SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 Pág. Página 60 PRACTICA Calcula mentalmente: a) 2% de 400 b) 2% de 400 c) 2% de 80 d) 2% de 80 e) 7% de 400 f) 7% de 600 g) 20% de h) 20% de a) 00 b) 00 c) 20 d) 00 e) 300 f) 00 g) 400 h) Halla: a) 30% de 670 b) 2% de 3 07 c) 43% de d) 6% de 2 e) % de 640 f) 6% de g) 0,3% de 000 h),2% de a) 30% de ,3 0 b) 2% de ,2 369 c) 43% de , d) 6% de 2 2 0,6 4 e) % de , 886 f) 6% de , g) 0,3% de ,003 h),2% de , Completa la tabla que hace corresponder cada porcentaje con un número decimal: 30% 6% 20% 80% 240% 0,30 0,03,80 2,70 30% 6% 3% 20% 80% 240% 270% 0,30 0,6 0,03,20,80 2,40 2,70 4 Completa la tabla como en el ejemplo: TOTAL % PARTE TOTAL % PARTE % 3% 2% % 3% 6% 2% %

2 Pág. 2 Calcula x en cada proporción: a) b) x 3 c) 2 4 d) x x 63 7 a) x x 20 b) 72 x x c) 2 4 x x 63 4 d) x 43 x Completa la tabla sabiendo que las magnitudes A y B son directamente proporcionales. A B x A B , ,2 7 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes M y N son inversamente proporcionales. M N M N PIENSA Y RESUELVE Proporcionalidad directa e inversa 8 El dueño de un papelería ha abonado una factura de 670 por un pedido de 2 cajas de folios. A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 7 cajas? Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de 938? 2 cajas cajas x cajas 938 y Directamente proporcionales: x 4,6 costarán 7 cajas 2 Directamente proporcionales: y 3 cajas recibirá en el tercer pedido 670

3 Pág : 2 26,8 cuesta caja. 26,8 7 4,6 costarán 7 cajas. 938 : 26,8 3 cajas recibirá en el tercer pedido. 9 Cinco carpinteros necesita 2 días para entarimar un suelo. Cuántos carpinteros serán necesarios si se desea hacer el trabajo en días? 2 días carpinteros días x 2 0 carpinteros serían necesarios para tardar día. 0 : 7 carpinteros serían necesarios para tardar días. 0 Los vecinos de una urbanización abonan 390 mensuales por las 30 farolas que alumbran sus calles. Cuántas farolas han de suprimir si desean reducir la factura mensual a 240? farolas 240 x farolas han de suprimir. 390 : 30 3 pagan por cada farola. 240 : 3 80 farolas quedarán farolas han de suprimir. Un campamento de refugiados que alberga a personas tiene víveres para 24 semanas. En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 nuevos refugiados? refugiados habrá con los nuevos personas 24 semanas personas x Se reducirá en semana. Inversamente proporcionales: 2 x 7 carpinteros Directamente proporcionales: x 80 farolas quedarán 390 Inversamente proporcionales: x 23 semanas durarán los viveres semanas durarían los víveres para persona : semanas durarán los víveres para refugiados semana se reducirá el tiempo.

4 Pág. 4 2 Una finca tiene una valla antigua sostenida por 60 postes que están colocados a intervalos de,20 m. Cuántos postes se necesitarán para la nueva valla en la que los postes se colocarán a intervalos de,30 m?,20 m 60 postes,30 m x, postes necesitaríamos con m de distancia entre ellos. 780 :, postes se necesitarán con,30 m de distancia entre ellos. 3 Un manantial tarda cinco horas y veinte minutos en llenar un pilón de litros. Cuántos litros aporta el manantial a la semana? h 20 min 320 minutos; semana minutos. 320 min litros min x : ,37 litros aporta en minuto , litros aporta en una semana. 4 Un peregrino del Camino de Santiago ha invertido días y 2 horas en cubrir una distancia de 28 kilómetros. Sabiendo que en cada jornada camina durante seis horas, qué distancia recorre al día? días 6 horas/día 30 horas 30 horas + 2 horas 32 horas ha tardado en recorrer 28 km. 28 : 32 4 km recorre en hora km recorre al día. 32 horas 28 km 6 horas x Una locomotora, a 8 km/h, tarda tres horas y dieciocho minutos en realizar el viaje de ida entre dos ciudades. Cuánto tardará en el viaje de vuelta si aumenta su velocidad a 0 km/h? 3 horas 8 minutos 98 minutos 8 km/h 98 min 0 km/h x Directamente proporcionales: 6 28 x 24 km recorre al día. 32 Inversamente proporcionales:,20 60 x 600 postes,30 Directamente proporcionales: x litros en una 320 semana Inversamente proporcionales: 8 98 x 3 min 2 horas 33 min 0

