CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO. cenidet

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1 SEP SEIT DGIT CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO ceidet DESARROLLO DE ALGORITMOS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES USANDO ESPECTROS DE ALTO ORDEN. T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA P R E S E N T A : ING. EDWIN B. SULUB COUOH DIRECTOR DE TESIS DR. MARCO ANTONIO OLIVER SALAZAR. CUERNAVACA, MORELOS. JUNIO 005

2 Abstract. Regardig the digital sigal processig, the spectral aalysis, has proved essetial to the developmet of scietific ad techological advaces like the radar ad the soar. Bispectrum is a higher order of the Power Spectral Desity PSD). I additio it preserves phase iformatio of the sigals ad its harmoically related frequecies. The geeral scheme of this thesis project cosists of the developmet of a aalysis tool, called Spectral Aalyzer, to apply the PSD ad Bispectrum algorithms to discrete time series from real systems. The Spectral Aalyzer is a Widows applicatio, desiged i order to solve the problem of the difficulty of usig these algorithms, facilitatig the work of the ed user, i each ivestigatio disciplie where Biespectro is applied. A importat poit to cosider is the large processig time ecessary to obtai the PSD ad Bispectrum fuctios. It s ecessary to determie the hardware ad software requiremets to miimize the processig time, justifyig or o the use of dedicated processors ad specific software. I this thesis project a theoretical comparative of characteristics betwee IBM PC ad digital sigal processors platforms appears, coverig topics like the processig speed, architecture, memory usage, available ports, programmig type, etc. I additio, based o the software of the Spectral Aalyzer, practical performace evaluatios betwee a Athlo TM processor of a persoal computer versus the TMS30C670 of Teas Istrumets digital sigal processor were made. Fially, i order to validate the Spectral Aalyzer usig real sigals, tests of faults detectio i a iductio motor were made. Some patters related to electrical faults were idetified by phase curret variatios aalysis.

3 Resume. Detro del procesamieto digital de señales, el aálisis espectral, ha sido esecial para el desarrollo de avaces cietíficos y tecológicos como el radar y el soar. El Biespectro es ua etesió de orde superior de la Desidad Espectral de Potecia PSD). Además, preserva la iformació de fase de las señales y de sus frecuecias armóicamete relacioadas. El esquema geeral de este proyecto de tesis, cosiste e el desarrollo de ua herramieta de aálisis, llamada Aalizador Espectral, para aplicar los algoritmos de PSD y Biespectro a datos e tiempo discreto proveietes de sistemas reales. El Aalizador Espectral es ua aplicació tipo Widows diseñada co el propósito de solucioar el problema de la dificultad de uso de estos algoritmos, facilitado el trabajo del usuario fial, e cada disciplia de ivestigació dode se aplica el Biespectro. U aspecto importate a cosiderar, es el alto tiempo de procesamieto ecesario para obteer las fucioes de PSD y Biespectro. Es ecesario determiar los requisitos de hardware y software para miimizar el tiempo de procesamieto, justificado ó o, el uso de procesadores dedicados y de software específico. E este proyecto de tesis se preseta u comparativo teórico de características etre plataformas IBM PC y procesadores digitales de señales, cubriedo tópicos como la velocidad de procesamieto, arquitectura, uso de memoria, puertos dispoibles, tipo de programació, etc. Además, co base e el software del Aalizador Espectral, se realizaro evaluacioes prácticas de desempeño etre u procesador Athlo TM de ua computadora persoal cotra el procesador digital de señales TMS30C670 de Teas Istrumets. Fialmete, co objeto de validar el Aalizador Espectral co señales reales, se realizaro pruebas de detecció de fallas e u motor de iducció. Se idetificaro alguos patroes relacioados co fallas eléctricas mediate el aálisis de las variacioes de la corriete de fase.

4 CONTENIDO. Lista de figuras... iv Lista de tablas.vi Capítulo : Itroducció.. Plateamieto del problema Objetivos Atecedetes Estado del Arte Paorama de Ivestigació y Metodología utilizada Estructuració de la tesis...0 Capítulo : Marco Teórico.. Señales e el domiio del tiempo Mometos Cumulates Relació etre Mometos y Cumulates Uso de cumulates e lugar de mometos Codicioes de simetría de los cumulates...9. Señales e el Domiio de la frecuecia..... Trasformada Discreta de Fourier..... Poliespectros Desidad Espectral de Potecia Biespectro Métodos de Estimació de los poliespectros Métodos de Estimació No Paramétrica de la Desidad Espectral de Potecia Periodograma Periodograma Modificado Método de Welch Métodos de Estimació No Paramétrica del Biespectro Codicioes de Simetría Biperiodograma Biperiodograma Modificado Método de Welch Biespectro Modificado i

5 Capítulo 3: Herramieta de Software Aalizador Espectral. 3. Descripció Especificacioes geerales del Aalizador Espectral Modelo : Aalizador Espectral implemetado e Matlab Desarrollo del software Características fucioales Requerimietos de istalació Coclusioes para este modelo Modelo : Aalizador Espectral implemetado e Visual C para IBM PC o compatible Desarrollo del software Características fucioales Requerimietos de istalació Coclusioes para este modelo Modelo 3: Aalizador Espectral implemetado e Visual C para DSP TMS30C Desarrollo del software Modelo del Protocolo de Comuicacioes Maejo de Memoria Características fucioales Requerimietos de istalació Coclusioes para este modelo Comparativos etre plataformas, basados e el Aalizador Espectral...58 Capítulo 4: Comparativo de características etre plataformas PC y DSP. 4. Hardware especializado Paralelismo U puto de vista de programació Otras formas de Paralelismo Arquitectura de memoria Orgaizació de la memoria Maejo eficiete de la memoria Maejo de flujos de Etrada-Salida Lazos de sobrecarga cero Costo Otras opcioes para sistemas embedded Cosideracioes e el diseño de u comparativo...66 ii

6 Capítulo 5: Resultados de los comparativos realizados. 5. Diseño y cosideracioes del comparativo Comparativo PC, DSP y DSP IDRAM para FFT Comparativo PC, DSP y DSP IDRAM para FFT Comparativo PC, DSP y DSP IDRAM para Cumulates de do Orde Comparativo PC, DSP para Cumulates de 3do Orde Comparativo fial de aplicació del Aalizador Espectral etre PC y DSP Coclusioes...8 Capítulo 6: Caso de aplicació: Detecció de fallas e u motor de iducció trifásico. 6. Detecció de fallas e u motor de iducció trifásico Descripció de la técica de moitoreo de fases Operació ormal del motor trifásico Codició de Referecia Codició de Referecia si carga Codició de Referecia para carga de 776 N-m Fallas Eléctricas Desbalace de tesió etre fases Falla Mecáica Rotor Bloqueado Coclusioes...99 Capítulo 7: Aportacioes del proyecto y trabajos futuros. 7. Aportacioes Trabajos futuros...0 Capítulo 8: Coclusioes. Coclusioes...0 Referecias Aeo : Características de las plataformas PC y DSP empleadas... 0 Aeo : Maual del Aalizador Espectral e Matlab Aeo 3: Maual del Aalizador Espectral e Visual C iii

