Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

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1 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos de muñecos, y cada tipo de muñeco tiee la misma probabilidad de aparecer e ua caja. Deseamos coseguir ua colecció completa, es decir, u muñeco de cada tipo. Halle: a El diagrama de trasició de estados y la matriz de trasició de ua cadea de Markov que modele esta situació. Ayuda: la cadea de Markov es absorbete. b El úmero medio de cajas de cereales que hay que comprar para coseguir ua colecció completa. Solució: Apartado a: Supogamos que los tipos de muñecos so A, B y C. Teemos ua probabilidad / de ecotraros co cualquiera de los tipos al abrir ua caja de cereales. Por lo tato, la situació e la que ya ha salido muñecos de los tipos A y B es aáloga a la situació e la que ya ha salido de los tipos B y C, por ejemplo. Dicho de otra maera, lo que importa es la catidad de tipos de muñecos que ya teemos, y o los tipos cocretos de los que se trate. Podemos modelar esta situació mediate ua cadea de Markov e la que el cojuto de estados sea S{,,, }, dode el úmero idica la catidad de tipos de muñecos que ya teemos. Por lo tato empezaremos e el estado, y habremos logrado la colecció completa cuado lleguemos al estado. La matriz de trasició será: Q / / / / El diagrama de trasició de estados (DTE correspodiete es el que sigue: / / / /

2 Apartado b: Las submatrices que obteemos al descompoer Q so: Tedremos: Q ' ( I Q' / /, / / R / / /,5,5 Sumamos los úmeros medios de etapas que se estará e cualquier estado trasitorio ates de la absorció, supoiedo que empezamos e el er estado trasitorio, que represeta la situació iicial e la que o teemos muñecos de igú tipo. Dichos úmeros medios de etapas so los que forma la ª fila de (I-Q. El promedio será: +,5+5,5 paquetes de cereales habrá que comprar como promedio ates de teer la colecció completa. Problema (,5 putos: E u Baco hay ua sola caja. El cajero tarda u tiempo medio de quice miutos co cada cliete. Por razoes de seguridad sólo se admite dos clietes e el Baco: uo e caja y otro esperado. Los clietes que llega cuado ya hay dos clietes e el Baco, se va. Los clietes llega a u promedio de tres por hora. a Cuál es la probabilidad de que u cliete que llegue se tega que ir? b Habiedo ecotrado el Baco lleo u día, lo iteta el día siguiete. Cuál es la probabilidad de que de uevo o pueda etrar? Solució: El sistema se puede modelar como ua cola M/M//. es decir, la capacidad del sistema es k, co λ clietes/hora, 4 clietes/hora, λ//4. Apartado a: Nos pide la probabilidad de que haya ya clietes e el sistema. k ( ( / 4 / 4 p k + 4 (/ 4 4 (/ 4 Apartado b: 9 7 Tedremos los siguietes sucesos: A No hay sitio el primer día A No hay sitio el segudo día,4

3 La probabilidad que os pide será: A P P ( A A P( A P ( A P( A P( A 9 7 ( A p, 4 P A Para calcular P(A A hemos teido e cueta que lo que suceda u día es idepediete de lo que suceda el siguiete, lo cual os permite calcular la probabilidad de la itersecció de sucesos como el producto de sus probabilidades. Problema (,75 putos: Sea el siguiete problema de programació lieal: Miimizar 5 + Sujeto a: , Resuelva dicho problema mediate el método del Simple, siguiedo estos pasos: a Costruya ua solució factible iicial (tabla iicial del método. b Obtega la(s solució(es óptima(s, si las hay. c De qué tipo es la(s solució(es óptima(s obteida(s, si las hay? Solució: Apartado a: Pasado a forma estádar queda: Maimizar 5 Sujeto a: ,,, 4 Observamos que o podemos coseguir fácilmete ua solució factible iicial, por lo que teemos que aplicar el método de las dos fases. Para ello, añadimos dos variables artificiales, 5 y 6, co lo cual la tabla iicial del método será la siguiete: Base c B P P P P P 4 P 5 P 6 P P

