Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria

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1 3 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria

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3 Introducción Las magnitudes y su medida constituyen una parte fundamental del conocimiento matemático de la Educación Primaria; por un lado está su valor funcional, debido a su aplicabilidad en diferentes campos y situaciones, y por otro, porque constituyen nociones organizadoras que ponen en relación múltiples conocimientos y son, a su vez, elementos básicos de otros conocimientos matemáticos. En la Educación Primaria se introducen las ideas de magnitud y medida y se desarrollan sistemas de medidas convencionales como el Sistema Métrico Decimal, aspectos de medidas angulares y de tiempo. En esta etapa educativa no se aborda la posibilidad de utilizar con agilidad fórmulas que permitan el cálculo por medios indirectos de medidas de longitud, superficie y volumen; en cualquier caso, se trata más que de aplicar fórmulas, facilitar situaciones en la que los alumnos pongan en juego las nociones de longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo, dinero, superficie y volumen. Debemos resaltar que en el tratamiento de la medida se conjugan dos aspectos complementarios: la cualidad o magnitud y la medida de la cualidad para lo que es necesario utilizar conocimientos y destrezas del campo numérico y geométrico, entre otros. Se debe prestar atención a ambos aspectos tanto en el caso de las magnitudes lineales: longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero, como en el trabajo inicial de las de superficie y volumen, aunque éstas por su especial dificultad tienen aquí un tratamiento limitado que se completa posteriormente en la ESO. El tratamiento didáctico de las magnitudes supone considerar dos fases diferenciadas en el proceso de aprendizaje y enseñanza: la percepción y el reconocimiento de la magnitud, cuya importancia estriba en la consideración de las magnitudes como atributos o propiedades de colecciones de objetos susceptibles de ser medidos, que el alumno debe conocer por su capacidad para organizar, estructurar y generar otros conocimientos que pueden ser transferidos y generalizados; y la noción de medida de magnitudes, de gran importancia por su valor funcional, que constituye un elemento de referencia en la construcción de nuevos conocimientos matemáticos. A pesar de que en todas las magnitudes estas dos fases deben estar siempre presentes, nosotros vamos a diferenciar entre magnitudes lineales y no lineales en la Educación Primaria. Las primeras constituyen una consolidación del Sistema de Numeración Decimal, mientras que las segundas son una extensión de este sistema de numeración que se inicia en esta etapa educativa y se completará más tarde en la Educación Secundaria Obligatoria. 219

4 La Medida en la Educación Primaria En este capítulo se reflexiona, inicialmente, sobre cuestiones generales de la medida con la intención de poner de manifiesto los diferentes aspectos que caracterizan a la misma: complejidad del proceso de construcción de los conceptos de medida, análisis de la medida en su aspecto dinámico y en su conexión con la realidad, así como resaltar el interés de la estimación en la medida como un proceso cognitivo relevante para planificar, más tarde, su enseñanza-aprendizaje en esta etapa educativa. Su presentación se hará mostrando, en primer lugar, unas breves referencias a los aspectos matemáticos generales de la Medida para centrarnos especialmente, más tarde, en los aspectos didácticos. 220

5 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Consideraciones generales sobre la Medida En relación con los conceptos matemáticos de magnitud, cantidad y medida es obvio que no es necesario una formalización rigurosa en esta etapa educativa; sin embargo, si parece con vistas al profesorado de Educación Primaria presentar una aproximación no formalizada, pero que tenga en cuenta los aspectos esenciales que caracterizan a la medida, como la diferenciación entre propiedades medibles (magnitudes) y no medibles, establecer definiciones informales de los aspectos a tratar, y, por último, presentar el concepto matemático de magnitud ejemplificado, al menos en este trabajo para el caso de la longitud y con menos detalle para las restantes magnitudes. Señalar finalmente que un desarrollo más formal de las cuestiones relativas a la medida la podemos encontrar, por ejemplo, en los textos de Roanes (1969) y de Prada (1990), en los que se desarrollan la mayor parte de los conceptos de las diferentes magnitudes. Las situaciones problemáticas o fenómenos físicos o sociales son organizados mediante modelos matemáticos; esto nos lleva a analizar el difícil problema de las relaciones entre matemáticas y realidad. Las magnitudes y su medida constituyen un buen ejemplo de esta problemática. Las ideas de magnitud, cantidad y medida varían según los diferentes contextos en que se analicen. Por ejemplo, en la vida cotidiana y en las ciencias experimentales se habla de magnitudes para referirse a propiedades o cualidades de los objetos o fenómenos susceptibles de tomar diferentes valores numéricos. En Matemática la palabra magnitud designa un conjunto de objetos abstractos (cantidades) dotado de una cierta estructura algebraica. La medida se expresará como el isomorfismo que podemos establecer entre dicha estructura y un subconjunto apropiado de números reales. Aspectos informales de la Medida Hablar de medir supone realizar una acción que asigna un código identificativo a determinadas características perceptibles de un objeto. De esta manera, medir es asignar una categoría tanto a características cuantitativas y continuas como longitud, masa, capacidad..., como a rasgos cualitativos, como el país de nacimiento o el color del pelo... El nombre de magnitud se atribuye a los atributos que varían de manera cuantitativa y continua como la longitud, el peso, la densidad, etc., o también de manera discreta como la cantidad de objetos en una colección. 221 El término cantidad se refiere habitualmente al valor que toma la magnitud en un objeto particular, como por ejemplo: el alto de esta puerta es de 2 metros. Precisemos un poco más este término y tomemos como referencia la magnitud longitud. Consideremos como punto de partida una colección de tiras de cartón. Diremos que dos tiras son congruentes si

