Santiago de la Fuente Fernández. Análisis de variables categóricas

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1 Satago de la Fuete Ferádez Aálss de varables categórcas

2 Satago de la Fuete Ferádez Aálss de varables categórcas

3 VARIABLES CUALITATIVAS Aálss de varables categórcas Las varables cualtatvas so aquellas cuyos valores so u couto de cualdades o umércas a las que se le suele llamar categorías, modaldades o veles eemplos: sexo (muer, hombre), flosofía polítca (lberal, moderada, coservadora), estado cvl (soltero, casado, dvorcado, vudo), vel de estudos (guo, prmaro, medo, uverstaro), etc. Ua propedad deseable de las categorías es que sea exhaustvas (proporcoe sufcetes valores para clasfcar a toda la poblacó) y mutuamete excluyetes (cada dvduo se clasfca e ua y solo ua categoría). A prmera vsta, la exhaustvdad puede parecer muy restrctva: puede que se desee saber que opa los lberales y coservadores frete a la legalzacó del aborto. E este caso, la cuestó se resuelve redefedo la poblacó medate elmacó de los moderados. CLASIFICACIÓ DE VARIABLES CUALITATIVAS Hay varas formas de clasfcar las varables cualtatvas:. Varables dcotómcas y poltómcas (segú el úmero de categorías) Dcotómcas: Solo hay dos modaldades. Eemplo, padecer ua efermedad (Sí, o), Sexo (Hombre, Muer), Resultado de ua oposcó (Aprobar, Suspeder), e geeral los feómeos de respuesta bara. Poltómcas: Cuado hay mas de dos categorías. Eemplo, feómeos de respuesta múltple, lugar de acmeto, clase socal, etc.. Escalas omal, ordal y por tervalos (segú la escala de medda de las categorías) omal: o se puede defr u orde atural etre sus categorías, por eemplo, la raza (blaca, egra, otra), la relgó (católca, udía, protestate, otra), etc. Ordal: Es posble establecer relacoes de orde etre las categorías lo coduce a establecer relacoes de tpo mayor, meor, gual o prefereca etre los dvduos. Por eemplo, el rago mltar (soldado, sargeto, teete, otro), la clase socal (alta, meda, baa), etc. S embargo, o se puede evaluar dstacas absolutas etre categorías. Así, se puede decr que ua persoa de clase alta tee mayor poder adqustvo que ua persoa de clase meda, pero o se puede decr exactamete cuál es la dfereca e poder adqustvo etre ambas. Por Itervalo: Procede de varables cuattatvas agrupadas e tervalos. Estas varables puede ser tratadas como ordales pero para ellas se puede calcular, además, dstacas umércas etre dos veles de la escala ordal, eemplos de este tpo so el sueldo, la edad, los días del mes o el vel de presó saguíea. Exste varables que puede ser meddas e escala omal, ordal o cuattatva. Por eemplo, el tpo de educacó (prvado, públco) es omal, el vel de educacó (prmara, secudara, uverstara, postgraduado) es ordal, y el úmero de años de educacó (0,,,...) es cuattatva. Los métodos estadístcos propos para aalzar varables omales puede ser usados para varables ordales pero o al revés. Lo meor es usar métodos apropados para cada tpo de escala. Satago de la Fuete Ferádez

4 TABLAS DE COTIGECIA: VARIABLES OMIALES Aálss de varables categórcas Varable omal es aquella que colleva formacó sobre u couto de valores o ordeado. La tabla de cotgeca recoge cdecas etre dos varables omales ( x,y) X Y y y... y... ym x ( e ) e ) x ( e ) e ) M M M M x ( e ) M M M M (... (... M M ( e ) M M M M... ( e) ( e) e ) ( m ( em) m ( e m) M M M M m ( e m ) M M M M m k x k k ( ek) k ( ek)... k e ) ( k... km k ( e km ) m Se aalza dos varables (que admte dsttas modaldades) medate ua tabla de cotgeca, e dode ua ocupa las flas y otra las columas. La terseccó etre ua fla y ua columa da lugar a ua celda o caslla, cuya frecueca observada es Se cotrasta la hpótess ula que presupoe la depedeca etre ambas varables, medate el estadístco χ de Pearso. H0: Ambas varables so depede tes H:Exste ua relacó de depedec a Se defe el estadístco observado: k m ( e e ) χ (k ).(m ) que sgue astótcamete ua dstrbucó χ co ( k ).(m ) grados de lbertad s es certa la hpótess ula H 0, co e > 5, k, m (e caso cotraro, es ecesaro agrupar flas o columas cotguas). ( k ).(m ) H0 La regó crítca para el cotraste de depedeca se determa: P[ χ k / ] α Así, pues, para u vel de sgfcacó α : χ(k ).(m ) < χα;(k ).(m ) Se acepta H0 (o exste dfereca sgfcatva al vel α) χ(k ).(m ) χα;(k ).(m ) Se rechaza H0 (exste dfereca sgfcatva al vel α) Satago de la Fuete Ferádez

