Imágenes 21 Fig. 18. Codificación por sub-bandas: la sub-banda inferior. (a) Una señal muestreada y su espectro. (b) Filtro ideal pasabajos. (c) Señal filtrada pasabajos. (d) Función de diezmado. (e) Muestras impares substituidas con ceros. (f) Muestras impares eliminadas. que contiene la forma básica de u(i x) pero que carece de detalles. Ya que g 0 (i x) no posee energía por encima de f N / 2, puede ser muestreada con un intervalo de muestreo mayor, tal como 2 x sin generar alias. Podemos eliminar una de cada dos muestras y representar a g 0 con las restantes N/2 muestras (Fig. 18f). Este proceso se denomina submuestreo o decimación. Podemos modelar el submuestreo como una multiplicación entre la señal y

27 Sobre Wavelets e Imágenes 22 una función que anule las muestras impares, seguida por la eliminación de estas últimas. Como función de decimación se plantea (Fig. 18d): cuyo espectro vale: 1 u f ( i x) = 1 + cos( 2π fni x) 2, (40) 1 U f ( f ) = [ δ ( f ) + δ ( f fn ) + δ ( f + fn )]. 2 (41) Al multiplicar la señal g 0 (i x) por u f (i x), se realiza la convolución de los espectros respectivos. El resultado es un espectro simétrico, cuyo período reducido pasa de 2 f N a f N de la manera mostrada en la Fig. 18e. Además su amplitud se reduce a la mitad, es decir: 1 U f ( f ) G0 ( f ) = [ G0 ( f ) + G0 ( f fn ) + G0 ( f + fn )] (42) 2 En este punto se pueden eliminar las muestras impares sin pérdida de información (Fig. 18f): la frecuencia máxima se ha reducido y se han satisfecho las condiciones impuestas por el teorema del muestreo. Es posible reconstruir g 0 (i x) a partir de la señal submuestreada llevando a cabo las operaciones siguientes: Calcular el espectro discreto (N/2 puntos); Insertar ceros desde f N / 2 a f N para reconstruir G 0 (f) (Fig. 18c); Calcular la DFT inversa de G 0 (f) para obtener g 0 (i x). Una técnica más simple para recuperar g 0 (i x) consiste en sobremuestrear la señal codificada (Fig. 18f) insertando muestras nulas. La señal resultante (Fig. 18e) debe ser posteriormente filtrado por 2h 0 (i x), el filtro ideal pasabajos (Fig. 18b). Esto reconstruirá el espectro y por la tanto la señal g 0 (i x), (Fig. 18c). En el dominio de frecuencia lo enunciado se expresa de la manera siguiente: U ( f ) G ( f ) H ( f ) = f f 1 = [ G0 ( f ) + G0 ( f fn ) + G0( f + fn )] rect = G0 ( f ) 2 fn 2 (43) La sub-banda superior. Retornando a la sub-banda superior de u(i x) (véase Fig. 19a), puede aislarse la energía con un filtro pasabanda ideal (Fig. 19b), cuya respuesta impulsiva y función de transferencia son respectivamente: x f h1 ( i x) = δ ( x) sinc π y H1( f ) = 1 rect 2 x fn (44)

28 Sobre Wavelets e Imágenes 23 donde rect(x) ha sido definido mediante la Ec.(38). El filtro produce la señal g 1 (i x), cuyo espectro es diferente de cero únicamente en la mitad superior de la banda (Fig. 19c), que corresponde a la banda de u(i x) eliminada por el filtro pasabajos. Es por ello que g 0 (i x) y g 1 (i x), tomados conjuntamente, contienen la totalidad de la información presente en la señal original u(i x). Fig. 19. Codificación por sub-bandas: la sub-banda superior. (a) Una señal muestreada y su espectro. (b) Filtro ideal pasabajos. (c) Señal filtrada pasabajos. (d) Función de diezmado. (e) Muestras impares substituidas con ceros. (f) Muestras impares eliminadas.