6 La Medida en la Educación Primaria al superponerse sus extremos coinciden. Físicamente podemos realizar comparaciones entre las diferentes tiras de cartón y comprobar su igualdad o desigualdad; como consecuencia de ello obtenemos clases de objetos (tiras cartón) que son iguales entre sí respecto de la cualidad longitud. De esta manera podemos decir que cada clase de objetos (con la misma longitud) es una cantidad de longitud. En el trabajo con magnitudes, como por ejemplo la longitud, es necesario comparar distintas cantidades. La comparación se facilita si se toma una cierta cantidad como referente o término de comparación [u] y se determina cuántas veces contiene una cantidad dada [a] a la que se ha tomado como referente [u]; este número de veces, si existe, es lo que se denomina medida de la cantidad [a] con la unidad [u]. 222 Si consideramos ahora, por ejemplo, la mezcla de dos cantidades de un líquido a temperaturas de 10 y 40 grados, respectivamente, que pesan cada uno 20 kilogramos, la cantidad que se obtiene agregando los dos líquidos sigue teniendo los rasgos de la temperatura y el peso, pero en el primer caso ésta no es la suma de las temperaturas de los dos líquidos en cuestión; en el segundo caso sí es la suma de los dos pesos. Hablamos entonces de magnitudes intensivas como aquellas en las que existen rasgos para los que tiene sentido agregar los objetos que los soportan, pero en los que la cantidad de rasgo en el objeto obtenido por agregación no es proporcionalmente aditiva, como, por ejemplo, la temperatura, la presión o la densidad. Otras magnitudes, por el contrario, como el peso, la longitud, el área, etc., la cantidad de magnitud de un objeto compuesto de partes se obtiene agregando las cantidades de cada parte; en este caso las magnitudes se llaman extensivas o sumables. Para que en un conjunto de objetos homogéneos podamos hablar de magnitud extensiva, por ejemplo, la longitud, es necesario definir en el conjunto de las cantidades de longitud la operación suma de longitudes, producto de una longitud por un número natural y ordenar las longitudes, resultando magnitudes extensivas distintas según las propiedades que se cumplan en relación con las operaciones y la ordenación anterior. En este sentido podemos hablar de magnitudes discretas ( cantidad de personas, cantidad de caramelos...) y continuas (longitud, peso, área, volumen...); absolutas (no existe para cada cantidad su opuesta para la suma, como, por ejemplo, la longitud, la masa, la capacidad, etc.; de esta naturaleza es la mayor parte de las magnitudes que se trabajan en la Educación Primaria) y relativas (existe para cada cantidad su opuesta para la suma, como por ejemplo los segmentos orientados (vectores libres) en la recta); escalares (son aquellas que admiten una representación mediante escalas, es decir, mediante un subconjunto de puntos de una recta, por ejemplo, los ángulos, los arcos, la amplitud, etc.) y vectoriales (las magnitudes que no son escalares como los vectores libres del plano, etc.). A modo de resumen y a efecto de señalar la complejidad de acciones y conocimientos implicados en el proceso de enseñanza y aprendizaje de los objetos magnitud y medida, presentamos la síntesis siguiente relativa a los conocimientos implicados. En primer lugar, tenemos los conocimientos previos que en esta situación se refieren a los cálculos aritméticos de sumas y productos.

7 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria En segundo lugar, tenemos los conocimientos específicos de las magnitudes y medidas que se refieren a lo que sigue: Magnitud como cualidad designada (longitud, peso...) atribuible a todos los objetos materiales. Se trata de una abstracción empírica a partir de cierto tipo de experiencias con objetos materiales. Magnitud desde la perspectiva matemática como un conjunto de objetos homogéneos entre cuyos elementos se puede definir la suma y una ordenación que le dota de estructura de Semimódulo (M, +, ). Cantidad de longitud, peso... de un objeto material, es decir, cada uno de los elementos del conjunto M. Tipos de magnitudes: intensivas y extensivas. Discretas, continuas, absolutas, relativas, escalares, vectoriales. La medida como la acción que establece la equivalencia entre una cantidad y una colección de cantidades tomadas como unidades. La medida como la aplicación entre el conjunto M y un conjunto numérico. La unidad de medida como la cantidad usada como elemento de comparación reiterada. El valor de la medida como una unidad particular expresada mediante un número real positivo. La medida concreta como el par formado por número, unidad de medida. Los invariantes del proceso de medida entendida como función matemática: m (a + b) = m (a) + m (b) y m (ka) = k m (a) La precisión en la medida y los errores. Los sistemas regulares de medidas (El Sistema Métrico Decimal). En tercer lugar, a las acciones físicas y mentales que se desarrollan a partir de una situación problemática susceptible de medir: Necesidad de medir. Dominio de técnicas para medir. Instrumentos de medida. Representaciones de los objetos. Justificaciones de las técnicas de medir. Necesidad de un sistema regular de medidas. Pasamos a considerar ahora las relaciones que se dan entre distintas magnitudes. Comenzamos por el número natural y las magnitudes discretas. En muchas situaciones concretas nos interesamos por una característica de la colección de objetos, por ejemplo, el número de alumnos en una clase o el número habitantes de un país; se trata de magnitudes discretas. Podemos observar que hay diferencias entre las cantidades de estas magnitudes con las que se pueden realizar determinadas operaciones y los elementos del conjunto N con los que también se pueden realizar operaciones que obviamente son de naturaleza diferente; sin embargo, podemos establecer un isomorfismo entre el conjunto (N, +, ) y cualquier magnitud discreta de manera que podemos considerar al conjunto (N, +, ) como una magnitud discreta o también decir que el conjunto de cantidades de cualquier magnitud discreta es un conjunto naturalmente ordenado. En este sentido nos encontramos que matemáticamente podemos decir que los números naturales son un conjunto de signos para medir las magnitudes discretas, pero que ellos en sí mismo pueden ser considerados como una magnitud discreta. 223