5 Aálss de varables categórcas Muy frecuetemete, se utlza para ver s exste o o relacó etre los caracteres (X, Y), es decr, s so o o depedetes. Etoces recbe el ombre de cotraste de depedeca de caracteres: χ χ (k ).(m ) (k ).(m ) < χ χ α;(k ).(m ) α;(k ).(m ) X e Y so depedetes al vel α X e Y o so depedetes al vel α k m ( e ) k m Es muy útl la gualdad: e e SPSS Sg.astótca( Sg.astótca( p _ value p _ value ) 0,05 ) > 0,05 Se rechaza H Se acepta H 0 0 E tablas x las decsoes coceretes al uso de la prueba recomedacoes de Cochra: χ debe guarse por las X Y y y x x Cuado > 40 se debe utlzar corregda por la cotudad: χ ( + )(.. + )( + )( + ) Cuado 0 40, se debe utlzar sempre que las frecuecas esperadas ( e > 5) sea superores a 5. S fuese más pequeña se utlzaría la Prueba exacta de Fsher. Cuado < 0 se utlza sempre la Prueba exacta de Fsher. PRUEBA EXACTA DE FISHER. Es ua técca válda tato para datos omales u ordales, sempre que la muestra sea pequeña. La prueba determa s los grupos dfere e la proporcó correspodete a las clasfcacoes. Se caracterza porque o utlza ua aproxmacó de probabldad so la dstrbucó de probabldad exacta de la cofguracó de las frecuecas observadas. Como para totales margales fos, la dstrbucó de probabldad de las frecuecas observadas sgue ua ley hpergeométrca, e el caso de que las dos varables observadas sea depedetes la probabldad p de obteer cualquer dsposcó de las vee dada por: ( + )! ( + )! ( + )! ( + p!!!!! Satago de la Fuete Ferádez 3 )!

6 Test Test + Margal Hombres Mueres Margal Aálss de varables categórcas (0 + 0)! (4 + 5)! (0 + 4)! (0 + 5)! p 0,008 0! 0! 4! 5! 9! La probabldad de la dstrbucó de frecuecas es p 0, 008. Ahora be, e este eercco ha sdo fácl de calcular porque e ua de las celdllas exste ua frecueca cero. E otro eemplo, dode o exste u cero e gua celdlla: (b) Test Test + Margal Hombres 6 7 Mueres 4 5 Margal 5 7 ( + 6)! (4 + )! ( + 4)! (6 + )! p b 0,04399! 6! 4!!! S alterar los totales margales, ua posbldad más extrema sería la que aparece e la tabla: (c) Test Test + Margal Hombres Mueres Margal 5 7 7! 5! 5! 7! p c 0,006 0! 7! 5! 0!! La posbldad de ocurreca de la tabla es: p p + p 0, ,006 0,0455 < 0, 05 α b c p 0,0455 es el valor que se utlza para saber s los datos de la tabla permte rechazar la hpótess ula H 0, como p 0,0455< 0, 05 α, se rechaza la hpótess ula cocluyedo que los test afecta e mayor medda a los hombres. Se observa que s el valor más pequeño de la tabla de cotgeca es muy grade, la prueba de Fsher puede ser complcada de calcular (sí el valor más pequeño fuera habría que determar tres probabldades exactas y sumarlas, sí fuera 3 habría que determar cuatro probabldades exactas y sumarlas, y así sucesvamete). MODIFICACIOES DE TOCHER: Co ua pequeña modfcacó de la prueba de Fsher, Tocher probó (950) que se cosgue ua prueba más poderosa para datos de ua tabla x. Para lustrar la modfcacó, se parte de la tabla: (a) Test Test + Margal Hombres 5 7 Mueres 3 5 Margal 5 7 ( + 5)! (3 + )! ( + 3)! (5 + )! p a 0,655! 5! 3!!! La probabldad asocada co la ocurreca de valores ta extremos como las putuacoes observadas (a) coforme a la hpótess ula será: p p + p + p 0,655+ 0, ,006 0,3040 > 0, 05 α a b c Satago de la Fuete Ferádez 4

