TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS

Transcripción

1 Te : Opercioes ásics co úeros reles: Potecició, y sus propieddes, rdicció y logritos TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS ser

2 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS. POTENCIACIÓN..... POTENCIA DE UN NÚMERO REAL PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Producto de potecis de igul se: Cociete de potecis de igul se: Poteci de u poteci: Poteci de u producto: Poteci de u cociete: Expoete cero: Expoetes eteros egtivos:..... Notció cietífic IGUALDADES NOTABLES RADICALES..... RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO..... RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO..... RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO EXPONENTES RACIONALES..... PROPIEDADES DE LOS RADICALES Ríz eési de u úero rel elevdo l poteci : Ríz eési de u producto: Ríz eési de u cociete: Ríz eési de u ríz: Propiedd fudetl de los rdicles: OPERACIONES CON RADICALES Siplificció de rdicles Reducció ídice coú Rciolizr Extrcció de fctores de u rdicl Itroducció de fctores e u rdicl Su de rdicles Producto y cociete de rdicles CONCEPTO DE LOGARITMO Log A e l clculdor L A e l clculdor Propieddes de los logritos Cio de se....

3 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS. POTENCIACIÓN.. POTENCIA DE UN NÚMERO REAL. Si N y c0o fctor, es decir Ejeplos: R, etoces... veces, es igul l producto de veces el úero rel todo PROPIEDADES DE LA POTENCIACION... PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El producto de potecis de igul se, es otr poteci de l is se y de expoete igul l su de los expoetes de los térios fctores. Siólicete: Ejeplo: COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El cociete de dos potecis de igul se, es otr poteci de l is se y cuyo expoete es igul l rest de los expoetes del tério dividedo eos el del divisor. Siólicete: co 0 y > Ejeplo: 9... POTENCIA DE UNA POTENCIA: L poteci de u poteci es otr poteci de l is se y de expoete igul l producto de los expoetes que hy e l expresió Siólicete: Ejeplo: POTENCIA DE UN PRODUCTO: L poteci de u producto es igul l producto de dichs potecis. Siólicete:

4 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS Ejeplo:... POTENCIA DE UN COCIENTE: L poteci de u cociete es igul l cociete de dichs potecis. Siólicete: 0 Ejeplo: EXPONENTE CERO: tod ctidd co expoete cero es igul Siólicete: 0 0 L expresió 0 0 o está defiid..7. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS: si es culquier etero egtivo y u úero rel diferete de cero se cuple que: o que E cso que l se se u úero rciol se tiee que Ejeplos: 8 Resue.- 0 =.- =.- - = 4.- ( ) =..- = 6.-. = : = (..c) d = d. d.c d 9.- c c

5 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS.. Notció cietífic Todo úero etero que ce e ceros, se puede expresr coo producto del úero si los ceros, por u poteci de se 0 y expoete igul l úero de ceros: =. 0 7 (otció cietífic) Todo úero decil se puede expresr coo producto del úero si l co por u poteci de se 0 y expoete egtivo igul l úero de cifrs deciles = IGUALDADES NOTABLES = ª

6 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS. RADICALES U rdicl es u expresió de l for, e l que y ; co tl que cudo se egtivo, h de ser ipr Etoces,dd l ecució x =, llos ríz -ési de, u de ls solucioes de dich ecució, y que se sioliz por, dode es el ídice de l ríz y el rdicdo... RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO Si R, R, se cuple que, si solo si :, dode es l ríz cudrd de Ejeplo: porque.. RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO Si, R, etoces se cuple que, si solo si :, dode es l ríz cúic de Ejeplo: porque.. RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO Si, R, y N etoces se cuple que, si solo si :, dode es l ríz eési de Ejeplo: porque.4. EXPONENTES RACIONALES U expresió rdicl puede escriirse coo u poteci de expoete rciol, es decir Ejeplo:

7 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS.. PROPIEDADES DE LOS RADICALES.... RAÍZ ENÉSIMA DE UN NÚMERO REAL ELEVADO A LA POTENCIA N: pr culquier Z, / se cuple que:... RAÍZ ENÉSIMA DE UN PRODUCTO: l ríz eési de u producto es igul l producto de ls ríces eésis de los fctores. Pr culquier Z, se cuple que... RAÍZ ENÉSIMA DE UN COCIENTE: l ríz eési de u cociete es igul l cociete de ls ríces eésis del dividedo y del divisor. Pr todo,,, Z, se cuple que:..4. RAÍZ ENÉSIMA DE UNA RAÍZ: l ríz eési de u ríz es igul otr ríz, cuyo ídice es el producto de los ídices. Pr todo,,, Z, se cuple que:... PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES: Se puede ultiplicr o dividir el ídice de l ríz y el expoete del rdicdo por u iso úero y el vlor de l ríz o ci, por tto k k k / k /, dode k N Se dee teer e cuet que si es pr, etoces el rdicdo dee ser positivo pr que exist u ríz rel.