8 La Medida en la Educación Primaria La masa y el peso son magnitudes que se identifican por lo general socialmente; sin embargo, desde un punto de vista físico son magnitudes diferentes. La masa de un cuerpo es el contenido en materia de dicho cuerpo, mientras que el peso es la fuerza con que la tierra atrae a este cuerpo. La diferencia se aclara cuando especificamos, por ejemplo, que dos cuerpos con la misma masa tienen pesos distintos en la Tierra y en la Luna. No obstante, dos objetos con igual masa tienen el mismo peso en un mismo lugar en la Tierra. En la Educación Primaria no parece procedente hacer distinciones entre ambas magnitudes, ya que en la práctica escolar es casi imposible que ambas características de los cuerpos puedan ser distinguidas, pero aún hay más: los instrumentos usados para medir masas en realidad miden pesos. El volumen y capacidad son magnitudes obviamente diferentes: mientras el volumen se usa para designar la característica que tienen todos los cuerpos para ocupar un espacio, la capacidad designa la cualidad de ciertos objetos (recipientes) de poder contener líquidos o materiales sueltos (arenas, cereales, etc.). Ahora bien, la capacidad de un recipiente coincide con el volumen del espacio interior delimitado por las paredes del recipiente, y viceversa, el volumen de un cuerpo coincide con la capacidad de un recipiente que envolviera completamente a dicho cuerpo. 224 Los términos área y superficie son usados de manera indistinta y es lo aconsejable en esta etapa educativa; con todo, son dos conceptos diferentes aunque fuertemente relacionados. Si nos fijamos en un cuerpo o figura geométrica debemos distinguir entre la forma que tiene (plana, curva, cilíndrica, esférica, alabeada, cónica...) y la mayor o menor extensión que ocupa. El término superficie se debería reservar para designar la forma del cuerpo, mientras que el área designa la extensión de la superficie. De esta manera, hablaríamos de la magnitud área o extensión como el rasgo o característica de los cuerpos que se mide cuantitativamente. El Sistema Internacional de Unidades El Sistema Internacional (SI) de Unidades es el nombre adoptado por la XI Conferencia General de Pasos y Medidas (celebrada en París en 1960) para establecer un sistema universal y unificado de unidades de medidas, basado en el sistema mks (metro-kilogramo-segundo). En la tabla siguiente se indican las unidades fundamentales y complemantarias:

9 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Magnitud Nombre de la unidad básica Símbolo Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo s Intensidad de corriente eléctrica Amperio A Temperatura termodinámica Kelvin K Cantidad de sustancia Mol mol Intensidad luminosa Candela cd Magnitudes complementarias Ángulo plano Radián rad Ángulo sólido Estereorradián sr Como sabemos la unidad de medida del SI para la longitud es el metro. Veamos algunas de sus definiciones más conocidas: Es la diezmillonésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre. Es la distancia, a 0º C, entre dos trazos de una barra de platino iridiado (90% de platino, 10% de iridio) depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sevrés ( ). Es veces la longitud de onda, en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de kriptón 86 (1960). Es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz láser durante un tiempo de 1/ de segundo (XXVII Conferencia General de Pesos y Medidas, 1983). Los múltiplos y divisores del metro son: decímetro (= 10-1 ) dm decámetro (= 10) dam centímetro (= 10-2 ) cm hectómetro (= 10 2 ) hm milímetro (= 10-3 ) mm kilómetro (= 10 3 ) km micrómetro (= 10-6 ) mm megámetro (= 10 6 ) Mm 225 nanómetro (= 10-9 ) nm gigámetro (= 10 9 ) Gm picómetro (= ) pm terámetro (= ) Tm femtómetro (= ) fm petámetro (= ) Pm attómetro (= ) am exámetro (= ) Em

10 La Medida en la Educación Primaria La unidad de medida del tiempo en el segundo(s). Sus múltiplos son: minuto m (= 60 s); hora h (= 60 2 s); día d (= 24 h). Otros múltiplos no aceptados por el SI son: semana (7 días); mes (30 días, en general); año (12 meses); siglo (100 años). Es común referirse al Sistema Internacional de medidas como sistema métrico decimal, para destacar que la estructura decimal del sistema de medidas es similar a la del sistema de numeración decimal. No ocurre así con el tiempo que siguen otros sistemas tradicionales de medida, que se remontan a los babilonios, y en lugar de la base decimal utilizan la sexagesimal (con agrupamientos de 60). 226

