Adaptación de impedancias

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1 .- El tansfomado ideal Adaptación de impedancias I +V +V TI Tansfomado ideal V elaciones V-I: V = I = a. I, válidas paa cualquie fecuencia. a Si se conecta una esistencia al secundaio, ente el nodo +V y, del tansfomado se tiene que: V V V = = I. I = a a. I V y, = = a impedancia de entada del lado a a. pimaio (ente el nodo +V y ) vale: Z e = (V /I ) = a. De la misma manea, una esistencia conectada al pimaio se efleja en el secundaio como: Z s = /a.- El tansfomado eal Dos inductoes acoplados magnéticamente, pate del flujo magnético de induce una tensión en y vicevesa. I +V M +V Tansfomado eal as elaciones V-I del tansfomado eal, sin pédidas, espetando la convención de tensión y coiente indicadas en la figua, son: V = jω. I + jωm. I V = jωm. I + jω. I en las ecuaciones de aiba, M es la inductancia mutua (dimensión Hy) ente los inductoes y, definida po M = k.., donde k (númeo adimensional, ) es

2 el facto de acoplamiento ente los inductoes (popoción de flujo concatenado), contolable con la posición elativa ente ellos. jω.i es la tensión geneada en po la coiente I jωm.i es la tensión geneada en po la coiente I jωm.i es la tensión geneada en po la coiente I jω.i es la tensión geneada en po la coiente I as ecuaciones definen la matiz de impedancias del tansfomado eal: F HG V V I = KJ Z N M. donde Z I O QP as elaciones V-I, sugieen un modelo equivalente: = NM jω jωm O j M j Q P ω ω +V I +V jwm.i jwm. o, sin utiliza geneadoes contolados: +V -M -M I +V M El modelo T eponde a las ecuaciones del tansfomado, sin embago, pesenta un teminal común y existe acoplamiento de coiente continua ente entada y salida. Se puede pefecciona agegando un tansfomado ideal a la entada o salida: +V -M -M I +V M TI Tansfomado ideal : Paa una mejo intepetación del funcionamiento del tansfomado y nota en foma diecta el efecto de los distintos paámetos, es conveniente modifica el modelo T en la siguiente foma:

3 +V d I/a I +V m TI Tansfomado ideal a: a matiz Z del cicuito popuesto (modelo ) es: Z = NM m jω( d + m) jω a m m jω jω a a O QP Igualando los téminos obtenidos con los de la matiz oiginal, esulta : O sea que: + d = m M a = a = m m M k.. M = a. a= = = k. a M k k k m =. =.... =. = = k d.( ) m m es la inductancia de magnetización, que modela al flujo concatenado d es la inductancia de dispesión, que modela al flujo dispeso. a es la elación de tansfomación eal. Nota que, si se acepta que el valo de la inductancia de una bobina es popocional al cuadado del númeo de espias, la constante a puede ponese también como a=k.n /n donde n y n son el númeo de espias del pimaio y secundaio espectivamente. Si k=, se tiene un tansfomado pefecto. El modelo se simplifica a: +V +V TI Tansfomado ideal ((/)^.5): = (n/n): Si además que k=, y tienen inductancias muy gandes, el tansfomado tiende a un tansfomado ideal. En la páctica, no existe. El valo de k puede se del oden de.9 en tansfomadoes tooidales a fecuencias elativamente bajas, en

4 inductoes de núcleo de aie y en el ango de fecuencias de VHF, con acoplamiento fuete, el facto k vaía usualmente ente. y....- El autotansfomado Usado extensamente en el ango bajo de fecuencias (menoes a /3MHz) +V I +V Consideando que la inductancia mutua ente los inductoes y es M e intoduciendo el modelo con geneadoes dependientes, se puede calcula la matiz Z del autotansfomado : Z = NM jω.( + +. M) jω.( + M) jω.( + M) jω. Igualando los elementos de la matiz a los del modelo, se tiene que: m m + m = d + +. M M a = + a = O QP M de donde : + M = a. a = + = + k. = M a + m M = ( + ).( ) = + k. +. k. M M = + + ( + ) d. =.( k ) Si k=, se tiene que: a = + m= d = + n+ n también: a = + = = donde (n+n ) es el númeo total n de espias del inducto y n el númeo de espias de la deivación.