7 Lista de figuras. Figura. Diagrama a bloques del proyecto...9 Figura. Simetría e el domiio del tiempo....9 Figura. Propiedades de simetría de los cumulates...0 Figura.3 Fucioes de vetaa co u ídice de tiempo...7 Figura.4 Simetría del Biespectro e el domiio de la frecuecia...30 Figura.5 Simetría óptima del biespectro...3 Figura.6 Fucioes de vetaa co dos ídices de tiempo...34 Figura.7 Vetaa óptima para el cálculo del Biespectro...34 Figura.8 Comparativo Biespectro cotra Biespectro modificado Figura 3. Aalizador Espectral implemetado e Matlab...40 Figura 3. Maejo de gráficas del Aalizador Espectral e Matlab....4 Figura 3.3 Gráficas de Salida e Visual C Figura 3.4 Gráfica de salida de la PSD e Measuremet Studio para Visual C Figura 3.5 Iterfase de Usuario del Aalizador e Visual C Figura 3.6 Modelo del protocolo de comuicacioes...50 Figura 3.7 Diagrama de flujo del protocolo de comuicacioes desde el puto de vista del DSP TMS30C Figura 3.8 Diagrama de flujo del protocolo de comuicacioes desde el puto de vista de la IBM PC...53 Figura 3.9 Mapa de memoria del DSP TMS30C Figura 3.0 Memoria ecesaria para el Aalizador Espectral e térmios de potecias eteras de Figura 4. Comparativo de ejecució de FFT realizado etre DSP s y el Petium III Berkeley Desig Techology Ic. 00)....6 Figura 4. Arquitectura Vo Neuma Figura 4.3 Arquitectura Harvard Figura 4.4 Comparativo total realizado etre DSP s y el Petium III Berkeley Desig Techology Ic. 004)...67 Figura 5. Iterfase del programa e la PC utilizado e el comparativo Figura 5. Ejemplo de tipos de aálisis y obteció del tiempo de procesamieto...70 Figura 5.3 Evaluació de la latecia de ciclos, mediate iteracioes del proceso....7 Figura 5.4 Comparativo co el algoritmo de FFT efectuado 000 veces...7 Figura 5.5 Comparativo co el algoritmo de FFT efectuado 0 veces...73 Figura 5.6 Comparativo co el algoritmo de FFT efectuado 00 veces...73 Figura 5.7 Comparativo co el algoritmo de FFT efectuado 0,000 veces...74 Figura 5.8 Comparativo co el algoritmo de Cumulates de do Orde C efectuado vez...75 Figura 5.9 Comparativo co el algoritmo de Cumulates de do Orde C efectuado 0 veces Figura 5.0 Comparativo co el algoritmo de Cumulates de do Orde C efectuado 00 veces Figura 5. Comparativo co el algoritmo de Cumulates de 3er Orde C3 efectuado sola vez iv

8 Figura 5. Comparativo co el algoritmo de Cumulates de 3er Orde C3 efectuado 0 veces Figura 5.3 Comparativo co el algoritmo de Cumulates de 3er Orde C3 efectuado 00 veces Figura 5.4 Comparativo del Aalizador Espectral calculado la PSD mediate el método directo Figura 5.5 Comparativo del Aalizador Espectral calculado la PSD mediate el método Idirecto...79 Figura 5.6 Comparativo del Aalizador Espectral calculado el Biespectro mediate el método directo Figura 5.7 Comparativo del Aalizador Espectral calculado el Biespectro mediate el método idirecto...80 Figura 6. Esquema geeral de las pruebas eperimetales Figura 6. Corrietes del motor e operació ormal...85 Figura 6.3 Desidad espectral de potecia de la operació ormal si carga...86 Figura 6.4 Biespectro de la operació ormal si carga Figura 6.5 Codicioes de operació ormal cortes de D del Biespectro y Biespectro Modificado Figura 6.6 PSD para la codició de operació ormal para carga de 776 N-m Figura 6.7 Cortes -D Para la codició de operació ormal para carga de 776 N-m...89 Figura 6.8 Corrietes trifásicas del motor e desbalace de fase...9 Figura 6.9 PSD para la codició de operació ormal para carga de 776 N-m....9 Figura 6.0 Corte -D del biespectro para la codició de desbalace de fase si carga...94 Figura 6. Corte -D del biespectro, codició de desbalace de fase para carga de 776 N- m Figura 6. Corrietes trifásicas para la codició de rotor bloqueado...98 Figura 6.3 Codició de rotor bloqueado...99 v

9 Lista de tablas. Tabla -Cálculo de los mometos y cumulates de 4to orde e térmios de los mometos....8 Tabla 3- Listado de mesajes eviados al DSP...5 Tabla 3- Listado de estados de operació del DSP....5 Tabla 6-Características e tiempo y frecuecia de los vectores de datos...84 Tabla 6- Parámetros eléctricos del motor e operació ormal si carga...84 vi

10 Capítulo : Itroducció. Capítulo Itroducció. El procesamieto digital de señales es ua disciplia que se ocupa del maejo de señales e forma digital, para aalizar, modificar y etraer iformació de señales del sistema. Su objetivo es procesar u cojuto fiito de datos mediate el uso de algoritmos, remover iterferecias o ruidos de las señales que represeta, idetificar sistemas, obteer el espectro de los datos o trasformar la señal e ua forma más adecuada para su aálisis. El procesamieto digital es actualmete utilizado e muchas áreas sustituyedo los métodos aalógicos, y e aplicacioes uevas, dode el uso de técicas aalógicas es muy complejo o prácticamete imposible, proporcioado u desempeño superior, precisió, repetibilidad y fleibilidad. Las áreas de aplicació icluye, procesamieto de imágees, ecualizació y trasmisió de audio e imágees, istrumetació y cotrol, telecomuicacioes, biomedicia, geofísica, acústica, aplicacioes idustriales y militares, etc. Ua de las herramietas fudametales y de gra utilidad e el procesamieto digital de señales, es el Aálisis Espectral, pues provee ua represetació alterativa e el domiio de la frecuecia de la señal origial e el domiio del tiempo. Esto puede realizarse mediate el cálculo de la fució de Desidad Espectral de Potecia Power Spectral Desity, PSD, por sus siglas e iglés), la cual ha permitido la creació de avaces cietíficos y tecológicos como la iveció del radar y el soar [].