11 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Aspectos didácticos de la Medida En este apartado haremos una breve presentación de la naturaleza didáctica de las magnitudes y la medida en la Educación Primaria, diferenciado entre medidas lineales y no lineales. Se terminará con un tercer subapartado en el que se considerarán los contenidos canarios de Matemáticas y especialmente las medidas canarias. La presentación de las medidas lineales y no lineales se desarrollará mediante el siguiente esquema: en primer lugar, se hará una breve presentación de naturaleza histórica y epistemológica; en segundo lugar, comentaremos tres elementos básicos del análisis didáctico: currículo, dificultades y errores y representaciones, para finalizar con una reflexión y propuesta de enseñanza y aprendizaje. Medidas lineales El desarrollo histórico de la medida está unido al desarrollo de las nociones numéricas, y presenta un punto de interés particular en los aspectos históricos de la construcción y adopción de los sistemas y unidades de medida. Cuestiones históricas de la medida de magnitudes que aparecen como relevantes son, por ejemplo, los sistemas de medida de los egipcios, babilonios, hebreos, griegos y romanos, o la medición de ángulos y el tiempo en los astrónomos babilónicos; un paso cualitativo y cuantitativo importante se da en los pitagóricos y las longitudes inconmensurables; es de resaltar las unidades de medida en la Edad Media y la búsqueda de patrones universales del Renacimiento, pero el momento determinante lo constituye el establecimiento del Sistema Métrico Decimal y el Sistema Internacional de Medidas. En este desarrollo histórico aparecen hechos que son de destacar por su relación directa con el proceso de enseñanza/aprendizaje, entre otros, las relaciones entre la medición y la ampliación de los conjuntos numéricos, puesto que dicha necesidad de ampliación tuvo su origen, en algunos casos, en necesidades de medición (Chamorro y Belmonte, 1988). Así mismo, hemos de resaltar la importancia de la evolución de las formas de medición y de los sistemas de medidas hasta llegar al Sistema Métrico Decimal, así como las necesidades de medición a lo largo de la historia (Dickson, Brown y Gibson, 1991). Especialmente, constituyen una fuente de interés las unidades de medida antiguas, que aún persisten en muchos lugares como, por ejemplo, Canarias. 227 En lo que se refiere a la medida del tiempo, son especialmente interesantes los intentos para elaborar un calendario y los distintos tipos de calendarios surgidos a través de la historia. Los fenómenos y las situaciones que dan sentido y se organizan sobre la base de las magnitudes y su medida, abarcan un amplio espectro que va desde la realidad cotidiana a las ciencias. En relación con los diferentes campos científicos, las magnitudes y las medidas están presentes en todos ellos: física, geometría, astronomía, etc.

12 La Medida en la Educación Primaria Por ejemplo, en el caso de la longitud, el lenguaje es un factor clarificador sobre los fenómenos y aplicaciones de la misma. Un análisis fenomenológico de la longitud deberá tener en cuenta la invariancia ante determinados movimientos y descomposiciones así como los tres contextos que intervienen: dimensiones, distancias y trayectorias. En el primer caso, las dimensiones se perciben como propiedades de los cuerpos y en los otros dos, más abstractos, se requieren dos puntos entre los que hay que intercalar o imaginar un cuerpo; las distancias expresan ausencia de continuidad entre dos cuerpos, mientras que las trayectorias incluyen un carácter dinámico. De igual manera, una reflexión fenomenológica de la magnitud tiempo nos lleva a observar cómo el lenguaje juega un papel esencial para establecer los distintos contextos fenomenológicos. La distinción entre ellos permite identificar fenómenos horarios, de estaciones, cronológicos, etc. Los contextos y situaciones son también variados, abarcando situaciones tan dispares como duración de los sucesos (horario escolar, un partido de fútbol, etc.); periodicidad de ocurrencia de sucesos (horario de un determinado programa de TV); tiempo transcurrido entre sucesos, etc. También, las magnitudes físicas como la masa, el peso y otras, tienen sus propios contextos, fenómenos y aplicaciones, al igual que el dinero que está asociado a los precios, pagos, etc., en el que las aplicaciones son enormemente familiares. 228 Currículo Son aspectos a trabajar en este tópico en la Educación Primaria conceptos como magnitud, cantidad y medida. La medida y la unidad de medida. La medida de las magnitudes lineales: longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero. Sistema métrico decimal: múltiplos y submúltiplos. Medidas aproximadas. Estimación de medidas. Procedimientos como distinción entre cualidades cuantificables y no cuantificables. Comparación, composición y ordenación de cantidades. Empleo de unidades de medida. Utilización de diferentes sistemas de medición. Cambios de unidades de medida. Utilización de instrumentos de medida. Medición directa. Estimación. Decisiones sobre la medida más adecuada. Actitudes como valoración, precisión y cuidado en la utilización de instrumentos, gusto por la precisión, interés en averiguar medidas, tendencia a manifestar las unidades, disposición favorable a estimar. Dificultades y errores Como señala el Grupo Cero (1987), cada magnitud tiene asociadas sus propias dificultades; así, por ejemplo, la magnitud longitud y su medida están implicadas en importantes destrezas perceptivas, arit-

13 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria méticas y geométricas, junto a su carácter eminentemente práctico y utilitario. En el caso del tiempo, se producen confusiones por la mezcla de mediadores poco fiables para su medición. En el dinero se presenta la particularidad de las distintas monedas y la equivalencia entre ellas; la comprensión de estas equivalencias es una cuestión difícil de aprender y de abordar, a la vez que importante, ya que muchos problemas de enunciado verbal se refieren a situaciones monetarias. En el proceso de aprendizaje, que va desde la percepción de la magnitud a la comparación de cantidades y de ésta a la estimación y a la medida mediante el empleo de unidades convencionales y no convencionales, intervienen de manera efectiva la conservación y la transitividad (Chamorro y Belmonte, 1988), (Dickson et al., 1991). Podemos señalar que la primera dificultad en el estudio de las magnitudes nace al abordar éstas separadas de los fenómenos y situaciones en los que se presentan. Podemos distinguir dificultades asociadas al concepto de magnitud y medida y dificultades asociadas a los procesos de medición. En general, se presenta confusión entre los conceptos de volumen y capacidad, volumen y peso, volumen y superficie, área y perímetro, masa y peso, etc. Entre los errores y dificultades que se dan en las mediciones directas, podemos señalar los siguientes: evaluar la magnitud de una medida sólo por el número que la expresa, olvidando la unidad que se ha utilizado; no reconocer la invariancia de la medida bajo ciertas transformaciones; elección de una unidad de medida inadecuada; uso incorrecto de los instrumentos de medida; uso erróneo de los sentidos; escritura errónea o sin sentido de los resultados de la medición; problemas con las representaciones en las que interviene un origen y una escala; abuso de la medida entera. Muchos de estos errores están provocados por seguir una metodología de enseñanza en la que los alumnos no participan activamente en la realización de medidas (Chamorro y Belmonte, 1988). En resumen, podemos señalar que en los procesos directos de medición se originan errores por el uso indebido de los sentidos, por la utilización de instrumentos inadecuados, por el uso incorrecto de los instrumentos de medida, por la elección de una unidad de medida inadecuada, etc. Surgen también dificultades para medir superficies que no son rectangulares, para contar unidades no enteras, etc. Los errores de las mediciones indirectas asociados con el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes, se pueden concretar en dificultades con el lenguaje algebraico; resolución de problemas con datos erróneos o no reales; confusión entre área y perímetro, confusión entre área y volumen. En conclusión, los errores en los procesos indirectos de medición están asociados por una parte al mal uso de las fórmulas y por otra a los cambios de unidades o a la omisión de la unidad cuando se expresa una cantidad. 229 Como hemos visto, las dificultades en el aprendizaje de la magnitud y su medida tienen su origen en múltiples causas que van desde la confusión entre magnitudes, como es el caso del área y el perímetro o del peso y el volumen, hasta los errores debidos al empleo de una metodología tradicional poco o nada manipulativa (Chamorro y Belmonte, 1988), que da lugar al uso inadecuado de instrumentos o