7 Aálss de varables categórcas p 0,3040 es la probabldad ecotrada co la prueba Fsher, que sedo mayor que el vel de sgfcacó α 0, 05, coduce a rechazar la hpótess ula. La probabldad de Tocher determa ates todos los casos extremos (b) y (c) s clur aú el observado (a), co lo cual: p + p 0, ,006 0, 0455 b c Y recomeda el cálculo de la proporcó: 0,05 0,0455 p T 0,079 0,655 p T α p(casos más raros extremos) α (Pb + P c) p(casos observados asladamete) P a MEDIDAS DE ASOCIACIÓ E caso de rechazar la depedeca etre los dos factores de ua tabla de cotgeca, se platea la ecesdad de defr ídces que descrba o solo la tesdad de la asocacó, so també su dreccó. El estudo de estos ídces, que se cooce co el ombre geérco de meddas de asocacó. Para detectar las fuetes de asocacó exste dferetes métodos, uos drectos, y otros de coversó e tablas x. Etre los drectos, el aálss de resduos, y etre los segudos, la partcó de la tabla orgal e tablas x. AÁLISIS DE LOS RESIDUOS Los resduos so las dferecas etre la frecueca observada y la frecueca esperada e cada caslla: r e. E el caso de que el cotraste de χ haya resultado sgfcatvo, estos resduos dcará qué casllas cotrbuye e mayor grado al valor del estadístco. Cuato mayor sea el valor de los resduos mayor es la probabldad de que ua determada combacó de valores de las varables, esto es, ua caslla, sea sgfcatva. Para que el aálss de los resduos resulte adecuado es ecesaro que prevamete éstos haya sdo austados y estadarzados, para lo cual se suele aplcar la fórmula propuesta por Haberma (978), que cosste e dvdr el valor del resduo e cada caslla por su error típco. Resduos tpfcados e r e r ( e)/ e Resduos tpfcados corregdos d (0,) V(r) Satago de la Fuete Ferádez 5

8 Eemplo. Sea la tabla aduta, e., ( ) valor SPSS Aálss de varables categórcas Opó Sstema Públco vel reta Bao () Medo () Alto (3) Muy Alto (4) Total Bueo () 75 ( e 5) 60 ( e 6,) 0 ( e 3 30,6) 5 ( e 4 7,) 70 (70) Regular () 35 ( e 48) 70 ( e 57,6) 30 ( e 3 8,8) 5 ( e 4 5,6) 60 (60) Malo (3) 40 ( e 3 5) 50 ( e 3 6,) 40 ( e 33 30,6) 40 ( e 43 7,) 70 (70) Total 50 (50) 80 (80) 90 (90) 80 (80) e 5 e 6, e 3 30, 6 e 4 7, e r resduos tpfcados e V(r) 3,3607,5403,8764 0,460 0,460 0,776 0,534,436,6338 0,44 0,44 0,435,96,6930 0,36 0,54 0,54 0,5576,339,454 0,86 0,5544 0,5544 0, , 0 30,6 5 7, r 3,3607 r 0, 534 r 3, 96 e 4, , 30,6 7, V(r ) 0, V(r ) 0, r d resduos tpfcados corregdos V(r ) 4,9444,66,798 0,360,08,4766,6046,3098 0,995 3,46 3,960 0,569 Comparado los valores absolutos de los resduos tpfcados corregdos co el correspodete valor tabular de la ormal, para u vel de sgfcacó del 5% (>,96), se observa que muchos resduos so sgfcatvos. Aalzado estos valores, tato e sus magtudes como e sus ragos, resulta el patró: << Hay u mayor úmero, cosderablemete alto y superor al de otras clases socales, de ecuestados que perteece a ua clase baa (valor 4,9444) y posee ua opó favorable sobre la opó públca. Por el cotraro, la opó de las clases altas y muy altas tee ua percepcó claramete egatva. De este modo, se evdeca que exste ua relacó y del tpo que es ésta>>. Subrayar que este método supoe u aálss celda a celda. Esta dfereca se ecuetra que metras el cotraste usual trabaa co ( k )(m ) elemetos depedetes, el cotraste por cada celda mplca que la totaldad de los resduos tpfcados d so depedetes y cada uo de ellos se austa a ua dstrbucó teórca (0,). Satago de la Fuete Ferádez 6

9 Aálss de varables categórcas Hay dferecas sgfcatvas: Aálss de los resduos. Prescdedo del sgo, los valores >,96. Co los valores >,96, se aalza el sgo Sgo egatvo: frecueca feror a la teórca, se fere ua relacó egatva etre los veles de las varables. Sgo postvo: relacó postva. E SPSS: E Edtor de datos se troduce la tabla de valores. E Vsta de varables se observa como e la varable (Opó_sstema_sataro) se ha troducdo los valores ( Bueo, Regular, 3 Malo ). Aálogamete, e la varable (vel_reta) se ha troducdo los valores ( Bao, Medo, 3 Alto, 4 Muy Alto ), ambas varables omales; metras que la varable (Frecueca) la medda es escala. E el meú [Aalzar/Estadístcos descrptvos/tablas de cotgeca] se troduce e Flas (vel_reta) y e Columas (Opó_sstema_sataro). Satago de la Fuete Ferádez 7

