RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

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1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I

2 Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se aaliza el cojuto de activos que se egocia e el mercado - Se estima la retabilidad esperada y riesgo, medido por: ) la variaza o desviació típica, de cada título 2) las correspodietes covariazas co el resto de títulos y carteras que se pueda formar Si se pudiese determiar la esperaza y variaza de la retabilidad de todos los títulos que se egocia e el mercado, se podría represetar gráficamete e los ejes de coordeadas media-desviació típica Cojuto de posibilidades de iversió EP CMV Se obtedrá ua ube de putos que represeta el cojuto de posibilidades de iversió que viee dado por el mercado Las posibles carteras cubrirá por etero algua regió del espacio E P -σ P, y esta regió será covexa σp Tema 3- Parte I 2

3 Covexidad del cojuto posible. La regió defiida por el cojuto de oportuidades de iversió es covexa respecto al setido positivo del eje de ordeadas. EP EP=EP p p d Apoyádoos e el coeficiete de correlació se demuestra esta propiedad, para el caso más simplificado: la existecia de dos úicos activos. c σp σp σp Se costituye ua cartera (p) mediate la combiació de dos activos fiacieros (activos idividuales o carteras) (c,d) e el ejemplo. A cotiuació se demuestra que cualquier combiació realizada co estas carteras estará e la líea que los ue o por ecima de ella. x c = proporció del presupuesto de iversió que el idividuo va a ivertir e el activo c ( x c ) = proporció de dicho presupuesto que va a ivertir e el activo d ~ R p = la retabilidad de la cartera, defiida por: R ~ = x R ~ + ( x ) R ~ (variable aleatoria) ~ R c y ~ R d = redimietos de los correspodietes activos p c c c d Retabilidad esperada de la combiació ER ( ~ ) = xer ( ~ ) + ( x ) ER ( ~ ) p c c c d Si la correlació etre R ~ c y R ~ d es perfecta y positiva cov( R ~ c, R ~ d) ρc,d = = σ( R ~ ). σ( R ~ ) c d Tema 3- Parte I 3

4 Luego: σ p = x c σc + ( x c ) σd + 2x c ( x c ) Y la variaza de la cartera será: σ [ σ σ ] 2 ( R ~ ). ( ~ ) ( ). ( ~ p = xc Rc + xc Rd) σ c σ d 2 Y desviació típica de Rp: σ( R ~ ) = x. σ( R ~ ) + ( x ). σ( R ~ ) p c c c d Cuado el coeficiete de correlació etre retabilidad de los activos c y d es la uidad, las combiacioes de dichos activos se sitúa sobre ua líea recta Si esto se cumple, la pediete de la líea que ue los putos c y d será costate viedo defiida por: Pte. c,d ER ( ~ ) xc ERc ERd cte ( R ~ ( ~ ) ( ~ ) ) ( R ~ = = ) ( R ~ =. σ σ σ ) x c p p c d La pediete es costate, lo que implica que los putos c y d, cuado ρ c,d =, está uidos por ua líea recta Queda demostrado que cualquier combiació realizada co dos activos cualesquiera cuya correlació sea perfecta y positiva se situará sobre ua líea recta Si la correlació es meos que perfecta (si bie positiva): - la desviació estádar σp es meor que cuado ρ c,d = ( para u redimieto ER ( ~ p ) dado) - la variabilidad σp correspodiete es meor que e el caso aterior, por lo que la frotera eficiete se sitúa por ecima de la recta cd, como se idica e el gráfico Tema 3- Parte I 4

5 E P p represeta el caso de la cartera formada por los activos c y d cuya correlació es perfecta y positiva E P =E P p c p d p' represeta la seguda situació cometada, es decir, la de ua cartera formada por dos activos cuya correlació es positiva pero o perfecta σ P σ P σ P Si el coeficiete de correlació fuera egativo, para u redimieto dado la variabilidad sería aú meor que e el caso aterior y, e cosecuecia, la curva represetativa de la frotera eficiete sería más cerrada, es decir, e geeral, coforme dismiuye ρ, la curvatura será mayor sería: Si e lugar de dos activos se toma 3 activos (,2, y 3) las combiacioes posibles Las posibles combiacioes estaría etre y 2, 2 y 3, y y 3, y los putos que queda detro represeta combiacioes que se puede realizar co del activo y las carteras formadas por 2 y 3. Tema 3- Parte I 5