14 La Medida en la Educación Primaria unidades de medida, y a la carencia de estrategias para realizar medidas de objetos comunes. En todas ellas se puede identificar la ausencia de significado de las distintas unidades. La superación de algunos de estos errores requiere identificar correctamente su procedencia y luego poner más énfasis en los aspectos conceptuales, en el uso de material didáctico o en la presentación dinámica de las figuras, como medio de corrección de errores y poner menos énfasis en el trabajo directo con fórmulas. Representaciones Los modelos para las magnitudes lineales, de área y volumen, responden evidentemente a modelos lineales, cuadráticos y cúbicos, pero todos ellos tienen una representación gráfica que sobresale de las demás, la recta numérica; es posible representar en ella pesos, longitudes, tiempos, cantidades monetarias, capacidades y masas, es decir, mediante un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta numérica. El área y el volumen también admiten una representación de este tipo, pero requiere además referencias a representaciones que aludan a dos y tres dimensiones, respectivamente. Sin embargo, este modelo lineal no ha dado resultado en la enseñanza, como ponen de manifiesto Chamorro y Belmonte (1988). 230 Además de las representaciones gráficas, las medidas tienen una representación simbólica, que llega a constituirse con el tiempo en la representación preferente por su sencillez y viabilidad. En este sentido, conviene distinguir entre reproducir una longitud (duración, capacidad, masa, etc.) y representar esa misma longitud, lo que conlleva apreciar las ventajas de las notaciones simbólicas y gráficas, además de la propia reproducción. Por ello es importante trabajar simultáneamente los distintos sistemas de representación (gráfico, numérico, escalas, otros), y emplear unidades de otros sistemas, como por ejemplo, las unidades tradicionales Canarias, que además de la componente cultural, aportan referencias para a la comprensión de la estructura y el proceso de la medida. Dentro de las representaciones simbólicas podemos encontrar diferentes registros para una misma magnitud, por ejemplo, la amplitud es una magnitud que utiliza en la actualidad tres registros distintos: sexagesimal, centesimal y radián; lo que implica contemplar la práctica mediante la realización de actividades y ejercicios en los tres sistemas. Las representaciones están claramente asociadas a los materiales y utensilios que se emplean para medir y a los diferentes contextos en los que son útiles: metro de carpintero, cinta métrica, calibre, pie de rey, regla graduada, rueda-metrocompás, escuadra, cartabón, trasportador, reloj, recipientes, balanza, etc., además de las unidades naturales como el palmo, el pie, el paso y los propios materiales didácticos construidos ad hoc (cuerdas con nudos, varas, relojes de arena, etc.). También es evidente que las representaciones gráficas para las magnitudes lineales se pueden condensar en uno solo: la recta numérica; es posible imaginar, e incluso representar, pesos, longitudes, tiempos, cantidades monetarias, capacidades y masas en un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta numérica.

15 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Entre los materiales y recursos didácticos tenemos: Instrumentos de medida: metro de carpintero, cinta métrica, calibre, pie de rey, regla graduada, escuadra, cartabón, reloj, cronómetro, recipientes, balanza, transportador de ángulos, termómetros, metros lineales y circulares, brújula, goniómetro, etc. Materiales didácticos estructurados como las regletas de Cuisenaire o juegos de medidas estándar. Recursos extraídos del entorno como varillas, tiras de cartón, alambres, pastas, hilos y cuerdas, envases desechables, velas de cera, etc. Enseñanza y aprendizaje En el proceso de aprendizaje de la magnitud longitud y su medida están implicadas una mezcla de importantes destrezas perceptivas, aritméticas y geométricas junto al carácter eminentemente práctico y utilitario. El proceso de aprendizaje va desde la percepción de la magnitud a la comparación de cantidades, y de esta a la estimación y a la medida mediante el empleo de unidades convencionales y no convencionales. En este proceso intervienen de manera efectiva la conservación y la transitividad (Piaget e Inhelder, 1982); (Chamorro y Belmonte, 1988); (Dickson, Brown y Gibson, 1991). Así, para Piaget existen varios estadios en el desarrollo del concepto de medida: estadio inicial (no conservación y no transitividad), estadios de iniciación y consolidación de ambas capacidades, estadio en que se identifica la unidad de medida y estadio final (medida operatoria). Recogemos ahora en forma de síntesis tres propuestas apropiadas para desarrollar con garantías la enseñanza/aprendizaje de la medida en la educación básica que denominaremos propuestas de Inskeep (1976), Chamorro y Belmonte (1988) y de Olmo, Moreno y Gil (1989). La propuesta de Inskeep (1976) muestra que en el aprendizaje de la medida se da una mezcla de importantes destrezas sensoriales y perceptivas que involucran aspectos de aritmética y geometría. El área afectiva aparece también implicada y proporciona al alumnado la oportunidad de apreciar la utilidad del sistema de medidas en sus vidas y en la sociedad, además de la autoconfianza que genera el sentirse capaz de medir por sí mismo. El proceso de enseñanza/aprendizaje que propone va secuencialmente desde la percepción a la comparación para pasar luego a la aplicación de una medida mediante un referente no estándar que llevará a la necesidad de utilizar estándares de medidas y a la necesaria organización de un sistema que sistematice los referentes estándar. 231 En resumen, la propuesta de Inskeep la podemos concretar en los siguientes momentos: Percepción. Comparación y ordenación. Búsqueda de un referente: Hacer estimaciones sobre las cantidades a medir. Elegir el instrumento más adecuado para realizar la medida