10 Aálss de varables categórcas E el botó [Casllas] se seleccoa Frecuecas y Resduos. Satago de la Fuete Ferádez 8

11 Aálss de varables categórcas Advértase que co la tabla de las frecuecas observadas ( ) y esperadas ( e ) se calcula el estadístco χ de Pearso: e. Opó Sstema Públco vel reta Bao () Medo () Alto (3) Muy Alto (4) Total Bueo () 75 ( e 5) 60 ( e 6,) 0 ( e 3 30,6) 5 ( e 4 7,) 70 (70) Regular () 35 ( e 48) 70 ( e 57,6) 30 ( e 3 8,8) 5 ( e 4 5,6) 60 (60) Malo (3) 40 ( e 3 5) 50 ( e 3 6,) 40 ( e 33 30,6) 40 ( e 43 7,) 70 (70) Total 50 (50) 80 (80) 90 (90) 80 (80) 500 métodopráctco ( e ) 4 3 χ ( 4 )(3 ) χ 6 540, ,049 e e Pulsado el botó [Estadístcos] se seleccoa la opcó Ch cuadrado. E el Vsor de resultados de SPSS: Ch cuadrado El estadístco de cotraste (observado) es 40,049, el cual, e la dstrbucó χ tee 6 grados de lbertad (gl 6), tee asocada ua probabldad (Sgfcacó astótca) de 0. Puesto que esta probabldad (deomada vel crítco o vel de sgfcacó observada) es pequeña (meor que 0,05), se decde rechazar la hpótess ula, cocluyedo que exste ua relacó de depedeca etre el vel de reta y la opó sobre la aceptacó del sstema públco. Satago de la Fuete Ferádez 9

12 Aálss de varables categórcas Señalar que la razó de verosmltudes (RV) es 39,693, tee asocada ua probabldad (Sg. astótca) de 0, que como es meor que 0,05, coduce a rechazar la hpótess ula, cocluyedo que exste depedeca etre las varables aalzadas. Los estadístcos ( χ,rv) lleva a la msma coclusó, e caso cotraro, se elge el estadístco co meor Sg. astótca. Razó de verosmltud Ch cuadrado (Fsher, 94; eyma y Pearso, 98): Se obtee medate la relacó: RV log e Se trata de u estadístco astótcamete equvalete a χ (se dstrbuye y se terpreta gual) y es muy utlzado para estudar la relacó etre varables categórcas, partcularmete e el cotexto de los modelos log leales. RV < χ RV χ α;(k ).(m ) α;(k ).(m ) X e Y so depedetes al vel α X e Y o so depedetes al vel α Se acepta la hpótess ula cuado la sgfcacó de RV (Sg. astótca) es mayor que 0,05. La aplcacó de los dos estadístcos ( χ,rv) puede coducr a la msma coclusó. E los casos e que o se produzca esta cocdeca, se elge el estadístco co ua sgfcacó (probabldad asocada) meor. 4 3 RV log 39,693 e Correccó por cotudad de Yates (934): Cosste e restar (0,5) putos a e del estadístco χ (ates de elevarlo al cuadrado). χ ( e 0,5 ) k m c e Alguos autores sugere, que co muestras pequeñas, esta correccó permte que el estadístco se auste meor a las probabldades de la dstrbucó sobre la utlzacó de esta correccó χ, pero o exste u coseso geeralzado χ Satago de la Fuete Ferádez 0

13 Aálss de varables categórcas Correlacoes: Permte obteer los coefcetes de correlacó de Pearso y de Spearma. El coefcete de correlacó de Pearso es ua medda de asocacó leal especalmete apropada para estudar la relacó etre varables de tervalo o razó. El coefcete de correlacó de Spearma també es ua medda de asocacó leal, pero para varables ordales. Ambos coefcetes posee escasa utldad para estudar las pautas de relacó presetes e ua tabla de cotgeca típca, dado que lo habtual es utlzar las tablas de cotgeca para cruzar varables de tpo omal, o a lo sumo, de tpo ordal co solo uos pocos veles. COEFICIETE DE CORRELACIÓ LIEAL DE PEARSO Suposcó: Las varables ordales (los valores dscretos se puede ordear) o cotuas (valores cotuos se puede ordear) está dstrbudas de forma gaussaa. Es u test paramétrco. Método: Mde la desvacó de las varables respecto a ua líea recta. Dados dos putos ( x,y se defe el coefcete de correlacó: ),,..., (x x)(y y) r r tal que r (x x) (y y) r o correlacó correlacóperfecta La sgfcaca de que o exste ua correlacó vee dada por la dstrbucó t Studet co ( ) grados de lbertad, dode r está relacoado co la matrz de covaraza, que ofrece també u test paramétrco s se utlza para buscar correlacoes t α,( ) r r Satago de la Fuete Ferádez

