CABRI-GÉOMÈTRE: ANALIZAR PARA DIBUJAR

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1 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar CABRI-GÉOMÈTRE: ANALIZAR PARA DIBUJAR Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén PARA QUÉ DIBUJAR EN CLASE DE GEOMETRÍA? Esta pregunta parece tener una respuesta evidente: en Geometría es de gran ayuda ver las figuras a las que se refiere la propuesta en la que se trabaja, ya sea para demostrar, resolver, calcular, determinar elementos, etc. Sin embargo, esta respuesta es tan cierta como ambigua. Cierta porque si disponemos de la imagen, o mejor aún de la figura o del cuerpo, al que se refiere el problema, puede situarse mucho mejor la situación estudiada, precisando qué se conoce, qué se desconoce y qué relaciones pueden establecerse. Ambigua, porque pensar de este modo nos sitúa en una estrategia metodológica en la que no sólo se debe dibujar, sino también manipular y por lo tanto construir, analizar, descomponer, describir, clasificar, etc. Es decir, realizar una serie de acciones y operaciones mentales que son fundamentales a la hora de desarrollar la competencia geométrica del alumnado, especialmente en las etapas educativas obligatorias. Sobre todos estos aspectos constructivos y manipulativos suele pasarse muy por encima al abordar los contenidos geométricos, puesto que plantear el estudio de la Geometría sobre tales fundamentos se entiende como una inversión de tiempo que el profesorado no suele estar dispuesto a ceder, sobre todo cuando la urgencia de los programas obliga a recorrer de forma apresurada todos los tópicos de la asignatura en los diferentes cursos. De tal manera que las matemáticas escolares terminan aportando una serie de recursos y algoritmos sin apenas reflexión ni congruencia entre los diferentes aprendizajes. Esta situación es bien patente en el caso de la Geometría, cuyo estudio se orienta al dominio de unas fórmulas que permitan calcular medidas de longitud, superficie y volumen en figuras y cuerpos, haciendo de esas fórmulas los mayores hitos y los mejores logros del conocimiento geométrico. La importancia de tales resultados es indudable, tanto por su utilidad práctica como por la rapidez con la que a través de ellos la Geometría se asocia con otros contendidos, como los relativos a números, cálculo y lenguaje simbólico. Sin embargo, no podemos soslayar un aspecto fundamental y es que las Matemáticas en general, y la Geometría en particular, ofrecen modelos para el estudio y el análisis de la realidad. Y creemos que éste es el punto de vista desde el que debe plantearse y valorarse el interés formativo de la representación gráfica: presentar y manejar un modelo que ayudará sin duda a medir y calcular, pero que permitirá además conceptualizar, comunicar, elaborar estrategias de trabajo y, en definitiva, resolver problemas. Pero entendiendo que la resolución de problemas no debe ceñirse a una mera ejercitación escolar, sino que debe entenderse de una forma más amplia y general, tal y como se interpreta al considerarla una de las finalidades primordiales de las Matemáticas y de su enseñanza. Una vez respondida la pregunta inicialmente planteada, el siguiente paso es simplemente dibujar. Aquí es donde los recursos que proporcionan las nuevas tecnologías nos pueden echar una mano, pues realizar un gráfico o un diseño y repetirlo el número de veces que sea preciso para que queden bien patentes los pasos dados, las modificaciones introducidas y las restricciones o generalizaciones consideradas, no es tarea fácil. Los recursos informáticos permiten optimizar el tiempo invertido en la realización de dibujos y construcciones y sacar el mayor rendimiento posible a las propiedades y estrategias que se ponen en juego. Profesores de Secundaria. IES Navarro Villoslada e IES Basoko de Pamplona. Noviembre ko Azaroa 119

2 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén En esta propuesta será Cabri-Géomètre el soporte informático sobre el que desarrollar la tarea que da título a este artículo: analizar para dibujar. Esta elección de Cabri se basa en el hecho de que se trata de un programa bien conocido, cuyos recursos y herramientas son reconocibles en otros programas similares que, afortunadamente, se nos ofrecen cada vez en mayor número. Por su calidad y bajo precio citaremos al menos dos de ellos, Cinderella de la editorial Springer Verlag y GUP 2 de Ramón Alvarez. PROPUESTA DE TRABAJO A continuación presentamos una actividad para el aula con la que intentaremos ejemplificar lo expuesto en los párrafos anteriores, y presentaremos tres soluciones diferentes, cada una de ellas basada en interpretaciones o análisis diferentes de la figura objeto de la actividad. Pasamos ya al enunciado de nuestro problema. Actividad Con las herramientas disponibles en Cabri dibujar la figura siguiente. Primera construcción La figura propuesta sugiere que está construida a partir de tres hexágonos regulares que tienen lados comunes. Eso permite utilizar la herramienta polígono regular de Cabri para representar un hexágono regular que será el primero de los tres módulos en los que se puede descomponer la figura. Para construir el segundo módulo de la figura basta con considerar la simetría cuyo eje es la recta r, determinada por uno de los lados del hexágono. Utilizando la herramienta simetría axial para determinar el simétrico del hexágono respecto de la recta r, dibujamos el segundo módulo de la figura. 120 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