11 Capítulo : Itroducció. Otra aproimació para el aálisis espectral, es el uso de las fucioes poliespectrales, éstas so ua etesió de la PSD, que cotiee además de la iformació de amplitud, tambié la iformació de fase del sistema. El poliespectro puede obteerse trasladado al domiio de la frecuecia a las estadísticas de alto orde High Order Statistics, HOS, por sus siglas e iglés) de ua señal. Ejemplos de HOS so los mometos y los cumulates. Casos especiales de los espectros de alto orde so el Biespectro BIS), que por defiició es la trasformada de Fourier de dos dimesioes de las estadísticas de tercer orde, y el Triespectro, el cuál es la trasformada de Fourier de tres dimesioes de las estadísticas de cuarto orde []. El Biespectro provee iformació de la geeració de armóicas producidas por acoplamietos de pares de frecuecias y es más ampliamete usado que el Triespectro. La razó de utilizar el Biespectro sobre el Triespectro radica e que ua represetació gráfica del Triespectro requiere de cuatro dimesioes. Además su estimació demada u esfuerzo computacioal mucho mayor al del cálculo del Biespectro e térmios de requerimietos de memoria y tiempo de procesamieto [3]. El Biespectro es ua herramieta relativamete ueva e el procesamieto de señales y aálisis de secuecias, e campos como la biomedicia, geofísica, telecomuicacioes, procesamieto de señales de voz, ecoomía, etc. Etre las aplicacioes del Biespectro destaca, el filtrado atural de ruido Gaussiao [4]; el estudio de iteraccioes o lieales etre secuecias usado e detecció de periodicidades e idetificació de sistemas [5]. Otro uso comú del Biespectro es la detecció de acoplamietos de fase [5], utilizado e ciertas aplicacioes como aálisis de datos e oceaografía, física de plasma, flujo de fluidos, vibracioes mecáicas, electro-ecefalogramas ECG) [], idetificació de sistemas, filtrado de señales [4], etc. Las herramietas de procesamieto digital, como los espectros de alto orde, so u tópico que ha comezado a ser de iterés e el área de moitoreo, debido a sus iteresates propiedades [6]. Estas herramietas ha sido utilizadas para moitorear codicioes de sistemas relativamete simples, co pocas etesioes de esas técicas a equipos complejos. U ejemplo de este tipo de sistemas es la máquia de iducció, usada e u gra úmero de aplicacioes, debido a su robustez y su diseño relativamete secillo. Las

12 Capítulo : Itroducció. maquias de iducció falla comúmete como resultado de evejecimieto, por ua costrucció pobre, por mala istalació o por el tipo de trabajo que desempeña. Ua falla de la maquiaria repercute e daños e la producció de algú bie o servicio, afectado a los costos de forma directa. La maera optima de preveir esos daños es moitoreado sus codicioes de operació; esto permite ua detecció tempraa de la degradació de la máquia y por lo tato facilita ua respuesta prevetiva, permitiedo programar actividades de mateimieto, miimizado los tiempo de caída y maimizado la productividad. Auque e este campo se ha desarrollado técicas de preveció, tales como el uso de redes euroales artificiales para moitoreo, las cuales ha demostrado éito e la idetificació de las fallas e su etapa iicial, si embargo tiee como u requisito previo de su operació los datos de fallas a priori. Esto impide la operació práctica de tales métodos, porque o es usual teer datos completos de las fallas. Otra forma de lograr estas prediccioes es mediate el modelado co técicas de respuesta al impulso y aálisis de elemetos fiitos prediciedo el comportamieto de la máquia bajo varias codicioes de operació. Auque estas técicas so muy valiosas, so diseñadas para u tipo de máquia específico y requiere de u alto grado de precisió e la descripció de las respuestas a las codicioes de etrada para que su aplicació sea efectiva [6]. La PSD ha sido utilizada históricamete para moitoreo de máquias de iducció, y recietemete se ha usado el Biespectro para detecció y diagostico de codicioes de falla e este tipo de máquias [7]. La iformació procesada es ua señal que puede proveir de u sesor de vibració motado e la carcaza del motor, o puede ser ua señal de corriete de fase. El cambio e la salida y la codició de falla puede ser correlacioadas permitiedo ua idetificació de fallas eplicita. No se requiere datos a priori que describa las codicioes de falla. El método es aplicable a máquias de iducció de corriete altera y geeralmete es ivariable a la carga y la velocidad [6], [7], [8] y [9]. U aspecto importate del uso de estas técicas es la complejidad de las tareas de procesamieto, por lo que estas fucioes se destiaba tradicioalmete a procesadores 3

13 Capítulo : Itroducció. digitales de señales Digital Sigal Processors, DSP s, por sus siglas e iglés). Los DSP s so procesadores especialmete diseñados para presetar u alto desempeño e tareas repetitivas co operacioes matemáticas complejas. Actualmete, co el icremeto e la capacidad y velocidad de procesamieto de los procesadores de propósito geeral, el surgimieto de microcotroladores co características orietadas a tareas DSP, e icluso DSP s híbridos, co módulos fucioales que so tradicioalmete asociados a u microcotrolador, como el maejo de múltiples puertos SPI, IC, CAN, maejo de PWM por hardware, etc.), se hace ecesario determiar cuál es el más adecuado para la realizació de ua tarea especifica.. Plateamieto del problema. De lo epuesto ateriormete se desprede la ecesidad de ua herramieta de aálisis espectral, que calcule las fucioes de PSD y Biespectro, e la plataforma de procesamieto adecuada y al meor costo posible. Auque eiste paquetes de software como Matlab, LabView y LabWidows, que provee fucioes para la trasformada de Fourier o la PSD, comúmete o cueta co las fucioes de estimació de espectros de alto orde. Por ejemplo, e Matlab, es ecesario adquirir herramietas de software adicioales [0]. Además de que el maejo de este tipo de paquetes es complejo, y las fucioes so demasiado geerales, esto requiere de tiempo y esfuerzo por parte del usuario para aplicarlas. Por otro lado, debido a la variedad de aplicacioes del biespectro, se cosidera iecesario, que el usuario de cada disciplia de ivestigació, por ejemplo, u igeiero mecáico o u médico, tega que coocer cómo utilizar las fucioes de u ambiete de programació, para poder obteer provecho de ellas. La dificultad e el maejo de herramietas de aálisis es u factor que limita la efectividad e su aplicació. Es ecesario que la operació de esta herramieta sea amigable, que presete los resultados de forma práctica, que permita almacear y maejar los resultados para su uso posterior. Otro problema a cosiderar, es el tiempo de procesamieto requerido para obteer las fucioes de PSD y BIS. Se debe determiar los requisitos de hardware y software para miimizar el tiempo de procesamieto, justificado o o, el uso de procesadores dedicados 4

