Errores y Tipo de Sistema

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1 rrore y Tipo de Sitema rror dinámico: e la diferencia entre la eñale de entrada y alida durante el período tranitorio, e decir el tiempo que tarda la eñal de repueta en etablecere. La repueta de un itema en régimen tranitorio e analizará al final de ete capítulo; por ahora ólo diremo que para etudiar ete tipo de repueta e utilizan eñale de prueba, el iguiente cuadro muetra la tranformada de Laplace de la mima: Función del tiempo Tranformada función de Impulo calón unitario / ampa unitaria / Tabla Parabólica / 3 l iguiente gráfico muetra la repueta de un itema ante una entrada ecalón y el error aí generado: rror dinámico c(t) e(t) r(t) Tiempo t Sitema de Control 67 Verión 3 Página de 6

2 rror etacionario: e la diferencia entre la eñale de entrada y alida durante el período etacionario o permanente, e lo etudia en el campo complejo ya que e dipone de la tranferencia, para ello e utiliza el teorema del valor final. Sea e(t) la función error, e define el error etacionario como: () lim lim e(t) e t Ahora analizaremo la tranferencia de un itema de control de lazo cerrado obteniendo una expreión de la tranformada del error (); como el error etacionario depende del tipo de función de tranferencia de lazo abierto., upondremo que. poee una forma determinada, por último para ditinto tipo de entrada calcularemo el error etacionario (utilizando el teorema del valor final). C ; C xpreamo la tranferencia de lazo abierto. en forma de contante de tiempo: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Λ Λ T T T Tc Tb Ta k 3 n to preenta la ventaja de relacionar el error etacionario con la ganancia k; pue la expreión de., in coniderar el término n, tiende a K cuando, lo que implifica el análii Sitema de Control 67 verión 3 Página de 6

3 Según el teorema del valor final e tiene: e lim e(t) lim () t e lim t e lim t k n ( Ta ) ( Tb ) Λ ( T ) ( T )Λ Luego para ditinta entrada () e calcula e; uponiendo tre entrada tipo de prueba, ecalón unitario, rampa unitaria y parabólica. n cuanto al valor del exponente n de la expreión de e, e define como itema tipo,,, 3, etc., egún ea n igual a,,, 3, etc., repectivamente. Si bien el término integrador / n diminuye el error etacionario, no e etudian itema de mayor tipo que tre (3) ya que el itema tiende a tornare inetable. La iguiente tabla reume lo cálculo: Tabla.a Tipo ntrada 3 calón unitario, / /(k) ampa unitaria, / /k Parabólica, / 3 /k queda: Si definimo coeficiente de error etático a lo recíproco de e la tabla anterior Tabla.b Tipo ntrada Coeficiente de rror 3 calón unitario, / De poición K p k ampa unitaria, / De velocidad K v k Parabólica, / 3 De aceleración K a k Lo coeficiente de error etático on factore de mérito, cuanto mayore on mejor e el itema repecto del error etacionario. Sitema de Control 67 Verión 3 Página 3 de 6

4 La definición de coeficiente de error aí preentada e un tanto decolgada, pero un rápido análii quizá arroje un poco de luz (de lo contrario preguntar a lo docente, que in duda le alcanzarán una antorcha!!!). Si la entrada e ecalón: / e lim () lim lim e lim l coeficiente de error etacionario erá (#) : kp lim e kp Se llama error etático de poición al valor kp. Si la entrada e una rampa unitaria: / e lim Siendo : kv lim e kv ; lim ( ) lim el error etático de velocidad, por lo tanto : Si la entrada e parabólica: 3 / e lim lim Siendo : ka lim e ka ( ) lim ; el error etático de aceleración, por lo tanto : Sitema de Control 67 verión 3 Página 4 de 6

5 n definitiva lo coeficiente kp, kv y ka on coeficiente de mérito obre el comportamiento del itema. Por ejemplo, e ve claramente que diminuir el error de un itema tipo cero realimentado y bajo una entrada ecalón e debe aumentar la ganancia kp. Cabe aclarar que ee aumento e verá en general limitado por la pérdida en cuanto a etabilidad del itema. Para itema tipo uno ó uperiore e decir con la introducción de integradore en. e reulta nulo. Se puede efectuar un análii imilar con repecto a otro itema ometido a ditinta entrada de prueba, el lector puede realizar ete tipo de análii utilizando la tabla.a y.b; reemplazando el valor de k por kp, kv ó ka egún correponda. Criterio de rror Vamo a preentar alguno de lo criterio de deempeño que permiten evaluar el comportamiento de lo itema y on la bae para optimizarlo repecto del comportamiento de u error en el tranitorio. Criterio integral de error cuadrático,(cic). La cantidad a evaluar e la iguiente: e dt l objetivo erá entonce minimizar el valor de eta integral (criterio válido para lo iguiente índice). La principale caracterítica on: Se da mayor importancia a lo errore grande. No e un criterio muy electivo. epueta rápida pero ocilatoria, etabilidad relativa pobre. Criterio integral de error aboluto, (CIA) Se evalúa la iguiente integral: e dt Su caracterítica on: Sitema de Control 67 Verión 3 Página 5 de 6

6 De muy fácil aplicación. No e pueden optimizar itema altamente ub ni altamente obre amortiguado. Difícil de evaluar analíticamente. Criterio de error cuadrático integral por el tiempo, (CCIT). La integral e: t e dt Se caracteriza por: Lo grande errore iniciale tienen poco peo pero lo que e producen má tarde on fuertemente penado. Mejor electividad con repecto a CCI. Criterio integral del producto de error aboluto por tiempo, (CIAT). La integral e: e t dt Se ditingue por: Lo errore tardío on má catigado. Buena electividad. Difícil de evaluar analíticamente. Nota : Lo criterio e utilizan en la optimización de itema para lo que hay que coniderar algún parámetro repecto del cual e pueda operar. Por ejemplo i como reultado de la integral del correpondiente criterio aparece el valor del factor de amortiguamiento o bien algo que influya obre él como por ej. la ganancia, derivaremo repecto del mimo hallando el mínimo para diminuir el error egún ee criterio hata el óptimo. Sitema de Control 67 verión 3 Página 6 de 6

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