3 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar Aplicamos esta herramienta y obtenemos. Si repetimos la construcción pero considerando como eje de simetría la recta s, determinada por el lado del hexágono adyacente al anterior, obtendremos el tercer módulo de la figura. Aparentemente el problema está resuelto, pero necesitamos dejar la presentación tal y como se propone, es decir, sólo la silueta, sin los lados y puntos interiores. El problema es que para Cabri cada hexágono es una figura única, es decir una poligonal cerrada y no la concatenación de seis segmentos. Por lo tanto no podemos ocultar o borrar los segmentos que no nos interesan, sino que debemos ocultar o borrar el polígono completo. Al realizar cualquiera de las acciones sugeridas los vértices de las figuras no se borran ni se ocultan, lo que nos permitirá unir después mediante segmentos los 12 puntos de la silueta. También debemos ocultar o borrar el vértice común a los tres hexágonos y el centro de la circunferencia circunscrita al primer hexágono dibujado. Otro tanto cabe decir de la rectas que hemos representado para realizar las simetrías. Una vez aplicada esta herramienta a todos los elementos citados veremos la figura de la izquierda. Noviembre ko Azaroa 121

4 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Finalmente uniendo los puntos mediante segmentos, se completa la construcción pedida. Pese a que se ha señalado la posibilidad de ocultar o borrar, pues en esta caso sirven ambas opciones por igual, se recomienda utilizar la opción ocultar, porque ésta permite volver a mostrar los objetos dibujados y por lo tanto rehacer la construcción. Se utiliza para ello la opción revisar construcción, en el botón de Edición. Alternativas a la construcción Ese módulo hexagonal del que se parte para conseguir el resultado buscado, no sólo puede transformarse mediante simetrías tal y como se ha descrito anteriormente, sino que existen otras construcciones alternativas, igualmente interesantes, que se apoyan en otros movimientos. A continuación propondremos dos ejemplos al respecto, que tanto pueden ser sugeridas por el profesor como pueden ser utilizadas por los alumnos en su investigaciones y conjeturas. La primera de ellas se apoya en la idea de que girando 120º el hexágono inicial respecto de uno cualquiera de sus vértices, se consigue un avance en la construcción. La cuestión planteada es cuál de los seis vértices lleva de manera directa a la forma de la figura que se desea conseguir. Realizada esa elección, el punto P, y el giro de argumento 120º, tendremos dos hexágonos con un lado común. 122 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

5 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar Este paso permite recordar e insistir en el sentido de giro. Ciertamente que 120º corresponde al ángulo que permite construir la figura mediante una rotación de argumento positivo, como -240º lo sería si se realiza en sentido negativo. El siguiente paso nos llevará a los tres hexágonos que definen la figura propuesta.ese tercer hexágono se puede conseguir de varias formas, tanto a partir del hexágono inicial como del girado. Aquí se señala una de esas posibilidades: Realizando un giro de 120º del hexágono de partida en torno al punto Q, se llega a la forma buscada. Sólo queda ocultar aquellos elementos que no están presentes en la figura que se proponía como objeto de trabajo y dibujar los que la configuren definitivamente. La segunda alternativa tiene que ver con otro movimiento: translación. Efectivamente el hexágono inicial puede ser trasladado en dos direcciones diferentes para conseguir la forma buscada. Los vectores que determinan ese movimiento se obtienen a partir de dos de las diagonales del hexágono, tal y como se indica en la figura de la izquierda: PQ1 y PQ2. Se trata ahora de realizar cada una de las dos translaciones indicadas del hexágono inicial. Realizada esta construcción, queda simplemente ocultar y dibujar los elementos precisos para que la forma definitiva sea la de la propuesta. SEGUNDA CONSTRUCCIÓN En este caso vamos a ver nuestra figura como una concatenación de segmentos, es decir, como una poligonal cerrada. Para obtener el procedimiento de dibujo lo primero que vamos a hacer es etiquetar los vértices con la herramienta etiqueta. Obtendremos la figura de la página siguiente. Noviembre ko Azaroa 123