14 Capítulo : Itroducció. y de software específico. E este puto es importate realizar evaluacioes de desempeño etre procesadores de uso geeral y de uso especifico. Como se describió ateriormete, el creciete desarrollo e los procesadores, DSP s y microcotroladores obliga a realizar u aálisis ates de escoger la plataforma adecuada para desarrollar u equipo, comprediedo tópicos como la velocidad de procesamieto, arquitectura, maejo de memoria, puertos dispoibles, tipo de programació, madurez de las herramietas de desarrollo dispoibles e el mercado, etc. E la idustria, se prefiere los procesadores que presete u equilibrio e estas características, y que permita desarrollar u equipo e el meor tiempo y co la meor catidad de periféricos eteros posible, esto permite recuperar rápidamete el costo de la iversió iicial. Por último, se busca validar la aplicació e señales proveietes de sistemas reales e iterpretar los resultados del aálisis. U caso práctico lo ecotramos e la detecció de patroes de respuesta al Biespectro relacioados co fallas de aturaleza eléctrica, como el desbalace de tesió e ua de las fases de u sistema eléctrico. Auque tradicioalmete el moitoreo de codicioes de falla se ha realizado mediate señales de vibració, obteidas co piezoeléctricos motados e la carcaza del motor, ua forma práctica y ecoómica es aalizado las variacioes de la corriete de fase.. Objetivos. Desarrollar ua herramieta de procesamieto digital de señales para aplicacioes e señales de sistemas reales. De forma específica se tiee los objetivos siguietes: Programar y validar los algoritmos de PSD y BIS e u DSP. Comparació de tiempos de procesamieto etre ua plataforma de computadora persoal IBM o compatible Persoal Computer) o PC y u DSP. Aplicació de la herramieta de aálisis espectral a señales proveietes de u motor para detecció de fallas. 5

15 Capítulo : Itroducció..3 Atecedetes. E el ceidet se ha realizado proyectos de tesis que usa el Biespectro. E el trabajo [7] se ecuetra e forma detallada la teoría relacioada a las estadísticas de alto orde HOS), e el domiio del tiempo y de la frecuecia, se implemetaro fucioes e Matlab para obteer el Biespectro y la PSD, y se aplicaro a señales de vibració para detecció de fracturas e vigas e catiliver. E [8] se implemetó u sistema de software e plataforma PC desarrollado e Borlad C++ V.4.5, para cotrolar al DSP de Aalog Devices ADSP 00. El sistema es capaz de procesar señales, para estimar frecuecia, fase y amplitud de señales relacioadas co sistemas sujetos a vibració tato e frecuecia costate como e frecuecia variable. E este mismo trabajo se desarrollaro fucioes de despliegue grafico y tabular de la iformació procesada para el posterior aálisis y diagóstico de estos sistemas, tambié se efectuó ua validació eperimetal de los algoritmos..4 Estado del Arte. E los últimos 0 años [] las estadísticas de alto orde particularmete el Biespectro), se ha utilizado e diversos campos sustituyedo a la PSD y haciedo uso de la iformació etra que preseta sobre ésta y sobre la fució de autocorrelació. Se ha hecho aplicacioes e física de plasma, flujo de fluidos, vibracioes mecáicas, biomedicia, procesamieto de datos e sismografía, recostrucció de imágees, estimació de retardos, filtrado adaptativo, etc. []. Se ha empleado co éito para efretar el problema de detectar series de datos o Gaussiaos e el domiio del tiempo e presecia de ruido Gaussiao o o Gaussiao midiedo la relació señal a ruido resultate [4]. E [] se preseta al Biespectro como ua herramieta útil e la recostrucció de señales debido a sus propiedades de preservar la iformació de magitud y fase, y de ser meos sesible al ruido Gaussiao. Se propoe dos efoques para calcular el biespectro solamete detro de la regió pricipal 6

16 Capítulo : Itroducció. del biespectro, dode se cumple estas propiedades, aú para señales de tipo determiístico e presecia de ruido. Co respecto al uso del Biespectro para detecció de fallas e motores de iducció, e el trabajo [6] se describe u método de detecció del tipo y magitud de 3 codicioes de falla de la máquia de iducció, mediate u sesor de vibració. E esta ivestigació se cosidera al motor como u sistema simple e dode u cambio e la etrada alterará la salida e forma predecible. Mediate ua correlació co la codició de falla es posible ua detecció eplicita de las codicioes de falla. Tambié mecioa las técicas actuales de moitoreo de motores de iducció co sus vetajas y desvetajas), como el uso de redes euroales artificiales, respuesta al impulso y aálisis de elemeto fiito. E la ivestigació [7] se aplica dos métodos basados e HOS, el primero, u aálisis o paramétrico de la magitud de las señales de vibració y segudo, el modelado paramétrico lieal o o lieal para detecció de fallas e motores de iducció. E [8] se describe u método de aálisis espectral de la corriete del motor para localizació y detecció de aormalidades mecáicas y eléctricas, que pudiera idicar ua falla e el motor de iducció. Esta técica se basa e el aálisis de la corriete del estator para determiar las frecuecias relacioadas co las codicioes de falla. Se ha aplicado la técica de las corrietes de fase e la detecció de aormalidades eléctricas y mecáicas e motores de iducció [9], mediate el aálisis espectral de la corriete del motor se puede detectar daños e la flecha del motor e máquias de iducció. Este trabajo documeta las pricipales codicioes de falla e motores de iducció y las técicas utilizadas para detecció de fallas. E los últimos años se ha hablado mucho acerca de comparacioes etre plataformas de procesadores de uso geeral Geeral Purpose Processors, GPP s, por sus siglas e iglés) y procesadores dedicados como los procesadores digitales de señales DSP s), si embargo ates de hacer ua comparació es ecesario eteder los avaces recietes e el desarrollo 7