14 COEFICIETE DE CORRELACIÓ DE SPEARMA (904): Aálss de varables categórcas Versó o paramétrca del coefcete de correlacó de Pearso, que se basa e los ragos de los datos. Resulta apropado para datos ordales, o los de tervalo que o satsfaga el supuesto de ormaldad. El sgo del coefcete dca la dreccó de la relacó y el valor absoluto del coefcete de correlacó dca la fuerza de la relacó etre las varables. 6 d rs r s ( ) dode d es la dfereca etre el orde obtedo e el caso ésmo e ambas seres. MEDIDAS DE ASOCIACIÓ DE TIPO OMIAL Después de aalzar s exste relacó o o etre las varables obeto de estudo, cabe pregutarse cuál es la tesdad de esa relacó?. Etre las meddas utlzadas se ecuetra: Coefcete de cotgeca, Q de Yule, Ph y V de Cramer, Lambda y el Coefcete de certdumbre. Método: Probar que es erróea la suposcó que las varables o está asocadas. S es así, el. úmero de cdecas esperado e el casllero (, ) será e k m ( e) Se defe la fucó χ(k ).(m ) e La sgfcaca de que ambas dstrbucoes esté asocadas vee dada por la fucó de probabldad χ co ν grados de lbertad. χ t ν Q( χ / ν) e t dt Γ( ν) dode ν ( k )(m ) COEFICIETE DE COTIGECIA. El coefcete de cotgeca C es ua medda del grado de asocacó o relacó etre dos coutos de atrbutos. Es especalmete útl cuado hay ua formacó clasfcatora (escala omal) acerca de uo o ambos coutos de atrbutos. χ 0 C χ + C C 0 C a a Idepedeca Asocacó perfecta Sólo se utlza cuado las tablas de cotgeca tee la msma dmesó. k E ua tabla de cotgeca (k x k) el valor máxmo será: C. k Satago de la Fuete Ferádez

15 Aálss de varables categórcas Q de YULE: El coefcete de cotgeca Q es ua medda del grado de asocacó o relacó etre dos coutos de atrbutos. Q 0 Q + Y X y y x + x PHI: El coefcete ph se obtee: χ φ. E las tablas de cotgeca ( x ), ph adopta valores etre 0 y, y su valor es détco al del coefcete de correlacó de Pearso. E las tablas e las que ua de las varables tee más de dos veles, ph puede tomar valores mayores que (pues el valor de χ puede ser mayor que el tamaño muestral). El coefcete de cotgeca y Ph y V de Cramer, so meddas basadas e Ch cuadrado, y que teta corregr el valor del estadístco χ para hacerle tomar u valor etre 0 y, y para mmzar el efecto del tamaño de la muestra sobre la cuatfcacó del grado de asocacó (Pearso, 93; Cramer, 946). V de CRAMER: El coefcete V cluye ua lgera modfcacó de ph: V Cramer χ 0 VCramer.m(k,m ) V 0 V a a Idepedeca Asocacó perfecta E las tablas de cotgeca ( x ), V Cramer y φ so détcos. El problema de este estadístco es que tede a subestmar el grado de asocacó etre las varables. Cada medda vee acompañada de su correspodete vel crítco (Sg. aproxmada), el cual permte decdr sobre la hpótess de depedeca, puesto que el vel crítco de todas las meddas lstadas es muy pequeño (meor que 0,05), se puede rechazar la hpótess ula de depedeca y coclur que el vel de reta y la opó sobre el sstema sataro está relacoados. Satago de la Fuete Ferádez 3