16 La Medida en la Educación Primaria Medición como un sistema: Considerar la unidad más adecuada a la magnitud que hay que medir, eligiendo entre los múltiplos y divisores que forman el sistema de medida. Realizar la medición. Comprobación de la medida realizada: Relación con la estimación. Valoración del error. La propuesta requiere para su desarrollo un trabajo en clase en un ambiente de taller bajo el lema: a medir se aprende midiendo y analizando las estrategias usadas. 232 La propuesta de Chamorro y Belmonte (1988) parte de que la medida es un acto complejo que requiere en el alumnado práctica y soltura en los procesos de clasificación y seriación; en consecuencia, es necesario que los alumnos tengan desde el principio la oportunidad de entrar en contacto, en su medio, con situaciones físicas que les permitan inicialmente una exploración intuitiva y a través de los sentidos de la medida. Proponen una sucesión de procesos ligados con la medida, que se concretan en los siguientes: Procesos de clasificación y seriación: Estimación sensorial. Comparación directa. Comparación indirecta. La transitividad en las comparaciones. La elección de la unidad: Arbitrariedad. Adecuación. Encuadramientos. Cambios entre distintas unidades. Necesidad de un sistema de medidas. Sistema regular de medidas. El Sistema Métrico Decimal. Estimación y aproximación: Errores en la medida Estos procesos tienen sentido según los autores si la progresión de los mismos va seguida de una serie de recomendaciones: Ir de lo concreto a lo abstracto, de lo fácil a lo difícil, según las fases manipulativas, verbal, gráfica y simbólica. Cuidar los procesos de reversibilidad. Seguir una enseñanza no lineal. Permitir al alumno que descubra y aprenda de sus errores. Fomentar las discusiones en grupo o colectivas, permitiendo el aprendizaje mediante el diálogo y la confrontación de ideas. Utilizar la vida como fuente de situaciones problemáticas. Utilizar y fomentar el sentido común.

17 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria La propuesta de Olmo, Moreno y Gil (1989) es formulada inicialmente para el tratamiento didáctico del área y del volumen pero puede considerarse válida en el tratamiento de las medidas lineales, consta de cinco momentos que son necesarios tener en cuenta a la hora de diseñar actividades para organizar la enseñanza: percepción, comparación, medida, aritmetización y estimación. Percepción de la cualidad que se va a medir distinguiéndola de las restantes cualidades de los objetos. Comparación de los objetos respecto de esa cualidad mediante los términos relacionales más que, menos que, tanto como ; este último nos conduce a la noción de igualdad respecto de esa cualidad y, por tanto, de cantidad de magnitud. Es necesario tomar en consideración las diferentes situaciones que se pueden presentar en relación con el entorno particular así como el uso adecuado de la terminología; siempre que sea posible, se ha de emplear algún tipo de propuesta lúdica. Medidas por medio del empleo de unidades no convencionales, entre las que destacan las corporales; incluir algunas referencias de carácter histórico de Canarias así como actividades sobre las unidades propias de la localidad; prever la realización de prácticas de medida en los distintos contextos y empleando la terminología apropiada. Medida con unidades del Sistema Internacional; en esta situación es conveniente contemplar aspectos como el carácter convencional del sistema, su necesidad, para lo que se pueden preparar actividades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Se han de presentar los diferentes sistemas de medida y unidades y prever la realización de prácticas de medida en una gran variedad de situaciones y con distintos instrumentos. En la fase de aritmetización, establecer una secuenciación de las actividades hasta llegar a los problemas de enunciado verbal. En la fase de estimación, tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de medida y la realización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos. En las tres propuestas se encuentran bastantes elementos comunes, pero entre todos ellos queremos destacar uno que quizás se olvida con demasiada frecuencia en la escuela: la estimación. Como señala Brigth (1976), la realización de actividades de estimación de cantidades debe combinar la presencia o ausencia del objeto a medir y la presencia o ausencia de la unidad de medida; por ejemplo: estimar el área del tablero de una mesa estando presente o no la unidad de medida. Señala el autor diferentes grupos de actividades consistentes en asociar objetos, ausentes o presentes a una medida dada, con o sin la unidad de medida, como buscar longitudes, áreas, masas o capacidades..., de objetos que tengan, por ejemplo, una medida aproximada de 1 metro, 1 decímetro cuadrado, 1 kilogramo, 1 litro, respectivamente. 233 En la historia de la Matemática las magnitudes y las medidas juegan un papel fundamental, y éstas deben ser incorporadas al proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática facilitando en el contexto escolar estudios sobre unidades de medida aún vigentes en el entorno sociocultural del centro; para ello se pueden utilizar los trabajos desarrollados por González (1999) y otros autores sobre unidades e instrumentos de medida tradicionales en Canarias, que se recogen ampliamente en las referencias bibliográficas.

