EL GRUPO DE TEIANSFORMACIONES EN EL ALGEBRA BINARIA. ENTRE SHEFFER Y PIAGET

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1 L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, ARTÍULOS L RUPO TANSORMAONS N L ALRA NARA. NTR SR Y PAT JULÁN VLAR LOMRANA Ovied. Algebr de le e dice que un cnjunt psee un estructur lgebric si psee l mens un ley de cmpsición. Se denmin álgebr un estructur que psee i mens ds leyes de, cmpsición. Y un estructur lgebric que dmite tres percines ds binris, que representms pr «u» y «n», y un mnri, que representms pr unids pr ls prpieddes que expresn ls tbls de l. se denmin álgebr de le. Un cntidd blen simple ( vrible blen) que representms pr «x» es un cntidd que n cnst de cmpnentes y que es susceptible de tmr slmente ds vlres que se excluyen, cm sn td nd, verdd flsedd, sí n, biert cerrd, pr impr, etc. sts pueden representrse de múltiples frms: y «O», «V» y, «-h» y. u n X X d element de ese cnjunt se sci un cntidd blen simple. Sen. y P cntiddes blens (simples generles). Si cd vlr de crrespnde un vlr determind de P, se dice que p es función blen. ividiend ls vribles y ls fiíncines en simples y generles cben.' () uncines simples de vribles simples: y =f(x) () uncines simples de vribles generles: y = f(x) (3) uncines generles de vribles generles: Y = (X) (4) uncines generles de "vribles simples: Y = (x) Teniend X n cmpnentes e Y /> cmpnentes, el númer defuncines blens es " (P/ " represent el númer de pcines que tm X. Y cd pción se puede pner en crrespndenci cn un culquier de ls ''que tm Y. Limitándns ls funcines simples ^p = tenems ls css siguientes: () Si «= : {Í =4 est es, hy cutr funcines simples de un vrible simple, que pdems representr en l tbl siguiente:. X fl f f3 f4 Un cntidd blen generl que representms pr «X» es un cnjunt de cntiddes blens simples, est es, un cnjunt finit un cliunn, mtriz infinit Un segment rgnizd de tl frm que c. r 3 L ASLSO

2 L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, (b) Si n -- : Q.'f--\(i. est es, hy dieciséis funcines simples de ds vribles simples, representds en l siguiente tbl: xy f, íi f3 f4 {> f6 íi fs f9. fi fn fl fl3 fl4 fis fl6 ' A A. 3 d función simple de un más vribles simples frm un clección de «elements, y puest que ls elements hn de ser «O» ó *», result un númer determind de permutcines cn repetición. n el cs de ls funcines simples de ds vribles simples tenems cleccines de n bjets (cn «= 4) pertenecientes ds clses, y P, grupds en ls siguientes tips: Siend un clección de n bjets en ls que puede hber ejemplres del bjet de tip, P ejemplres del bjet de tip b, y ejemplres del bjet de tip c, etc., tenems + p Y = n Tip () " (b) " (c) 4 3 P ó P 4 3 de dnde resultn permutcines cn repetición.! P!...y! n el cs de ls funcines simples de un vrible simple, dd que hy ds clses, y (3 l clse de ls <» y l clse de ls «O», cben pr =!! O! Un permutción en el cs de = (ds Í-», pr ejempl). Y l mism pr P = (ds <»):! O!! = n ttl, permutcines cn repetición pr cund un clse es igul ds y l tr igul cer. st es, en l tbl de l. 3 ls clumns frmn cleccines de ls tips (), (b) y (c), ms cuánts hy de cd tip? Aplicnd l fórmul nterir de ls permutcines cn repetición, tenems: el tip (): O! O! = = n ttl, ds permutcines cn repetición de un mism element. Sn ls clumns y 6 de l. 3, señlds cn el sign «A». el tip (b): 3!! Si= lyp=l, entnces tenems!!! = ;! 3! = 4 Obtenems, sí, ls cutr permutcines que cnstitiyen ls cutr funcines simples de un vrible simple. n ttl, ch permutcines cn repetición de tres elements de un clse y un de l tr. Sn ls clumns L ASLSO 33