29 Sobre Wavelets e Imágenes 24 Ello ocurre así pues, u( i x) = g ( i x) + g ( i x) = u( i x) h ( i x) + u( i x) h ( i x) (45) ya que: H ( f ) + H ( f ) = 1 por definición. (46) 0 1 Cuando g 1 (i x) (Fig. 19c) es submuestreada por la función u f (i x), que ya fuera definida en la Ec. (40), los espectros convolucionan. Formalmente podemos escribir 1 U f ( f ) G1 ( f ) = [ G1( f ) + G1 ( f fn ) + G1 ( f + fn )] (47) 2 El espectro es periódico con período f N / 2 y puede ser muestreado con paso 2 x sin que se produzcan alias. En definitiva la señal de N muestras u(i x) ha sido codificada empleando dos señales de N / 2 muestras cada una (Fig. 19f). Ya hemos visto que es posible recuperar g 0 (i x) de la señal pasabajo. Queda por demostrar que g 1 (i x) puede ser recuperado de la señal codificada pasaalto para concluir que también u(i x) es recuperable sin errores. Podemos obtener G 1 (f) y por lo tanto g 1 (i x) (Fig. 19c) simplemente filtrando su versión sobremuestreada a través de 2h 1 (i x) (Fig. 19b) para eliminar la energía de baja frecuencia. Matemáticamente: U ( f ) G ( f ) H ( f ) = f f 1 (48) = [ G1 ( f ) + G1( f fn ) + G1 ( f + fn )] 1 rect = G1 ( f ) 2 fn 2 En definitiva: empleando codificación por sub-bandas de dos canales, obtenemos una representación de la señal, representación que es no redundante e invertible, expresada en términos de las salidas submuestreadas de filtros discretos Codificación y decodificación por sub-bandas. La codificación de dos canales por sub-bandas requiere solamente el filtrado de u(i x) con h 0 (i x) y h 1 (i x), seguido por el submuestreo de cada salida. Esto conduce a la definición de las dos señales y [ ] (49) g ( x) = u( i x) h ( i + 2 ) x 0 0 i g1( x) = u( i x) h1[ ( i + 2 ) x] (50) i

30 Sobre Wavelets e Imágenes 25 La reconstrucción se realiza sobremuestreando las dos sub-bandas, interpolándolas con 2h 0 (i x) y 2h 1 (i x) respectivamente y sumando las dos señales resultantes (Fig. 20). En fórmulas: 0 0 ( ) 1 1 ( ) (51) u( i x) = 2 g ( x) h ( i + 2 ) x + g ( x) h ( i + 2 ) x Fig. 20. Codificación por sub-bandas en dos canales y reconstrucción. Existe un pequeño problema con la frecuencia central f = f N / 2 ya que tanto la codificación como la decodificación filtran a u(i x) dos veces, una con h 0 (i x) y la otra con h 1 (i x), teniendo H 0 (f N / 2)=1/2 y H 1 (f N / 2)=1/2. Este inconveniente se puede obviar redefiniendo 1 1 rect ± = Algoritmo de transformada rápida wavelet. Ha sido definido un algoritmo rápido para la transformada wavelet discreta que resulta más eficiente que el cálculo de un conjunto de productos internos. El algoritmo aplica una codificación por dos sub-bandas de una manera iterativa y construye la transformada wavelet calculando en primer lugar los coeficientes correspondientes a las escalas más pequeñas. Luego de un primer paso de codificación por sub-bandas como se ha descripto en las secciones precedentes, la sub-banda inferior de la señal, g 0 (i x), es ulteriormente codificada por sub-bandas. Esto conduce a una señal de la semibanda superior de N / 2 puntos y dos señales de N / 4 puntos correspondientes al primer y segundo cuarto del intervalo [0, f N ]. El procedimiento se repite y en cada paso la señal de la sub-banda superior se conserva mientras que el de la sub-banda inferior vuelve a ser codificado hasta obtener una señal de una sola muestra. Los coeficientes de la transformada son el punto de la banda inferior y el conjunto de las señales correspondientes a la sub-bandas superiores codificadas. Lo expresado se muestra en la Fig. 21. La respuesta al impulso h j (i x), se duplica en escala en cada iteración. Por ello se obtiene una transformada wavelet ortonormal cuya función madre es h(x)=δ(x) sinc(ax), siendo las funciones base son 2 j/2 h(2 j x n). La codificación por sub-bandas, que es una técnica de transformación tiempo-frecuencia, es así empleada para definir una transformada wavelet tiempo-escala. El algoritmo descripto (propuesto por Mallat) es también conocido con