8 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS.6. OPERACIONES CON RADICALES.6.. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES ejeplo: Ddo, si y tiee divisores e coú, podeos siplificr el rdicl, por REDUCCIÓN A ÍNDICE COMÚN Oteer el ídice coú de vrios rdicles cosiste e hllr el.c.. de los ídices, dividir este c etre cd ídice y el resultdo ultiplicrlo por el expoete del rdicdo. Por ejeplo, reducir ídice coú los siguietes rdicles:,, 6 7 El c(,,6) = RACIONALIZAR. ê 6, 6, 6 7 Rciolizr u frcció cosiste e eliir ls ríces del deoidor de u frcció ultiplicdo el uerdor y el deoidor por u expresió decud. Dich expresió v e fució de l expresió del deoidor. Podeos distiguir dos csos: c.- c c. c c c Ejeplos:Rciolizr ls siguietes expresioes: EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL. Pr extrer fctores de u rdicl p, p dee ser yor o igul que. Se divide p etre, el cociete os dice cuátos fctores sle y el resto os idic cuátos se qued:

9 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL. Pr itroducir fctores detro de u rdicl, se elev el fctor l ídice: Ej : SUMA DE RADICALES. Pr sur o restr rdicles, éstos dee ser seejtes, es decir, h de teer el iso ídice y el iso rdicdo: =(0+6-) PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES Pr ultiplicr y dividir rdicles lo priero es reducir ídice coú y, plicdo propieddes de rdicles, reducir u solo rdicl

10 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS. CONCEPTO DE LOGARITMO. Se u úero rel positivo, o ulo y distito de, y A otro úero positivo o ulo. Se ll logrito e se del úero A, l expoete x que dee elevrse l se pr oteer el úero A. Se represet por log A = x x = A Ejeplos.- Hllr los siguietes logritos: ) log 6 = x x = 6 x = 4 x = 4 log 6 = 4 ) log / 9 = x 9 x -x = -x = x = -.- Clculr: log 8, log 4, log De l ifiidd de ses que podeos elegir pr u logrito, hy dos que so, e l práctic, los ás utilizdos, los de se = 0 y se = e. Bse 0: Los logritos de se = 0, se ll Logritos deciles, y se suele represetr de l siguiete for.. Log A e l clculdor Estos logritos deciles se puede oteer directete co l clculdor, usdo l tecl log. Por ejeplo, si deseos clculr el vlor de log 4, procederíos de l siguiete for 4 log e l ptll prece log 4 = Bse e: Se ll logritos eperios y se represet por

11 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS.. L A e l clculdor Estos logritos tié se otiee directete usdo l clculdor y co l tecl l, por ejeplo, si deseos oteer el vlor de l 4, tecleríos 4 l e l ptll prece 08 l 4 = 08.. Propieddes de los logritos. Ls siguietes propieddes de los logritos so fudetles pr poder operr co los isos. Ls propieddes de los logritos so ls propieddes de ls potecis..- log = =.- log = 0 0 =.- log x = x x = x log x 4.- x log x = log x.- Logrito de u producto log (A.B) = log A + log B A 6.- Logrito de u cociete log B = log A log B 7.- Logrito de u poteci log A =.log A 8.- Logrito de u riz log A = log A Doir ests propieddes, equivle poder resover u gr ctidd de proles. Ejeplos:.- Hllr el vlor de los siguietes logritos deciles si usr l clculdor:

12 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS ) log 0 = log0. ) log 40 + log = log(40.) = log 000 = log 0 = 80 c) log 80 log 8 = log log0 8.- Descopoer los siguietes logritos e logritos siples: ) log (x.y.z) = log x + log y + log z x. y ) log log (x.y) log z = log x + log y log z = z =.log x + log y log z.- Reducir u solo logrito ls siguietes expresioes ) log A + log B log Z = log A + log B log Z = =log ( A.B ) A. B log Z = log Z ) log A + log B + log Z = log A + log B + log Z = = log. B. Z A = lo A. B. Z 4.- Siedo que log = 0 00, hllr el vlor de los siguietes logritos ) log 8 = log =.log = = ) log = log(0/) = log 0 log = 0 00 = c) log 0 = log = log log 000 = =log log 000 =log000 log 8 log 000=-log = 8 = -.log = = Cio de se. se. Coocido el logrito de u úero e u se, se puede hllr e culquier otr

13 TEMA : POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS Supogos que cooceos el logrito de cierto úero A e dos ses distits y, es decir, cooceos log A y log A Nos plteos coocer l relció que hy etre os. Est relció viee dd por l fórul log A log log A Coo cosecueci de est últi propiedd, se deduce que solete ecesitos coocer los logritos e u sol se, los deás se otiee plicdo el proceso terior. hllr. Pr hllr u logrito e culquier se, hreos u cio se 0, que seos Hllr los siguietes logritos: log 40 '60 ) log 40 = ' 80 log 0'477 log '67 ' ) log 67 = ' 76 log 0'00