3 L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, 5, 8, 9,, 4 y 5 de l. 3, señlds cn el sign «O». el tip (c):!! = 6 Seis permutcines cn repetición de ds elements de un clse y ds de tr. Sn ls clumns 4, 6, 7,, y 3 de l. 3, señlds cn el sign. Ls funcines blens simples frmn, pues, cleccines de determind númer y tip. (mplems el términ «clección» pr subryr el hech de que ls elements del cnjunt sn discernibles). d im clección de» elements se denmin trnsfrmción de l perción que hce crrespnder tr clección ' cn ls «elements de. Ls trnsfrmcines frmn un grup dé permutcines. d trnsfrmción per un permutción. Así, dd el rectángul de l. 4, l perción cnsistente en un simetrí respect del eje M-N cnstituye un trnsfrmción Tj, cuy resultd es el rectándul de l Tj =. 5 A A n l tbl de l. 3 el rectángul de l. 4 se crrespnde, pr ejempl, cn l climin 8, y el rectángul de l. 5, cn l clumn 4. Más en qué cnsiste l perción que cm en ls rectánguls trnsfrm l primer clumn en l segund? Si un trnsfrmción es un perción mnri, pdems plicr ést en l tbl de l. 4, bien ls vribles ^x ó y, bien ls funcines, que pdems simblizr pr «.*». Vribles y funcines cnstituyen hr ls rguments de l perción. Si cnsiderms, demás, l perción cer ^l que dej ls css cm están, pr ejempl el gir de 36 en el rectángul ntes mencind cm un perción, cben ^ = 8 trnsfrmcines. Simbliznd l perción mnri pr un ry () encim de ls rguments y l flt de símbl pr l perción cer, btenems ls ch trnsfrmcines siguientes: : * y : *-y : * y : x-5-y : X * : X"*" : X * : T*" ems indicd que ls clumns de l. 3 frmn cleccines de tres tips: Och del tip (b) y mens de ls trs ds. n ls ch trnsfrmcines psibles pdems btener ch cleccines prtir de un dd, ms ls cleccines resultntes de ls distints trnsfrmcines sn tds distints entre sí? L respuest depende de l interpretción de ls signs «*» y «-», est es, de ls funcines. mencems pr ls funcines mnris expuests en l tbl de l.. L trnsfrmción cer crrespnde l clumn ds (f.). Y l trnsfrmción cmplement () crrespnde l clumn tres (f. 3). Así, sirve pr designr el cmplement de x, cuys prpieddes sn: (l)f = x () Si X > y, entnces x < y ems dividid l tbl de l. 3 en tres tips de cleccines cn ds clses de elements cd clección, l clse y l clse 3. Puest que l trnsfrmción cmplement cnvierte ls elements de un clse en elements de tr y dd que ls clses en cd tip sn simétrics, prtir de ls trnsfrmcines cer y cmplement pdems estblecer el siguiente terem: Se «A» un clección perteneciente un de ls tips (), (b) (c), el resultd de l trnsfrmción cer de l trnsfrmción cmplement es tr clección que pertenece l mism tip que «A». Se «X * y», pr ejempl, l función 5 (). Si le plicms l trnsfrmción («"xty»), el resultd es l función 5 (). Si plicms ls ch trnsfrmcines psibles un clección de l. 3 uánts cleccines distints entre sí btenems?. Antes de frecer un respuest hems de intrducir el cncept de «dulidd». L dulidd es un plicción del cnjunt de ls vlres de un cntidd blen sbre sí mism definid pr: O - () L dulidd es un relción simétric. Pr l tnt, si denminms x' l dul de x, O (xt = x () L dulidd invierte l relción de rden. Pr l tnt, si X ^ X, entnces xi' ^ X' (3) n relción l cmplement tenems entnces que: 34 L ASLSO