5 Pág. 3 horas 8 min 3,3 horas 8 km/h 3,3 h 280, km recorre en total. 280, : 0 2, horas tarda en la vuelta 2 horas 33 minutos. Proporcionalidad 6 Cuatro mineros abren una galería de metros de longitud en 9 días. Cuántos metros de galería abrirán 6 mineros en días? PROPORCIONALIDAD DIRECTA PROP. DIRECTA Nº DE MINEROS Nº DE DÍAS LONGITUD (m) , 2 Abrirán 37, metros : 4 3,7 m abrirá minero en 9 días. 3,7 : 9 m abrirá minero en día , m abrirán 6 mineros en día. 2 2, 37, m abrirán 6 mineros en días. Página 6 7 Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 2 días para levantar un muro. Cuántos obreros necitamos para construir ese muro en 9 días, trabajando jornadas de 0 horas? PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 PROP. INVERSA Nº DE HORAS DIARIAS Nº DE DÍAS Nº DE OBREROS

6 Pág. 6 Habrían sido necesarios 4 obreros días tardaría obrero trabajando 6 horas diarias horas tardaría obrero en hacer todo el trabajo. 360 : 0 36 días tardaría obrero trabajando 0 horas diarias. 36 : 9 4 obreros serían necesarios para acabar enn 9 días a 0 horas diarias. 8 En una cadena de montaje, 7 operarios, trabajando 8 horas al día, ensamblan 80 aparatos de radio a la semana. Cuántas horas diarias deben trabajar la próxima semana, para atender un pedido de 000 aparatos, teniendo en cuenta que se añadirá un refuerzo de tres trabajadores? PROPORCIONALIDAD INVERSA PROP. DIRECTA Nº DE OPERARIOS Nº DE APARATOS Nº DE HORAS DIARIAS ,6 80 0, Deberán trabajar 8 horas diarias horas necesitaría operario para ensamblar 80 aparatos. 36 : 80 0,6 horas necesitaría operario para ensamblar aparato. 0, horas necesitaría operario para ensamblar 000 aparatos. 60 : 20 8 horas diarias deben trabajar 20 operarios para ensamblar 000 aparatos. 9 En un campo de 200 m de largo y 80 m de anchura, se ha recogido una cosecha de kg de trigo. Qué cosecha podemos esperar de otro campo que mide 90 m de largo y 90 m de ancho? PROPORCIONALIDAD DIRECTA PROP. DIRECTA LONGITUD (m) ANCHURA (m) COSECHA (kg) , ,

7 Pág. 7 Se puede esperar una cosecha de 30 kg de trigo : kg se esperan en un campo de m de largo y 80 m de ancho. 24 : 80 0,3 kg se esperan en un campo de m de largo y m de ancho. 0, kg se esperan en un campo de 90 m de largo y m de ancho kg se esperan en un campo de 90 m de largo y 90 m de ancho. Repartos proporcionales 20 Dos albañiles cobran 340 por un trabajo realizado conjuntamente. Si el primero trabajó tres jornadas y media y el segundo cinco jornadas, cuánto cobrará cada uno? 340 : 8, jornadas 40 cobrará por jornada. er albañil 3, jornadas 3, cobrará 2º albañil jornadas cobrará 2 Tres hermanos se reparten una herencia de de forma que por cada cinco euros que reciba el mayor, el mediano recibirá cuatro, y el pequeño, tres. Qué cantidad se lleva cada uno? Mayor Mediano Pequeño x 23 7 se llevará. 4x se llevará. 3x se llevará. Total 2x x : Se han abonado por la limpieza de un bosque realizada por dos brigadas de trabajadores. La primera brigada está formada por 2 operarios y ha trabajado durante 8 días. La segunda brigada tiene hombres y ha trabajado 0 días. Cuánto corresponde a cada brigada? ª brigada días deben pagar a la ª brigada. 2ª brigada 0 0 días deben pagar a la 2ª brigada. Suma 246 días deben pagar a la ª brigada deben pagar a la 2ª brigada. 23 Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de Qué parte corresponde a cada uno si el primero aportó inicialmente 8 000, el segundo, 000, y el tercero, 0 000?