17 Capítulo : Itroducció. de sus respectivas arquitecturas, así como las vetajas y desvetajas que preseta e el desarrollo de u aplicació, las cuales puede ir desde la dispoibilidad de herramietas de desarrollo hasta el costo total del sistema. La documetació de estos aspectos se preseta e [3]. Alterativamete al uso de los DSP s y GPP s, actualmete ha surgido los llamados Procesadores de Propósito Geeral co capacidades DSP y DSP s hibridos, los cuales tiee características de ambas plataformas, e [3] y [4] se puede ecotrar u paorama de estas tecologías. El desempeño de u procesador puede medirse de muchas maeras, la forma más comú es midiedo el tiempo e el que desempeña ua cierta tarea, tambié puede hacerse midiedo el uso de memoria y el cosumo de potecia depediedo de la aplicació, pero geeralmete el factor tiempo es el más utilizado. Eiste varias formas de realizar estos comparativos, e [5] se documeta fudametalmete tres tipos, la métrica simple, por aplicació y mediate segmetos de código kerels). Actualmete, eiste compañías especializadas e desarrollar este tipo de pruebas y comercializar los resultados, alguos ejemplos so Berkeley Desig Techology, Ic. BDTI) y EDN Embedded Microprocessor Bechmark Cosortium EEMBC) [6]..5 Paorama de Ivestigació y Metodología utilizada. El esquema geeral de este proyecto de tesis, cosiste e el desarrollo de ua herramieta de aálisis, que a partir de datos e tiempo discreto, proveietes de u sistema real o de simulacioes, permita aplicar los algoritmos de desidad espectral de potecia y biespectro E el diagrama de la Figura. se muestra el proceso de aplicació esta herramieta a datos e tiempo discreto, para la obteció de los resultados. El uso de la plataforma de hardware adecuada líeas puteadas), ya sea u procesador de uso geeral o u DSP y de ua iterfase gráfica de usuario amigable y versátil, permite u desempeño óptimo y facilita el maejo de los resultados para su iterpretació. 8

18 Capítulo : Itroducció. Datos e Tiempo Discreto Aálisis PSD y BIS PC/DSP Iterfase Gráfica De Usuario. Iterpretació de Resultados Figura. Diagrama a bloques del proyecto. Se realizó ua búsqueda bibliográfica de los algoritmos de estadísticas de alto orde e el domiio del tiempo, específicamete los mometos y cumulates hasta el orde 3 y sus correspodietes represetacioes e la frecuecia llamadas poliespectros, coocidos como la desidad espectral de potecia PSD) y el biespectro BIS) respectivamete. Se realizó ua ivestigació acerca de la plataforma de desarrollo óptima para implemetar la herramieta de software para el procesamieto del Biespectro. Por familiaridad co el ambiete se desigó de forma iicial la programació de los algoritmos e Matlab. La variedad de fucioes ivolucradas, justifica la ecesidad de ecapsular dichas fucioes e ua Iterfase Gráfica de Usuario Graphics User Iterface, GUI, por sus siglas e iglés) que facilite el aálisis de datos y el maejo de los resultados. Esta primera versió del programa se deomió Aalizador Espectral. Alguos aspectos tales del Aalizador Espectral realizado e Matlab como el tiempo de respuesta e la obteció del Biespectro, justificaro la ecesidad de llevar el código al leguaje C compatible co el estádar ANSI. Posteriormete se implemetó el Aalizador Espectral e el DSP TMS30C670 de Teas Istrumets. 9

19 Capítulo : Itroducció. Co objeto de validar el Aalizador Espectral co señales reales, se realizaro pruebas de detecció de fallas e u motor de iducció de jaula de ardilla de polos, co alimetació trifásica, dode se idetificaro ciertos patroes relacioados co fallas eléctricas. Fialmete se realizaro comparacioes de desempeño ó bechmarks para las aplicacioes de Aalizador Espectral basadas e PC y DSP..6 Estructuració de la tesis E el capítulo se preseta el marco teórico, se itroduce los coceptos de estadísticas de alto orde e el domiio del tiempo, específicamete los mometos y cumulates hasta el orde 3 y sus correspodietes represetacioes e la frecuecia llamadas poliespectros, coocidos como la desidad espectral de potecia PSD) y el biespectro BIS) respectivamete. Esto co el fi de familiarizar al lector co los métodos de estimació eistetes, y setar las bases de los algoritmos utilizados e la programació. E el capítulo 3 se preseta las justificacioes de desarrollar ua herramieta de software co ua iterfase gráfica de usuario, así como las especificacioes del Aalizador Espectral. Además, se preseta las tres versioes del Aalizador Espectral, el primer modelo se realizó para su uso e Matlab, el segudo modelo del Aalizador Espectral fue desarrollado e Visual C para ua IBM PC o compatible y fialmete el tercer modelo del Aalizador Espectral, que se ejecuta e el procesador digital de señales DSP TMS30C670 de Teas Istrumets. Se mecioa los putos pricipales del desarrollo de software y los requisitos míimos para su uso y fialmete las coclusioes acerca de cada modelo. E este capítulo se preseta u protocolo de comuicacioes propietario etre ua computadora persoal y el DSP TMS30C670, el cual puede aplicarse de ua forma geeral para comuicar dos procesadores mediate baderas y semáforos. E el capítulo 4 se realiza u comparativo teórico de características etre plataformas de procesadores PC y DSP. Este capítulo permite justificar los resultados de desempeño 0

20 Capítulo : Itroducció. obteidos si ecesidad de realizar cálculos complejos de ciclos de máquia y tiempos de procesamieto. E el capítulo 5 se documeta el comparativo práctico etre las plataformas PC y DSP. Se resume los resultados de las diversas pruebas realizadas. E estas pruebas se emplearo seccioes de código fudametales para la obteció del Biespectro y la PSD, como so la Trasformada Rápida de Fourier y los espectros de alto orde. Tambié se preseta resultados de desempeño de los tres modelos del Aalizador Espectral. E el capítulo 6 se documeta la técica de moitoreo de señales de las corrietes de fase, que se empleó para la idetificació de patroes relacioados co fallas eléctricas e u motor de iducció trifásico. Se preseta los resultados obteidos para la PSD y el Biespectro. E el capítulo 7 se putualiza las aportacioes y las recomedacioes para futuros trabajos relacioados al tema. Fialmete e el capítulo 8 se establece las coclusioes del proyecto para cada uo de los objetivos propuestos. Adicioalmete se icluye los siguietes aeos: Aeo. Características de las plataformas PC y DSP empleadas. Aeo. Maual del Aalizador Espectral V.6. implemetado e Matlab. Aeo 3. Maual del Aalizador Espectral V..0. implemetado e Visual C para IBM PC y DSP TMS30C670.