6 decir: Las formas del cojuto posible podrá ser variadas pero siempre covexas es pues las combiacioes de v y w se situará siempre e la líea que las ue o por ecima, pero uca por debajo. NOTA: Se puede usar para represetar el cojuto posible la variaza e lugar de la desviació típica, el resultado sería similar pero la curvatura sería mayor. II. Determiació de la Frotera Eficiete. Determiado el cojuto posible El iversor debe buscar la combiació redimieto-riesgo que maximice su utilidad esperada El cojuto de posibles carteras que se puede formar tomado posicioes largas y cortas e los distitos activos es elevado y ocupa umerosos putos e el plao esperaza-desviació típica ( cojuto de oportuidades del iversor) Tema 3- Parte I 6

7 Comportamieto del iversor Dado u determiado ivel de riesgo se preferirá aquellas carteras de máximo redimieto esperado. Dado u determiado ivel de redimieto esperado se preferirá aquellas de míimo riesgo Iversor racioal y adverso al riesgo Sólo deseará ivertir e las deomiadas carteras eficietes Carteras eficietes: Aquéllas que proporcioa ua retabilidad esperada máxima para u ivel dado de variabilidad o riesgo. O bie, aquéllas que preseta u ivel de variabilidad míimo para ua determiada retabilidad esperada. Cojuto de carteras eficietes se le llama frotera eficiete. Dado u ivel de redimieto esperado, la cartera situada e el cojuto de míima variaza tiee el míimo riesgo, para ese redimieto del cojuto posible. EP CMV Posibilidades de elecció del iversor racioal se limita al cojuto de carteras eficietes La curva que limita el cojuto de de oportuidades (cojuto de míima variaza) σp σcmv La cartera dode empieza la frotera eficiete detro del cojuto de míima variaza, es la cartera de míima variaza global El cojuto de míima variaza se parte e dos mitades. Las carteras más deseables por el iversor se represeta e la mitad superior (cojuto eficiete o frotera eficiete), se caracteriza porque so carteras que dado u ivel de riesgo, posee el redimieto esperado más alto. Tema 3- Parte I 7

8 Obteció de la frotera eficiete ) Fijado los iveles de riesgo, medido por la variaza o desviació típica, se determia para cada uo de ellos, la cartera que proporcioe la máxima retabilidad esperada. 2) Especificado los valores que puede alcazar la esperaza de retabilidad, para cada uo de los cuales se determiará la cartera de meor riesgo o variabilidad. Se seleccioa dos métodos: - uo gráfico de tipo ituitivo - aalítico ANÁLISIS GRÁFICO DE TIPO INTUITIVO. EP EB EA A B A Si la retabilidad que espera alcazar el iversor es E( A), existirá ifiitas carteras (el segmeto A,A'). B σp Sólo podrá cosiderarse eficiete aquélla que posea el meor riesgo: A σa σb=σb B Posibilidades de iversió El iversor, adverso al riesgo, seleccioará la cartera que le permita alcazar el objetivo de maximizació de su fució de utilidad esperada Tema 3- Parte I 8