8 Pág : ,3 corresponden por cada euro invertido. er socio , le corresponden. 2º socio 000 0, le corresponden. 3 er socio , le corresponden. Suma aportan entre los tres. Mezclas 24 En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 el hectólitro, con 0 hl de vino de calidad inferior a 220 /hl. A cómo sale el litro del vino resultante? ALTA CALIDAD BAJA CALIDAD MEZCLA CANTIDAD (hl) PRECIO (hl) COSTE Precio de la mezcla Coste total cuesta hl de mezcla. Cantidad total 6 20 : 00 2, cuesta l de mezcla. 2 Se han vertido 3 litros de agua, a C, en una olla que contenía 6 litros de agua a 60 C. A qué temperatura está ahora el agua de la olla? ª CANTIDAD 2ª CANTIDAD 3ª CANTIDAD CANTIDAD (l) TEMPERATURA ( C) Temperatura mezcla 40 4 C 9 26 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto con otro lingote de kg y 64% de pureza. Cuál es la pureza del lingote resultante? er LINGOTE 2º LINGOTE MEZCLA CANTIDAD (kg) PUREZA (%) CANTIDAD DE ORO (kg) 3 80% 3 0,8 2,4 64% 0,64 0,64 4 3,04 Proporción de oro en la mezcla 3,04 0,76 76% de pureza. 4 Es decir, hay un 76% de oro en el lingote resultante.

9 Pág Se funden 3 kg de oro puro con 7 kg de oro de 20 quilates. Cuál es la ley del lingote resultante? El oro puro tiene una ley de 24 quilates que significa una pureza del 00%. Una ley de 20 quilates significa que de 24 partes del peso del lingote, 20 son de oro. CANTIDAD (kg) PROPORCIÓN DE ORO CANTIDAD DE ORO (kg) er LINGOTE 2º LINGOTE MEZCLA Proporción de oro en la mezcla 3/6 3 0,88 (88% de oro) Para hallar a cuántos quilates corresponde hacemos: 3 x x ,2 quilates Móviles 28 Dos ciudades A y B distan 30 km. De A sale hacia B un coche a 0 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión a 90 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que recorre cada uno. A 30 km 0 km/h 90 km/h Se aproximan a una velocidad de: km/h Tiempo que tardan en encontrarse: t d 30,7 horas hora 4 minutos v 200 Distancia que recorre cada uno: 0,7 92, km recorre el que sale de A , 7, km recorre el que sale de B. 29 Un autobús sale de A a 0 km/h. Simultáneamente sale de B un coche a 20 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan. B A 300 km B 0 km/h 20 km/h Se aproximan a una velocidad de: km/h