21 Capítulo : Marco Teórico Capítulo Marco Teórico. Ua caracterizació estadística completa de ua variable o proceso aleatorio requiere que sea posible determiar la probabilidad de cualquier eveto defiido detro de su espacio muestra. Si embargo, o siempre es ecesario realizar ua caracterizació completa, si se puede coocer el comportamieto promedio del proceso aleatorio. El empleo de las estadísticas de alto orde HOS) hace posible caracterizar sistemas o procesos, e los cuales las estadísticas covecioales o tiee éito, como e sistemas sujetos a ruido de tipo Gaussiao o e aálisis de feómeos sociales, como el desempleo o aturales como las migracioes [9]. E este capítulo se preseta alguos coceptos básicos, si preteder profudizar e la teoría de HOS; e [8] se puede ecotrar coceptos de series de datos e el domiio del tiempo y de probabilidad aplicada a procesos aleatorios discretos; e [] y [3] se preseta las defiicioes de mometos y cumulates e térmios de la fució característica, e [] se ecuetra ua descripció de las estadísticas de alto orde e térmios de la fució geeradora de mometos y cumulates. El objetivo pricipal de esta secció es fudametar de forma práctica los coceptos que se emplea e el desarrollo de los algoritmos de aálisis de este proyecto, por tato se efoca pricipalmete a secuecias de datos e el tiempo discreto a meos que se especifique lo cotrario.

22 Capítulo : Marco Teórico. Señales e el domiio del tiempo. Sea la variable aleatoria discreta ) ua secuecia de datos de u proceso aleatorio. A cotiuació se defie las estadísticas de alto orde para ).. Mometos. El valor esperado o promedio estadístico deotado E []. de la variable discreta ) se defie como: [ ] E [ X ] = ) P ).) Dode P[)] es la fució de probabilidad discreta de ). Al promedio estadístico de ) se le llama mometo de primer orde de ) o media estadística. Eiste mometos de orde superior, los cuales so útiles para determiar otras relacioes estadísticas, tales como la correlació y la variaza. Se defie el mometo k-ésimo de ) deotado m k, k, como el valor esperado de ) ; es decir: [ ] k k, E[ ) ] = ) P mk = ).) Cuado más de ua variable aleatoria está ivolucrada e u proceso, el mometo se calcula sobre todo el cojuto de variables. Por ejemplo: Para dos variables aleatorias,, el mometo cojuto dode la suma k +k es el orde del mometo) se defie: k k mk, k = E[ ) )].3) E u proceso aleatorio estacioario {)}, para = 0,,, 3, N-. El mometo de orde k de u proceso puede defiirse, como el mometo cojuto de orde k de las variables 3

23 Capítulo : Marco Teórico aleatorias discretas { ), + ), + ),... + k )}, dode 0,,.. k so los desplazamietos de tiempo discreto a partir de. Esto es: m k, 0 k = + k,,.. ) E[ ), + ), + ),... )].4) E sistemas estacioarios de tipo ergódico las estadísticas de varias salidas e u istate fijo de tiempo, so iguales a las obteidas de ua sola realizació e distitos istates de tiempo. De esta forma las variables aleatorias {,... }, se asocia a desplazamietos e el tiempo ), ), + ),... + )}, co fija e el proceso aleatorio ), por { + k ejemplo: = ), = + ),... Si se supoe que el proceso es estacioario, el mometo de orde k será fució solamete de los k- desplazamietos. Los mometos hasta orde 4 del proceso aleatorio {)} so: m m m m,, 3, 4, ) = E[ )] ) = E[ ) + )], ) = E[ ) + ) + )],, ) = E[ ) + ) + ) + )] 3 3.5).. Cumulates. Sea las coleccioes X = {,... } y V { v v,... }, =, dode X es ua colecció de variables aleatorias. Los cumulates de orde de estas variables so defiidos como los coeficietes{ v, v,... v } e la epasió por Series de Taylor de la fució geeradora de cumulates []: K v) = l E{ep jv' )}..6), v El térmio cumulate se refiere a mometos acumulados; eiste ua estrecha relació etre mometos y cumulates, tato es así, que e procesos de media cero los cumulates y 4

24 Capítulo : Marco Teórico 5 mometos so iguales, esto se cumple hasta orde 3, y e geeral se puede defiir a los cumulates e térmios de los mometos. Los primeros cumulates hasta orde 4, para la variable aleatoria so: ] [ 3 ] [ ] [ 4 ] [ ] [ ] [ 6 ] [ ] [ ] [ 3 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ E E E E E E E c E E E E c E E c E c + = + = = =.7) Se debe difereciar etre el cumulate de u cojuto de variables aleatorias vectores) y el cumulate de ua variable de u proceso. El cumulate cojuto de orde k de k variables aleatorias puede calcularse a partir de los mometos cojutos. Por ejemplo, para las variables y el cumulate cojuto de segudo orde es: ] [ ] [ ] [ E E E c =.8) Sea {)} u proceso aleatorio estacioario, para = 0,,, 3, N-. El cumulate de orde k del proceso puede defiirse como el cumulate cojuto de orde k de las variables aleatorias discretas )} ),... ), ), { k, dode 0,.., k so los desplazamietos de tiempo discreto a partir de. Esto es: )] ),... ), ), [ ),.., 0, = k k k cum c.9) A cotiuació se muestra los cumulates hasta orde 4 del proceso aleatorio: )] [ )] [ )] [ )] [ )] ) [ )] [ )] ) [ )] [ )] ) [ )] ) ) [ ), )] [ )] [ )] ) [ ) )] [ ) 3,,, = + + = = E E E E E E E E E E c E E E c E c

25 Capítulo : Marco Teórico 6 )] [ )] [ )] [ )] [ 6 )] ) [ )] [ )] [ )] ) [ )] [ )] [ )], ) [ )] [ )] [ )] ) [ )] [ )] [ )] ) [ )] [ )] [ )], ) [ )] [ )] [ )] ) [ )] ) [ )] ) [ )] ) [ )], ) [ )] ) [ )] ) ) [ )] [ )] ) ) [ )] [ )] ) ) [ )] [ )] ) ) [ )] [ )] ) ) ) [ ),, , = E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E c.0)..3 Relació etre Mometos y Cumulates. Los cumulates so fució de los mometos, y es posible obteerse uos a partir de los otros. Sea { } X,..., = ua colecció de variables aleatorias y { } I X,..., = el cojuto de ídices de los compoetes de X. Si X I I, etoces I es el subvector de X co ídices perteecietes a I []. Sea la partició de I e ua colecció o ordeada de cojutos o vacíos, o itersectates, deotada I p, tal que todos los subcojutos I p forme el cojuto I. Se deota al mometo y al cumulate de I como ) I m y ) I c respectivamete. El mometo de I se defie como el valor esperado de los elemetos de los subcojutos formados, es decir, [ ] I E I m = ). Las relacioes etre mometos y cumulates se puede resumir e fórmulas. Los cumulates se relacioa co los mometos mediate la fórmula mometo a cumulate []: = = = = I I U q p p q p q p I m q I c ) )! ) ).) dode: = = I I U p q p = Sumatoria de todas las particioes de I. q = Número de subcojutos del vector X. p = Ídice de los subcojutos del vector X.