6 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Observemos que las etiquetas introducen un cierto orden en la serie de segmentos en que se descompone nuestra figura. Este orden es el que nos va a permitir obtener el procedimiento de dibujo, ya que la cuestión a resolver va a ser la siguiente, cómo dibujamos el segmento siguiente a uno que ya está dibujado? Si observamos nuestra figura veremos que el paso de un segmento a su siguiente presenta una cierta regularidad, la cual se podría enunciar de la siguiente manera: El segmento siguiente se inicia en el vértice derecho y forma un ángulo de 120º con el anterior. Evidentemente este enunciado es impreciso, deberíamos explicar qué es eso de vértice derecho del segmento y en qué sentido estamos midiendo los ángulos que forman los segmentos. Por otra parte, existen una serie de segmentos que no respetan la pauta enunciada, concretamente son los V2V3, V6V7 y V10V11, en estos casos el ángulo que forma el nuevo segmento con el inicial es de 240º. Lo expuesto en el párrafo anterior nos proporciona el procedimiento de dibujo del segmento siguiente a uno dado. Necesitamos dos nuevas herramientas de dibujo, una que nos permita dibujar un lado a 120º del anterior y otra que nos lo dibuje a 240º.Una vez que contemos con estas herramientas bastará con aplicarlas sucesivamente para dibujar la figura completa.cabri no dispone de estas herramientas, pero podemos crearlas nosotros mediante Macros. Las construcciones siguientes son las que vamos a usar para definirlas. La figura de la izquierda nos muestra una forma de construir un ángulo de 120º en el vértice V2, tomando como sentido de giro el de las agujas del reloj. Para obtenerla basta con hacer dos veces compás con centros en los vértices V1 y V2 y con el segmento V1V2 de 124 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

7 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar radio. Obtenemos así el punto C. Ahora trazamos la recta r perpendicular a V1V2 por V2 y obtenemos el simétrico de C por r. Este es el punto V3 buscado. Trazamos el segmento V2V3 y ya está. Sobre esta construcción vamos a definir una macro que llamaremos Lado 120. Para ello tomaremos como objetos iniciales los puntos V1 y V2 y como objeto final el segmento V2V3. Notemos que se podría haber tomado como objeto inicial el segmento V1V2, pero esto hace que perdamos la orientación del segmento y puede dar problemas al aplicar la macro de forma sucesiva. Para definir la macro es conveniente que ocultemos primero todos los elementos accesorios de la construcción anterior, es decir, las circunferencias, la recta r y el punto C tal y como vemos en la figura siguiente: Para obtener la herramienta que nos proporciona el lado a 240 o usaremos la construcción de la izquierda que es análoga a la anterior. Como en el caso anterior ocultamos todos los elementos accesorios y tomamos como objetos iniciales los puntos V1 y V2 y como objeto final el segmento V2V3. La figura siguiente ilustra la elección de objetos para la macro. Una vez definidas nuestras macros, observaremos que en el botón de macroconstrucciones disponemos de estas dos nuevas herramientas, las cuales estarán a nuestra disposición aunque cerremos todas las figuras que estén en ejecución. Noviembre ko Azaroa 125

8 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Nuestro problema está ya resuelto, pues basta pintar un cierto segmento e ir aplicando la herramientas que corresponda en cada caso. La figura siguiente muestra el resultado de aplicar Lado120 sobre V1V2 y después Lado240 sobre el segmento V2V3. Ahora aplicamos tres veces Lado120 y obtenemos los segmentos hasta el vértice V7. Sobre el segmento V6V7 aplicamos Lado240 y obtenemos el segmento V7V8.Aplicamos luego tres veces Lado120 y obtendremos los segmentos hasta el vértice V11. Terminamos nuestro dibujo aplicando una vez Lado240 sobre el segmento V10V11 y luego Lado120 sobre el segmento V11V12 resultante de la acción anterior. 126 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