5 +V I +V ++M TI Tansfomado ideal ((n+n)/n): Nota que en el autotansfomado, el valo de la inductancia de magnetización es mayo que en el tansfomado de dos aollamientos (a igualdad de ). En geneal, esto hace que, el compotamiento del autotansfomado, se desvíe menos del compotamiento ideal que el de dos aollamientos y como consecuencia, la pedicción simple de suponelo como tal, da nomalmente esultados mas o menos coectos en la páctica...- El tansfomado/autotansfomado como adaptado de impedancias os modelos pesentados pemiten calcula las inductancias, y el facto de acoplamiento k necesaios paa tansfoma una esistencia de valo en oto que apaeceá, necesaiamente, acompañada po un eactancia inductiva que puede eliminase con un capacito adecuado. El poblema algebaico es complejo y aa vez vale la pena intentalo. Una apoximación páctica es supone el tansfomado como si fuea pefecto, aplica el modelo simplificado y coegi en el banco de laboatoio la desviación que apaezca. Paa tene un idea de la magnitud de los eoes que pueden pesentase, se muesta el ensayo simulado de un tansfomado sin pédidas con los siguientes paámetos: =3nH, =8nH, k vaiable desde. hasta (T. pefecto) y una esistencia de 5Ω conectada al secundaio, la fecuencia de opeación es MHz. Si k=, debeía espease una impedancia en el pimaio p de Ω en paalelo con una eactancia inductiva Xp de Ω. os esultados al vaia k son: k=. p= 39.8k Xp=.56 k=.3 p= 4.8k Xp= k=.5 p=.55k Xp= k=.7 p= Xp= k=.9 p= 55.9 Xp= k=. p=. Xp=.6 Nota que el eo que se comete al supone el tansfomado pefecto puede se gande en la componente esistiva. En el caso de un autotansfomado, se elijen los siguientes paámetos: =8nH, =8nH, k vaiable y la esistencia conectada a la deivación 5Ω. os esultados son: k=. p= 4.93 Xp= 9.57 k=.3 p= 4.76 Xp= 8.493

6 k=.5 p=.633 Xp= k=.7 p= Xp= 5.78 k=.9 p=.55 Xp= 8.8 k=. p=. Xp=.6 En este caso, el eo que se comete con la apoximación de T. pefecto no es tan gave como en el caso anteio. 3.- Tansfomación de impedancia con edes eactivas canónicas a ed es la configuación básica de las edes adaptadoas de impedancia: Ze jx jx a impedancia de entada de la ed vale: jx Ze = jx + + jx Si se busca que Z e = + j, debe se: = X + X F HG X + j X + + X I KJ X = () y + X X X = + X X debe se de signo distinto a X. () de la condición (), suge que De () se despeja el valo de X necesaio paa obtene el esultado buscado, eemplazando el valo obtenido en (), se puede detemina X : X = X = ± Paa que X sea eal, debe se mayo que. En todo lo que sigue, se supone que es mayo que X = + NM ± O P Q P = ( ) El cicuito equivalente, visto del extemo de meno esistencia, es una esistencia y dos eactancias iguales y de signo contaio, el Q del cicuito, a la fecuencia de diseño, vale:

7 Q X ( ) = = = = (3) esulta mas páctico expesa las eactancias X y X en téminos del facto Q obtenido: X = ( ), de (3) se tiene que = Q con lo que queda: X = Q, de la misma manea, X = (se sobeentiende que son de distinto signo) Q a tansfomación de impedancias calculada, es exacta sólo en la fecuencia de diseño, en la que se cumplen las condiciones () y (). El facto Q deteminado en (3) indica, apoximadamente dento de que ango de fecuencia es válida. Al se la ed eactiva pua, si, con los valoes calculados de X y X, se caga el extemo de baja esistencia con una esistencia de valo, la impedancia de salida de la ed seá. ecoda, como egla mnemotécnica: En una ed, la ama paalelo va del lado de esistencia mayo y la ama seie, del lado de meno esistencia edes de tes elementos Una caacteística ( y limitación) de la ed es que, fijadas las esistencias de caga y entada, queda automáticamente deteminado el Q (o ancho de banda) del cicuito. Si la especificación de la tansfomación exige un Q mayo al que esulta de (3), se deben agega elementos eactivos a la ed: a) edes en cascada Dados y, se debe ealiza la tansfomación con Q >. El poblema se esuelve adoptando una esistencia intemedia (ficticia) de valo adecuado y ealizando la tansfomación mediante dos edes "" en cascada. Pueden dase dos casos: a) intemedia ('), meno que y ed, --> ' ed, ' --> jx ' jx4 jx jx3 Quedan definidos dos Q: Q = Q = como >, Q>Q el Q ' ' de las dos secciones en cascada seá, apoximadamente, Q (dominante) de alli puede deteminase el valo de ' según: ' = Con ', se calcula Q y se Q +