31 Sobre Wavelets e Imágenes 26 los nombre de algoritmo espina de pescado o transformada rápida wavelet (FWT). La transformada inversa se obtiene realizando el proceso inverso (Fig. 22). Fig. 21. Algoritmo de transformada discreta wavelet. Fig. 22. Transformada discreta wavelet inversa Funciones base. El conjunto de los coeficientes de la transformada es obtenido convolucionando repetidamente la señal u(i x) con h 0 (i x) y con h 1 (i x), como puede observarse en la Fig. 21. Por tal razón las funciones base de la transformada wavelet resultan ser h 1 (i x) y las obtenidas por la convolución repetida de h 1 (i x) con h 0 (i x). 6.5 Diseño de una transformada discreta wavelet. Para el diseño de los filtros de un banco de filtros, hemos visto que no es necesario que ellos sean filtros pasabajos o pasabanda ideales. Para la DWT resulta así suficiente emplear un par de filtros que satisfaga la Ec. (51). En el dominio de frecuencias se tiene: 1 1 U ( f ) = 2 G0 ( f ) H0( f ) + G1 ( f ) H1( f ) 2 2 = 1 1 = 2 U ( f ) H0( f ) H0( f ) + U ( f ) H1( f ) H1( f ) 2 2 (52)

32 Sobre Wavelets e Imágenes 27 lo que conduce a: U ( f ) = U ( f ) H ( f ) + H ( f ) (53) y las dos funciones de transferencia de los filtros deben satisfacer la condición 2 2 H0 ( f ) + H1 ( f ) = 1 para 0 f fn. (54) Las funciones de transferencia están al cuadrado porque u(i x) es convolucionado dos veces con cada filtro, una vez durante la codificación y otra en la decodificación. Si H 0 (f) es la función de transferencia del filtro pasabajos con transiciones suaves que deseamos emplear para realizar la transformada, la H 1 (f) correspondiente estará dada por: H ( f ) = 1 H ( f ) (55) y el diseño de la realización de una transformada wavelet discreta queda reducido a la selección de un filtro pasabajos adecuado Filtros especulares en cuadratura (QMF). En el caso de filtros pasabanda ideales, se puede considerar a h 1 (i x) como una versión transladada de h 0 (i x) aplicando F F { } H ( f a) = e h( x) 1 j2π ax 1 j 2π 1 2 N i x x i { } ( ) H ( f f ) = e h( i x) = 1 h( i x) (56) por lo que la translación de un semiperíodo sobre el eje de frecuencias tiene por efecto cambiar el signo de las muestras impares. Podemos también emplear este enfoque para la construcción de filtros de sub-banda más generales. Eligiendo h 1 (i x) tal que, ( 1 ) = ( 1) i ( ) h1 N i x h0 i x (57) donde N es la longitud de h 0 (i x), se obtiene el correspondiente filtro pasa alto h 1 (i x) llamado filtro especular de h 0 (i x). Si h 0 (i x) es de duración breve, entonces nos aseguramos que h 1 (i x) tendrá la misma duración. La propiedad de simetría que debe cumplir H 0 (f) para garantizar la validez de (55) es: fn fn H0 + f = 1 H0 f 2 2 (58) Estos filtros se denominan filtros QMF (Quadrature Mirror Filters). El filtro H 1 (f) es obtenido de H 0 (f) tal como se muestra en la Fig. 23.