9 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar Evidentemente las construcciones realizadas para definir nuestras macros no son las únicas que se pueden usar. Por ejemplo podemos usar la herramienta Giro para trazar nuestros segmentos, pero esto obliga a anotar los ángulos, 120 o y 240 o, en la hoja de dibujo mediante Edición Numérica y a incluir estos números como objetos iniciales de las macros. TERCERA CONSTRUCCIÓN En este caso vamos a buscar una figura que nos permita reconstruir la inicial mediante transformaciones del tipo cortar y pegar. Puede parecer que esta solución es una variante de la primera, y en cierto modo lo es, pero en este caso buscamos figuras contenidas en nuestro dibujo pero que no sean tan visibles como el hexágono que hemos tomado como módulo en la primera construcción. Lo primero que vamos a hacer es etiquetar los vértices. En este caso no pretendemos introducir un orden en los segmentos, pretendemos facilitar la expresión de propiedades o de nombres de objetos contenidos en nuestro dibujo. Ahora vamos a obtener el centro de la figura, es decir, el vértice común a los tres hexágonos que componen nuestro dibujo. Para ello basta tener en cuenta que ese punto es el punto de corte de dos de los ejes de simetría de nuestra figura. Por ejemplo los que definen los vértices V11 con V5 y V1 con V7. Llamamos C a dicho centro. Una vez obtenido el punto C ocultamos los ejes de simetría trazados, pues ya no los necesitamos para nada. Noviembre ko Azaroa 127

10 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Estamos buscando una figura escondida en nuestro dibujo. Por tanto parece lógico pensar que sus vértices algo tendrán que ver con ésa que está oculta. Un examen minucioso de nuestro dibujo nos hace ver que tenemos alineaciones de vértices de tres en tres. Por ejemplo V1, V11 y V9 están alineados. Si se duda de tal propiedad podemos recurrir a las comprobaciones de propiedades que posee Cabri, en concreto a la herramienta Alineado. Si se recurre a esta opción en clase es conveniente buscar la justificación geométrica de tal propiedad una vez que Cabri contesta. Tracemos pues los tres segmentos y observemos el resultado. Resulta que nuestro dibujo se obtiene a partir de un triángulo equilátero! Tenemos ya una primera aproximación a la solución. Para dibujar nuestra figura basta con dibujar un triángulo equilátero y sacarle seis pestañas. Cómo obtenemos esas pestañas? Podemos trabajar de muchas formas distintas, nosotros presentamos aquí una que nos parece bastante elegante y que pasa por observar que los vértices V7, V3 y V11 son los puntos medios de los lados del triángulo, por lo que a su vez definen un nuevo triángulo equilátero. Observemos ahora que si obtenemos los puntos simétricos de C respecto de cada uno de los lados del triángulo interior, obtendremos los puntos C1, C2 y C3 que son los centros de los triángulos exteriores. 128 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

11 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar Además, los vértices de las pestañas son simétricos de los centros respecto de los lados de dichos triángulos. Por ejemplo, V12 es simétrico de C1 respecto del segmento V1V11 y V2 es simétrico de C1 respecto del segmento V1V3. Notemos que estas no son las únicas simetrías que nos interesan, tenemos también las siguientes: El triángulo (V1, V3, V11) es simétrico del (V3, V11,V7) respecto del segmento V3V11. El (V5, V3, V7) es simétrico del (V3, V11,V7) respecto del segmento V3V7. El (V9, V11,V7) es simétrico del (V3,V11,V7) respecto del segmento V7V11. El análisis realizado sobre el dibujo problema nos ha proporcionado todos los elementos necesarios, objetos geométricos y relaciones entre objetos, para definir un procedimiento con el que realizar la tarea propuesta. 1. Dibujar un triángulo equilátero (V3, V11, V7) y trazar su centro C. 2. Obtenemos los triángulos simétricos del anterior respecto de cada uno de sus lados. Obtendremos los vértices V1, V5 y V9. 3. Obtenemos los puntos simétricos de "C respecto de los lados del triángulo inicial. Obtendremos así los centros C1, C2 y C3. 4. Dibujamos los simétricos de C1, C2 y C3 respecto de los lados exteriores de los triángulos obtenidos en el paso 2. Obtenemos así los seis vértices restantes: V2, V4, V6, V8, V10 y V Ocultamos todos los elementos auxiliares, triángulos y centros, y unimos nuestros doce vértices mediante la herramienta polígono. Extensión interesante de este problema Hasta ahora nos hemos ocupado de obtener una determinada forma, pero sin imponer condiciones sobre la longitud del segmento en que se descompone nuestro dibujo. En consecuencia, podemos modificar la propuesta de trabajo imponiendo que nuestra poligonal tenga por lado un cierto segmento. Esta nueva condición nos obliga a revisar el procedimiento de dibujo enunciado.observamos que sigue siendo válido, pero ahora el primer triángulo ya no puede ser cualquiera, su lado debe estar determinado por el segmento que va a ser el lado de la poligonal. Si nos fijamos en la figura adjunta, nuestro dato no es otro que el segmento punteado. Esto nos muestra que para realizar la construcción solicitada nos basta con saber construir el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio el segmento de partida. Esta última observación nos permite redefinir el paso primero del procedimiento de dibujo. Quedaría con el siguiente enunciado: Noviembre ko Azaroa 129