16 χ 40,049 χ 40,049 φ 0,83 VCramer 0, m(k,m ) 500. Aálss de varables categórcas C χ χ + 40,049 0,73 40, MEDIDAS BASADAS E LA REDUCCIÓ PROPORCIOAL DEL ERROR (RPE). So meddas de asocacó que expresa la proporcó e la que se cosgue reducr la probabldad de cometer u error de predccó cuado, al tetar clasfcar u caso o grupo de casos como perteecetes a ua u otra categoría de ua varable, e lugar de utlzar úcamete las probabldades asocadas a cada categoría de esa varable, se efectúa la clasfcacó teedo e cueta las probabldades de las categorías de esa varable e cada categoría de ua seguda varable. COEFICIETE LAMBDA DE GOODMA Y KRUSKALL: Es u coefcete que o depede de la Supoedo que Y es el factor explcado y X el explcatvo, se evalúa la capacdad de X para predecr Y medate: máx máx λy máx De forma aáloga, cuado X es el factor explcado e Y el explcatvo, se evalúa la capacdad de Y para predecr X medate: 0 X X λ X máx ( λ, λ ) y so meddas asmétrcas. máx máx El coefcete Lambda preseta tres versoes: dos asmétrcas (cuado ua de las dos varables se cosdera depedete) y ua smétrca (cuado o exste argumeto para dstgur), 0 λ, el valor 0 dca que la varable depedete o cotrbuye e absoluto e reducr el error de predccó; el valor dca que se ha cosegudo por completo reducr el error de predccó, es decr, que la varable depedete predce co toda precsó a qué categoría de la varable depedete perteece los casos clasfcados. Dos varables so depedetes cuado λ 0, pero λ 0 o mplca depedeca estadístca. Cuado dos varables so estadístcamete depedetes λ 0 o mplca λ 0 depedeca estadístca, pues lambda úcamete es sesble a u tpo partcular de asocacó: A la dervada de la reduccó e el error que se cosgue al predecr las categorías de ua varable utlzado las de otra. Cuado o es posble determar obetvamete cuál de los dos factores es el explcado o el explcatvo, se opta por la versó smétrca, cuyo valor es: χ. máx λ + máx máx máx Satago de la Fuete Ferádez 4 máx máx

17 Aálss de varables categórcas El valor de λ está compreddo etre λ X y λ Y preseta el coveete de ser muy sesble a la preseca de totales margales desequlbrados. TAU DE GOODMA Y KRUSKALL: τ ( ( ) ) ( ) Opó Sstema Públco vel reta Bueo Regular Malo Total margal Bao máx 75 Medo máx 70 Alto máx 3 40 Muy Alto máx 4 40 Total margal máx 5 3 máx 95 máx 75 máx 70 máx máx λ + máx máx máx máx máx , coefcete lambda τ ( ( ( ) ) ) 36, 35,305 0, , tau de Goodma y Kruskall 4 ( ) 500 ( ) [(500 50)50+ (500 80)80+(500 90)90 + (500 80)80] 36, (70 75)75+ (70 60)60 + (70 0)0 + (70 5) (60 35)35+ (60 70)70 + (60 30)30 + (60 5) (70 40)40 + (70 50)50 + (70 40)40 + (70 40) , COEFICIETE DE ICERTIDUMBRE (THEIL, 970): Es ua medda semeate a lambda y tau e Cuato a su cocepcó de la asocacó de las varables, e relacó a la capacdad predctva y la dsmucó del error de dcha predccó. La dfereca estrba e su cálculo ya que e este caso la expresó de estos coefcetes depede de toda la dstrbucó y o sólo de los valores modales, por lo que sólo toma el valor 0 e casos de total depedeca. Ésta es su vetaa respecto a lambda, pero es más dfícl de terpretar. Oscla etre 0 y. Satago de la Fuete Ferádez 5

18 Aálss de varables categórcas Posee dos versoes asmétrcas (depededo de cuál de las dos varables se cosdera depedete) y ua smétrca (cuado o se hace dstcó etre varable depedete e depedete). Se obtee de la sguete forma: IY / X I(X) + I(Y) I(XY) I(Y) I(X) L I(Y) L I(XY) L Para obteer I X / Y basta tercambar los papeles de I(X), I(Y). La versó smétrca se obtee: IY / X I(X) + I(Y) I(XY) I(X) + I(Y) E el eemplo: I(X) L,3309 I(Y) L, 098 I(XY) L,3894 I(X) + I(Y) I(XY),3309+,098,3894 I(X) + I(Y),3309+,098 IY / X 0,0368 Cada medda (Lambda, Tau de Goodma Kruskall, Coefcete de certdumbre) fgura acompañada de su vel crítco (Sg. aproxmada), que como es pequeño, meor que 0,05, coduce a rechazar la hpótess ula de depedeca, cocluyedo que las varables e estudo (vel_reta, Opó_sstema_sataro) está relacoadas. Juto al valor cocreto adoptado por cada medda de asocacó aparece su valor estadarzado (T aproxmada), que se obtee dvdedo el valor de la medda etre su error típco (calculado éste supoedo depedeca etre las varables. La tabla també muestra el error típco de cada medda calculado s supoer depedeca (Error típco astótco). Satago de la Fuete Ferádez 6