8 pueden detemina las eactancias X =/Q, X ='Q y X 3 =/Q, X 4 ='Q las eactancias X y X 4 se agupan en una única componente, y se foma una ed "π": j(x+x4) jx jx3 Como X y X deben se de signo contaio, lo mismo que X y X 3, pueden dase cuato posibles configuaciones: I) Pasa bajo - Pasa bajo ' II) Pasa alto - Pasa alto ' III) Pasa bajo - Pasa alto ' Como Q >Q, la ama seie se tansfoma en un capacito poque la eactancia capacitiva de la ed es mayo que la inductiva en la ed. IV) Pasa alto - Pasa bajo '

9 Igual que en el caso (III), la eactancia inductiva de la ed es mayo que la capacitiva de la ed po lo que la ama seie se educe a una inductancia. a) intemedia ('), mayo que y ed, --> ' ed, ' --> jx ' jx3 jx jx4 ' ' Igual que en (a), quedan definidos : Q = Q = como >, Q<Q el Q de las dos secciones en cascada seá, apoximadamente, Q (dominante) de alli puede deteminase el valo de ' según: ' = (Q +) Con ', se calcula Q y se pueden detemina las eactancias X =Q, X ='/Q y X 3 =Q, X 4 ='/Q. as eactancias X y X 4 se agupan en una única componente y se foma una ed "T": jx jx3 jx4x/(x+x4) Dependiendo de las configuaciones de las edes componentes, igual que aiba, pueden pesentase cuato altenativas: I) Pasa bajo - Pasa bajo ' II) Pasa alto - Pasa alto

10 III) Pasa bajo - Pasa alto ' Al se Q >Q, la eactancia esultante de la ama paalelo es capacitiva (la eactancia C es meno que la ) IV) Pasa alto - Pasa bajo ' Idem que (III), con la difeencia que, en éste caso, la eactancia dominante de la ama paalelo es inductiva. b) Modificación de una ed Si se fijan los valoes jx y jx paa tansfoma en y el Q del cicuito es infeio al solicitado, puede dividise la eactancia seie jx en dos valoes jx a y jx b, en valoes que cumplan, a la fecuencia de diseño : X = Xa Xb Xa = Q jxa jxb jx=jxa-jxb Xa =Q jx a elección de la configuación de una deteminada topología de ed depende de cada caso paticula. Se debe tene en cuenta: (a) ealizabilidad po valoes de los componentes, (b) conveniencia de estuctua pasa altos o pasa bajos, (c) égimen de tabajo de los componentes Mayo ancho de banda

11 Poblema inveso al visto en el punto anteio: Tansfomación de a con un Q meno al establecido po. Una foma simple de esolve el poblema es diseña una cascada de edes que vayan tansfomando los valoes teminales y en esistencias intemedias ente esos valoes: jx ' jx3 '' jx5 ''' jx7 jx jx4 jx6 jx8 < ' < '' < ''' < Si se diseñan las edes con idéntico Q, debe cumplise: ' '' ''' = = =... = = k ' '' ( n ) (k es una constante y n el númeo de secciones). De la elación de aiba suge que: ' = k ; '' = k' = k ; ''' = k'' = k 3 ;... ; (n-) = k (n-) = k (n-) ; = k (n-) = k n El Q de cada sección vale Q = k, el valo de Q paa la ed completa es apoximadamente el mismo, po lo que el k necesaio es k = Q +. El númeo de secciones necesaio seá: F I HG K J log k n = n = Una vez calculado n, si no es enteo (nomalmente es logbkg así) se debe toma el enteo inmediato supeio y ecalcula detemina el Q eal y detemina las eactancias de la ed. k = n paa pode Paa el caso mas simple, n=, se tiene que k = y k ' = = =

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