10 Pág. 0 Tiempo que tardan en encontrarse: t d 300,3 ) horas h 20 min v 22 Distancia que recorre cada uno: Autobús: d t v,3 ) 0 40 km Coche: d t v,3 ) km 30 Un camión sale de cierta población a una velocidad de 90 km/h. Cinco minutos más tarde sale en su persecución una moto a 20 km/h. Cuánto tiempo tarda la moto en alcanzar al camión? Al cabo de los minutos, el camión ha recorrido: , km le lleva de ventaja. A 7, km B 20 km/h 90 km/h Se aproximan a una velocidad de: km/h Tiempo que tarda en alcanzarlo: t d 7, 0,2 horas minutos v 30 Porcentajes 3 El 64% de los 87 alumnos y alumnas de un colegio están matriculados en Educación Secundaria. Cuántos de ellos no son de Secundaria? 64% de 87 0, son de Secundaria no son de Secundaria. 64% son de secundaria 00% 64% 36% no son de Secundaria. 36% de 87 0, no son de Secundaria. 32 Un pantano contenía en enero un millón de metros cúbicos de agua y estaba lleno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% de la capacidad, y en agosto, al 30%. Cuántos metros cúbicos de agua contenía en abril? Y en agosto? Abril: , m 3 de agua Agosto: , m 3 de agua

11 Pág. Página El precio de un artículo sin IVA es de 72. Si he pagado 84, qué porcentaje de IVA me han cargado? 72 x 84 x 84,6 72 El porcentaje de IVA es del 6%. 34 Se han pagado 4 por una entrada para un partido adquirida en la reventa. Si el revendedor ha cobrado el 80% del precio original, cuánto costaba la entrada en taquilla? x,8 4 x 4 2,8 3 Un litro de gasolina costaba en enero 0,88, pero ha sufrido dos subidas en los últimos meses, la primera de un % y la segunda, un 4%. Cuánto cuesta ahora un litro de combustible? Primera subida: 0,88,0 0,924 Segunda subida: 0,924,04 0, ,96 Un litro de combustible cuesta unos 0, El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces en este año. La primera un % y la segunda un 8%. Pero en el último trimestre ha bajado un 6%. Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año? + 0,, primera subida + 0,08,08 segunda subida 0,06 0,94 bajada,,08 0,94,6748 Ha habido un subida del 6,748%. 37 De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el % africanos, el 2% americanos y el resto europeos. Cuánto europeos viajan en el avión? 30% + % + 2% 70% no son europeos. 00% 70% 30% son europeos. 30% de 240 0, viajeros son europeos. 38 Un cine tiene 20 butacas ocupadas, lo que supone el 6% del total. Cuál es la capacidad del cine? 6% de x 20 x 20 : 0,6 800 butacas hay en total.

12 Pág Los resultados en tiros de tres puntos obtenidos por tres jugadores de baloncesto han sido: JUGADOR A B C 20 4 % 48,3 4, 3 TIROS CONSEGUIDOS Cuántos intentos ha hecho cada uno? Jugador A 48,3% de x x : 0,483 3 intentos Jugador B 4,% de y 20 y 20 : 0,4 44 intentos Jugador C 3% de z 4 z 4 : 0,3 40 intentos 40 Calcula el coste final de todos estos artículos, teniendo en cuenta la rebaja que se anuncia. REBAJAS % Rebaja del % Pagamos 00% % 8% Los precios ya rebajados serán: Pantalón 8% de 4 0,8 4 4,9 Chaqueta 8% de 08 0,8 08 9,8 Guantes 8% de 22,4 0,8 22,4 9,04 Calcetines 8% de 4,28 0,8 4,28 3,638 3,64 Zapatos 8% de 62 0,8 62 2,7 4 He pagado 6,28 por una camisa que estaba rebajada un 2%. Cuánto costaba la camisa sin rebaja? Rebaja del 2% He pagado 00% 2% 88% 88% de x 6,28 x 6,28 : 0,88 8, costaba sin rebaja. 42 Un panadero vende el pan de un kilo a 2,0 y la barra de cuarto de kilo a 0,4. Si ha decidido subir sus productos en 2%, cuáles serán los nuevos precios? Subida del 2% Pagamos 00% + 2% 2% Pan de kg 2% de 2,0,2 2,0 2,32 2,3 Barra de kg 2% de 0,4,2 0,4 0,448 0,4 4