9 Si el ivel de riesgo que desea soportar el iversor es σ B Existirá ifiitas carteras (el segmeto BB') que poseerá dicho ivel de riesgo Sólo se podrá cosiderar eficiete aquélla que proporcioe la mayor retabilidad esperada (la cartera B) DETERMINACIÓN ANALÍTICA DE LA FRONTERA EFICIENTE. Objetivo Determiar las x,x 2,...,x, que compoe las carteras de la frotera eficiete. (El aálisis de carteras implica u problema de optimizació co ua fució objetivo a maximizar o miimizar y uas restriccioes) Resolució Solució de este problema cosiste, e ecotrar la combiació de valores xi que, proporcioa la máxima esperaza de retabilidad para cada valor V* asigado a la variaza Fijada la variaza de la retabilidad, repartir el presupuesto de iversió etre los títulos cuya combiació proporcioe la máxima esperaza 2 i= j= Max. E( R ~ ) = x. E( R ~ ) p sa..: σ ( R ~ p) = xx i jσi, j = V (Restricció aparece térmios * cuadráticos, además, el parámetro V*, que represeta el valor de la variaza, puede tomar distitos valores (el problema cae detro de la programació cuadrática y paramétrica, se fija el ivel de riesgo o variabilidad que se desea soportar) x i = i= i= i (Restricció es presupuestaria, idica que la catidad total ivertida debe coicidir co el presupuesto de iversió) OBSERVACIÓN: A fi de obteer ua combiació, se fija u valor de V*, y se resuelve, repitiedo co otro valor de V*, para obteer otra combiació, y así sucesivamete se obtiee la frotera eficiete i Tema 3- Parte I 9

10 Alterativa La Frotera eficiete tambié puede ser obteida resolviedo el programa cuadrático paramétrico: 2 Mi. σ ( R ~ p) = xix jσi, j i= j= El programa es cuadrático porque e la fució objetivo aparece térmios cuadráticos sa..: ER ( ~ ) = xer. ( ~ ) = E p i= i i * (Restricció paramétrica, al poder variar el valor del parámetro E*, esperaza matemática de la retabilidad de la cartera, el programa se deomia paramétrico), E esta restricció se fija el ivel de retabilidad que el iversor espera obteer. x i = i= (Restricció es presupuestaria) Solució al problema permite determiar la clase de activos e los que el iversor debe ivertir y e qué proporcioes (x i ), de modo que cada uo de los valores que adopte la retabilidad esperada E*, posea el míimo riesgo Observació: e los ateriores programas o se ha icluido la restricció de o egatividad de las variables x i (x i 0). Supoe que e la solució del problema dichas variables puede adoptar valores positivos, ulos o egativos. ) Si x i >0, el título i etra a formar parte de la cartera, es decir, debe comprarse; y, la proporció del presupuesto de iversió que se destiará a la adquisició del mismo será el valor que adopte x i. 2) Si x i =0, el título i o etrará e la cartera del iversor. 3) Si x i <0 sigifica que se deberá veder al descubierto el título i, e la proporció x i, o lo que es lo mismo, que deberá tomarse posicioes a corto e dicho título. Tema 3- Parte I 0

11 Coclusió Si se resuelve uo de los problemas cuadráticos paramétricos idicados dado todos los valores posibles a la variaza o a la retabilidad esperada de la cartera, respectivamete, obtedremos el cojuto de combiacioes eficietes III. Especificació de las preferecias del decisor mediate sus curvas de idiferecia etre Retabilidad y Riesgo El iversor seleccioará de etre las carteras eficietes, la que mejor respoda a sus preferecias. EP U U2 U3 más utilidad Cada curva de idiferecia represeta combiacioes etre los pares retabilidad y riesgo que proporcioa idética satisfacció o utilidad σp Las características de u iversor racioal, implica u mapa de curvas de idiferecia, que so crecietes y cócavas e relació co el setido positivo del eje de ordeadas Tema 3- Parte I

12 Problema idividual que depede de las preferecias del iversor, que so distitas para cada uo IV. Determiació de la E esta etapa, el iversor decidirá, de etre el cojuto de carteras eficietes, e cual ivertirá Cartera Óptima El iversor elegirá etre las carteras eficietes la que se adecue a sus preferecias que será la que maximice su utilidad esperada Coocida la frotera eficiete y el mapa de curvas de idiferecia del iversor se está e codicioes de resolver este problema Figura Determiació de la cartera óptima Los activos A y B so idiferetes proporcioa idética utilidad. La utilidad de Co es mayor, por situarse e ua curva de idiferecia superior. Co será preferido a A y B EP E0 A C0 U U2 B U3 σp Por superposició de la frotera eficiete y las curvas de idiferecia del iversor, se puede determiar cual es la cartera óptima σ0 La cartera óptima viee defiida por el puto Co Se correspode co el puto de tagecia etre la frotera eficiete y el mapa de curvas de idiferecia Solució a la Teoría de Cartera de Markowitz. Tema 3- Parte I 2