18 La Medida en la Educación Primaria En el ámbito de la enseñanza y aprendizaje de las magnitudes y la medida ocupa un lugar esencial la resolución de problemas, que debe estar centrada en problemas prácticos sobre experiencias sensoriales en relación con la cualidad, con la identificación de la magnitud y con la comparación de cantidades; problemas prácticos relacionados con la unidad de medida, con la medición directa e indirecta y con el empleo de instrumentos de medida; problemas de enunciado verbal en relación con las situaciones de medida, con las expresiones numéricas de las medidas y con el sistema métrico decimal (equivalencia de unidades, etc.), en íntima relación con los problemas sobre números y operaciones. Los problemas pueden ser, además de los de enunciado verbal, manipulativos, lúdicos, sobre situaciones familiares o personales, de exploración e investigación, etc. Como ejemplos de problemas prácticos del primer tipo podemos considerar aquellos relacionados con la búsqueda o identificación de situaciones de medida de una magnitud en un contexto determinado, por ejemplo, en una casa, en la escuela, en el mercado, etc. Es de destacar finalmente que los ejercicios tradicionales de medidas relativos a cambios de unidades y resolución de problemas no deben abandonarse sino completar estos ejercicios dirigiéndolos a tomar conciencia de la necesidad de la medición en sus tres vertientes básicas: precisión, aproximación y estimación. Medidas no lineales 234 Muchos de los aspectos tratados en las magnitudes lineales son también de aplicación en las magnitudes no lineales, especialmente los que se refieren a los principios generales de la medida de magnitudes así como a las estrategias a seguir en su enseñanza y aprendizaje. Sin embargo, pensamos que deben diferenciarse por diferentes razones: por una parte, la no linealidad de estas magnitudes implica una consideración diferenciada en el tratamiento de las unidades de medida; por otra, se trata de magnitudes y medidas más complejas y difíciles de comprender y dominar que las magnitudes lineales, por lo que reciben un tratamiento introductorio y en consecuencia menos profundo que aquéllas en los niveles superiores de Primaria; por ejemplo, el volumen y su medida forman parte en la actualidad del currículo de Enseñanza Secundaria, pero a pesar de ello pensamos que es posible iniciar las primeras fases del desarrollo de dichas nociones en el último nivel de Primaria. Conviene tener en cuenta que las nociones de área y volumen no aparecen desconectadas de las otras magnitudes y de los conocimientos anteriores de los alumnos, sino que, por el contrario, estas tienen su origen en las propiedades topológicas del plano y del espacio. La apreciación de huecos y regiones o el cubrimiento o llenado del plano y el espacio se constituyen en ideas intuitivas mucho antes de su tratamiento matemático en el currículo escolar, y es por ello por lo que pensamos que es razonable que el profesorado de Educación Primaria reflexione sobre estas magnitudes, lo que contribuirá a tener una visión completa sobre las magnitudes y medidas elementales, lineales y no lineales, así como del papel que juegan las magnitudes no lineales en esta etapa educativa. Las primeras referencias sobre la medición del área y del volumen están asociadas al almacenamiento de granos, alimentos y líquidos, así como a la fabricación de vasijas y recipientes de cerámica. En

19 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Babilonia y en el antiguo Egipto, el área y el volumen estaban relacionados con problemas reales (movimientos de tierras, cosechas, construcciones, etc.), y conocían las áreas de varias figuras geométricas así como el volumen de prismas y cilindros; no obstante, daban a la longitud de la circunferencia el valor de tres diámetros y al área del círculo el triple del valor del radio (Olmo, Moreno y Gil, 1989). De igual forma, en la matemática china se plantean y resuelven problemas prácticos sobre el volumen de paredes y presas, en las que intervenían piezas de diferentes formas (prismas y pirámides) y se utilizaban reglas para el cálculo de distintas figuras planas. La civilización hindú usa diferentes reglas de cálculo y obtienen relaciones entre diagonales y lados en el rectángulo y el cuadrado y entre radio y longitud y el círculo. En Grecia es donde surgen dos de los problemas esenciales relacionados con el tema y que se conocen como la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo (Collette, 1985). Igualmente corresponden a esta época numerosas aportaciones sobre el área y el volumen, como es el caso de las fórmulas del volumen de un cono o de una pirámide, del área de la esfera, etc. La evolución histórica hasta nuestros días de las cuestiones relacionadas con la medida ha estado plagada de hechos y conocimientos matemáticos destacados, por ejemplo, la medida del área es inseparable de la longitud y la medida del volumen de las medidas del área, situaciones que se manifiestan históricamente desde las aproximaciones realizadas por egipcios y babilonios hasta los problemas de cuadraturas de los griegos, y de aquí al establecimiento de fórmulas a partir del razonamiento proporcional. Las magnitudes geométricas, como el área y el volumen, tienen una fenomenología bastante amplia. Se pueden organizar, por similitud con la clasificación realizada para longitudes, en los siguientes contextos: el área representa la extensión de un cuerpo, el área representa un hueco, el área se corresponde con la huella barrida en el desplazamiento de un móvil (Olmo et al., 1989). De manera similar puede hacerse una clasificación para las situaciones en las que se presenta el volumen: espacio ocupado por un cuerpo, hueco dejado por un cuerpo, espacio barrido por una superficie. Currículo Aspectos básicos en el tratamiento de las magnitudes área y volumen que se inician en la Educación Primaria y se completa en la Educación Secundaria Obligatoria son los siguientes: Conceptos como superficie, polígono. Recubrimiento del plano; unidad de medida. Área. Áreas de polígonos sencillos. Longitud de la circunferencia y área del círculo. Aproximación al área de figuras irregulares. Estimación de áreas. Volumen. Medida y su necesidad. Estimación de volúmenes. 235 Procedimientos como cubrimiento de superficies. Comparación de superficies por descomposición, superposición, cubrimiento con la misma unidad, transformaciones planas, cambios de unidad. Medición de áreas y volúmenes sencillos. Cálculo de áreas y perímetros. Estimación de perímetros, áreas y volúmenes. Resolución de problemas.