13 Pág A María, en su factura del agua, le aplican un recargo del 0% sobre el coste total por exceso de consumo, un descuento del %, también sobre el total, por ser empleada de la compañia suministradora, y a la cantidad resultante se le aplica un 6% de IVA. Cuánto tendrá que pagar finalmente si, según el contador, la cuota era de 20? 20,0 0,8,6 30,2 30, tendrá que pagar. Interés simple 44 Calcular el beneficio obtenido de un capital de 000 colocado al 2,% anual durante 7 meses ,02 2 de beneficio por un año ,92 de beneficio por 7 meses. 4 Un agricultor compra una finca de 24 ha a,2 el metro cuadrado, acordando saldar su deuda tres años más tarde con un interés del 3% anual. Qué cantidad deberá abonar al cabo de tres años? 24 ha 24 hm m , costaba la finca , de interés anual ha de pagar de interés debe pagar por los 3 años deberá abonar al cabo de los 3 años. 46 Qué beneficio obtiene un prestamista que cede un capital de 2 00, al 2% anual, durante 4 días? ,2 300 de beneficio obtendría por año ,99 de beneficio obtiene por 4 días. 47 Un banco cobra un interés del 9% anual por los descubiertos en las cuentas. Qué coste tiene para un cliente haber dejado su cuenta con un déficit de 7 durante días? 7 0,9 4,2 le cobrarían por un año. 4,2 36 0,9 le cuesta por días. 48 Qué renta mensual obtiene un inversionista que coloca un capital de 8 00, al 6,2%, durante 30 días? ,062 6,2 obtendría de beneficio por año. 6,2 : 2 96,3 obtiene de beneficio por un mes.

14 Pág. 4 Interés compuesto 49 En cuánto se convertirá un capital de , colocado al 4% anual, si se mantiene en el banco durante tres años sin retirar los intereses? , ,2 Página 63 0 Calcula el beneficio conseguido por un capital de colocados durante 2 años al % de interés compuesto anual , habrá al cabo de dos años de beneficio. Se colocan en el banco 3 400, al 2% de interés compuesto anual, durante 3 años. Qué cantidad se retirará al final del período? 3 400, ,43 REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 2 Justifica por qué al repartir una cantidad en partes proporcionales a 2, 3 y, se obtiene el mismo resultado que si se reparte en partes proporcionales a 4, 6 y El reparto es 2, 3, de la cantidad El reparto es 4, 6, 0 de la cantidad Y es: 2 4, 3 6, Dos coches salen a la misma hora de dos poblaciones A y B, uno al encuentro del otro. A K M H B Cuál debe ser la razón de sus velocidades para que se encuentren en el punto medio, M? Y para que se encuentren en el punto K? Y para que se encuentren en el punto H? Para que se encuentren en M, sus velocidades han de ser iguales (distancias recorridas iguales). Para que se encuentren en K, (la distancia que recorre el que sale de A es 4 de la distancia que recorre el que sale de B) la velocidad de B ha de ser 4 veces la de A; o la de A, de la de B. 4

15 Pág. Para que se encuentren en H, la razón de sus velocidades será: v A 9 v o B 9 v B v A 4 Se quiere repartir una cantidad C en partes proporcionales a m, n y p. Escribe las fórmulas que expresan las partes P m, P n y P p, en que quedará dividida dicha cantidad. P m C m ; P n C n C p ; P p m + n + p m + n + p m + n + p Una cantidad C se ha repartido en partes proporcionales a tres números, a, b y c. Las partes obtenidas han sido C/2, C/3 y C/6. Cuáles son los números a, b y c? ª parte C 3C 2 6 a 3 2ª parte C 2C 3 6 b 2 3ª parte C 6 c 6 Una cantidad, A, rebajada un %, se ha convertido en otra cantidad B de forma que A k B Cuál es el valor de k? k 0,8 7 Una cantidad, M, aumentada en un % se ha convertido en otra cantidad H, de forma que M k H. Cuál es el valor de k? k,0 8 Qué porcentaje es? a) El 0% del 0% b) El 0% del 0% c) El 20% del 2% d) El 80% del 20% e) El 20% del 20% f) El 0% del 200% a) 0% del 0% 0, 0, 0,2 2% b) 0% del 0% 0, 0, 0,0 % c) 20% del 2% 0,2 0,2 0,0 % d) 80% del 20% 0,8 0,2 0,6 6% e) 20% del 20% 0,2,2 0,24 24% f) 0% del 200% 0, 2 00%