13 VENTAJAS DE LA DIVERSIFICACIÓN: DIVERSIFICACIÓN EFICIENTE VERSUS DIVERSIFICACIÓN INGENUA. Búsqueda de carteras o combiacioes eficietes de títulos Ua cartera es eficiete cuado para ua determiada variaza o desviació típica proporcioa la máxima retabilidad esperada, o cuado para u redimieto esperado dado posee la míima variabilidad Cuado u activo se matiee detro de ua cartera lo importate o es su riesgo total sio el modo e que afecta al riesgo de la cartera. El riesgo total de ua cartera es iferior o igual a la suma poderada de los riesgos de los activos que la costituye ( se puede reducir el riesgo mateiedo e lugar de activos idividuales carteras diversificadas) Se puede gestioar el riesgo de ua cartera combiado adecuadamete los activos existetes e el mercado. Si que dismiuir la retabilidad se puede combiar los títulos del mercado co el fi de reducir el riesgo de la cartera, Propuesta de Markowitz: DIVERSIFICACIÓN EFICIENTE (compoer carteras eficietes de maera que se elimia el máximo riesgo posible) Cuestió Previa: Para poder obteer el cojuto de carteras eficietes es ecesario aalizar previamete los títulos Coocer para cada título su retabilidad esperada, su variabilidad y el cojuto de covariazas co el resto de títulos de la cartera Tema 3- Parte I 3

14 Qué ocurre cuado el iversor o dispoe de dicha iformació sobre los títulos, o bie, cuado dispoer de ella requiere u proceso demasiado costoso? Procedimieto Aalizar si existe la posibilidad de que el iversor reduzca su riesgo colocado su riqueza e diversos títulos seleccioados al azar Coocer si existe algua relació etre el riesgo de la cartera y el úmero de títulos que la compoe Respuesta: Dispersió del riesgo: DIVERSIFICACIÓN INGENUA La diversificació e el setido de Markowitz o eficiete difiere de la diversificació igeua (Se trata de aalizar, descoociedo las características de los títulos, cómo se va modificado el riesgo al aumetar el úmero de activos que de forma aleatoria etra a formar parte de la cartera) Cuestió Cómo se ve afectada la variaza de ua cartera cuado se icremeta el úmero de activos que la compoe? (al ir aumetado el úmero de activos que forma parte de la cartera, su variaza dismiuye y se aproxima a la covariaza media) Para ello vamos a partir de la siguiete expresió que defie la variaza de ua cartera: σ ( R ~ p) = xi. σi + xixjσi, j i j i= i= j= Tema 3- Parte I 4

15 Sabemos que la variaza de esta cartera ( R ~ p ) compuesta de "N" activos costa de N variazas (la de todos los títulos) y N(N -) covariazas (la de cada uo de los activos e relació co todos los demás) Vamos a supoer ahora que la cartera p está formada por N clases de activos, e cada uo de los cuales se ivierte la misma proporció de la riqueza, es decir, /N. E este caso, haciedo x = /N e la expresió aterior, la variabilidad de la cartera vedrá dada por: 2 2 σ ( R ~ p) = σ σ 2 i + 2 ij, i j N N i= i= j= Supogamos que V es la variaza media de los N activos que compoe la cartera, y que σ ij, es la covariaza media de la N(N-) covariazas que hay, es decir: 2 σi = V σ N i= i= 2 i = V N N(N ) i= j= σ ij = σ ;i ij j i= j= σ ij = σ N(N ) ij Sustituyedo e la expresió de la variaza de la cartera: 2 σ ( R ~ ) ( ) σ σ σ σ 2 2, 2,,, N V N N NN N V N N p = + i j = + i j = N N V + i j i j N 2 Si calculamos el límite de la expresió aterior cuado N tiede a ifiito, el primer y el último sumado tederá a cero, y por tato la expresió tederá a la covariaza media: 2 = limσp N σ ij Cuato mayor sea el úmero de activos que compoe la cartera meor será el riesgo de la misma, pero el riesgo se reduce hasta u límite, siempre hay ua porció de riesgo debida a la covariaza etre los activos que o se puede elimiar Tema 3- Parte I 5

