APLICACIONES DE INFERENCIA

Transcripción

1 APLICACIONES DE INFERENCIA

2 CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN Un ejemplo desarrollado dentro del marco del proyecto MaMaEuSch como aplicación de la Inferencia. Una serie de applets relacionados con la inferencia.

3 Partimos de un instituto real (IES Drago en Cádiz), que será nuestra población A B C D E Total 1ºESO º ESO º ESO º ESO º Bac º Bac

4 Tenemos pues, 558 individuos clasificados por cursos y grupos. Queremos hacer un estudio de esta población. Nos interesan las variables altura, paga semanal, conexión a internet y si son zurdos o diestros. La idea es planificar un estudio sencillo (muestreo y posterior tratamiento de los datos, estimaciones) que conteste además a determinadas preguntas.

5 Qué preguntas queremos contestar? Queremos organizar un viaje de fin de curso y vender camisetas. Entre qué valores pueden oscilar unos precios razonables? Hemos leido que los últimos estudios dicen que los jóvenes dedican mucho tiempo a internet. Podemos decir que los alumnos del centro dedican más de una hora diaria? Se suele manejar el dato de que el 1% de la población es zurda podemos considerarlo cierto para nuestra población?

6 Primera parte: muestreo y estimación puntual Vamos a partir de la premisa de que tomaremos una muestra de unos 6 alumnos. Notamos a las variables de la siguiente manera X para la altura Y para la paga Z ser zurdo I tener internet en casa

7 Diferenciamos dos casos: Caso 1: Variables paga y altura Caso 2: ser zurdo y la conexión a internet por qué dividir? Para el caso 1, podemos considerar la edad un factor decisivo, mientras que no lo es para el caso 2. La edad nos viene representada por el curso de los alumnos.

8 En el caso 1 consideramos que la edad es un factor importante, y viene representado por el curso. Para nosotros los cursos serán estratos y por tanto para esas dos variables planificaremos un muestreo aleatorio estratificado. Por ser de fácil aplicación, nos decidimos por hacer afijación proporcional (tamaño de la muestra en cada estrato proporcional al tamaño del estrato)

9 Aplicamos la fórmula de afijación proporcional: n i Ni = ni N y obtenemos, redondeando para conseguir 6, los siguientes tamaños muestrales por estratos n n n = = = n n n = = =

10 Realizamos la recogida de datos y calculamos media y cuasivarianza para la altura Estrato Media Cuasivar

11 Realizamos la recogida de datos y calculamos media y cuasivarianza para la paga (en euros) Estrato Media Cuasivar

12 Ya observamos que la altura es creciente según el curso mientras que la paga no lo es, además de que presenta cuasivarianza muy alta en algunos estratos Ahora calculamos la media estimada y la varianza (que nos mide el error) de la muestra completa según las expresiones: X ˆ 6 = wx h h= 1 h ( ) 6 ˆ Sˆ V X = w (1 ) h h fh n h= 1 h 2

13 Y obtenemos lo siguiente: Altura Paga Media Error

14 Para el caso 2 la división en estratos no sería efectiva, por ser las variables ser zurdo y tener conexión a internet. En este caso podemos considerar que los grupos se comportan como pequeñas poblaciones. Podemos considerar la posibilidad de seleccionar algunos grupos y entrevistar a todos los alumnos de dichos grupos. Proponemos pues para este caso un muestreo por conglomerados.

15 Decidimos seleccionar 3 grupos (para acercarnos lo más posible a la cifra de 6, que era el tamaño muestral acordado. Seleccionamos al azar 3 grupoos y recontamos los datos, obteniendo: Zurdos Internet Tamaño Grupo Total Prop Total Prop grupos

16 Ahora podemos estimar la proporción y el total de la población concreta sin más que aplicar las expresiones: 3 3 Xˆ A ˆ i = 1 i X = Mi ˆ i = 1 i PX = 3 3 M M i = 1 i i = 1 i así como las que se refieren a los errores ( ) 3 ˆ ˆ NN ( n) 1 V X = ( Z ) i ZMi n n 1 i = 1 ( ) 3 ˆ NN ( n) 1 V P ( ˆ ) X = P 2 X PM i i nm n 1 i = 1

17 Y nuestros resultados son: Zurdos Internet Est. Error Est. Error Total Proporción

18 Segunda parte: Estimación por intervalos y test de hipótesis. En la segunda parte de nuestro estudio, pretendemo dar respuesta a las preguntas concretas que se nos formulan. Como los conocimientos que poseemos requieren que tengamos una muestra aleatoria simple, seleccionamos una muestra de 25 alumnos de entre todo el centro para realizar nuestros cálculos.

19 Obtuvimos los siguientes datos: 1 1 Zurdos Internet Paga Zurdos Internet Paga

20 Pregunta 1: Buscamos un precio para las camisetas, y nos fijamos en la paga semanal. Un intervalo para la media sería una buena referencia. Aplicamos la fórmula con una corrección porque el muestreo es sin reemplazamiento: x t ( n 1) α 2 Sc N n n N 1 ya que nuestro parámetro es la media y no conocemos la varianza.

21 Calculamos todas las medidas necesarias y obtenemos el intervalo: (5.2785, ) Luego entre 5.27 y euros serían precios razonables.

22 Pregunta 2: EL EJEMPLO Ahora queremos saber si podemos decir que los alumnos del instituto dedican más de una hora al día a conectarse a internet. La respuesta puede darse a través de un contraste de hipótesis: H :media del tiempo diario en internet superior o igual a 6 minutos H 1 :media del tiempo diario en internet inferior a 6 minutos

23 Estamos realizando un contraste sobre la media de una población que suponemos normal y de la que no concemos la varianza, luego el estadístico de contraste es: x µ T = S n y la región crítica: para α =.5 T c < t1 α (24) = 1.711

24 Como tenemos: obtenemos EL EJEMPLO x = 44 S = n = 25 c T= Luego rechazamos la hipótesis nula y no podemos afirmar que los alumnos del centro dediquen más de una hora al día a internet.

25 Pregunta 3: Ahora queremos saber si podemos asumir que hay un 1% de zurdos en nuestra población. Responderemos también a través de un contraste de hipótesis, pero sobre la proporción de una Binomial. Nuestro contraste sería H :la proporción de zurdos es igual a.1 H 1 : la proporción de zurdos no es igual a.1

26 El estadístico de contraste es T = p p p ( 1 p ) n y la región crítica es: T Z α = tomando α =.5

27 Como en nuestro caso tenemos: p =.2, p =.1, n = 25 el valor del estadístico es T= luego no podemos rechazar la hipótesis de que hay un 1% de zurdos en nuestra población.