26 Capítulo : Marco Teórico.) m q p=.) = Mometo de orde. = Producto de los elemetos desde p a q. Por otro lado, se puede obteer el mometo a partir de los cumulates mediate la epresió fórmula cumulate a mometo) []: dode: q U = I p = I m I ) = q q U = = = I p I p p c I ) p = Sumatoria de todas las particioes de I. q p c.) = Número de subcojutos del vector X. = Ídice de los subcojutos del vector X. = Cumulate de orde. p.) q p=.) = Producto de los elemetos desde p a q. E la Tabla - se muestra el uso de las relacioes ateriores para I = {,,3,4}. El sigificado práctico de los mometos de ua variable aleatoria depede del orde del mometo. Por ejemplo, el mometo de primer orde represeta la media del proceso; el mometo de segudo orde es coocido tambié como la variaza de los datos, mietras que la raíz cuadrada de la variaza es la desviació estádar. Además, el mometo de tercer orde de la variable aleatoria llamado skewess, da ua medida de la asimetría alrededor de la media, es decir que para ua distribució simétrica es igual a cero [3]. Por otro lado los cumulates o cueta co ua iterpretació ta práctica, si embargo, preseta propiedades estadísticas más robustas que los mometos, por lo que se utiliza más comumete para el cálculo de estadísticas de alto orde. 7

27 Capítulo : Marco Teórico Tabla -Cálculo de los mometos y cumulates de 4to orde e térmios de los mometos. q q I I I 3 I 4 Q q c I) = ) q )! m I ) m I) = c I ) p q U = = = I p I p p q U = = = I p I p p E[ ] E[ ] E[ 3 ] E[ 4 ] c[ ] c[ ] c[ 3 ] c[ 4 ], E[ ]E[ 3 ]E[ 4 ] c[ ]c[ 3 ]c[ 4 ],3 4 3 E[ 3 ]E[ ]E[ 4 ] c[ 3 ]c[ ]c[ 4 ],4 3 3 E[ 4 ]E[ ]E[ 3 ] c[ 4 ]c[ ]c[ 3 ],3 4 3 E[ 3 ]E[ ]E[ 4 ] c[ 3 ]c[ ]c[ 4 ],4 3 3 E[ 4 ]E[ ]E[ 3 ] c[ 4 ]c[ ]c[ 3 ] 3,4 3 E[ 3 4 ]E[ ]E[ ] c[ 3 4 ]c[ ]c[ ], 3,4 -E[ ]E[ 3 4 ] c[ ]c[ 3 4 ],3,4 -E[ 3 ]E[ 4 ] c[ 3 ]c[ 4 ],4,3 -E[ 4 ]E[ 3 ] c[ 4 ]c[ 3 ],,3 4 -E[ 3 ]E[ 4 ] c[ 3 ]c[ 4 ],,4 3 -E[ 4 ]E[ 3 ] c[ 4 ]c[ 3 ],3,4 -E[ 3 4 ]E[ ] c[ 3 4 ]c[ ],3,4 -E[ 3 4 ]E[ ] c[ 3 4 ]c[ ],,3,4 E[ 3 4 ] c[ 3 4 ] Cum[ 3 4 ] E[ 3 4 ] p..4 Uso de cumulates e lugar de mometos. A cotiuació se resume alguas de las propiedades importates de los cumulates [] y [8]: Los cumulates so comutativos e sus argumetos, es decir, que el cumulate de ua serie de datos es igual al cumulate de las distitas permutacioes de los datos: c 0,,.. k ) = ck, k, 0,.. ).3) k, Los cumulates so asociativos e la suma de sus argumetos: Para ua costate a, se tiee: c y,,.. ) = c,,.. ) c y,,.. ).4) k, 0 + k k, 0 k + k, k c a,,.. ) c,,.. ).5) k, 0 + k = k, 0 k Si u subcojuto de variables aleatorias so idepedietes de los demás elemetos del cojuto de tamaño k, etoces: 8

28 Capítulo : Marco Teórico c,,.. ) 0.6) k, 0 k =..5 Codicioes de simetría de los cumulates. Adicioalmete, los cumulates cueta co propiedades de simetría que facilita su obteció de tal maera que solamete es ecesario calcular el cumulate e ua regió determiada para coocer todo su comportamieto, a esta regió se le llama domiio de soporte. Esta propiedad permite dismiuir la catidad de operacioes ecesarias para calcular el cumulate. El domiio de soporte del cumulate de tercer orde c, ) está determiado por la regió delimitada e la Figura.. 3, IV III V II VI I Domiio de Soporte de Cumulates de orde 3. Figura. Simetría e el domiio del tiempo. La parte sombreada e el primer cuadrate represeta la regió pricipal. Para sistemas estacioarios, coociedo el cumulate e esta secció e geeral e cualquiera de las regioes I a VI) puede obteerse el valor completo de la matriz de cumulate de tercer orde. Esto se justifica debido a que el cumulate de tercer orde está relacioado co los mometos de tercer orde y éstos últimos tiee las propiedades de simetría siguietes aálogas a las propiedades de simetría de la autocorrelació): 9

29 Capítulo : Marco Teórico 0 ), ), ), ), ), ), = = = = = m m m m m m ), ), ), ), ), ), 3, 3, 3, 3, 3, 3, = = = = = c c c c c c.7) E muchos casos de aálisis se cosidera vectores de datos causales, es decir que iicia e t = 0; por este motivo, todos los cálculos se efectúa sobre el primer cuadrate. Si embargo, cosiderado las propiedades de simetría, basta co calcular la regió I para el cumulate de tercer orde, para obteer ua represetació completa del mismo. La Figura. preseta la secció o redudate del cumulate de ua secuecia de datos comparada co la matriz de cumulates obteido de forma completa. El uso de la simetría e cálculo del cumulate dismiuye el tiempo de procesamieto e el cálculo del cumulate. Figura. Propiedades de simetría de los cumulates.