19 Aálss de varables categórcas DATOS ORDIALES. Recoge ua sere de meddas de asocacó que permte aprovechar la formacó ordal que las meddas dseñadas para datos omales pasa s aalzar. Co datos ordales tee setdo hablar de dreccó de la relacó: ua dreccó postva dca que los valores altos de ua varable se asoca co los valores altos de la otra varable, y los valores baos co valores baos; ua dreccó egatva dca que los valores altos de ua varable se asoca co los valores baos de la otra, y los valores baos co los valores altos. Muchas de las meddas de asocacó dseñadas para estudar la relacó etre varables ordales se basa e el cocepto de cocordaca (versó) y dscordaca (o versó). S los dos valores de u caso e ambas varables so mayores (o meores) que los dos valores de otro caso, se da ua cocordaca o o versó (C). S el valor de u caso e ua de las varables es mayor que el del otro caso, y e la seguda varable el valor del segudo caso es mayor que el del prmero, se da ua dscordaca o versó (D). S los dos casos tee valores détcos e ua o e las dos varables, se da u empate (E). Hay tres tpos de empates: empate e la varable X y o e la varable Y ( E X ), empate e la varable Y y o e la varable X ( E Y ), y empate e ambas varables ( E XY ). Cuado predoma las cocordacas, la relacó es postva, a medda que aumeta (o dsmuye) los valores de ua de las varables, aumeta (o dsmuye) los de la otra. Cuado predoma las dscordacas, la relacó es egatva, a medda que aumeta (o dsmuye) los valores de ua de las varables, dsmuye (o aumeta) los de la otra. Todas las meddas de asocacó mecoadas e este puto, utlza e el umerador la dfereca la dfereca etre el úmero de dscordacas y cocordacas resultates de comparar cada caso co cada caso, dferecádose e el tratameto dado a los empates. E adelate, C úmero de cocordacas, D úmero de dscordacas, E X úmero empates e la varable X (tomado a Y como depedete), E Y úmero empates e la varable Y (tomado a X como depedete), E XY úmero empates e ambas varables. El total de pares de valores que es posble ecotrar (T), s repetcoes, sedo el total de casos, vee dado por la expresó: ( ) T T C + D + EX + EY + E XY GAMMA: Uo de los coefcetes más coocdos es el coefcete gamma ( γ ) de Goodma y Kruskall, para la gamma los empates so rrelevates, se basa e la relacó que sgue los ragos de los dos atrbutos: C D γ C + D γ γ γ 0 perfecta asocacó egatva depedeca perfecta asocacó postva Satago de la Fuete Ferádez 7

20 Aálss de varables categórcas d DE SOMMER: A dfereca de los aterores, este estadístco cosdera que las varables puede ser smétrcas o depedetes. E el caso de ser smétrcas, el estadístco d de Somers cocde co la Tau b de Kedall. E caso de ser depedetes, se dfereca del estadístco Gamma e que cluye los empates a la que cosdera depedete, lo que da lugar a tres ídces (dos asmétrcos y uo smétrco): (C D) Tomado a la varable Y como depedete: dx ( E X so empates e la varable X) C + D+ E X Tomado a la varable X como depedete: d Y (C D) ( E Y so empates e la varable Y) C + D+ E Y Versó smétrca para X e Y: (C D) d E + E C + D + X Y d d d 0 d a d perfecta asocacó egatva depedeca asocacó a medda perfecta asocacó postva COEFICIETE DE COCORDACIA DE KEDALL: E u proceso de evaluacó, se emplea e stuacoes, e la que teresa obteer ua medda de la cocdeca de u couto de evaluadores. (R R) W dode k ( ) R meda de los ragos k úmero varables cludas Tau a de Kedall: Se defe como la razó etre la dfereca del úmero pares cocordates y dscordates co la totaldad del úmero de pares posbles (T). τ a (C D) T El coefcete τ a toma valores etre [, ], el sgo dca el setdo de la asocacó, el 0 la depedeca estadístca. Ua lmtacó mportate es que e certos casos o alcaza el ( ) aú exstedo asocacó perfecta, pues para esto requere que todas las celdas cetrales tega frecueca 0. Tau b de Kedall: Utlza el msmo crtero que la d de Sommer smétrca, s be utlza la meda geométrca e lugar de la meda artmétca: τ b (C D) (C + D + E )(C + D + E ) X Y El coefcete b τ toma valores etre [, ], solo e las tablas de cotgeca cuadradas y s gua frecueca margal vale cero. Satago de la Fuete Ferádez 8