20 La Medida en la Educación Primaria Actitudes como disposición favorable a identificar, calcular y estimar perímetros, áreas y volúmenes sencillos. Interés por justificar procedimientos informales para averiguar el área y el volumen. Reconocimiento de la utilidad de la medida del perímetro, del área y del volumen. Cuidado y precisión en el manejo de recursos. Confianza en el propio pensamiento para estimar áreas y volúmenes sencillos. Dificultades y errores Las dificultades y errores relacionados con las nociones de perímetro, área y volumen son diversas y abundantes: confusión entre el perímetro y el área, errores en la medida, errores en la determinación del número de cubos unidad incluidos en un volumen, etc. Dificultades asociadas a la medida del área aparecen cuando las figuras son más complicadas que el rectángulo; las figuras no aparecen pavimentadas, se da una proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad de medida y la medida o cuando se han de contar unidades no enteras. La magnitud área es fácil de percibir visualmente (Grupo Cero, 1987), pero presenta dificultades para la estimación directa. También suelen existir dificultades con las relaciones ante reproducciones a escala. Por otra parte, la determinación del área es difícil cuando la figura presenta cierta complejidad geométrica, como se pone de manifiesto en la tarea de determinar el área de un triángulo a partir del área de un rectángulo (Dickson, Brown y Gibson, 1991). 236 Representaciones Los sistemas de representación simbólicos usuales asociados a la magnitud área toman el cuadrado como medida unidad, variando la longitud del lado para dar lugar a distintas unidades del sistema métrico. El volumen toma el cubo como unidad de medida, mientras que los modelos para esta magnitud están relacionados con los cuerpos geométricos: cubo, paralelepípedo recto, pirámide, prisma, cilindro, cono y esfera. El área y el volumen también admiten una representación en un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta numérica, aunque estas magnitudes requieren preferentemente referencias a las representaciones en dos y tres dimensiones, respectivamente. Hemos de indicar que el modelo lineal no ha dado mucho resultado en la enseñanza, como ponen de manifiesto Chamorro y Belmonte (1988). Entre los materiales y recursos, tenemos los siguientes: Instrumentos para medir longitudes, tramas cuadradas de distintos tamaños, instrumentos de dibujo, tramas de puntos, papel cuadriculado, papel normal para plegado y recortado, papel milimetrado, cartulinas, tijeras, etc. Poliminós, tangrams, papel isométrico, cuerpos geométricos, policubos, polidiamantes, cuerpos geométricos huecos, unidades cúbicas, mosaicos y frisos, etc. Arena para rellenado, recipientes, balanza, imprenta, juegos de huellas, etc.

21 Las magnitudes y su medida en la Educación Primaria Enseñanza y aprendizaje Los estudios sobre el aprendizaje y el desarrollo cognitivo de las nociones de área y volumen son escasos (Olmo, Moreno y Gil, 1989). Los conceptos de área y volumen son complejos y difíciles de aprender. Es necesario desarrollar pautas y orientaciones didácticas y estar atentos a la evolución de los conocimientos y destrezas de los alumnos de Primaria, para lo que se ha de plantear el trabajo procurando que éstos experimenten por sí mismos los aspectos fundamentales. La construcción formal no es necesaria en esta etapa educativa; de todos modos, es útil que el alumno comience a utilizar los elementos básicos que facilite una mejor comprensión de los conceptos de área y volumen, lo que se puede hacer mediante el desarrollo de los aspectos de equivalencia y descomposición de figuras. En este sentido, el planteamiento seguido es análogo al propuesto para las magnitudes lineales. Al igual que en las magnitudes lineales, la enseñanza y el aprendizaje del área y el volumen pueden seguir el mismo proceso descrito con anterioridad para las magnitudes lineales: En las fases de percepción y comparación, se han de tener en cuenta las diferentes situaciones que se pueden presentar en relación con el entorno particular así como el uso adecuado de la terminología; siempre que sea posible, hay que emplear algún tipo de juego; las actividades de comparación deben graduarse en función de su dificultad, y deben tenerse en cuenta los errores que se han indicado. Por ejemplo, desarrollar la percepción de la magnitud mediante la idea de recubrir / rellenar superficies / volúmenes; los poliminós, polidiamantes, tangram, pueden emplearse para realizar actividades de este tipo. En la planificación de la fase de medida mediante el empleo de unidades no convencionales (incluidas las corporales) conviene incluir algunos aspectos de carácter histórico así como actividades sobre las unidades propias de la localidad; se debe prever la realización de prácticas de medida en los distintos contextos y empleando la terminología apropiada. Por ejemplo, realizar la comparación directa o indirecta de cantidades mediante superposición, recortado y añadido, descomposición en partes elementales, mediante el uso de mallas, etc. En la fase de medida con unidades del SI es conveniente contemplar los siguientes aspectos: el carácter convencional del sistema, la necesidad del mismo, para lo que se pueden preparar actividades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Es necesario presentar diferentes sistemas de medida y unidades y prever la realización de prácticas de medida en una gran variedad de situaciones y con distintos instrumentos. En la fase de aritmetización hay que establecer una secuenciación de las actividades hasta llegar a los problemas de enunciado verbal. En la fase de estimación debemos tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de medida y la realización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos. 237 El proceso de enseñanza se desarrollará en el tercer ciclo de Educación Primaria, si bien se puede comenzar con algunos aspectos de la percepción y de comparación en el segundo ciclo.