16 El riesgo que icorpora u activo a la cartera depederá, úica y exclusivamete de su correlació o covariaza co el resto de títulos que forme parte de la cartera y o de su riesgo idividual o específico medido por su variaza, que se puede elimiar co ta sólo icremetar el úmero de títulos suficietemete So pocos los títulos que se correlacioa egativamete etre sí No existe títulos cuya correlació sea perfecta y egativa EL RIESGO NUNCA PODRÁ SER TOTALMENTE ELIMINADO (co idepedecia del tamaño de la cartera) Lo deseable Coocer es el úmero de títulos de clase diferete ecesarios para coseguir ua diversificació suficiete Cotrastació Empírica o tiee mucho setido formar carteras cuyo volume de títulos supere 0 ó 5 clases de títulos distitos, ya que, el beeficio de la diversificació que se cosigue itroduciedo más de 0 ó 5 títulos diferetes, que es míimo, o se vería compesado co los costes de trasacció y admiistració a los que se debería hacer frete Gráficamete: σ 2 P σ ij N Tema 3- Parte I 6

17 INTRODUCCIÓN DEL ACTIVO LIBRE DE RIESGO E el modelo de Markowitz se supoe que los iversores sólo puede ivertir e activos arriesgados y, por ello, a pesar de que cosidera que el mercado de capitales es perfecto o cotempla la existecia del activo libre de riesgo Ua extesió del modelo de Markowitz es la plateada por J. TOBIN (958) desarrollada, posteriormete, por W.F. SHARPE (964) y J. LINTNER (965), co u plateamieto diferete PLANTEAMIENTO Añadir la hipótesis de la existecia de ua tasa libre de riesgo a la cual se puede prestar o pedir prestado cualquier catidad de diero (El iversor puede o sólo ivertir todo su presupuesto e activos arriesgados, sio tambié destiar parte del mismo a la compra del activo si riesgo o cederla e préstamo al tipo de iterés si riesgo, teiedo la posibilidad de ivertir e activos co riesgo ua catidad superior al presupuesto de iversió dispoible, edeudádose para fiaciar la diferecia) OBSERVACIÓN Todo idividuo tiee ua capacidad de crédito limitada y además, el tipo de iterés que ha de pagar cuado se edeuda, ormalmete, es superior al que le paga por la colocació de sus ahorros Tema 3- Parte I 7

18 HIPÓTESIS Certeza del resultado que se obtiee si se ivierte e el título libre de riesgo (R F ) o el coste que supoe edeudarse e dicho activo (Por lo tato, su retabilidad esperada es costate, R F, y su desviació típica y sus covariazas co el resto de activos y carteras que se egocia e el mercado, so ulas) Simplifica el problema de selecció de carteras La curva de carteras eficietes del modelo de Markowitz se trasforma e ua recta El iversor puede colocar todo su presupuesto de iversió e el activo si riesgo o e el activo arriesgado O puede ivertir e cualquier combiació etre el título libre de riesgo y las o carteras eficietes (carteras mixtas) Coocidas la retabilidad esperada y la desviació típica de las carteras mixtas podemos determiar el cojuto de posibilidades de iversió, así como la frotera eficiete e este uevo cotexto, que es lo que pasaremos a hacer. LA INTRODUCCIÓN DEL ACTIVO LIBRE RIESGO: EL NUEVO CONJUNTO POSIBLE Y LA NUEVA FRONTERA EFICIENTE. EP R F represeta la retabilidad-riesgo del activo libre de riesgo El iversor puede situarse el la recta que ue el activo libre de riesgo co cualquier puto de la cartera eficiete RF Y X A Frotera eficiete cuado o se cosidera el título si riesgo Posibilidades de iversió queda defiidas por el cojuto de carteras co riesgo eficiete y el activo libre de riesgo σp Tema 3- Parte I 8