21 Tau c de Kedall: Utlza el mímo de flas y de columas: Aálss de varables categórcas c m(c D) (m ) τ mí{ º flas, º columas} m, τ c Cada coefcete aparece co su correspodete vel crítco (Sg. aproxmada), puesto que estos veles crítcos so meores que 0,05, se rechaza la hpótess ula de depedeca, afrmado que las varables (vel_reta, Opó_sstema_sataro) está relacoadas. Y como el valor de las medas es postvo (relacó postva), se puede terpretar que a u mayor vel de reta correspode ua meor opó del sstema sataro. OMIAL POR ITERVALO (ETA): El coefcete de correlacó eta ( η ) srve para cuatfcar Grado de asocacó exstete ete ua varable cuattatva (medda e escala de tervalo o razó) y ua varable categórca (medda e escala omal u ordal). Se trata de u coefcete de correlacó que o supoe lealdad y cuyo cuadrado puede terpretarse, s el dseño lo permte, como la proporcó de varaza de la varable cuattatva qué esta explcada por (que depede de) la varable categórca. Su mayor utldad o está asocada a las tablas de cotgeca, pues éstas se costruye utlzado varables categórcas. A pesar de ello, como es ua opcó de SPSS, se puede marcar la opcó eta y obteer el valor de la relacó etre dos varables cuado ua de ellas es cuattatva y la otra categórca. Cuado las flas so el atrbuto depedete: η x x x x Satago de la Fuete Ferádez 9

22 Cuado las columas so el atrbuto depedete: η y Aálss de varables categórcas y y y ÍDICE DE ACUERDO (kappa): Proporcoa ua medda del grado de acuerdo exstete etre dos observadores o ueces al evaluar ua sere de suetos u obetos (Cohe, 960): κ El valor kappa κ, 0 κ, toma el valor 0 (acuerdo ulo) y (acuerdo máxmo). S el acuerdo alcazado es meor que el esperado por azar, kappa toma u valor egatvo. Fless, Cohe y Evertt (969) demostraro que el error típco del coefcete de Kappa puede estmarse medate la expresó: σˆ κ + ( + ) La hpótess de que los dos observadores(ueces) so depedetes ( κ 0) se puede cotrastar κ tpfcado el valor de kappa: zκ (0,) σ κ Al marge de la sgfcacó estadístca del coefcete de Kappa, Lads y Roch (977) argumetaro que: κ < 0 0 κ < 0, 0, κ < 0,4 s acuerdo sufcete bao 0,4 κ < 0,6 0,6 κ < 0,8 0,8 κ < moderado bueo muy bueo ÍDICES DE RIESGO: So útles para dseños logtudales e los que se mde dos varables dcotómcas. El segumeto e estudos logtudales puede realzarse: haca delate o haca atrás. E los estudos logtudales haca delate, deomados dseños prospectvos o de cohortes, los suetos so clasfcados e dos grupos depededo de la preseca o auseca de algú factor desecadeate y, se les hace u segumeto durate u período de tempo, hasta determar la proporcó de suetos de cada grupo e los que se da u determado deselace obeto de estudo. La medda de terés es el resgo relatvo ( R): r R r Satago de la Fuete Ferádez 0

23 La terpretacó: << La proporcó de deselaces etre los suetos expuestos al factor desecadeate es R r más alta que etre los suetos o expuestos >>. Aálss de varables categórcas U resgo relatvo de dca que la probabldad de ecotrar el deselace es la msma tato e el grupo de suetos expuestos como e el grupo de suetos o expuestos. Para valorar s el resgo obtedo es sgfcatvamete dstto de, se puede calcular el tervalo de cofaza: α + z α + / z / Rr e ; Rr e S el tervalo de cofaza o cubre el valor, el resgo de expermetar el deselace o es lo msmo e los grupos que se compara. E los dseños logtudales haca atrás, també llamados retrospectvos o caso cotrol, se forma grupos de suetos a partr de la preseca o auseca de ua determada codcó obeto de estudo, y se hace el segumeto haca atrás, tetado ecotrar formacó sobre la proporcó e la que se ecuetra presete e cada muestra u determado factor desecadeate. Como el tamaño de los grupos se fa a partr de la preseca o auseca de u determado deselace, se calcula odds rato (razó de las vetaas o razó de productos cruzados): O r El valor de la odds rato ( O r ) es tato meor estmador del resgo relatvo cuato más pequeñas sea las proporcoes de deselace e cada grupo. U ídce de dca que la probabldad de ecotrarse co el factor desecadeate e los grupos estudados es la msma. Para determar s este resgo es sgfcatvamete dstto de, se calcula el tervalo de cofaza medate: zα / z α / r e ; Or e O ESTADÍSTICOS DE COCHRA Y DE MATEL HAESZEL (Combacó de Tablas x): E ocasoes, puede teresar aalzar los dseños de cohortes y de caso cotrol (tratados e los ídces de resgo) cotrolado el efecto de terceras varables. Esta stuacó es propa, por eemplo, cuado se desea evaluar el efecto de u tratameto sobre ua determada respuesta utlzado dsttos grupos de pacetes. Se trata de estudar s exste o o asocacó etre ua varable factor y otra varable respuesta, ambas dcotómcas, cuado se dspoe de formacó referda a varos estratos (dsttos grupos de edad o sexo, pacetes co dferete stomatología, dsttos grupos étcos, dsttas doss de fármaco, etc.). Satago de la Fuete Ferádez

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