4 P L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, X =x, X' = X (X) = [(X)] (X) = [(X')]' Pr l tnt, (i) () (3) P j., f4 j., f7 j., fó per (X) 5^ '(X). X = X Ls trnsfrmcines cnstituyen un grup de permutcines. l cncept de permutción exige el de rden y, cnsecuentemente, el de dulidd. y cleccines cuy dul cnstituye su cmplement l trnsfrmción idéntic. Ocurre est cn ls cleccines pertenecientes l tip () y (c), est es, quélls en ls que ls elements pertenecientes ls clses y P sn simétrics. e dnde result que: () n respect l tip (b) de cleccines l plicción de ls ch trnsfrmcines psibles un clección del tip (b) prduce ch cleccines (clumns) distints del tip (b) (ls ch que pertenecen dich tip), que pdems representr medinte l figur 6. Pr (i) tenems:,, =,, = st es,.,, f4.. f: Pr () tenems:,, =,, = st es, Y pr (s): r,,, j. 7 ri,, =,, = st es, tt*.\) [.U-'^i),,, f6.,,, st quí ns hems cupd de l cmbintri referente cntiddes y funcines blens y trnsfrmcines. Sin bndnr el álgebr bstrct es psible el estudi de ls ch trnsfrmcines en sí misms y el sistem que cnstituyen. í^'-i). 6 f.m () n respect l tip () de cleccines, ls trnsfrmcines,, =,, = Según est:,,, fi -..., (3) n respect l tip (c) de cleccines se precis distinguir tres tips de simetrí que gurdn entre sí ls elements pertenecientes ls clses y P: Terem: l cnjunt de trnsfrmcines,,,,,,, frmn un grup cnmuttiv pr relción l perción «prduct» de trnsfrmcines. i prduct de ds trnsfrmcines Tj y Tk, que ntms Tj Tk es l trnsfrmción resultnte T de l perción que cnsiste en efectur sucesivmente T^ y Tki.e. TjTk = T;. l cnjunt de trnsfrmcines stisfce ls cndicines siguientes: () ndkión de cierre: L perción «prduct» plicd ds trnsfrmcines de d cm resultd un trnsfrmción que pertenece tmbién. Pr ejempl, / =. () ndición de scitividd: Si Tj, Tk y Ti sn tres trnsfrmcines culesquier de n necesrimente distints, entnces (Tj/Tk)/Ti =Tj/(Tk/Ti) L ASLSO 35

5 L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, () ndición de l existenci de un trnsfrmción idéntic Ti, ti que. TiTi=TjTi = Ti n nuestr tbl Ti crrespnde l trnsfrmción (V) ndición de l existenci de un trnsfrmción invers: A cd trnsfrmción T de crrespnde tr T' tmbién de tl que T/T' = T-VT = Ti (V) ndición de cnmuttividd: Pr cd ds trnsfrmcines de se cumple que Tj/Tk = Tk/Tj L tbl de l. 7 represent ls xims que rigen l estructur de grup cnmuttiv del cnjunt de trnsfrmcines. 7, Algebrs prticulres l álgebr «bstrct» (de ls letrs) hst quí desrrlld se cnvierte en álgebr prticulr cund ls símbls recupern su dimensión semántic. Psms, sí, l álgebr de circuits, l álgebr numéric, l álgebr de prpsicines, etc. Áres de diverss cmps quedn estructurds de cuerd cn ls leyes del álgebr «bstrct» (de ls letrs) y ell permite un cmprción de ls diverss cmps precismente trvés de ess áres de idéntic estructurción. Nuestr bjetiv ^insert en l tre de le es l cmprción de ds cmps: l de ls númers (Aritmétic) y el de ls prpsicines (Lógic) trvés del álgebr. n cncret, estblecer un ismrfísm l más mpli psible entre mbs cmps. Se L el cmp del álgebr de prpsicines: Ls vribles simples representn prpsicines; ls ds vlres blens y «O» representn l verdd y l flsedd respectivmente; ls funcines que encbezn ls clumns de ls tbls de ls figurs y 3 se crrespnden cn ls funtres ^mnádics y diádics de l lógic clásic bivlente. Se puede intentr estblecer un crrespndenci biunívc entre ls elements mencinds del cmp L y trs elements del cmp A el cmp de l Aritmétic. brí que buscr pr cd funtr lógic un perción ritmétic: Más este cmin qued cerrd pc de trnsitrl. s precis buscr tjs, per n un culquier; el