19 Las combiacioes etre el activo libre de riesgo y ua carera arriesgada de la frotera eficiete hace ieficietes a las que está por debajo El iversor es racioal y adverso al riesgo Siempre ivertirá e algua cartera mixta, o combiació de activos arriesgados y del activo libre de riesgo (recta R F -A), ueva y defiitiva frotera eficiete Cosecuecias -Volverá ieficietes todas las combiacioes que se efectúe co el activo libre de riesgo y cualquier cartera de la atigua frotera eficiete, porque quedará por debajo de ella 2-Es imposible, co el cojuto de títulos que se egocia e el mercado, situarse por ecima de la ueva frotera Coclusioes Las carteras situadas sobre la recta R F -A proporcioa la máxima retabilidad esperada para cada ivel de riesgo. Para u determiado ivel de retabilidad, dichas combiacioes ofrece el míimo riesgo (combiacioes etre R F y la cartera A, cartera tagete). Estas combiacioes deja ieficietes a las carteras situadas e la frotera eficiete aterior, por lo que es la ueva frotera eficiete de la ueva frotera La ueva frotera eficiete es ua líea recta que parte de R F y es tagete a la aterior frotera eficiete Al cosiderar el activo libre de riesgo, la frotera eficiete se trasforma e ua líea recta, que parte del puto R f y es tagete a la frotera eficiete obteida si itroducir el título si riesgo El puto de tagecia defie la cartera eficiete de activos co riesgo A e que ivertirá el decisor El iversor repartirá su presupuesto etre la cartera arriesgada A y el activo si riesgo Tema 3- Parte I 9

20 ~ ~ R = xr + ( x) R p A f Retabilidad de las carteras mixtas ~ R A = retabilidad de la cartera de activos co riesgo x = la proporció ivertida e la cartera de activos arriesgados A (-x) = la proporció que se ivierte e el activo libre de riesgo Cuado x<, se está prestado a la tasa de iterés libre de riesgo y e la frotera eficiete os situaremos a la izquierda de A Si x>, se está pidiedo prestado a la tasa de iterés libre de riesgo y os situaremos a la derecha del puto A La retabilidad esperada de dicha cartera mixta vedrá dada por: ER ( ~ ) = xer ( ~ ) + ( xr ) p A f La desviació típica de la retabilidad de dicha cartera llegaremos a la siguiete expresió: σ( R ~ ) = xσ( R ~ ) p A La ecuació de la recta que pasa por el puto Rf y por la cartera o activo co riesgo A: ERA R ER ( ~ ( ~ ) p) = Rf + σ( R ~ ) A f. σ ( R ~ ) p Esta expresió muestra la relació lieal etre la retabilidad y el riesgo que se verifica para todas y cada ua de las carteras eficietes Cartera óptima Se correspoderá co aquélla que proporcioe el par retabilidad esperada-desviació típica localizado e el puto de tagecia etre la ueva frotera eficiete y el mapa de curvas de idiferecia de cada iversor Tema 3- Parte I 20

21 Vetajas del modelo de Markowitz cuado existe la posibilidad de prestar y pedir prestada cualquier catidad de diero al tipo de iterés si riesgo La comparació de la frotera eficiete ates y después de itroducir el activo libre de riesgo. EP A RF σp. Al itroducirse el activo libre de riesgo el iversor puede acceder a otras oportuidades de iversió que ateriormete era ialcazables 2. Como la frotera eficiete se sitúa por ecima de la aterior (si cosiderar el título si riesgo), el iversor puede obteer ua mayor retabilidad esperada para cada ivel de riesgo. (úicamete o ocurre si se ivierte la totalidad de su presupuesto de iversió e la cartera arriesgada A (x=)). 3. La frotera eficiete se trasforma e ua relació lieal Tema 3- Parte I 2

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