12 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén 1. Dado un segmento, dibujar el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia cuyo radio mide el segmento inicial. Tenemos totalmente resuelto nuestro problema extendido. Realizamos la construcción completa tomando como punto de partida un segmento dado. Dibujamos un segmento, que será el lado del hexágono y marcamos un punto C que será el centro de la figura. Ahora vamos a realizar la construcción correspondiente al paso 1 de nuestro procedimiento de dibujo: Dibujar el triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio el segmento de partida. Notemos que para realizar esta tarea se pueden seguir muchos caminos, siendo todos ellos igual de válidos. Nosotros nos vamos a basar en la construcción del hexágono regular de lado conocido, pues para realizar esta construcción basta con usar el compás, pero también puede ser interesante realizar una análisis previo de la relación métrica existente entre el radio del hexágono y el lado del triángulo equilátero inscrito. Esta alternativa nos llevará casi con toda seguridad al dibujo de números irracionales y al uso del Teorema de Pitágoras, lo cual puede ser interesante en algunas ocasiones. Vamos a obtener el lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio el segmento dado. Mediante la herramienta compás trazamos una circunferencia con centro en C y radio el segmento inicial. Sobre esta circunferencia pintamos el vértice V11. Hacemos compás de nuevo en V11 con radio el segmento y obtendremos un punto de corte del compás con la circunferencia. De nuevo compás en ese punto con el segmento como radio y obtenemos el extremo del lado de nuestro triángulo, el vértice V7. Ocultamos todos los objetos auxiliares excepto el lado V11V7, el centro C y la circunferencia inicial Para terminar el triángulo equilátero interior basta hacer una vez compás con este nuevo segmento, el V11V7 y centro en V11. El punto de corte del compás con la circunferencia inicial es el tercer vértice del triángulo buscado, el V SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

13 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar Trazamos los dos lados del triángulo que faltan y ocultamos las dos circunferencias auxiliares. Tenemos ya el problema resuelto, pues ahora basta aplicar el procedimiento desde el Paso 2. Triángulos. Simétricos y centros simétricos. Noviembre ko Azaroa 131

14 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén Simétricos de los centros respecto de los lados: Concatenamos los vértices con la herramienta polígono. Ahora nos quedaría tan sólo ocultar todos los elementos accesorios para que la poligonal quede como se ha pedido. Solución Alternativa Hemos encontrado una solución basada en dibujar un triángulo equilátero y desplegarlo. Podríamos encontrar una solución basada en recortar parte de otra figura que sea fácilmente reconocible? La respuesta es que sí, pero para obtenerla deberemos analizar de nuevo la figura de partida. Si prolongamos los lados de los picos de nuestra figura obtenemos lo siguiente: 132 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

15 Cabri-Géomètre: analizar para dibujar La nueva figura no es otra cosa que un nuevo hexágono cuyos vértices son los puntos V1, S3, V5, S7, V9 y S11. Notemos además que el vértice S11 es simétrico del V11 respecto del segmento V10V12 y que lo mismo ocurre con los S3 y S7. Por tanto nuestra figura se obtiene dando cortes apropiados a un cierto hexágono. Cuál será el lado de este nuevo hexágono? Evidentemente será el doble que el del segmento de partida pues, por ejemplo, el punto V12 es el punto mitad del lado V1S11. Notemos también que existen múltiples relaciones de paralelismo entre segmentos, por ejemplo el segmento V11V12 es paralelo al S3V5. Todas estas observaciones justifican que el procedimiento de construcción siguiente es correcto. 1. Duplicamos el segmento que debe ser el lado de nuestra figura y con este nuevo segmento construimos un hexágono regular. Noviembre ko Azaroa 133

16 Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén 2.Trazamos los puntos medios de los lados. 3. Por los puntos medios anteriores trazamos paralelas a los lados del hexágonos. 4. Tomamos tres y puntos de corte de esas paralelas y ya tenemos la figura competa. 134 SIGMA Nº 25 SIGMA 25 zk.

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