4 Apartado b: Aplicamos el resto del método, partiedo de la tabla iicial que costruimos e el apartado aterior: Fase I: Criterio de etrada: mí{ 9, 4} 4, luego etra. Criterio de salida: mí{8/, 4/}4/, luego sale 6. Base c B P P P P P 4 P 5 P 6 P 5 4 / /6 /6 P /6 / / 4 / /6 7/6 Criterio de etrada: mí{ /, /6} /, luego etra. Criterio de salida: mí{4 /, 6/}mí{8/5, }8/5, luego sale 5. Base c B P P P P P 4 P 5 P 6 P 8/5 / /4 /4 P 7/5 /4 7/8 7/8 Hemos llegado al fial de la Fase I, y observamos que ha salido de la base todas las variables artificiales. Por lo tato el problema origial teía solució y podemos pasar a la Fase II. Fase II: 5 Base c B P P P P P 4 P 5 8/5 / /4 P 7/5 /4 7/8 5 5/ Al evaluar la codició de parada, observamos que se cumple. Por lo tato, la tabla aterior se correspode co ua solució óptima del problema origial. Dicha solució óptima es F (8/5,7/5,, T. El valor óptimo de la fució objetivo origial del euciado, F(, 5 +, será, ya que la fució objetivo que hemos usado e el método del simple es su opuesta.

5 Apartado c: E la tabla óptima de la Fase II o teemos más ceros e la última fila que los de las variables de la base, co lo cual o eiste más solucioes óptimas. Podemos decir etoces que la solució óptima F es úica. Auque o se pide, a cotiuació icluimos la solució por el método gráfico de este problema (putos de corte y represetació gráfica. Nótese que la tabla de la Fase II se correspode co u puto etremo e la gráfica, es decir, u vértice de la regió factible, que es el puto F.

6 Problema 4 (,5 putos: E ua fabrica de automóviles se fabrica dos modelos de coches: uo urbao (pequeño y otro todoterreo (grade. Si se dedica sólo al motaje de vehículos urbaos cosigue motar diariamete 6. Si se dedica a motar sólo vehículos todoterreo puede motar hasta 5 diariamete. E el módulo de pitura se puede pitar hasta 7 vehículos urbaos diariamete si sólo se dedica a este modelo y puede pitar hasta 5 vehículos todoterreo si sólo se dedica a este tipo de vehículos. E la fabricació de cada todoterreo cosigue u beeficio de 6. euros mietras que el beeficio por la fabricació de cada vehículo urbao es de. euros. La empresa desea determiar el úmero de vehículos de cada modelo que tiee que fabricar diariamete para coseguir máimo beeficio. Nota: No itete obteer la solució, sólo debe dar el plateamieto. Solució: Se defie las variables de decisió: Número de vehículos a fabricar del modelo urbao Número de vehículos a fabricar del modelo todoterreo Se trata de maimizar el beeficio total de la fabricació diaria de automóviles, es decir, maimizar la epresió: La primera restricció hace referecia a la limitació de la fabrica e su proceso de motaje. Cada vehículo urbao requiere para su motaje /6 días mietras que u todoterreo requiere /5 días. Por lo tato, la suma del tiempo dedicado al motaje de cada modelo debe se ser igual o iferior a día, es decir, La seguda restricció hace referecia a la limitació de la fabrica e su proceso de pitura. Cada vehículo urbao requiere e su proceso de pritura /7 días mietras que u todoterreo requiere /5 días. Por lo tato, la suma del tiempo dedicado al proceso de pitura de cada modelo debe se ser igual o iferior a u día, es decir, Por lo tato, el modelo matemático para este problema de programació lieal viee epresado de la siguiete maera:

7 Maimizar sujeto a , FÓRMULAS DE TEORÍA DE COLAS: λ M/M/: ; p ( ; W q t / W ( t e λ M/M/c: ; c p ( c p! c c p c!, si,,..., c, e otro caso p c c c +!( c c q W e t / W L ; ( ( c! ; L q t c c+ c p c! ( M/M/ y M/M/c: W W q + ; Lq λwq ; L λw M/M//k: λ ; ( k, si k + +, si p λ λ( W W q + ; Lq λefwq ; L λefw ; ef p k ( k + k k + L k, si +, si

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