30 Capítulo : Marco Teórico. Señales e el Domiio de la frecuecia... Trasformada Discreta de Fourier. El espectro de ua señal represeta las características de su comportamieto e el domiio de la frecuecia, esto es útil para el aálisis de señales y sistemas. Las propiedades espectrales está coteidas e la trasformada de Fourier de la señal. Dada ua señal e tiempo discreto T ), la Trasformada Discreta de Fourier DFT; X k) de T ) está defiida por [0]: N ) = X k = 0 T ) e k jπ N para k = 0,,,... N..8) Si embargo, e señales y procesos aleatorios, ua trasformació directa de la señal o siempre es adecuada y e alguos casos podría o eistir, por ese motivo se busca obteer ua represetació espectral de la potecia de la señal... Poliespectros. Ua represetació espectral de u proceso puede obteerse a partir de la trasformada de Fourier de fucioes e el domiio del tiempo. E el caso de los mometos y cumulates, de forma geeral se prefiere a los cumulates, por las razoes ya epuestas. Si embargo, e alguos casos particulares, por ejemplo, e datos co media cero = 0 ), el uso de los mometos simplifica el cálculo de los poliespectros. Los casos particulares de orde y 3 de los poliespectros so abordados e este trabajo. Si el cumulate eiste, el Poliespectro de orde - es defiido como la trasformada de Fourier de dimesió -) de los cumulates de orde y se deota como []: k i i C k... c,,... ) ep j π.9) i= N, k... k ) = = =

31 Capítulo : Marco Teórico..3 Desidad Espectral de Potecia. Para =, se observa que la trasformada de Fourier del cumulate de orde, es igual a la fució de desidad espectral PSD). k C ) ep jπ ).0) N k) = c, = E ua señal periódica determiística, el espectro de potecia represeta la descomposició armóica de la eergía total, cocetrada sobre la logitud del período. Esto se represeta mediate la PSD e tiempo discreto. Si la fució es determiística y o periódica, la PSD represeta la descomposició de la distribució de la desidad de potecia sobre u rago cotiuo de frecuecias [3]. La desidad espectral de potecia es ua trasformació lieal y es ua fució del ídice de frecuecia. E térmios de igeiería represeta la distribució de la potecia de la señal e las diferetes frecuecias que la compoe...4 Biespectro. Etediedo la defiició de Poliespectros a sistemas de tercer orde, = 3, se obtiee el Biespectro, el cual se represeta como: k + k ) C k, k) = c3,, )ep jπ.) = = N Debe otarse que la fució BIS es ua fució compleja de dos ídices de frecuecia, que represeta los acoplamietos armóicos de pares de frecuecias.la diferecia pricipal etre la PSD y el Biespectro cosiste e que, mietras la primera represeta la distribució de la potecia de la señal sobre u rago de frecuecias, la última solamete represeta la distribució de potecia sobre los pares de frecuecia dode ocurra ua iteracció etre ellos[3].

32 Capítulo : Marco Teórico..5 Métodos de Estimació de los poliespectros. E la práctica, es ecesario estimar el poliespectro a partir de u cojuto fiito de datos. Eiste dos efoques que se usa para el cálculo, al primero se le llama covecioal ó de Fourier, mietras que el otro efoque se basa e modelos ARMA autoregresivos y de promedios móviles) tambié llamado parámetrico []. E esta tesis se implemeta los métodos o parámetricos tato para la obteció de la PSD como del biespectro..3 Métodos de Estimació No Paramétrica de la Desidad Espectral de Potecia. La Fució de Desidad Espectral de Potecia PSD) represeta la distribució de potecia de las armóicas de la señal. Es importate mecioar que el espectro obteido mediate la PSD o matiee la iformació de la fase y o puede detectar acoplamietos armóicos etre frecuecias. Estas características so limitates e el aálisis de sistemas o lieales o aquellos e los que se requiera la iformació de fase. El método o paramétrico de estimació de la PSD se divide e Directo e Idirecto []. Método Directo La desidad espectral de potecia PSD de T), puede defiirse e térmios de su trasformada de Fourier deotada X k), como: Dode []. [ X k) X )] * k P k) = E.) E es el valor estadístico esperado, o promedio de, y X * k ) es el complejo cojugado de X k). E señales discretas se debe obteer el valor promedio para reducir los efectos del tamaño del bloque de muestras. 3

33 Capítulo : Marco Teórico Metodo Idirecto. a) Cálculo a partir de Cumulates. La PSD se obtiee mediate la trasformada de Fourier del cumulate de segudo orde, coocido como fució de covariaza.0). A esta epresió se le cooce como la fórmula de Wieer-Kichie []. k PSD ) ep jπ ).3) N k) = c, = b) Cálculo a partir de Mometos. E sistemas co media cero los cumulates y los mometos de orde so idéticos, esto es fácilmete comprobable e.0). De esta forma, es más fácil obteer la PSD mediate el cálculo del mometo de segudo orde de la señal discreta sustrayédole la media. Redefiiedo.0), teemos: k PSD k) = E[ t) t + )]ep jπ ).4) = N.3. Periodograma. A la estimació del espectro de ua secuecia fiita ) de N datos se le deomia Periodograma, esto es equivalete a obteer el espectro de ua señal muestreada, multiplicada co ua vetaa rectagular de logitud N. Estrictamete hablado, [] y [] se refiere al cálculo del espectro mediate el método directo FFT) como Periodograma, si embargo, el efoque maejado e este documeto será aplicar este térmio tambié al método idirecto [3]. 4

34 Capítulo : Marco Teórico Para el método Directo el periodograma se defie como: [ X k) X )] * k PSD k) = E Método Directo)..5) w w Dode la trasformada de Fourier de la secuecia ) modificada mediate la vetaa rectagular se defie como: X w k) = N = 0 T ) w T ) e k j π N.6) Para el método Idirecto el periodograma se defie como: PSD k) N = = 0 c k ) w )ep jπ N.7), ) Dode el cumulate de segudo orde del proceso ) está determiado por.8)..3. Periodograma Modificado. Al uso de ua vetaa diferete a la vetaa rectagular w) = ) co el fi de producir ua estimació cosistete del espectro de potecia, suavizado el periodograma por medio de ua fució de poderació, se le llama periodograma modificado [], [] y []. Además de proveer ua estimació cosistete del espectro, el efecto producido co el uso de la vetaa es reducir la variaza de la PSD y producir ua represetació espectral suave, resaltado los verdaderos valores de frecuecia dode la potecia es máima. Si embargo, tambié tiee efectos ideseables, pues icremeta la desviació del espectro calculado co respecto del verdadero espectro de potecia, además de reducir la resolució espectral, debido al efecto suavizate. Para compesar los cambios de magitud producidos por el uso de la vetaa e el método Directo, se utiliza ua costate de ormalizació U, que depede de la vetaa seleccioada [0] y que se puede calcular mediate: 5