elegid n h de ser tn ngst que bligue J ' J. dejr trás prte del mteril del cmp. l que prpnems es el siguiente: nsiderr ls funtres lógics grupds según ls tips de cleccines (), (b), (ci), (c) y (es) en que hems dividid ls clumns de ls figurs y 3. A prtir de un funtr perteneciente un determind tip y de ls trnsfrmcines idéntic y cmplement se btienen ls funtres restntes del tip en cuestión. st exige cnsiderr ls trnsfrmcines cm elements pertenecientes tmbién l cnjunt riginl prtir del cul se estblece l crrespndenci entre el cmp L y el cmp A. Si L cmp de l Lógic es el cnjunt riginl cuys elements sn: Vribles prpsicinles (p, q, r,...); ds vlres (verdd y flsedd, representds pr y «O»); cinc funtres, pertenecientes ls tips (), (b), (ci), (c) y (c3); y ds trnsfrmcines (idéntic y cmplement), hy que estblecer un plicción sbre el cnjunt imgen A cmp de l Aritmétic que debe incluir: vribles numérics (x, y, z,...), ds vlres numérics, cinc tips de percines binris, y ds percines mnris. TOKMA: be estblecer un plicción de L sbre A. L tbl de l. 8 muestr l crrespndenci biunívc entre ls elements de mbs cmps cm sigue: () p, q, r,...vribles prpsicinles; x, y, z,..., vribles numérics. () y «O» signs que representn ls vlres prpsicinles «verdd» y «flsedd» y simism ls vlres numérics y. () vt» (tutlgí), el funtr lógic perteneciente l tip (); v&» (njunción), el funtr lógic perteneciente l tip (b); < _» (firmción del miembr l izquierd del sign), es el funtr perteneciente l tip (c ); vw» (disyunción exclusiv), el funtr perteneciente l tip (c:); y ^ j> (firmción del miembr l izquierd del sign), el funtr perteneciente l tip (c:). A cd un de ests funtres lógics crrespnde respectivmente un perción ritmétic que prece en l ig. 8 encim de su crrespndiente funtr lógic. (V) (trnsfrmción cmplement). d un vrible prpsicinl ^j medinte l trnsfrmción «-» btenems f. Se crrespnde cn l perción ritmétic «X» mp A mp L xy pq -x P ptq ntre Sheffer y Piget x.y p&q. x p q x-y pwq y p q ems hech referenci más rrib tjs trvés de ls cules es psible pner en crrespndenci percines lógics cn percines ritmétics. Un de ells 36 L ASLSO

6 L ASLSO, númer, ener-ctubre 98, (tj n ) cnsiste en prtir de un númer más mens reducid de funtres lógics tmds cm primitivs y definir ls restntes en términs de quélls. Sól rest, en ese cs, buscr ls percines ritmétics que se crrespnden cn ls funtres lógics tmds cm primitivs. l cs límite en est dirección l cnstituye el funtr de Sheffer ( el de Peirce), per cn tds ls dificultdes que plnten ls css límite. l funtr incmptibilidd, «/», es un funtr diádic l que pueden reducirse tds ls demás (incluids ls mnádics). Per sól prentemente. (Pr l demás result bvi que un sistem cn un sól perdr n serí tl). n l interpretción mism de «/» prece unque implícit el funtr ; <-p/q» signific «n l vez/» y q». Ls fiíntres «/» y «i» cnstituyen, pues, css límites, y que n se sbe ctulmente cóm relizr cncretmente dichs percines sin cudir trs percines elementles. Abndnd el tj de l perción únic, hems de elegir un de entre quélls en ls que intervienen n (cn n ^ ) percines. Pr ejempl (tj n ), l vist de l tbl de l. 3, dblrl pr l líne que sepr fs y h. Ls figurs A, O, cindicen. ll quiere decir que necesitms ch percines diádics crrespndientes ls ch primers fiíncines y un perción mnádic crrespndiente l trnsfrmción cmplement. Atj n 3: Prtir de ds funtres, un mnádic y tr diádic, cm funtres primitivs ls que pueden reducirse tds ls demás. Sen ésts, pr ejempl, <» y «&». Se pueden pner en crrespndenci cn l perción ritmétic «-x» y el perdr <.» (multiplicdr). Así, dd l fórmul lógic «p -^ q», su crrespndiente ritmétic es - [x.