16 Pág. 6 9 Cuál es el beneficio, I, obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante meses, con un interés del 4% anual? I C 0,04 2 0,067C El,67% de C 60 Cuál es el beneficio obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante 8 días, con un interés del 4% anual? I C 0, ,0093C El 0,93% de C PROFUNDIZA 6 Cinco camiones, haciendo 6 viajes al día, consiguen evacuar 600 m 3 de tierra en 4 días. Cuántos días tardarán 7 camiones en mover 3 00 m 3 de tierra si desescombran en un vertedero más próximo, lo que permite a cada camión realizar 0 viajes al día? PROPORCIONALIDAD INVERSA PROP. INVERSA PROP. DIRECTA Nº DE CAMIONES Nº DE VIAJES AL DÍA m 3 DE TIERRA Nº DE DÍAS , , Tardarán 0 días 6 30 viajes para 600 m 3 un camión en 4 días viajes para 600 m 3 un camión en día. 600 : 20 m 3 en un viaje en camión. 7 3 m 3 en un viaje 7 camiones m 3 en 0 viajes 7 camiones : 30 0 días tardarán 7 camiones, con 0 viajes al día, en desescombrar 3 00 m 3 de tierra.

17 Pág Un albañil tarda 6 horas en enfoscar un muro. Un segundo albañil es capaz de realizar ese mismo trabajo en 4 horas. Cuánto tiempo tardarían en hacerlo trabajando juntos? er albañil Tarda 6 horas Hace en hora. 6 2º albañil Tarda 4 horas Hace en hora. 4 Entre los dos hacen en hora: del total Por tanto, trabajando juntos tardarán: 2 hora 2 horas 24 minutos 63 Un coche realiza el viaje desde la ciudad A hasta la ciudad B en horas, y un camión realiza el recorrido contrario, de B a A en 7 horas. Si ambos parten simultáneamente, cuánto tardarán en cruzarse? Coche Tarda horas del camino en hora. Camión Tarda 7 horas del camino en hora. 7 Entre los dos recorren en hora: del camino Por tanto, tardarán en encontrarse: 3 2 horas 2 horas minutos 64 Una piscina tiene un grifo que la llena en 9 horas y un desagüe que la vacía en 2 horas. Cuánto tardaría en llenarse si por un descuido nos dejáramos abierto el desagüe? Grifo La llena en 9 horas Llena de piscina en hora. 9 Desagüe La vacía en 2 horas Vacía de piscina en hora. 2 Si abrimos el grifo y el desagüe, en hora se llena: 4 3 de piscina Por tanto, tardaría 36 horas en llenarse.

18 Pág. 8 6 Se depositan en un banco a un 8% anual y el banco descuenta un % de los beneficios como retención fiscal. a) Cuál será el porcentaje neto de rendimiento de ese capital? b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, cuál será el beneficio obtenido al cabo de dos años? a) 0,08 0,8 0,068 6,8% anual b) 6,8 : 4,7% trimestral , ,8 tendremos al cabo de los dos años , ,8 de beneficio. 66 Calcula cuántos litros de una disolución de ácido sulfúrico al 80% hay que añadir a litros de una disolución de ese mismo ácido, al %, para subir la concentración al 20%. ª DISOLUCIÓN 2ª DISOLUCIÓN MEZCLA CANTIDAD (l ) % CANTIDAD DE ÁCIDO SULFÚRICO (l ) x 80% 0,8x % 0, 0,7 x + 20% 0,2(x + ) 0,8x + 0,7 0,2 (x + ) 0,8x + 0,7 0,2x + 0,8x + 0,7 0,2 0,6x x 0,2 0,47 litros 0,6

= , ,2

= , ,2 Pág. 2 5 Calcula x en cada proporción: a) 20 440 b) 72 30 x 135 c) 14 d) x x 63 17 a) 20 400 x 30 440 660 30 x 20 b) 72 x x 45 72 24 135 45 135 c) 14 x 63 54 x 63 14 d) x 143 x 17 143 13 17 187 187 143

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