(l-y)]. e hech, tds ls investigdres de l Lógic hn relizd explícit implícitmente l reducción de uns funtres trs. Tl reducción h de ser efectud prtir de uns criteris evlubles lgebricmente, que sn ls que hcen preferible un tj tr. e tr md, result rbitrri reducir ls percines lógics un númer culquier sin justificr l elección. s el sistem que cnstituyen ls funtres elegids cm primitivs y ls trnsfrmcines l que imprt l hr de decidirse pr un de ls tjs. s desde este punt de vist desde el cul preferims el expuest más rrib tres tips de funtres y ch trnsfrmcines l n y l n 3. sts últims sn inferires lgebric y estructurlmente. Nuestr tj es similr l de Piget, per sól en ls vís de cces. Pr Piget l imprtnte es el sistem que frmn ls trnsfrmcines, más n se precup del sistem que frmn ls funtres. n segund lugr, el bjetiv de Piget cnsiste en relcinr, n l Lógic cn l Aritmétic, en el sentid rrib descrit, sin l Lógic cn el Algebr, en cuy cs su sistem de trnsfrmcines result incmplet. l grup de trnsfrmcines de Piget, N, R, cnstituye un subgrup de nuestr grup cmplet lgebricmente. Ls trnsfrmcines, N, R, crrespnden respectivmente ls trnsfrmcines \,,, de nuestr grup. L puest en crrespndenci de un áre de l Lógic estructurd de l frm rrib indicd permite, en primer lugr, un cmprción en bse spects cncrets de mbs disciplins. n segund lugr, permite desrrllr un métd de decisión pr el cálcul de prpsicines trvés de percines ritmétics cn pliccines práctics cm puede ser l prueb de terems de lógic de prpsicines en un clculdr que sól dispne de percines ritmétics. m puede cmprbrse, este métd de decisión cnstituye un cs intermedi entre el métd de ls «frms nrmles» y el «métd de reslución» de Quine. esde el punt de vist práctic tiene, creems, ls siguientes ventjs sbre ls ds citds: () rente l métd de Quine: l intervenir cm miembrs de percines ritmétics ls elements y «O» ésts se resuelven más rápid y cómdmente que ls elements y «O» ó «V» y en percines lógics. L myr prte de ls pruebs cnstituyen fórmuls en ls que intervienen cers, uns, rests y multipliccines. Y teniend en cuent ls relcines que ests elements cer y un gurdn cn ls percines multiplicción y rest, ls fórmuls se crtn rápidmente. Ofrecems cntinución l prueb de ls ds terems más específics de l lógic clásic. Un de l lógic risttélic el principi de n cntrdicción. Y tr de l lógic estic el V de sus «indemstrbles»: () PRNPO NO-ONTRAON: (p & - p) rm ritmétic: - [px( -p)] n^de p = p = l-[lx(l-l)] = pcines p = - = p = O l-[ox(l-)] = - = () L V NMOSTRAL LOS STOOS N ORMA TSS LÓA: rm ritmétic: p=l q= q = p = LORAÍA [(pwq) & p] ^ -q l-[[(/p-q/)xp]xq] l-[[(/l-q/)xl]xq] l-[(/l-q/)xq] l-[(/-l/)x] - = l-[(/l-/)x] - = l-[[(/-q/)xo]xq] - n de pcines = q =. q= P = <^ ALXANRO, P.S., ntrducción l terí de ls grups. Trd. J.. Qustler. UA, uens Aires, 965. RNSTN,.A., «Opertins with respect t which the elements f blen lgebr frm grup» en Trnsct. Amer. M.th. Sc, 6, 94, pp KUNTZMANN, J., Algebre de k. und, Pris, 965. LNTN, A. - RVAU, J., Algebr mdern. Trd.. Mtilv. Aguilr, Mdrid, 973. PAT, J., ssi de lgique pértire. und, Prís, 97. SR,.M., «A set f five independen: pstulres fr len lgebrs, with pplictin t lgicl cnstnts» en Trns Amer. Mth. Sc, 4, 93, pp L ASLSO 37

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